1. Ciencia

´
Algebra Lineal -III: Algebra
Vectorial en R2 and R3
Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez
Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica
Divisi´on de Ingenier´ıa, Campus Irapuato-Salamanca
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
En estas notas se presentan los conceptos fundamentales del ´algebra vectorial en R2 y R3 . De manera
m´as concreta, se presentan los fundamentos de la suma y multiplicaci´on por escalar de vectores en 2 y 3
dimensiones. Se mostrar´a que los vectores geom´etricos, definidos como entidades geom´etricas, satisfacen
una serie de propiedades, que despu´es se denominar´an axiomas y que formar´an la base para definir
de manera muy formal y abstracta a los espacios vectoriales. Posteriormente, se mostrar´a que la suma y
multiplicaci´on escalar de vectores es equivalente a la suma y multiplicaci´on escalar de parejas y triadas
ordenadas de n´
umeros reales.
1
Vectores Geom´
etricos.
Los vectores geom´etricos se definen como segmentos de l´ınea orientados, “flechas”, de manera que su
extremo final se indica con una punta de flecha y su extremo inicial es el que carece de la punta de flecha.
El conjunto de estos vectores geom´etricos, se denotar´an como V 2 .
1.1
Definici´
on de la Suma de Vectores Geom´
etricos y la Multiplicaci´
on por
Escalar de Vectores Geom´
etricos.
Suponga dos vectores geom´etricos ~a, ~b ∈ V 2 , la suma de los vectores geom´etricos ~a + ~b se define como el
vector geom´etrico obtenido del origen al punto obtenido cuando el vector ~b se dibuja a partir del extremo
final del vector ~a, vea la figura 1. Debe notarse que el resultado de la suma de dos vectores geom´etricos
es otro vector geom´etrico.
Figure 1: Suma de Vectores Geom´etricos.
Suponga un vector geom´etrico ~a ∈ V 2 y un escalar λ ∈ R, entonces la multiplicaci´on del vector
por el escalar, se define como un vector geom´etrico cuya magnitud es igual a la magnitud de la vector
geom´etrico original multiplicada por el valor absoluto del escalar |λ|. El sentido del resultado tendr´a el
mismo que el vector original si λ ≥ 0 y tendr´a el sentido opuesto si λ < 0, vea la figura 2. Debe notarse
que el resultado de la multiplicaci´on de un vector geom´etrico por un escalar es otro vector geom´etrico.
1
Figure 2: Multiplicaci´on por Escalar de Vectores Geom´etricos.
1.2
Propiedades de la Suma y Multiplicaci´
on por Escalar de Vectores Geom´
etricos.
La suma de vectores geom´etricos y la multiplicaci´on por escalar de vectores geom´etricos, satisfacen las
siguientes propiedades, ∀~a, ~b, ~c ∈ V 2 y λ, µ ∈ R:
1. La suma de vectores geom´etricos es conmutativa, vea la figura 3. Es decir
~a + ~b = ~b + ~a
(1)
Figure 3: La Suma de Vectores Geom´etricos es Conmutativa.
2. La suma de vectores geom´etricos es asociativa, vea la figura 4. Es decir
³
´
³
´
~a + ~b + ~c = ~a + ~b + ~c = ~a + ~b + ~c
(2)
Figure 4: La Suma de Vectores Geom´etricos es Asociativa.
3. Existe un id´entico aditivo, el vector geom´etrico ~0 ∈ V 2 , constituido por un vector de magnitud 0,
la direcci´on no importa en este caso, vea la figura 5. tal que
~0 + ~a = ~a = ~a + ~0
2
(3)
Figure 5: El Id´entico Aditivo en los Vectores Geom´etricos.
4. Para cada vector geom´etrico, ~a, existe un inverso aditivo, −~a, vea la figura 6. tal que
~a + (−~a) = ~0 = (−~a) + ~a
(4)
Figure 6: El Inverso Aditivo en los Vectores Geom´etricos.
