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SEÑALES Y SISTEMAS - AÑO 2015
Práctica 5
Transformada de Fourier de Tiempo Discreto (TFTD), Serie Discreta Fourier (SDF),
Transformada Discreta de Fourier (TDF), Convolución Circular
1. TFTD y sus propiedades... al derecho y al revés
a) Halle y grafique la TFTD de las siguientes secuencias. Tenga presente la identidad de Poisson.
i. x[n] = δ[n − n0 ], con n0 ∈ Z
ii. x[n] =⊓ N [n], con N impar
v. x[n] = ej(2πs0 n+φ) , con |s0 | < 1/2 y φ ∈ R.
vi. x[n] = 2 cos(2πs0 n), con s0 ∈ R.
iii. x[n] =
an u[n],
con |a| < 1.
iv. x[n] = 1
b) Sea X(ej2πs ) la TFTD de x[n].
i. Muestre que x[n] puede hallarse como la TF inversa de un perı́odo de X(ej2πs ).
ii. ¿Cómo es la versión para TFTD del teorema de Parseval para la energı́a de la secuencia? No
tiene que demostrarlo ahora si ya lo hizo en la práctica 4.
c) Demuestre que la TFTD de la convolución de dos secuencias es el producto de sus TFTDs. Utilice
este resultado para obtener la TFTD de y[n] =∧ 5 [n]. Grafique la secuencia y su TFTD.
d) Antitransforme las siguientes TFTDs. Para los primeros tres incisos se da la definición en el
intervalo [−1/2; 1/2].
i. X(ej2πs ) =⊓ (s/B), con B < 1
ii. X(ej2πs ) =∧ (s/B), con B < 1/2
iii. X(ej2πs ) = s
iv. X(ej2πs ) = 5 − 2j cos(2πs) + 4sen(4πs)
e) ¿Qué se obtiene al hacer la TFTD del producto de dos secuencias? Nuevamente la demostración
ya la tenemos hecha en la práctica anterior. Búsquela y adáptela para esta situación.
Calcule la TFTD de x[n] = sinc3 (n/2).
f ) Halle la TFTD de u[n] y de sgn[n] = u[n] − u[−n]. Recuerde que no puede derivar una secuencia
(pero sı́ hacer diferencias) y cómo afecta el valor medio de estas señales a sus transformadas.
g) Sea x[n] una secuencia y X(ej2πs ) su TFTD. Halle las TFTD´s de las siguientes secuencias en
función de la TFTD de x[n]:
i. y[n] = x∗ [n]
iv. y[n] =
Pn
k=−∞ x[k]
ii.y[n] = x[−n]
v. y[n] = n x[n]
iii. y[n] = x[n] − x[n − 1]
x[n/k] si n/k ∈ Z
vi. y[n] =
0
otros n
h) Sea x[n] = −δ[n + 3] + 2δ[n + 2] − 3δ[n + 1] + 4δ[n] − 3δ[n − 1] + 2δ[n − 2] − δ[n − 3]. Grafı́quela.
Sin evaluar explı́citamente su TFTD, X(ej2πs ), encuentre:
i. X(1)
Z 1/2
iii.
X(ej2πs ) ds
−1/2
ii. X(−1)
Z 1/2
iv.
|X(ej2πs )|2 ds
−1/2
Calcule y grafique X(ej2πs ). Verifique los resultados i y ii.
2. Respuesta en frecuencia de un SLID
Consideremos un SLID con respuesta impulsional real h[n], con entrada es x[n] y salida y[n].
a) Pruebe que si x[n] = A ej(2πs0 n+θ) , con s0 ∈ R, entonces la salida es y[n] = A H(ej2πs0 ) ej(2πs0 n+θ) ,
donde H(ej2πs ) es la TFTD de h[n]. Note que x[n] no es necesariamente una señal periódica.
Sin hacer cuentas: ¿Cuánto vale y[n] si x[n] = A cos(2πs0 n + θ)?
b) Sea X(ej2πs ) la TFTD de la entrada (cualquiera) e Y (ej2πs ) la TFTD de la salida.
i. Halle una expresión que las vincule. ¿Cómo debe ser el sistema para asegurar que si X(ej2πs )
existe, entonces Y (ej2πs ) existe?
ii. ¿Qué caracterı́stica debe tener x[n] para poder hallar H(ej2πs ) conociendo y[n]?
c) Suponga que la respuesta en frecuencia del sistema H(ej2πs ) es la mostrada en la figura.
j2πs )|
✻|H(e
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
.
