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ANILLOS DE POLINOMIOS, TOPOLOGÍA DE ZARISKI Y BASES
DE GROEBNER.
A. GARCÍA, J. M. MÁRQUEZ, O. MATA, M. DE LA PAZ SUÁREZ.
1.
Introducción.
El tema que trataremos es estas notas forma parte de la Geometrı́a Algebraica.
En el sentido clásico, la Geometrı́a Algebraica estudia las soluciones de un sistema
de polinomios. Por ejemplo:
Consideramos un sistema de polinomios en n variables con coeficientes en algún
campo K; es decir,
(1.1)
f1 (x1 , . . . , xn ) = 0,
f2 (x1 , . . . , xn ) = 0,
..
.
fm (x1 , . . . , xn ) = 0.
De manera natural nos preguntamos: ¿Bajo que condiciones el sistema tiene solución? ¿Cómo es la solución del sistema? 1
De lo anterior, tenemos dos objetos de estudio: el objeto geométrico obtenido al
graficar las soluciones del sistema en el espacio producto K n y el objeto algebraico
obtenido a partir del conjunto de polinomios que forman el sistema. Ası́, quisiéramos
determinar si las propiedades del sistema (objeto algebraico) inciden en las propiedades del objeto geométrico (espacio de soluciones) y viceversa.
Con la intención de estudiar las propiedades de los ceros de polinomios, Oscar Zariski
en 1952 define una topologı́a sobre ellos (Topologı́a de Zariski) la cual los hace
espacios casicompactos (pero no de Hausdorff). La construcción realizada por Zariski
fue extendida posteriormente por Grothendieck en 1960. Para ello considerando un
anillo conmutativo R define el conjunto de todos los ideales primos en R, llamado
espectro de R y denotado por Spec R.
En estas notas, estudiaremos a la par la geometrı́a y el álgebra necesaria para el
estudio de las soluciones comunes a un número finito de polinomios. 2 Por tal motivo nos enfocamos en el caso en que R es el anillo de polinomios en n variables
con coeficientes en un campo K algebraicamente cerrado. En este caso, con la topologı́a de Zariski es posible crear un diccionario entre propiedades geométricas del
conjunto de soluciones y las propiedades algebraicas de los ideales. Este resultado
1Este
tipo de preguntas, resultan ser naturales en el contexto del Álgebra Lineal, i.e., cuando
consideramos un sistema de ecuaciones lineales (polinomios de grado uno).
2Dado que el anillo de polinomios que consideramos es Noetheriano, podemos reducir el problema
al caso finito.
1
2
A. GARCÍA, J. M. MÁRQUEZ, O. MATA, M. DE LA PAZ SUÁREZ.
es conocido como el Teorema de los ceros de Hilbert y es el resultado principal de
las primeras tres secciones de este minicurso. Para una construcción general (sobre
cualquier anillo) remitimos al lector interesado a [1] y [5].
2.
Anillos e ideales
El objetivo de esta sesión es presentar algunas definiciones básicas y resultados
clásicos del álgebra abstracta 3. Estos conceptos son claves en la comprensión de las
soluciones de un sistema de polinomios y presentan las bases para el estudio de la
Geometrı́a Algebraica “clásica”. El lector interesado puede remitirse a [1] para una
lectura más completa.
Definición 2.1. Un anillo es una terna (R, +, ·) tal que R es un conjunto con
operaciones binarias suma (+) y producto (·) que cumplen las siguientes propiedades:
1. El conjunto R es un grupo abeliano bajo la suma.
2. La multiplicación es asociativa y distribuye bajo la suma.
Diremos que el anillo es conmutativo si para cualquier par de elementos x, y ∈ R se
cumple que x · y = y · x. Mas aún, si existe un elemento 1 ∈ R tal que 1 · x = x para
toda x ∈ R, entonces decimos que el anillo es un anillo con unidad.
La caracterı́stica de un campo se define como el menor número Un subanillo de R
es un subconjunto S ⊂ R que contiene a la identidad y es cerrado bajo la suma y
multiplicación.
Ejemplo 2.2. Algunos ejemplos de anillos son:
1. Mn×n (R).(Anillo no conmutativo con la multiplicación usual de matrices).
2. R, C, Z (Anillos conmutativo con unitario con la suma y multiplicación usuales).
Sea x ∈ R un elemento distinto del cero. Decimos que x es divisor de cero si existe
y ∈ R distinto de cero tal que xy = 0. Por otra parte, si para x ∈ R existe un y ∈ R
tal que xy = 1, entonces se dice que x es invertible de R.
Definición 2.3. Un dominio entero es un anillo R que no tiene divisores de cero.
Más aún, si R es un dominio entero y todos sus elementos no cero son invertibles,
entonces diremos que R es un campo.
Definición 2.4. Un campo K se dice algebraicamente cerrado si todo polinomio
f ∈ K[x], tiene todas sus raı́ces en K.
La caracterı́stica de un campo se define como el menor entero m positivo tal que
|1 + 1 +{z· · · + 1} = 0.
m−veces
si dicho entero no existe, entonces se dice que el campo es de caracterı́stica cero.
3El
tipo de álgebra utilizada en este contexto es conocida como “Álgebra Conmutativa”.