5. La multiplicaci´on por escalar es pseudoasociativa, vea la figura 7. Es decir
λ (µ~a) = (λ µ) ~a = µ (λ ~a)
(5)
Figure 7: La Multiplicaci´on por Escalar de Vectores es Pseudoasociativa.
6. La multiplicaci´on por escalar es distributiva respecto a la suma de vectores, vea la figura 8. Es
decir
³
´
λ ~a + ~b = λ ~a + λ ~b
(6)
7. La multiplicaci´on por escalar es distributiva respecto a la suma de escalares, vea la figura 9. Es
decir
(λ + µ) ~a = λ ~a + µ ~a
(7)
8. La propiedad del inverso aditivo del id´entico multiplicativo de los n´
umeros reales. El id´entico
multiplicativo de los n´
umeros reales es 1 ∈ R y el inverso aditivo de 1 ∈ R es −1 ∈ R. Entonces se
tiene que para cualquier vector ~a ∈ R2
(−~a) = −1 ~a
vea la figura 10
3
Figure 8: La Suma de Vectores es Distributiva Respecto a la Multiplicaci´on por Escalar.
Figure 9: La Suma de Escalares es Distributiva Respecto a la Multiplicaci´on por Escalar.
Figure 10: La Propiedad del Inverso Aditivo del Id´entico Multiplicativo de los N´
umeros Reales.
4
1.3
Definici´
on de Suma y Multiplicaci´
on por Escalar de Parejas Ordenadas
de N´
umeros Reales.
En esta secci´on, se presentar´a la suma y multiplicaci´on de parejas ordenadas de n´
umeros reales. Se
definir´a primeramente el conjunto de parejas ordenadas de n´
umeros reales, o vectores, como
R2 = {~x = (x1 , x2 ) | x1 , x2 ∈ R}
junto con las operaciones
1. Adici´on de parejas ordenadas. Sean ~x, ~y ∈ R2 , entonces
~x + ~y = (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ).
y
2. Multiplicaci´on por escalar. Sean ~x ∈ R2 , y λ ∈ R, entonces
λ~x = λ(x1 , x2 ) = (λx1 , λx2 ).
Es importante se˜
nalar que dos vectores ~x = (x1 , x2 ) y ~y = (y1 , y2 ) son iguales o equivalentes, denotado
por ~x = ~y si y s´olo si
x1 = y1
y
x2 = y2 .
1.4
Propiedades de la Suma y Multiplicaci´
on por Escalar de Parejas Ordenadas de N´
umeros Reales.
Adem´as, las operaciones definidas sobre las parejas ordenadas de n´
umeros reales o vectores, tienen las
siguientes propiedades, ∀~x, ~y , ~z ∈ R2 y ∀λ, µ ∈ R, se tiene que
1. Clausura respecto a la adici´on. Es decir
~x + ~y = (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ).
Puesto que x1 + y1 , x2 + y2 ∈ R, resulta que ~x + ~y ∈ R2 .
2. Clausura respecto a la multiplicaci´on por escalar. Es decir
λ~x = λ(x1 , x2 ) = (λx1 , λx2 ).
Puesto que λx1 , λx2 ∈ R, resulta que λ~x ∈ R2 .
