´ ALGEBRA LINEAL Escuela Polit´ecnica Nacional Semestre 2014-B ✤ ✜ HOJA DE EJERCICIOS 3 Producto Escalar ✣ ✢ 3 1. (2 puntos) Sean u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ) elementos en R . Determinar cu´ales de las siguientes expresiones definen productos interiores sobre R3 . Para las que no lo sean, listar los axiomas que no se verifican. a) (0.50 puntos) u, v = u1 v1 + u3 v3 b) (0.50 puntos) u, v = u21 v12 + u22 v22 + u23 v32 c) (0.50 puntos) u, v = 2u1 v1 + u2 v2 + 4u3 v3 d ) (0.50 puntos) u, v = u1 v1 − u2 v2 + u3 v3 2. (2 puntos) Sea el espacio de las funciones continuas definidas en el intervalo [0, 2π] definido por C([0, 2π]) = {f : [0, 2π] → R | f es continua} con el producto escalar 2π f (x)g(x) dx. f, g = 0 Determinar las normas y los ´ agulos que forman los vectores {x, sen x, cos x}. 3. (1 punto) Sea el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y grado menor que 3. Se considera el producto escalar 2 p, q = p(i)q(i). i=0 Calcular el ´ angulo formado por los polinomios x2 + 1 y x2 − 3x + 1. 4. (1 punto) Sea (X , ·, · ) un espacio vectorial con producto interno. Demostrar que para cualesquiera x, y ∈ X vectores ortogonales x+y 2 = x 2 + y 2. 5. (3 puntos) a) (1.50 puntos) Determine una base ortogonal y una ortonormal de R3 aplicando el proceso de Gram-Schmidt a la base B = {v1 , v2 , v3 }, en la cual       1 -2 1 v1 =  -1  , v2 =  3  , v3 =  2  . 1 -1 -4 b) (1.50 puntos) Consideramos el espacio de polinomios P3 definidos en el intervalo [−1, 1] con el producto interno definido por 1 f, g = f (x)g(x) dx. −1 Construir una base ortogonal a partir de la base B = {1, t, t2 , t3 }. 6. (1 punto) Sean el espacio vectorial M2×2 (R), el subespacio W = −a b b a a, b ∈ R de M2×2 (R) y el producto interno en M2×2 (R) definido por A, B = tr(AB T ) ∀A, B ∈ M2×2 (R). Determinar el complemento ortogonal de W. AL Hoja de Ejercicios 3: Producto Escalar 1