ANILLOS DE POLINOMIOS, TOPOLOGÍA DE ZARISKI Y BASES DE GROEBNER.
3
Observe que, Z no es un campo ya que no todos los elementos son invertibles.
¿Podrı́as identificar los elementos de Z que no son invertibles?
Ejemplo 2.5. Algunos ejemplos de campos son: R, C, Q, Z2 .
4
Los anillos R, Q y Z2 son campos; sin embargo, no son algebraicamente cerrados.
En contraparte, el anillo C si es un campo algebraicamente cerrado, esto debido
al Teorema Fundamental del Álgebra. Finalmente, el campo Z2 es un campo de
caracterı́stica dos mientras que R, Q yC son de caracterı́stica cero.
Ejercicio 2.6. Demuestra que C[x1 , . . . , xn ] el conjunto de polinomios en n variables
con coeficientes en C es un anillo con la operación de suma y multiplicación usuales.
Concluye que K[x1 , . . . , xn ] es un anillo para K cualquier campo. ¿Qué sucede si
cambias el campo K por un anillo R?
Como es usual, una vez que se han definido los objetos matemáticos con los cuales
vamos a trabajar, el siguiente paso es determinar sus funciones. Recordemos que las
funciones deben respetar la estructura de los objetos. 5 En este caso, deben respetar
las operaciones de suma, multiplicación y elemento identidad.
Definición 2.7. Sean R1 , R2 dos anillos, un homomorfismo de R1 en R2 es una
aplicación φ : R1 → R2 que cumple:
1. φ(x + y) = φ(x) + φ(y) (Homomorfismo de grupos).
2. φ(xy) = φ(x)φ(y).
3. φ(1) = 1.
Ejemplo 2.8. Sea S un subanillo de R, y consideramos i : S → R la inclusión de
conjuntos. Entonces la aplicación i es un homomorfismo de anillos.
Ejemplo 2.9. Un ejemplo concreto es el siguiente: Sea K un campo, consideramos
K[x, y] el anillo de polinomios en dos variables con coeficientes en K. Entonces K[x]
y K[y] son subanillos de K[x, y].
Ejercicio 2.10. Dados dos homomorfismos de anillos f : R1 → R2 y g : R2 → R1 .
Demuestre que la composición f ◦ g es un homomorfismo de anillos.
Definición 2.11. Un subconjunto J ⊂ R no vacı́o es un ideal si cumple las siguientes condiciones:
1. J es un subgrupo de R bajo la suma.
2. Para todo r ∈ R y todo a ∈ J, se cumple que ra ∈ J.
El ideal J ⊂ R se dice primo si dados x, y ∈ R tales que xy ∈ J, entonces x ∈ J
ó y ∈ J.
4El
campo más pequeño es Z2 := Z/2Z, el cual consta de solo dos elementos {[0], [1]}.
5En el lenguaje de categorı́as, a las funciones se les llama simplemente morfismos. De esta manera
siempre que definimos objetos determinaremos los morfismos entre los objetos.
4
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Ejemplo 2.12. Si Z es el anillo de los enteros, entonces el subconjunto 2Z de los
números pares es un ideal y es primo. En general, el conjunto pZ de enteros que
son múltiplos de un número primo p es un ideal primo en Z. ¿Es el conjunto de los
números impares un ideal en Z?
Ejercicio 2.13. Demuestra que para cualquier homomorfismo de anillos f : R1 →
R2 , el Ker(f) es un ideal en R1 y Im(f ) es un ideal en R2 .
Ejercicio 2.14 (Ideal generado). Sea T un subconjunto del anillo R. Definamos el
siguiente conjunto
X
hT i := {
ri ti |ri ∈ R, ti ∈ T }.
i∈I
Demuestre que hT i es un ideal en R. Este ideal es conocido como el ideal generado
por el conjunto T .
Ejercicio 2.15. Demuestra que si el subconjunto T contiene a un elemento invertible
de R, entonces hT i = R.
Ejercicio 2.16. Sea J ⊂ K[x1 , . . . , xn ] un ideal, llamamos radical de J al conjunto
rad(J) := {f ∈ K[x1 . . . , xn ]|f r ∈ J, para algún r > 0}.
Demuestre que rad(J) es un ideal.
Ejercicio 2.17. Un ideal J es radical si J = rad(J). Demuestra que todo ideal
primo es radical.
Definición 2.18. Un anillo R es Noetheriano si todo conjunto de ideales de R tiene
un elemento maximal.
Proposición 2.19. Las siguientes condiciones son equivalentes
1. El anillo R es Noetheriano.
2. Todo ideal J ⊂ R es finitamente generado. Esto es, existen r1 , . . . rs ∈ J tales
que J = hr1 , . . . rs i.
3. Cada cadena ascendente de ideales J1 ⊂ · · · ⊂ Js ⊂ · · · se estaciona.
Demostración. (1) ⇒ (2). Sea J ⊂ R un ideal y consideremos el conjunto no vacı́o
{a ⊂ J|a es un ideal finitamente generado}.