3. La suma de vectores es conmutativa. Es decir
~x + ~y = ~y + ~x
Puesto que, la suma de n´
umeros reales es conmutativa
~x + ~y = (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) = (y1 + x1 , y2 + x2 ) = (y1 , y2 ) + (x1 , x2 ) = ~y + ~x
4. La suma de vectores es asociativa. Es decir
(~x + ~y ) + ~z = ~x + (~y + ~z)
Puesto que, la suma de n´
umeros reales es asociativa
(~x + ~y ) + ~z
=
=
((x1 , x2 ) + (y1 , y2 )) + (z1 , z2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) + (z1 , z2 )
((x1 + y1 ) + z1 , (x2 + y2 ) + z2 ) = (x1 + (y1 + z1 ), x2 + (y2 + z2 ))
=
(x1 , x2 ) + (y1 + z1 , y2 + z2 ) = ~x + (~y + ~z)
5
5. Existe el vector ~0 = (0, 0) ∈ R2 , conocido como el id´entico aditivo, tal que ∀~x ∈ R2 , tiene la
propiedad que
~x+~0 = (x1 , x2 )+(0, 0) = (x1 +0, x2 +0) = (x1 , x2 ) = ~x = (x1 , x2 ) = (0+x1 , 0+x2 ) = (0, 0)+(x1 , x2 ) = ~0+~x
6. Para todo vector ~x = (x1 , x2 ) ∈ R2 existe un elemento −~x = (−x1 , −x2 ), conocido como el inverso
aditivo tal que
~x + (−~x) = (x1 , x2 ) + (−x1 , −x2 ) = (x1 − x1 , x2 − x2 ) = (0, 0) = ~0
y
(−~x) + ~x = (−x1 , −x2 ) + (x1 , x2 ) = (−x1 + x1 , −x2 + x2 ) = (0, 0) = ~0
7. La multiplicaci´on por escalar de vectores es pseudoasociativa. Puesto que la multiplicaci´on de
n´
umeros reales es asociativa
λ(µ ~x) = λ(µ (x1 , x2 )) = λ(µ x1 , µ x2 ) = (λ(µ x1 ), λ(µ x2 )) = ((λ µ)x1 , (λ µ)x2 ) = (λ µ)(x1 , x2 ) = (λ µ) ~x.
8. La multiplicaci´on por escalar es distributiva respecto a la suma de vectores. Puesto que la multiplicaci´on de n´
umeros reales es distributiva respecto a la suma de n´
umeros reales
λ(~x + ~y )
= λ ((x1 , x2 ) + (y1 , y2 )) = (λ (x1 + y1 ), λ (x2 + y2 )) = (λ x1 + λ y1 , λ x2 + λ y2 )
= (λ x1 + λ x2 ) + (λ y1 , λ y2 ) = λ (x1 , x2 ) + λ (y1 , y2 ) = λ ~x + λ ~y
9. La multiplicaci´on por escalar es distributiva respecto a la suma de escalares. Puesto que la multiplicaci´on de n´
umeros reales es distributiva respecto a la suma de n´
umeros reales
(λ + µ) ~x = (λ + µ) (x1 , x2 ) = ((λ + µ) x1 , (λ + µ)x2 ) = (λ x1 + µ x1 , λ x2 + µ x2 )
= (λ x1 + λ x2 ) + (µ x1 , µ x2 ) = λ (x1 , x2 ) + µ (x1 , x2 ) = λ ~x + µ ~x
10. La propiedad del inverso aditivo del id´entico multiplicativo de los n´
umeros reales. El id´entico
multiplicativo de los n´
umeros reales es 1 ∈ R y el inverso aditivo de 1 ∈ R es −1 ∈ R. Entonces se
tiene que para cualquier vector ~x ∈ R2
−~x = −(x1 , x2 ) = (−x1 , −x2 ) = −1(x1 , x2 ) = −1 ~x
1.5
Equivalencia Entre Vectores Geom´
etricos y Parejas Ordenadas de N´
umeros Reales.
En esta secci´on se mostrar´a que los vectores geom´etricos y sus operaciones de suma y multiplicaci´on
por escalar son “equivalentes” a las parejas ordenadas de n´
umeros reales y sus operaciones de suma y
multiplicaci´on escalar.1
De manera formal, se considerar´a V2 , el conjunto de vectores geom´etrico, “flechas”, en el plano. V2
est´a formado por flechas, ~a, que se dibujan desde un origen arbitrariamente seleccionado, de longitud a,
donde a ∈ [0, ∞) y tal que la flecha forma un ´angulo φ con el semieje positivo x, donde φ ∈ [0, 2π), vea
la figura 11.
La figura 12 vuelve a mostrar las definiciones de multiplicaci´on por escalar y adici´
on o suma de vectores
geom´etricos.
