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Cálculo III
3. Integrales Múltiples
3.6. Integrales Triples
Julio C. Carrillo E.*
*
Profesor Escuela de Matemáticas, UIS.
Cálculo III
3.6.
Integrales triples
En las siguientes secciones se define la integral triple o de volumen de un campo escalar f de R3 en regiones cerradas
y acotadas E de R3 ,
˚
f (x, y, z)dV.
E
Las regiones cerradas y acotadas (o regiones sólidas) E que se consideran son regiones del espacio que son limitadas
por una superficie S que es cerrada, simple y suave a trozos.
Una superficie es cerrada si ella divide al espacio en tres regiones disjuntas cuya unión es todo el espacio: lo que
está dentro y fuera de S y la superficie S misma. Puede observarse que lo que se encuentra dentro de S es el interior
de E, lo que se encuentra fuera de S es el exterior de E y que la frontera de E, lo que lo limita, es precisamente
la superficie S.
Por otro lado, una superficie es simple si ella no se cruza a sí misma. Finalmente, se dice que una superficie
es suave si en cada punto de ella se puede encontrar un vector normal no nulo, y que es suave a trozos si la
superficie es la unión disjunta de a lo más un número finito de superficies suaves.
Por ejemplo, la superficie de una caja en el espacio es una superficie que es cerrada, simple y suave a trozos,
mientras que la superficie de una esfera es una superficie cerrada, simple y suave.
En primera medida, se va a considerar la integral triple de un campo escalar sobre una caja con caras paralelas
a los planos coordenados. Segundo, se va a definir la integral triple sobre regiones sólidas de tipo elemental, y
finalmente a regiones sólidas que no son elementales.
3.6.1.
Integrales sobre cajas
3.6.1.1.
Definición y existencia de la integral triple
Si f es una función en tres variables˚
x, y, z definida sobre una caja B = [a, b] ⇥ [c, d] ⇥ [p, q] en R3 , la integral
triple de f sobre B, denotada como
f (x, y, z)dV , se define como el límite de sumas de Riemann (de manera
B
c
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análoga a como se hizo con integrales dobles),
˚
B
f (x, y, z)dV = lı́m
m,n,l
m X
n X
l
X
f (x⇤i , yj⇤ , zk⇤ ) xi yj zk ,
i=1 j=1 k=1
si tal límite existe y es independiente de la elección de los puntos (x⇤i , yj⇤ , zk⇤ ) en la subcaja Bijk de largo
yj y alto zk ; su volumen es xi yj zk .
xi , ancho
Si la integral de f sobre B existe se dice que f es integrable sobre B.
3.6.1.2.
Propiedades de la integral triple
Las integrales triples tiene la siguiente propiedad:
˚
˚
˚
[↵f (x, y, z) + g(x, y, z)] dV = ↵
f (x, y, z)dV +
g(x, y, z)dV,
B
donde ↵ y
c
B
B
son constantes y se asume que todas las integrales existen.
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3.6.1.3.
Cálculo de integrales triples mediante integrales iteradas
Cuando f es continua en la caja B = [a, b] ⇥ [c, d] ⇥ [p, q], entonces f es integrable en B y además se tiene, por
ejemplo, la igualdad
˚
ˆ bˆ qˆ d
f (x, y, z)dV =
f (x, y, z)dydzdx,
B
a
p
c
la cual es una integral iterada. Esta integral se calcula resolviendo primero la integral de f (x, y, z) con respecto a
y (considerando a x, z como constantes), a continuación integrando el resultado anterior con respecto a z (considerando a x constante) y finalmente integrando lo obtenido con respecto a x. El resultado final debe ser un número
real.
3.6.2.
Integrales sobre regiones sólidas del espacio en general
Una región del espacio que sea cerrada y acotada y limitada por una superficie cerrada, simple, suave a trozos, se
llama una región solida de R3 . Un ejemplo de región sólida de R3 es la esfera sólida cuya su frontera es suave, y la
caja B dada anteriormente es un ejemplo de una región sólida del espacio pero cuya su frontera es suave a trozos.
Se dice que una región sólida ⌦ del espacio es una región sólida elemental de tipo I si existen funciones
continuas 1 , 2 : Dxy ⇢ R2 ! R tales que
⌦ = {(x, y, z) :
c
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1 (x, y)
z
2 (x, y),
(x, y) 2 Dxy }.
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En tal caso, D = Dxy y
˚
f (x, y, z)dV =
⌦
¨
Dxy
ˆ
2 (x,y)
f (x, y, z) dz dAxy .
1 (x,y)
Si Dxy es una región tipo I (ver figura anterior) entonces
˚
ˆ b ˆ 2 (x) ˆ
f (x, y, z)dV =
⌦
a
1 (x)
Pero si D es una región tipo II (ver figura anterior) entonces
˚
ˆ d ˆ 2 (y) ˆ
f (x, y, z)dV =
⌦
c
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c
1 (y)
2 (x,y)
f (x, y, z) dz dy dx.