Ya que R es un anillo Noetheriano, el conjunto tiene un elemento maximal el cual
denotamos como amáx = hr1 , . . . , rm i y afirmamos que amáx = I. Para probar este
hecho suponemos falsa la afirmación, i.e., suponemos que existe r ∈ J \ amáx . Sin
embargo, hamáx , ri = hr1 , . . . , rm , ri es un ideal finitamente generado que contiene a
amáx lo cual es una contradicción. Por lo tanto, amáx = J.
(2) ⇒ (3). Sea J1 ⊂ · · · ⊂ Js ⊂ · · · una cadena ascendente de ideales en R.
S
Definimos el ideal J = s∈I Js , entonces ya que J es finitamente generado, existen
elementos r1 , . . . rs ∈ R tal que J = hr1 , . . . rs i. Ası́ ri ∈ Jm(i) para algún m(i) ∈ I.
ANILLOS DE POLINOMIOS, TOPOLOGÍA DE ZARISKI Y BASES DE GROEBNER.
Consideramos M := máx{m(i) ∈ I|i = 1, . . . s}. Entonces J =
que la cadena ascendente de ideales se estaciona.
SM
1
5
Jm = JM , por lo
(3) ⇒ (1). Sea J ⊂ R un ideal. Tomando los elementos de J construimos una
cadena ascendente de ideales de la siguiente manera: Sea r0 ∈ J un elemento cualquiera y definimos J0 := hr0 i. A continuación tomamos r1 ∈ J \ I0 y definimos el
ideal J1 := hr0 , r1 i. De manera recursiva construimos Js a partir de Js−1 , obteniendo
ası́ la cadena
J0 ⊂ J1 ⊂ · · · ⊂ Js ⊂ · · · ⊂ J.
Por hipótesis la cadena se estaciona, es decir JM = JM +1 = · · · = J para algún
entero M . Además JM es finitamente generado por construcción, por lo tanto J es
finitamente generado. 6
Proposición 2.20. Sea R un anillo Noetheriano, entonces R/J es Noetheriano para
cualquier ideal J ⊂ R.
Demostración. La demostración se deja como ejercicio para el lector.
Ejercicio 2.21. Demuestra que todo campo K es un anillo Noetheriano.
A continuación daremos el siguiente resultado sin demostración, la cual puede ser
consultada en [1].
Teorema 2.22 (Teorema de la Base de Hilbert). Sea R un anillo Noetheriano,
entonces R[x1 , . . . xn ] es un anillo Noetheriano.
Demostración. Idea de la demostración se prueba primero que R[x1 ] es Noetheriano
y se usa inducción sobre n.
Corolario 2.23. K[x1 , . . . , xn ] es un anillo Noetheriano.
3.
Espacio Afı́n AnK .
De ahora en adelante, K denotará un campo algebraicamente cerrado y AnK al
conjunto de n-tuplas (a1 , . . . an ) con ai ∈ K, para todo i = 1, . . . , n. El conjunto
AnK es llamado n-espacio Afı́n, y en el caso n = 1 al conjunto A1K se le conoce como
recta afı́n.
Sea f ∈ K[x1 , . . . , xn ], mediante la evaluación del polinomio f en cada punto del
n-espacio afı́n determinamos una función al campo K. Ası́, obtenemos la siguiente
función polinomial,
evf : AnK → K,
(a1 , . . . , an ) 7→ f (a1 , . . . an ).
6Observe
que para esta demostración estamos considerando el Axioma de elección el cual afirma
lo siguiente: Para cada familia A de conjuntos no vacı́os existe una función f que “elige” de cada
conjunto A ∈ A, un elemento a ∈ A, i.e., ∀A ∈ A, f (A) ∈ A.
6
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De esta manera, f (p) = 0 si y solo si p ∈ Ker (evf ). Es decir, p está en el kernel de
la función evf si y solo si, p es una raı́z del polinomio f . En adelante, a las raı́ces
de f les llamaremos ceros de f .
Denotemos por V (f ) al conjunto de ceros del polinomio f .
V (f ) := {p ∈ AnK |f (p) = 0}.
Esta definición se extiende naturalmente a un conjunto arbitrario de polinomios. Sea
T ⊂ K[x1 , . . . xn ] un subconjunto de polinomios. Denotamos por V (T ) al conjunto
de puntos en AnK que son cero de todos los polinomio en T . Esto es,
V (T ) := {p ∈ AnK |f (p) = 0, ∀f ∈ T }.
Ejercicio 3.1. Sea hT i ⊂ K[x1 , . . . xn ] el ideal generado por el conjunto T . Demuestre que V (hT i) = V (T ).
Por lo tanto, si T ⊂ K[x1 , . . . , xn ] es un subconjunto cualquiera, entonces el ideal
hT i, es finitamente generado. Suponga que hT i = hf1 , . . . , fr i. Entonces, V (T ) =
V (hT i) = V (hf1 , . . . , fr i). Esto implica que todo conjunto de la forma V (T ) se
puede definir como el conjunto de ceros comunes a un número finito de polinomios.
Definición 3.2. Sea V ⊂ AnK . Decimos que V es un conjunto algebraico si existe
un subconjunto T ∈ K[x1 , . . . , xn ] tal que V = V (T ).
Ejemplo 3.3. Consideremos la recta afı́n. Entonces, un conjunto algebraico es el
conjunto de ceros comunes a un número finito de polinomios en una variable. Si
f ∈ K[x] es un polinomio cualquiera, entonces V (f ) es un conjunto finito. Por lo
tanto, V (T ) ⊂ A1k es finito para todo subconjunto T ⊂ K[x].