Considere el mapeo o funci´on entre los conjuntos V2 y R2 dado por
f : V2 → R2
f (~a) = f (a, φ) = (a cos φ, a sin φ)
1 A lo largo de este curso se dar´
a m´
as formalidad a los conceptos de “equivalencia” y operaciones, pero en este momento
del curso es necesario permitir mucha ambig¨
uedad.
6
Figure 11: Vector Geom´etrico en el Plano.
Figure 12: Definici´on de la Multiplicaci´on por Escalar y Adici´on de Vectores Geom´etricos.
donde el vector ~a se representa como (a, φ), donde a es su magnitud y φ es el ´angulo que forma el vector
con el semieje positivo X.
Por lo tanto
f (~b) = f (b, ψ) = (b cos ψ, b sin ψ)
f (~a) = f (a, φ) = (a cos φ, a sin φ)
Para probar que estos dos conjuntos son equivalentes, se mostrar´a que da lo mismo
• Sumar los dos vectores geom´etricos, ~a y ~b, y despu´es aplicar este mapeo o bien aplicar el mapeo a
cada uno de los vectores, ~a y ~b, y despu´es realizar la suma en el conjunto de parejas ordenadas.
• Multiplicar por escalar, λ, un vector geom´etrico, ~a, y despu´es aplicar este mapeo o bien aplicar el
mapeo al vector geom´etrico, ~a, y despu´es realizar la multiplicaci´on por escalar en el conjunto de
parejas ordenadas.
1. Iniciaremos con la suma de vectores, usando las reglas que se aprendieron en trigonometr´ıa y
aplic´andolas al tri´angulo formado por los vectores ~a, ~b y ~a + ~b, se tiene que la magnitud del vector
~a + ~b est´a dada por
q
|~a + ~b| = |~a|2 + |~b|2 − 2 |~a||~b| cos(ψ − φ).
Adem´as, el ´angulo que el vector ~a + ~b forma con el semieje positivo X, denotado por γ, est´a dado
por
|~a| senφ + |~b| senψ
tan γ =
|~a| cosφ + |~b| cosψ
7
De manera que el coseno y el seno del ´angulo γ est´an dados por
sen γ =
|~a| senφ + |~b| senψ
|~a + ~b|
cos γ =
|~a| cosφ + |~b| cosψ
|~a + ~b|
Entonces, aplicando el mapeo a la suma de los vectores ~a + ~b, se tiene que
f (~a + ~b)
= f (| ~a + ~b |, γ) = f (|~a + ~b|, γ) = (|~a + ~b| sen γ, |~a + ~b| cos γ)
Ã
!
|~a| cosφ + |~b| cosψ
|~a| senφ + |~b| senψ
~
~
, |~a + b|
=
|~a + b|
|~a + ~b|
|~a + ~b|
³
´
³
´
=
|~a| cosφ + |~b| cosψ, |~a| senφ + |~b| senψ = (|~a| cosφ, |~a| senφ) + |~b| cosψ, |~b| senψ
= f (|a|, φ) + f (|b|, ψ) = f (a, φ) + f (b, ψ) = f (~a) + f (~b)
Asi pues, se ha probado que sumar los dos vectores geom´etricos, ~a y ~b, y despu´es aplicar este mapeo
es equivalente a aplicar el mapeo a cada uno de los vectores, ~a y ~b, y despu´es realizar la suma en el
conjunto de parejas ordenadas.