− 21 − 26 − 61
2 ...
..
.
1 ...
..
..
..
..
1
6
..
..
..
..
..
..
..
..
.
2
6
s
✲
1
2
...
Ángulo de H(ej2πs )
...
✻
..
..
2πM/3
..
..
..
....
..
.. ...
..
.. ... πM/3
s
..
.. ...
✲
..
... ..
.
.
... 1..
2...
1
... ..
− 21 − 26 − 16
..6...
6...
2
.
.
−πM/3
..
..
..
....
−2πM/3
...
.
i. Halle y[n] cuando la entrada es v[n] cos(πn/2), siendo V (ej2πs ) =∧ (20s) para |s| ≤ 1/2.
ii. Demuestre que si |X(ej2πs )| = 0 para todo |s| ≤ 1/6 y |s| ≥ 2/6; se tiene que y[n] = x[n−M ].
3. SLID ≡ Filtro digital
a) Un filtro digital causal responde a la siguiente ecuación en diferencias:
y[n] − 0,5 y[n − 1] = x[n] + x[n − 1]
i. Calcule, usando el dominio transformado, la respuesta al impulso de Kronecker y la respuesta
en frecuencia del filtro. ¿Cuál es el largo de la respuesta al impulso? Dibuje la respuesta en
frecuencia (en MATLAB) y trate de ver si es pasa-bajos, pasa-altos, etc.
ii. Obtenga la salida del sistema cuando la entrada es:
i ) x[n] = sen(8πn/3) + cos(5πn)
ii ) x[n] = (0,7)n u[n]
iii ) x[n] = (0,5)n u[n]
iii. Genere un nuevo sistema cuya respuesta en frecuencia es Ĥ(ej2πs ) = H(ej2π(s−0,5) ). ¿Qué tipo
de filtro resulta? Obtenga su ecuación en diferencias.
b) Calcule la respuesta en frecuencia del sistema que obtiene el promedio móvil de la entrada (ejercicio 8 de la práctica 3). ¿Qué frecuencias serán rechazadas por completo?
4. SDF y TFTD
a) Sea x[n] = x[n + N ] una señal periódica de perı́odo N . Dado que se trata de una señal periódica,
puede definirse a partir del perı́odo N , y el valor de la señal en un perı́odo, que donotaremos q[n].
Obtenga los coeficientes c[k] de la Serie Discreta de Fourier (SDF) para las siguientes señales:
i. q[n] = δ[n], para N = 1, 2, 3...
iii. x[n] =
ej2πn/N
ii. q[n] = ⊓ 3 [n], para N = 4, 5, 6...
iv. x[n] = cos( 2πn
3 )
v. x[n] = sen(8πn/3) + cos(5πn)
¿Qué sucede en el caso ii para N = 3?
b) Se puede demostrar que la relación entre los coeficientes de la SDF de una secuencia periódica
y la TFTD de un perı́odo es igual que en el caso continuo (con SF y TF). Relacionando las
definiciones, enuncie esta propiedad. Utilizando este procedimiento verifique sus resultados de los
puntos i y ii del inciso anterior.
c) ¿Qué sucede si quiero utilizar este procedimiento en el punto iv?
d) Obtenga una expresión para la potencia de la secuencia periódica en función de los coeficientes
de su SDF. ¿Cuál es el máximo número de frecuencias distintas en las que se puede “distribuir”
la potencia?
e)
⋆ Ahora que conocemos la SDF, la usaremos para demostrar la propiedad que vincula la TFTD
de una secuencia x[n] y la de y[n] = x[kn], con k ∈ N (la otra forma posible de similaridad para
secuencias, además de 1gvi.). Note que X(ej2πs/k ) no puede ser un resultado general ya que su
perı́odo fundamental podrı́a ser k, y no 1.
P
i. Como primer paso calculemos la SDF de la secuencia pk [n] = ∞
i=−∞ δ[n − k i], una especie
de peine discreto de perı́odo k.
ii. Luego, y ya que y[n] “no usa” varias muestras de x[n], definamos la secuencia x̃[n] = x[n]pk [n],
operación que podrı́a llamarse “muestreo de una secuencia”. Reemplace pk [n] por su SDF y
aplicando propiedades halle X̃(ej2πs ). ¿Qué perı́odo tiene esta TFTD, si el de X(ej2πs ) es 1?
iii. Por último, muestre que y[n] = x̃[kn] y que Y (ej2πs ) = X̃(ej2πs/k ).