Ejercicio 3.4. Sea q un punto en AnK . Demuestra que el conjunto T = {p ∈ AnK |p 6=
q} no es un conjunto algebraico.
Proposición 3.5. Se cumplen las siguientes afirmaciones.
1. La unión de conjuntos algebraicos es nuevamente un conjunto algebraico.
2. La intersección de un número arbitrario de conjuntos algebraicos es una conjuntos algebraico.
3. El conjunto vacı́o y el n-espacio afı́n son conjuntos algebraicos.
Demostración. Sean V (T1 ), V (T2 ) dos conjuntos algebraicos. Entonces
V (T1 ) ∪ V (T2 ) = V (T1 · T2 ),
donde T1 · T2 es el conjunto de los productos de un elemento en T1 y un elemento en
T2 . Si {V (Ti )}i∈I una colección arbitraria de conjuntos algebraicos, entonces
\
[
V (Ti ) = V ( Ti ).
i∈I
Finalmente, se tiene que V (0) = AnK y V (1) = ∅.
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7
De la Proposición 3.5 se sigue que los conjuntos algebraicos cumplen las condiciones
de cerrados para una topologı́a sobre el n-espacio afı́n AnK . La topologı́a definida de
esta manera se conoce como Topologı́a de Zariski. Note que el n-espacio afı́n dotado
con la topologı́a de Zariski no es Hausdorff.
Ejercicio 3.6. Complete los detalles de la demostración en la Proposición 3.5 y
compruebe que efectivamente los conjuntos algebraicos determinan una topologı́a
para Ank .
Ejercicio 3.7. Demuestra que la recta afı́n A1k con la Topologı́a de Zariski, es
irreducible7 y no es Hausdorff.(Idea: Usa el Ejemplo 3.3) 8.
Al considerar el estudio de espacios topológicos, es posible que dichos espacios cuenten con varias componentes. De esta manera, estudiamos cada una de las componentes por separado. Por tal motivo tenemos la siguiente
Definición 3.8. Una variedad algebraica (afı́n) es un conjunto algebraico irreducible
de Ank .
3.1. La geometrı́a y el álgebra del espacio AnK . Como se vió anteriormente,
las variedades afines están definidas como ceros de un número finito de polinomios
(conjuntos algebraicos) por lo que pueden ser consideradas como objetos del álgebra.
Por otro lado, una variedad afı́n es un conjunto de puntos en el n-espacio afı́n, por
lo también son objetos geométricos. De esta manera, el siguiente paso es realizar un
estudio de las variedades afines haciendo énfasis en la relación que existe entre el
álgebra y la geometrı́a. Ya que a cada ideal J en el anillo de polinomios K[x1 , . . . , xn ]
le asociamos el conjunto (algebraico) V (J), entonces podemos pensar a V como una
función de ideales en conjuntos, especı́ficamente
V : {J | J ⊂ K[x1 , . . . , xn ], es un ideal} −→ {X |X ⊂ AnK },
J
7→
V (J).
¿Es la función V una función inyectiva? ¿Es la función V una función invertible?
Definición 3.9. Sea Y un subconjunto de AnK . El ideal asociado a X es el conjunto
de polinomios en K[x1 , . . . , xn ] que se anulan en todos los puntos de X. Esto es
I(X) := {f ∈ K[x1 , . . . , xn ]|f (x) = 0, ∀x ∈ X}.
Similar al caso de V , podemos pensar en I como una función de subconjuntos en
AnK ideales en K[x1 , . . . , xn ].
7Un
espacio topológico X es irreducible si no puede ser expresado como la unión de dos subconjuntos propios cerrados.
8
La demostración para el n-espacio afı́n Ank se obtiene del hecho que todo espacio topológico
irreducible y Hausdorff consta de un solo punto.
8
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I : {X |X ⊂ AnK } −→ {J | J ⊂ K[x1 , . . . , xn ], es un ideal},
X
7→
I(X).
En el siguiente resultado se observan las relaciones entre las funciones I y V .
Proposición 3.10. Sean T1 , T2 subconjuntos en K[x1 , . . . xn ] y X1 , X2 subconjuntos
en AnK . Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
Si T1 ⊆ T2 , entonces V (T1 ) ⊇ V (T2 ).
Si X1 ⊂ X2 , entonces I(X1 ) ⊇ I(X2 ).
S
T
I(X1 X2 ) = I(X1 ) I(X2 ).
Para cualquier ideal J ⊆ K[x1 , . . . xn ], I(V (J)) = rad(J).
Para cualquier subconjunto X ⊆ AnK , V (I(X)) = X.
Ası́ el primer paso es, determinar de manera algebraica las condiciones en las cuales
un conjunto algebraico es una variedad.
Proposición 3.11. Sea X ⊂ AnK un conjunto algebraico y sea I(X) el ideal asociado
a X. Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones:
1. X es irreducible so y solo si I(X) es un ideal primo.
2. Cualquier conjunto algebraico tiene una única expresión
X = X1 ∪ X2 ∪ . . . ∪ Xr
donde cada Xi es irreducible, i.e., es una variedad. Más aún Xi * Xj para
i 6= j.