2. Finalizaremos con la multiplicaci´on por escalar de vectores, para este caso, debemos considerar dos
casos especiales
• λ ≥ 0, en este caso se tiene que el vector λ ~a est´a representado por su magnitud
|λ ~a| = |λ| |~a| = λ |~a|
y el ´angulo que forma con el semieje positivo X es el mismo ´angulo φ. Por lo tanto, aplicando
el mapeo a la multiplicaci´on por escalar de vectores, se tiene que
f (λ ~a) = f (λ |~a|, φ) = (λ |~a| cos φ, λ |~a| sen φ) = λ(|~a| cos φ, |~a| sen φ) = λ(a cos φ, a sen φ)
= λ f (~a)
• λ < 0, en este caso se tiene que el vector λ ~a est´a representado por su magnitud
|λ ~a| = |λ| |~a| = −λ |~a|
y el ´angulo que forma con el semieje positivo X est´a dado por φ+180◦ . Por lo tanto, aplicando
el mapeo a la multiplicaci´on por escalar de vectores y puesto que
cos(φ + 180◦ ) = cosφ cos180◦ − senφ sen180◦ = −cosφ
sen(φ + 180◦ ) = senφ cos180◦ + cosφ sen180◦ = −senφ
f (λ ~a) = f (−λ |~a|, φ + 180◦ ) = (−λ |~a| cos (φ + 180◦ ), −λ |~a| sen (φ + 180◦ ))
= λ(|~a| cos φ, |~a| sen φ) = λ(a cos φ, a sen φ) = λ f (~a)
Estos dos resultados parciales muestran que multiplicar un vector geom´etrico ~a por un escalar λ,
y despu´es aplicar este mapeo es equivalente a aplicar el mapeo al vector, ~a y despu´es realizar la
multiplicaci´on por escalar en el conjunto de parejas ordenadas.
8
2
Ejemplos y Ejercicios.
Problema 1. Determine la suma de los siguientes vectores, primeramente mediante trigonometr´ıa y
despu´es mediante componentes cartesianas.
• 1a. ~a un vector de 5 u.l. con un ´angulo de 45◦ con respecto al semieje positivo X y un vector ~b de
10 u.l. con un ´angulo de 30◦ con respecto al semieje positivo X.
• 1b. ~a un vector de 8 u.l. con un ´angulo de 100◦ con respecto al semieje positivo X y un vector ~b
de 5 u.l. con un ´angulo de −60◦ con respecto al semieje positivo X.
Solucion Problema 1b. Para resolver el problema usando trigonometr´ıa, considere la figura 13.
el ´angulo interno, µ, del tri´angulo formado por los vectores ~a, ~b y ~a + ~b, en el v´ertice formado por los
vectores ~a y ~b, est´a dado por
µ = 180◦ − φ − |ψ| = 180◦ − 100◦ − 60◦ = 20◦
Por lo tanto
|~a + ~b| =
q
|~a|2 + |~b|2 − 2 |~a||~b| cos(µ) =
p
82 + 52 − 2(8)(5)cos20◦ = 3.71814 u.l.
El ´angulo γ que forma el vector ~a + ~b con el semieje positivo X, est´a dado por
γ
= tan−1
|~a| senφ + |~b| senψ
3.54833
8 sen100◦ + 5 sen(−60◦ )
= tan−1
= 72.6171◦
=
◦ + 5 cos(−60◦ )
~
8
cos100
1.110814
|~a| cosφ + |b| cosψ
Figure 13: Soluci´on del Problema 1b.
Para resolver el problema usando componentes cartesianas
~a =
~b =
Por lo tanto
(a cos φ, a sin φ) = (8 cos100◦ , 8 sin100◦ ) = (−1.38918, 7.87846)
(b cos ψ, b sin ψ) = (5 cos(−60◦ ), 5 sin(−60◦ )) = (2.5, −4.33012)
~a + ~b = (−1.38918, 7.87846) + (2.5, −4.33012) = (1.11082, 3.54833)
La magnitud de este vector est´a dada por
p
|~a + ~b| = 1.110822 + 3.548332 = 3.71814 u.l.
9
y el ´angulo γ est´a dado por
γ = tan−1
3.54833
= tan−1 3.19433 = 72.6170◦
1.11082
Problema 2. Ejemplifique la propiedad conmutativa de la suma de vectores cuando ~a es un vector
de magnitud 5 u.l. y su ´angulo respecto al semieje positivo X est´a dado por θ1 = tan−1 43 y el ~b es un
vector de magnitud 10 u.l. y su ´angulo respecto al semieje positivo X est´a dado por θ2 = tan−1 34 . Es
decir verifique que
~a + ~b = ~b + ~a.
Problema 3. Determine las parejas de n´
umeros reales correspondientes a los vectores ~a y ~b del
Problema 2. Sume las parejas ordenadas en el espacio R2 y muestre que esta suma es la pareja de
n´
umeros reales correspondiente al vector ~a + ~b.
