ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (0257) Tema 1. Espacios euclidianos funcionales – Octubre 2014 1. Encuentre x • y para cada uno de los siguientes pares de vectores en R3 . a. x = (1 / 2,2, −1) y = (4, −2, 3) b. x = (2 / 3,1 / 2,1) y = (−1 / 2, 4, 2) 2. Encuentre f • g para cada uno de los siguientes pares de vectores en C 0,1 . a. f(x) = x g(x) = 1 − x2 b. f(x) = sen(πx / 2) g(x) = cos(πx / 2) c. f(x) = x − g(x) = 1 2 1 2 − x− 1 2 3. Encuentre la longitud de los siguientes vectores en R 4 . a. (3, 4, −3,1) b. ( 12 , − 3, 2,1) c. ( 23 , 12 , − 23 , − 12 ) 4. Calcule f para cada uno de los siguientes vectores en C 0,1 . a. f(x) = 1 − x2 b. f(x) = ln(x + 1) c. f(x) = ex / 2 d. f(x) = sen( 2π x) 5. Demuestre que las funciones dadas son ortogonales en el intervalo indicado: a. f1(x) = x3 , f2 (x) = x2 + 1, −1 ≤ x ≤ 1 b. f1(x) = ex , f2 (x) = xe−x − e−x , c. f1(x) = cos(x), f2 (x) = sen (x), 2 0≤x≤2 0≤x≤π 6. Demuestre que el conjunto de funciones dado es ortogonal en el intervalo indicado. Encuentre la norma de cada función del conjunto. a. sen(x), sen(3x), sen(5x), ..., 0 ≤ x ≤ b. {1, cos(npπx ), sen( mpπx )} π 2 n = 1, 2, 3,... m = 1, 2, 3,... −p ≤ x ≤ p 7. Verifique mediante integración directa que las funciones son ortogonales con respecto a la función de peso indicada, en el intervalo dado. a. H0 (x) = 1, H1(x) = 2x, H2 (x) = 4x2 − 2 b. L 0 (x) = 1, L1(x) = −x + 1, L2 (x) = 1 2 2 w(x) = e−x , x − 2x + 1 2 −∞<x<∞ w(x) = e−x , 0 < x < ∞ 8. Demuestre que las funciones f1(x) = 1 y f2 (x) = x son ortogonales, con respecto al producto interno integral en el intervalo −1,1 , y determine las constantes A y B de modo que la función f3 (x) = 1 + Ax + Bx2 sea ortogonal a f1 y f2 . Prof. José Luis Quintero 1