Este resultado considera la posibilidad de establecer una relación entre las propiedades geométricas de los conjuntos algebraicos y las propiedades algebraicas de los
ideales asociados a ello. El siguiente resultado considera estas relaciones de la manera
más general posible.
Teorema 3.12 (Teorema de los ceros de Hilbert débil.). Si K es un campo algebraicamente cerrado y J ⊂ K[x1 . . . , xn ] un ideal tal que J 6= h1i, entonces V (J) 6= ∅.
Cabe señalar que está afirmación es falsa si el campo K no es algebraicamente
cerrado, un claro ejemplo es cuando K = R.
Teorema 3.13 (Teorema de los ceros de Hilbert.). Si K es un campo algebraicamente cerrado y J ⊂ K[x1 . . . , xn ] un ideal, entonces I(V (J)) = rad(J).
Corolario 3.14. Si J es un ideal radical, entonces I(V (J)) = J. Entonces existe
una correspondencia biyectiva entre los ideales radicales y conjuntos algebraicos.
Corolario 3.15. Si J es un ideal primo, entonces V (J) es un conjunto algebraico
irreducible. Existe una correspondencia biyectiva entre ideales primos y variedades
afines.
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Corolario 3.16. Si m es un ideal maximal en K[X1 , . . . xn ], entonces V (m) se compone de un solo punto. Existe una correspondencia biyectiva entre ideales maximales
y puntos, donde los ideales maximales son de la forma m = hx1 − a1 , . . . xn − an i y
el punto correspondiente es P = (a1 , . . . , an ).
A grandes rasgos, el Teorema 3.13 tiene las siguientes consecuencias:
1. Todo punto de AnK es cerrado (lo cual no siempre sucede en geometrı́a algebraica).
2. La segunda implicación, y tal vez la más importante de las tres, dice que
un sistema de polinomios tiene solución siempre que el ideal generado por el
sistema no es todo el anillo K[x1 , . . . xn ]. Recuerde que K debe ser algebraicamente cerrado.
Las ideas presentadas aquı́ impulsaron fuertemente el estudio de las relaciones entre
el álgebra y la geometrı́a. A partir de ellas se estableció con rigurosidad las ideas
geométricas que la escuela italiana se habı́a planteado años atrás. Posteriormente,
entre 1950 y 1970, Grothendieck establece una generalidad a todos estos conceptos
y en conjunto con Jean-Pierre Serre realiza contribuciones importantes a la Geometrı́a Algebraica. Por ejemplo, introducen el concepto de gavilla (sheaf) usando
la topologı́a de Zariski y posteriormente las definen para topologı́as más generales
( topologı́a étale, fppf, plana, fpqc, entre otras ). Además desarrollan la teorı́a de
esquemas, la cual es una generalización de la teorı́a de variedades; y trabajan sobre
la Teorı́a de cohomologı́a de gavillas. Todas estas ideas inciden actualmente en muchas áreas de las matemáticas: Geometrı́a Diferencial, Topologı́a Algebraica, Teorı́a
de Números, Fı́sica Matemática, etc.
Al lector interesado en la Teorı́a de esquemas se le recomienda [6], este texto cuenta
con un excelente tratado de esquemas desde el punto de vista de Grothendieck. El
libro [3] es una buena introducción a la Geometrı́a Algebraica. Finalmente una referencia muy completa para el estudio de la Geometrı́a Algebraica es [5], donde se
presupone que el lector cuenta con un buen conocimiento de los temas presentados
en [1].
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A. GARCÍA, J. M. MÁRQUEZ, O. MATA, M. DE LA PAZ SUÁREZ.
4.
Bases de Groebner.
Sea F un campo. Un álgebra sobre un campo F es un espacio vectorial V con otra
operación llamada multiplicación de vectores. Si v1 , v2 ∈ V entonces v1 v2 ∈ V y se
cumplen las siguientes propiedades
1. La multiplicación es asociativa
(v1 v2 )v3 = v1 (v2 v3 ).
2. La multiplicación es distributiva con respecto a la adición
v1 (v2 + v3 ) = v1 v2 + v1 + v3 .
3. Para α ∈ F,
α(v1 v2 ) = (αv1 )v2 = v1 (αv2 ).
Si existe 1 ∈ V tal que 1v1 = v1 1 = v1 . En este caso V es un álgebra con unidad.
El álgebra V se dice conmutativa si v1 v2 = v2 v1 , para todo v1 , v2 ∈ V.
En particular, F∞ denota el álgebra de series formales de potencias sobre el
campo F donde un elemento f ∈ F∞ , i.e., f = (f0 , f1 , f2 , . . .) se suele escribir como
∞
X
f=
f n xn .
n=0
Observemos que esta notación es formal y no pretende nada respecto a convergencia.
Por otro lado, si f, g ∈ F∞ entonces
f g = (f0 g0 , f0 g1 + f1 g0 , f0 g2 + f1 g1 + f2 g0 , . . .).