1 (x,y)
2 (x,y)
f (x, y, z) dz dx dy.
1 (x,y)
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1. Tipo I:
˚
f (x, y, z)dV =
⌦
¨
ˆ
¨
ˆ
¨
ˆ
Dxy
2. Tipo II:
˚
f (x, y, z)dV =
⌦
Dxz
3. Tipo III:
˚
f (x, y, z)dV =
⌦
Dyz
2 (x,y)
f (x, y, z) dz dAxy .
1 (x,y)
2 (x,z)
f (x, y, z) dy dAxz .
1 (x,z)
2 (y,z)
f (x, y, z) dx dAyz .
1 (y,z)
4. Teorema de cambio de variable: sea T : ⌦uvw ⇢ R3 ! ⌦xyz ⇢ R3 una transformación para la cual
a) (x, y, z) = T (u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) para cada (u, v, w) 2 ⌦uvw (T está bien
definida);
xu yu z u
@(x, y, z)
@(y, z)
b)
= xv yv z v = xu
@(u, v, w)
@(v, w)
xw yw z w
existe);
yu
@(x, z)
@(x, y)
+ zu
6= 0 en ⌦uvw (T es uno a uno, T
@(u, w)
@(u, v)
1
c) T (⌦uvw ) = ⌦xyz (T es sobre).
Entonces
a)
@(x, y, z) @(u, v, w)
= 1;
@(u, v, w) @(x, y, z)
b) dVxyz =
c
@(x, y, z)
dudvdw.
@(u, v, w)
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c)
˚
f (x, y, z)dVxyz =
⌦xyz
˚
f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))
⌦uvw
@(x, y, z)
dududw.
@(u, v, w)
5. Ejemplos.
a) Coordenadas cilíndricas:
⌦r✓z : x = r cos ✓, y = r sen ✓, z = z,
r
0, 0  ✓  2⇡, z depende de ⌦xyz
dV = rdrd✓dz
y
˚
f (x, y, z)dVxyz =
⌦xyz
˚
f (r cos ✓, r sen ✓, z)rdrd✓dz
⌦r✓z
b) Coordenadas esféricas:
⌦⇢✓ : x = ⇢ cos ✓ sen , y = ⇢ sen ✓ sen , z = ⇢ cos ,
⇢
0, 0  ✓  2⇡, 0 
 ⇡,
dV = ⇢2 sen d⇢d✓d
y
˚
⌦xyz
f (x, y, z)dVxyz =
˚
f (⇢ cos ✓ sen , ⇢ sen ✓ sen , ⇢ cos )⇢2 sen drd✓dz
⌦⇢✓
c) Coordenadas perimétricas: se considera a cualquier otro cambio de variable que no sea en coordenadas cilíndricas o esféricas.
Ejemplo 1. Encontrar el volumen de una esfera E de radio R.
c
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Solución. Supongamos que la esfera tiene centro en el origen y radio R. Mediante coordenadas esféricas se tiene
que
˚
˚
V (E) =
dV =
⇢2 sen d⇢d✓d
⇤
ˆ REˆ 2⇡ ˆ ⇡ E
=
⇢2 sen d d✓d⇢
0
✓0ˆ R0
◆ ✓ˆ 2⇡ ◆ ✓ˆ ⇡
◆
=
⇢2 d⇢
d✓
sen d
0
3
R
2⇡
3
4
= ⇡R3 .
3
=
⇣
cos ✓
0
⇡⌘
0
0
Encuentre la masa del sólido
E = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2  z 2 , x2 + y 2 + z 2  1, z
0}
cuya densidad es directamente proporcional al cuadrado de la distancia de cualquier punto (x, y, z) de E al origen.
Referencias
[1] Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 3rd ed., Jhon Wiley and Sons, 1972.
[2] Jack R. Britton, et.al., Matemáticas universitarios, Tomo I, Ed. CECSA, 1965.
[3] James Stewart, Calculus, Thomson, Brooks/Cole, 6th ed., 2008.
[4] Jhon C. Amazigo & Lester A. Rubendfeld, Cálculo avanzado con aplicaciones a la física y la ingeniería, McGraw
Hill, 1983.
c
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[5] Julio C. Carrillo E., Cálculo en varias variables, notas de clase, Universidad Industrial de Santander, 2002.
[6] Louis Leithold, El Cálculo con geometría analítica, 5a ed., Ed. Harla, México, 1987.
[7] Michael D. Greenberg, Advanced Engineering Mathematics, 2nd ed., Prenctice Hall, 1998.
[8] S.L. Salas & Einar Hille, Calculus one and Several Variables with Analityc Geometry, 4th ed., Jhon Wiley and
Sons, 1982.
c
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