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1. Operaciones con Vectores
Análisis y Predicción del Tiempo
1. OPERACIONES CON VECTORES
1.1 Magnitudes Fundamentales, Unidades y Tiempo
En meteorología existen cuatro magnitudes físicas fundamentales: longitud
(m), masa (kg), tiempo (en sentido cronológico –s–) y temperatura (K). En general
se empleará el Sistema Internacional (SI) siempre, aunque existen algunas
excepciones que, por tradición, emplean otro tipo de unidades. Así, por ejemplo,
es común emplear unidades de tiempo superiores al segundo como minutos,
horas y días ya que los procesos en la atmósfera suelen emplear tiempos muy
superiores al segundo. También está muy extendido el empleo del milibar (mb)
como unidad de presión en lugar del pascal. Dado que 1 mb = 100 Pa la
conversión entre ambos es directa: 1 atm = 1013 mb = 1013 hPa. En la práctica
meteorológica habitual es común dar los mapas de presión en mb.
Finalmente, con respecto a la temperatura, si bien en el SI la unidad es el
kelvin (K) (Ojo no ºK !!), es también habitual darla en ºC donde 0 ºC = 273.15 K.
1.2 Notación Vectorial
Numerosas magnitudes quedan totalmente determinadas mediante un
número y las unidades de medida que le correspondan, como pueda ser por
ejemplo la temperatura o el tiempo que emplea un navío en desplazarse de un
punto a otro. A tales magnitudes se les denomina escalares. Sin embargo, existen
otras que, para que queden totalmente determinadas se necesita conocer su
módulo (o intensidad), su dirección y su sentido. Ejemplo de este tipo de
magnitudes pueden ser la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc. Son las
denominadas magnitudes vectoriales que, generalmente, se representan por
letras en negrita.
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z
y
x
Figura 1.1. Vectores unitarios i j k.
Se denominan vectores unitarios a los que tienen dirección y sentido de cada
uno de los ejes x, y, z, de un sistema cartesiano dextrógiro (a derechas) y cuyo
o bien
módulo (longitud) es igual a 1. Se suelen indicar por las letras i, j, k, o ̂ ̂ .
Cualquier vector A puede representarse como la suma de los tres vectores
unitarios que veíamos antes, tal que:
A = Axi + Ayj + Azk
(1.1)
donde los escalares Ax, Ay, Az son las proyecciones de A sobre los ejes x, y , z.
z
z
y
y
x
β
γ
α
x
Figura 1.2. El vector A como composición de tres vectores unitarios.
El módulo del vector A, |A| o A, expresado en función de los vectores unitarios
i, j, k, es:
|
| A A A A
4
(1.2)
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Análisis y Predicción del Tiempo
Asimismo también se puede representar a A como la suma de los
denominados cosenos directores, tal que:
A = A(cosα i + cos β j + cos γ k)
(1.3)
donde cosα = Ax/A, cosβ = Ay/A y cosγ = Az/A.
Todo esto también implica que el producto de un escalar por un vector A, es
decir, b·A, es un vector de la misma dirección y sentido que A pero con un
módulo, intensidad o longitud, b veces el de A.
Dos vectores son iguales si lo son sus módulos y coinciden en dirección y
sentido, o lo que es lo mismo:
A = B, si Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz
1.3 Suma y Resta de Vectores
La suma y la diferencia de dos vectores se lleva a cabo componente a
componente de la siguiente forma:
A ± B = (Ax ± Bx)i + (Ay ± By)j + (Az ± Bz)k
(1.4)
Figura 1.3. Suma y resta de dos vectores.
1.4 Producto escalar
Si A y B son vectores que podemos expresar de la siguiente forma:
A = Axi + Ayj + Azk
B = Bxi + Byj + Bzk
El producto escalar de A por B es un escalar definido como:
A·B = |A| |B|·cos θ = A·B·cos θ
(1.5)
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donde θ es el ángulo (≤ 180º) entre los dos vectores A y B. Es claro que aplicando
este producto a los vectores unitarios se tiene:
i·i = j·j = k·k = 1
(θ = 0º)
i·j = i·k = j·k = 0
(θ = 90º)
Se sigue que:
A·B = (Axi + Ayj + Azk)·( Bxi + Byj + Bzk) = AxBx + AyBy + AzBz = B·A
(1.6)
cumpliendo además las siguientes propiedades:
A·(B+C) = A·B + A·C
(αA)·B = α(A·B) = A·(αB)
Con esta definición es posible además obtener la proyección de un vector A
sobre una recta r cuya dirección venga dada por un vector unitario ur. Dicha
proyección vendrá dada por la expresión:
|A| |ur |·cos θ = |A|·cos θ
(1.7)
Donde θ es el ángulo formado entre el vector A y la recta sobre la que se
proyecta.