Es decir
(gf )n =
n
X
gi fn−i =
i=0
n
X
gn−i fi .
i=0
∞
Definición 1. Sea F[x] el subespacio de F generado por el conjunto de vectores
{1, x, x2 , . . .}. Si f ∈ F[x] tal que f es no nulo y con la forma
f = a0 + a1 x + · · · + an x n ,
entonces se dice que f es un polinomio sobre el campo F de grado n, el cual se
denota por deg(f ). Además, an 6= 0 es el coeficiente principal de f y an xn se le
denomina el término principal de f el cual se escribe como LT (f ) = an xn , por sus
siglas en inglés.
Observación 1. Si f, g ∈ F[x], entonces
deg(f ) ≤ deg(g) si, y solo si, LT (f )|LT (g).
ANILLOS DE POLINOMIOS, TOPOLOGÍA DE ZARISKI Y BASES DE GROEBNER.
11
Algoritmo de la división en F[x].
Sean f, g ∈ F[x], entonces
f = qg + r
donde q, r ∈ F[x], con r = 0 ó deg(r) < deg(g) y r, q son únicos.
Definición 2. Sean f1 , f2 , . . . , fs ∈ F[x] entonces el máximo cumún divisor de
f1 , f2 , . . . , fs es un polinomio h tal que satisface:
1) h divide a f1 , . . . , fs
2) Si p es otro polinomio que divide a f1 , . . . , fs entonces p divide a h.
Definición 3. Un subconjunto J ⊂ F[x1 , . . . , xn ] es un ideal si satisface los siguientes incisos:
1) 0 ∈ J,
2) si f, g ∈ J entonces f + g ∈ J,
3) si f ∈ J y ` ∈ F[x1 , . . . , xn ] entonces `f ∈ J.
Definición 4. Sean f1 , . . . , fs ∈ F[x1 , . . . , xn ]. Al conjunto
( s
)
X
hf1 , . . . , fs i =
hi fi : h1 , . . . , hs ∈ F[x1 , . . . , xn ] ,
i=1
lo llamamos ideal generado por f1 , . . . , fs .
Orden Monomial en Zn≥0 .
Zn≥0 := {(α1 , . . . , αn ) ∈ Z × · · · × Z : αi ∈ Z≥0 , i = 1, . . . , n}.
Observación 2. Recordemos que la relación de orden, satisface las propiedades de
reflexividad, antisimetrı́a y transitividad.
Definición 5. Un orden monomial en F[x1 , · · · , xn ] se define como una relación >
en Zn≥0 , tal que:
a) > es una relación de orden en Zn≥0 .
b) Si α > β y γ ∈ Zn≥0 , entonces α + γ > β + γ.
c) > es un buen orden en Zn≥0 . Es decir todo subconjunto no vacı́o de Zn≥0 tiene
un elemento minimal en Zn≥0 .
Notemos que si deseamos comparar dos monomios, digamos xα con xβ , entonces
la definición de orden monomial nos dice que debemos considerar α, β ∈ Zn≥0 . y
compararlos con la relación de orden > definida en Zn≥0 .
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Ordenes monomiales en F[x1 , . . . , xn ]..
Definición 6. Orden lexicográfico. Sean α = (α1 , . . . , αn ), β = (β1 , . . . , βn ) ∈
Zn≥0 . Se dice que α >lex β, si la diferencia α − β ∈ Zn y el primer elemento no cero
en la n-eada es un número positivo. Escribimos xα >lex xβ , si α >lex β.
Ejemplo 4.1. El polinomio xy 2 y el polinomio y 3 z 4 satisface que xy 2 >lex y 3 z 4 ,
porque (1, 2, 0) >lex (0, 3, 4) ya que (1, 2, 0) − (0, 3, 4) = (1, −1, −4).
Definición 7. Orden Lexicográfico graduado. Sean α, β ∈ Zn≥0 . Decimos que
α >glex β. Si
n
n
X
X
|α| =
αi > |β| =
βi ,
i=1
i=1
o bien si |α| = |β| entonces se toma en cuenta α >lex β.
Ejemplo 4.2.
a) (1, 2, 3) >grlex (3, 2, 0) porque |(1, 2, 3)| = 6 > |(3, 2, 0)| = 5.
b) (1, 2, 4) >grlex (1, 1, 5), ya que |(1, 2, 4)| = |(1, 1, 5)| = 7 y (1, 2, 4) >lex (1, 1, 5).
Definición 8. Orden Lexicográfico graduado reverso. Sean α, β ∈ Zn≥0 . Decimos que α >grevlex β. Si
n
n
X
X
αi > |β| =
βi ,
|α| =
i=1
i=1
o bien si |α| = |β|, entonces se toma en cuenta α − β ∈ Zn y la coordenada de la
derecha no cero es negativa.
Ejemplo 4.3.
a) (4, 7, 1) >grevlex (4, 2, 3) porque |(4, 7, 1)| = 12 > |(4, 2, 3)| = 9.
b) (1, 5, 2) >grevlex (4, 1, 3), ya que |(1, 5, 2)| = |(4, 1, 3)| = 8 y (1, 5, 2)−(4, 1, 3) =
(−3, 4, −1).