Problema
√ 4. Ejemplifique la propiedad asociativa de la suma de vectores cuando ~a es un vector de
magnitud 2 10 u.l. y su ´angulo respecto al semieje positivo X est´a dado por θ1 = tan−1 13 , el ~b es un
vector de magnitud 10 u.l. y su ´angulo respecto al semieje positivo X est´a dado por θ2 = tan−1 −4
c es
3 y el ~
√
−1 2
un vector de magnitud 13 u.l. y su ´angulo respecto al semieje positivo X est´a dado por θ2 = tan −3 .
Es decir verifique que
(~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c).
Problema 5. Determine las parejas de n´
umeros reales correspondientes a los vectores ~a, ~b y ~c del
Problema 4. Sume las parejas ordenadas en el espacio R2 y muestre que esta suma es la pareja de
n´
umeros reales correspondiente al vector (~a + ~b) + ~c = ~a + ~b + ~c.
Soluci´
on: Primero determinaremos las componentes cartesianas de los vectores.
√
1. ~a = (2 10, γ1 = tan−1 13 ). Se tiene que
Senγ1 ∝ 1
Cosγ1 ∝ 3
y
Senγ1 = 1 k
Cosγ1 = 3 k
Por lo tanto
Sen2 γ1 + Cos2 γ1 = (1 k)2 + (3 k)2 = 10 k 2
Finalmente
Por lo tanto
1
Senγ1 = √
10
10 k 2 = 1
y
1
k=√
10
3
Cosγ1 = √
10
y
~a = (| ~a | Cosγ1 , | ~a | Senγ1 ) = (2
√
√
3
1
10 √ , 2 10 √ ) = (6, 2)
10
10
2. ~b = (10, tan−1 −4
3 ). Se tiene que
Senγ2 ∝ −4
Cosγ2 ∝ 3
y
Senγ2 = −4 k
Cosγ2 = 3 k
Por lo tanto
Sen2 γ2 + Cos2 γ2 = (−4 k)2 + (3 k)2 = 25 k 2
Finalmente
Senγ2 =
y
Por lo tanto
−4
5
25 k 2 = 1
Cosγ2 =
3
5
~b = (| ~b | Cosγ2 , | ~b | Senγ2 ) = (10 3 , 10 −4 ) = (6, −8)
5
5
10
y
1
1
k=√ =
5
25
√
2
3. ~c = ( 13, tan−1 −3
). Se tiene que
Senγ3 ∝ 2
Cosγ3 ∝ −3
y
Senγ3 = 2 k
Cosγ3 = −3 k
Por lo tanto
Sen2 γ3 +Cos3 γ3 = (2 k)2 +(−3 k)2 = 13 k 2
Finalmente
y
Por lo tanto
2
Senγ3 = √
13
13 k 2 = 1
y
1
1
k=√ =√
13
13
−3
Cosγ3 = √
13
√
−3 √
2
~c = (| ~c | Cosγ3 , | ~c | Senγ3 ) = ( 13 √ , 13 √ ) = (−3, 2)
13
13
Por lo tanto, se tiene que
(~a + ~b) + ~c = [(6, 2) + (6, −8)] + (−3, 2) = (12, −6) + (−3, 2) = (9, −4).
Esta soluci´on puede verificarse en la Figura 14.
Figure 14: Soluci´on del Problema 5.
Problema 6. Ejemplifique
la multiplicaci´on por escalar de vectores geom´etricos cuando ~a es un
√
vector de magnitud 34 u.l. y su ´angulo respecto al semieje positivo X est´a dado por θ1 = tan−1 53 y el
escalar λ = 2.
Problema 7. Determine la pareja de n´
umeros reales correspondiente al vector ~a del Problema 6.
Multiplique esta pareja ordenada por el escalar λ en el espacio R2 y muestre que esta multiplicaci´on es
la pareja de n´
umeros reales correspondiente al vector λ ~a.
11