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AL
2015
Transformaciones Lineales
1.
2.
Sea 𝐵 = {𝑣̅1 , 𝑣̅2 , 𝑣̅3 } una base del espacio vectorial 𝑃 de los polinomios de grado menor o igual a dos con
elementos en ℂ , donde 𝑣̅1 = 𝑥 2 , 𝑣̅2 = 𝑥 y 𝑣̅3 = 𝑖 ; y sea 𝑇: 𝑃 → ℂ3 una transformación lineal tal que
𝑇(𝑣̅1 ) = (1, 0, 0), 𝑇(𝑣̅2 ) = (0, 1 + 𝑖, 0) y 𝑇(𝑣̅3 ) = (0, 0, 1). Encuentra 𝑇(𝑣̅ ) si 𝑣̅ = 4𝑥 2 + (3 − 𝑖)𝑥 + 3.
Sean 𝑉 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos con elementos complejos sobre el campo de
los reales y 𝑇: 𝑉 → 𝑉 una transformación definida por
𝑇(𝐵) = 𝐵 − 𝐵∗ ,
donde 𝐵∗ es la matriz conjugada transpuesta de 𝐵.
a.
b.
3.
4.
Determina si 𝑇 es lineal.
Obtén el núcleo de 𝑇.
Sean 𝑃1 el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a uno con coeficientes reales sobre el
campo de los reales y 𝑇: 𝑃1 → 𝑃1 la transformación lineal tal que
𝑇(1 + 𝑥) = 4 − 8𝑥,
Obtén 𝑇(𝑏 + 𝑎𝑥).
𝑇(−2 + 2𝑥) = −8 + 12𝑥
Sean el espacio vectorial real 𝑃1 = {𝑎𝑥 + 𝑏|𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} y la transformación lineal 𝐹: 𝑃1 → ℝ2 tal que
𝐹(2𝑥 − 1) = 4𝚤̂ − 𝚥̂,
Determina:
a.
b.
c.
5.
∀𝐵 ∈𝑉
𝐹(1) = −𝚤̂ + 𝚥̂ − 𝐹(𝑥)
La regla de correspondencia de 𝐹.
La dimensión del núcleo de 𝐹.
El recorrido de 𝐹.
𝑎 𝑏
Sean los espacios vectoriales reales 𝑀 = ��
� �𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ� y 𝑃 = {𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐|𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ}, y los conjuntos
𝑐 𝑎
1 2
0 1
1 0
𝐴 = ��
�,�
�,�
�� y 𝐵 = {𝑥 2 − 2, 𝑥 + 1, −𝑥 2 + 𝑥} bases de 𝑀 y 𝑃, respectivamente. La matriz
0 1
−1 0
3 1
asociada a la transformación 𝑇: 𝑀 → 𝑃 respecto a las bases 𝐴 y 𝐵 es
1 0 1
𝑀𝐵𝐴 (𝑇) = �1 0 1�
3 2 1
6.
Determina la regla de correspondencia de 𝑇.
Sean el espacio vectorial real 𝑃 = {𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐|𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ} y el operador lineal 𝑇: ℝ3 → 𝑃 tal que
a.
𝑇(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑎 + 𝑏 − 2𝑐)𝑥 2 + (𝑎 + 2𝑏 + 𝑐)𝑥 + (2𝑎 + 2𝑏 − 3𝑐)
Determina la inversa de 𝑇.
1
Ing. Aldo Jiménez Arteaga
AL
b.
7.
Obtén el núcleo y el recorrido de la inversa de 𝑇.
Sean las transformaciones lineales 𝑇: ℝ2 → ℝ2 y 𝑆: ℝ2 → ℝ2 cuyas reglas de correspondencia son
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, −𝑦),
8.
𝑆(𝑥, 𝑦) = (−𝑥 + 𝑦, 𝑥)
respectivamente. Determina la regla de correspondencia de (𝑆 ∘ 𝑇)−1 .
Sea el operador lineal 𝐹: ℂ3 → ℂ3 cuya matriz asociada a la base 𝐵 = {(1, 0, −1), (0, 1, 0), (1, 0, 1)} es
Determina:
a.
b.
c.
9.
2015
1+𝑖
𝑁=� 0
0
0
0
1
0 �
0 1−𝑖
los espacios característicos de 𝐹.
los valores característicos de 𝐹 −1.
la regla de correspondencia de 𝐹.
4 1 −1
Uno de los valores característicos de la matriz 𝐴 = �2 5 −2� es 𝜆1 = 3. Determina:
1 1 2
a.
b.
Todos los espacios característicos de 𝐴.
Una matriz 𝑃 tal que 𝑃 −1 𝐴𝑃 sea diagonal.
10. Sea 𝐴 una matriz de 𝑛 × 𝑛 con elementos en ℂ y 𝑄(𝑥) un polinomio no nulo diferente del polinomio
característico de 𝐴, tal que 𝑄(𝐴) = 0. Demuestra que 𝑄(𝑥) es divisible entre el polinomio característico de 𝐴.
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Ing. Aldo Jiménez Arteaga