P
Definición 9. Sea f = α aα xα un polinomio no cero en F[x1 , · · · , xn ] y sea > un
orden monomial. Entonces
a) El multigrado de f es multigrado(f ) := máx(α ∈ Zn≥0 : aα 6= 0).
b) El coeficiente principal de f , el cual denotaremos por LC(f ) por las siglas en
inglés, se define como LC(f ) := amultideg(f ) ∈ Z.
c) El monomio principal de f, denotado por LM (f ), se define por LM (f ) :=
xmultideg(f ) .
d) El término principal de f es
LT (f ) = LC(f )LM (f ).
Algoritmo de la división en F[x1 , . . . , xn ].
Sean f, f1 , . . . , fn ∈ F[x1 , . . . , xn ] polinomios en x1 , . . . , xn en el campo F. Entonces
podemos expresar
f = a1 f1 + · · · + an fn + r,
donde r ∈ F[x1 , . . . , xn ] es el residuo y cumple una de las siguientes condiciones:
ANILLOS DE POLINOMIOS, TOPOLOGÍA DE ZARISKI Y BASES DE GROEBNER.
13
i) r = 0.
ii) r es una F combinación lineal de monomios y ninguno de ellos es divisible por
LT (f1 ), . . . , LT (fs ).
Ejemplo 4.4. Consideremos R[x, y] el anillo de los polinomios en las variables x, y
f, f1 , f2 ∈ R[x, y], dadas por f = xy 2 + 1, f1 = xy + 1, f2 = y + 1. Si fijamos el orden
lexicográfico (lex) y si dividimos f por f1 , f2 . Obtenemos:
y ya que LT (f1 ) y LT (f2 ) no divide a 2, se sigue que
xy 2 + 1 = y(xy + 1) + (−1)(y + 1) + 2.
Definición 10. Un ideal J ⊂ F[x1 , · · · , xn ] es un ideal monomial si J = (xα : α ∈
P
A), con A ⊂ Zn≥0 , además (xα : α ∈ A) = α∈A hα xα .
Lema 4.1. (El lema de Dickson)
Si J ⊂ F[x1 , · · · , xn ] es un ideal monomial, entonces J tiene una base finita.
Definición 11. Sea J ⊂ F[x1 , · · · , xn ] un ideal tal que J 6= 0.
i) Denotemos el ideal generado por los términos principales de I por LT (J) el
cual está definido por
LT (J) := {cxα : existe f ∈ J talque LT (f ) = cxα }.
ii) Existen {g1 , · · · , gs } ∈ J tal que LT (J) = hLT (g1 ), · · · , LT (gs )i.
Teorema 1. (De la base de Hilbert) Todo ideal J ⊂ F[x1 , · · · , xn ] tiene un
conjunto finito de generadores. Es decir, existen g1 , · · · , gs ∈ F [x1 , · · · , xn ] tal que
J = hg1 , · · · , gs i.
Definición 12. Fijando un orden monomial. Un subconjunto finito G = {g1 , · · · , gn }
de un ideal J tiene una base de Groebner o base estándar si
hLT (g1 ), · · · , LT (gn )i = LT (J).
Observación 3. Fijemos de orden monomial. Entonces todo ideal J ⊂ F[x1 , · · · , xn ]
tal que J 6= 0, tiene una base de Groebner.
Definición 13. S-polinomio. Sean f, g ∈ F[x1 , · · · , xn ] polinomios no ceros.
i) Si el multigrado(f ) = α y el multigrado(g) = β, entonces γ = (γ1 , · · · , γs )
donde γi = máx(αi , βi ), para cada i. Se dice xγ es el mı́nimo común múltiplo
de LM (f ), LM (g) y lo expresamos como xγ = LCM (LM (f ), LM (g)).
14
A. GARCÍA, J. M. MÁRQUEZ, O. MATA, M. DE LA PAZ SUÁREZ.
ii) El S-polinomio de f, g es
(4.1)
S(f, g) =
xγ
xγ
·f −
· g.
LT (f )
LT (g)
Ejemplo 4.5. Sean f = x3 y 2 − x2 y 3 + x y g = 3x4 y + y 2 ∈ R[x, y] con orden
lexicográfico reverso grlex. Entonces γ = (4, 2)
S(f, g) =
x4 y 2
x3 y 2
·f −
x4 y 2
3x4 y
·g
x · f − 13 y · g
=
= −x3 y 3 + x2 − 13 y 3 .
Observación 4. Sea f¯F el residuo de la división de f por la s-túpla F = (f1 , . . . , fs ).
El siguiente ejemplo nos muestra como calcular una base de Groebner utilizando
el algoritmo de Buchberger.
Ejemplo 4.6. Sea R[x, y] el anillo de los polinomios en las variables x, y con coeficientes en R. Si fijamos el orden lexicográfico reverso, entonces J = hf1 , f2 i =
hx3 − 2xy, x2 y − 2y 2 + xi. Luego {f1 , f2 } no es una base de Groebner del ideal J
dado que LT (S(f1 , f2 )) = −x2 6∈ hLT (f1 ), LT (f2 )i.
¿Entonces como puedo construir una base de Groebner?
La respuesta es con el algoritmo de Buchberger que vamos a ejemplificar a continuación.
Se tiene que el S−polinomio de las funciones {f1 , f2 } es S(f1 , f2 ) = −x2 y el residuo
que resulta de dividir el S(f1 , f2 ) por F = {f1 , f2 } es −x2 , claramente el residuo no
es cero.