1.5 Producto vectorial
El producto vectorial de dos vectores A B es un vector cuya dirección es
aquella en la que avanzaría un tornillo que girase desde A a B por el camino más
corto (θ ≤ 180º) y cuyo módulo es A·B·senθ (regla de la mano derecha).
θ
Figura 1.4. Producto vectorial de dos vectores.
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En este caso A B será un vector que sale hacia fuera del papel. Se suele
representar en este caso con un punto. Si va hacia dentro se pone un aspa:
Afuera
Adentro
De la definición se deduce que:
i x j = –j x i = k
k x i = –i x k = j
ixi=jxj=kxk=0
(θ = 90º) ⇒ sen θ = 1
j x k = –k x j = i
Usando estas propiedades puede ponerse:
A B = (Axi + Ayj + Azk) x ( Bxi + Byj + Bzk) =
= (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz)j + (AxBy – AyBx)k
(1.6)
Resultado que puede expresarse de forma matricial como:
A B
Ejemplo:
Ω
z
(1.7)
Ω
r·senθ
θ
y
x
con un vector de posición .
Figura 1.5. Partícula girando según Ω
Si suponemos una partícula que gira alrededor del eje z con una velocidad
según muestra la figura, donde es el vector de posición de la partícula
angular Ω
móvil.
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= Ω·r·senθ es justamente el valor de la velocidad lineal de la partícula
Ω
es el de dirección del movimiento instantáneo de la partícula. Por
y el vector Ω
.
tanto la velocidad instantánea de la partícula es Ω
Los productos escalar y vectorial que acabamos de definir pueden ser
aplicadas sucesivamente tantas veces como se desee en productos múltiples de
vectores.
Algunos de ellos que se emplean con cierta frecuencia son los siguientes:
! " # #
#
Un escalar
#
(1.8)
" !
#
" #
– !
" #
!
(1.10)
!#
" " #
– !#
" !
(1.9)
Otra aplicación muy interesante del producto vectorial es la representación
vectorial de una superficie. Dado que el área del paralelogramo que determinan
dos vectores A y B coincide con el módulo del producto vectorial de ambos es
posible definir el vector área como:
S A B
(1.11)
cuyo módulo es el área de la superficie considerada, su dirección es
perpendicular a la superficie y el sentido el del avance del tornillo.
1.6 Derivada de un Vector
Si el vector u = u(t) es una función vectorial que depende del argumento
escalar t, tal que: u = u(t) = ux(t)i + uy(t)j + uz(t)k
La derivada de u con respecto a t queda como:
duy
du dux
duz
=
i+
j+
k
dt
dt
dt
dt
donde se cumplen las siguientes reglas de derivación:
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d(u+v+w) du dv dw
=
+
+
dt
dt
dt
dt
d(au)
du da
=a
+
u
dt
dt
dt
du
dv
d(v·u)
= v·
+ u·
dt
dt
dt
d(v x u)
du dv
=vx
+
xu
dt
dt
dt
1.7 Ejercicios
a) Un barco de vela se mueve a 2 nudos en la dirección NNE. ¿Cuáles son
las componentes de la velocidad del barco en dirección Norte y en
dirección Este? Si el vector unitario u indica el Este y el vector unitario v
indica el Norte, expresar el vector velocidad en función de sus
componentes.
b) Un barquero está remando sobre la barca queriendo mantenerse siempre
perpendicular a la orilla de un río y cruzarlo con una velocidad media de 6
nudos. El agua del río fluye con una velocidad de 1,5 nudos. ¿Con qué
velocidad ha de impulsar a la barca? ¿En qué dirección?
c) Calcula el producto vectorial de los vectores: 5i – 3j + 2k, – 2i + j +3k y el
ángulo que forman.
d) Un avión se mueve a 320 kts en dirección NE. Calcula la proyección de su
velocidad en la dirección Este.
e) Un cuerpo rígido gira con una velocidad angular ω dada por el vector: ω = i
+ j + k. Calcula la velocidad lineal con que se mueve un punto P del
cuerpo, cuto vector de posición es r = 2i – 2j + k, sabiendo que v = ω x r.
f) Calcula el área del triángulo ABC, siendo las coordenadas cartesianas de
los vértices (3,4,1) m, (–1,–2,1) m y (2,0,3)m.
g) Una partícula se mueve de tal forma que el vector posición depende del
tiempo de acuerdo con: r = (4 – 3t)i +(t2 + 2t)j + (6t3 – 3t)k. Calcular el
vector velocidad (dr/dt) y el vector aceleración (dv/dt).
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