Ası́ f3 = −x2 y F = {f1 , f2 , f3 }. ¿Será ahora que el nuevo conjunto F es una base
de Groebner para el ideal J? Para responder la pregunta sigamos calculando.
F
i) S(f1 , f2 ) = f1 de donde S(f1 , f2 ) = 0.
F
ii) S(f1 , f3 ) = (x3 − 2xy) − (−x)(−x2 ) = −2xy, entonces S(f1 , f3 ) = −2xy 6= 0.
F
iii) Si f4 = −2xy, entonces F = {f1 , f2 , f3 , f4 }. Calculando obtenemos S(f1 , f2 ) =
F
S(f1 , f3 ) = 0. Ası́,
S(f1 , f4 ) = y(x3 − 2xy) − (
F
−1 2
)(x )(−2xy) = −2xy 2 = yf4 y S(f1 , f4 ) = 0.
2
Sin embargo, S(f2 , f3 ) = (x2 y − 2y 2 + x) − (−y)(−x2 ) = −2y 2 + x de donde
F
S(f2 , f3 ) = −2y 2 + x 6= 0. Ası́ definimos f5 = −2y 2 + x. Por lo tanto nuestro
F es: F = {f1 , f2 , f3 , f4 , f5 } = {x3 − 2xy, x2 y − 2y 2 + x, −x2 , −2xy, −2y 2 + x}
F
el cual satisface S(fi , fj ) = 0. Para todo 1 ≤ i < j ≤ 5.
ANILLOS DE POLINOMIOS, TOPOLOGÍA DE ZARISKI Y BASES DE GROEBNER.
15
Finalmente nuestra base de Groebner es:
G = {x3 − 2xy, x2 y − 2y 2 + x, −x2 , −2xy, −2y 2 + x}.
Lo anterior induce el siguiente resultado
Teorema 2. Sea J = {f1 , · · · , fs } =
6 0 .Entonces una base de Groebner para el ideal
J es construida con un número finito de pasos con el siguiente algoritmo:
Entradas: F = {f1 , · · · , fs }.
Salida: Una base de Groebner G := {g1 , · · · , gs } para J, con F ⊂ G.
G := F.
REPETIR LOS PASOS ANTERIORES
0
HACER G = G.
0
Para cada par (p, q), con p 6= q en G hacer
G
0
S := S(p, q) .
Si S 6= 0, entonces G ∪ {S}.
0
Redefinir G := G .
Ejemplo 4.7. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones polinomiales, obtenido con el método de multiplicadores de Lagrange, para calcular el máximo y el
mı́nimo de x3 + 2xyz − z 2 sujeto a la restricción x2 + y 2 + z 2 = 1. Se sigue que:
3x2
+ 2yz
2xz
2xy − 2z
x2 + y 2
− 2xλ
− 2yλ
− 2zλ
+ z2 − 1
= 0,
= 0,
= 0,
= 0.
Usando el orden lexicográfico λ > x > y > z. Entonces una base de Groebner para
el ideal J ∈ R[x, y, z, λ] es:
hλ
−
3
x
2
xz
Con raı́ces:
3
yz
2
−
167616 6
z
3835
−
36717 4
z
590
−
134419 2
z ,
7670
x2
+
y2
+
z2
−
1,
xy
−
19584 5
z
3835
+
1999 3
z
295
−
2556
z,
3835
+ yz 2 −
1152 5
z
3835
−
108 3
z
295
+
2556
z,
3835
−
y 3 + yz 2 −
y
−
9216 5
z
3835
+
906 3
z
295
−
2562
z,
3835
yz 3 −
yz
−
576 6
z
59
−
1605 4
z
118
−
453 2
z ,
118
z7
−
1763 5
z
1152
+
655 3
z
1152
−
11
zi.
288
√
z = 0, ±1, ± 23 , ± 8√112 .
16
A. GARCÍA, J. M. MÁRQUEZ, O. MATA, M. DE LA PAZ SUÁREZ.
Las soluciones son:
z = 0,
y = 0,
x = ±1.
z = 0,
y = ±1,
x = ±1.
z = ±1,
y = 0,
x = 0.
z = 23 ,
y = 13 ,
x = − 32 .
y = − 13 ,
x = − 23 .
z = − 23 ,
z=
√
√
11
√
,
8 2
y = − 38√11
, x = − 38 .
2
√
z = − 8√112 ,
y=
√
3 √11
,
8 2
x = − 83 .
Referencias
[1] M. Atiyah. Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, (1994).
[2] D. Cox, J. Little, D. O’Shea. Ideals, Varieties and Algorithm. An introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Springer, Third Edition, (2007).
[3] W. Fulton. Algebraic Curves, An Introduction to algebraic geometry. Reprint of 1969 original, Addison-Wesley, (1989).
[4] G.-M. Greuel, G. Pfister. A singular Introduction to Commutative Algebra. Springer (2002).
[5] R. Hartshorne. Algebraic Geometry. Graduate Text in Mathematics, Springer, (1977).
[6] Audun Holme. A Royal Road to Algebraic Geometry. Springer-Verlag, (2012).
Universidad de Guadalajara, Centro de Ciencias Exactas e Ingenierı́as (CUCEI),
Guadalajara Jalisco, México