Note que a partir de la secuencia y[n] es posible obtener a x̃[n] ¿cómo?. Pero no a x[n], en general.
Este efecto de posible pérdida de información al cambiar la escala temporal de una secuencia (que
no ocurre con señales VIC) es la idea central de la teorı́a de muestreo de señales continuas, el
tema de la próxima práctica.
5. Correlación y densidad espectral de secuencias
a) ¿Cómo se obtiene la autocorrelación, rxx [m] (determinı́stica), y la d.e.e., sxx (ej2πs ), de una señal
de energı́a x[n]? Calcúlelas para x[n] = an u[n] (a real y |a| < 1). ¿Cuánto vale la energı́a de x[n]?
b) Halle por lo menos otras dos secuencias que tengan la misma función de autocorrelación que x[n].
c) La secuencia x[n] es pasada por un filtro con respuesta impulsional h[n], obteniéndose y[n] a la
salida. Dé una expresión para ryy [m] y syy (ej2πs ) en función de rxx , rhh y sus TFTDs. Calcule
syy (ej2πs ) si h[n] = 0,5 sinc(n/2), y x[n] es la misma de antes. ¿Cómo se puede calcular la energı́a
de y[n]? (No haga las cuentas).
d) Repita los tres incisos anteriores para x[n] secuencia de potencia.
En los cálculos use x[n] = cos(πn/8).
e) ¿Qué propiedades tiene que cumplir rxx [m] en cualquier caso (señal de energı́a o potencia)? ¿Y
RXX [m], la función de autocorrelación (estadı́stica) de una secuencia aleatoria ESA?
f ) Obtenga la d.e.p. de la secuencia Y [n], obtenida al filtrar una secuencia aleatoria i.i.d. gaussiana
(con media 0 y varianza
σ 2 ) con el SLID del inciso 5c. Calcule RY Y [m]. Se define la nueva
√
secuencia Z[n] = 2Y [2n]. Calcule RZZ [m] y SZZ (ej2πs ).
6. TFTD en MATLAB
A diferencia de lo que ocurrı́a para el cálculo de la TF (ejercicio 6 de la Práctica 4), en el cálculo de
la TFTD con MATLAB no se requiere la aproximación de una integral. Para cada valor de la variable
s, se tiene:
X(ej2πs )
=
∞
X
x[n] e−j2πsn
n=−∞
Sin embargo, en una implementación numérica, la sumatoria no puede realizarse de −∞ a ∞, sino
de un determinado valor N1 a N2 . Si se toma N1 = −K, N2 = K, y se define M = 2K + 1, la
“aproximación” de la TFTD resulta:
X̂(ej2πs )
≈
K
X
−j2πsn
x[n] e
=
n=−∞
n=−K
Es decir, X̂(ej2πs ) es la TFTD de la señal
∞
X
⊓ M [n]x[n] e−j2πsn
⊓ M [n]x[n].
Cuando la señal x[n] es de soporte finito, como en el caso de un cajón discreto, eligiendo adecuadamente
el valor de K, se tiene que X̂(ej2πs ) = X(ej2πs ).
a) Calcule la TFTD de la señal x[n] = ⊓ N [n], para lo cual deberá ejecutar las sentencias siguientes,
previa implementación de la función cajN en un archivo *.m:
K = 10; n = [-K:K];
N = 3; x = cajN(n,N);
ds = 0.001; s = [-2:ds:2]; X = zeros(size(s));
for k = 1:length(s)
X(k)=sum(x.*exp(-1i*2*pi*s(k)*n));
end
Verifique que la TFTD es periódica de perı́odo 1, y compare con la TFTD analı́tica obtenida en
el ejercicio 1 graficando módulo y fase. Repita para diferentes valores de N , teniendo en cuenta
de seleccionar el valor de K adecuado.
b) Aproxime la TFTD de la señal x[n] = an u[n], para diferentes valores de a (por ejemplo 0,9 y
0,5). Compárela con la solución analı́tica obtenida en el ejercicio 1 graficando módulo y fase. Vea
qué sucede en cada caso al tomar diferentes valores de K (por ejemplo 10, 25 y 50). ¿Qué sucede
con la aproximación? Trate de explicar analı́ticamente el resultado.
c) Aproxime la TFTD de la señal x[n] = 2 cos(2πs0 n), para diferentes valores de s0 . Vea qué sucede
al tomar diferentes valores de K. ¿Es congruente con el resultado analı́tico obtenido en el ejercicio
1? Trate de explicar analı́ticamente el resultado.
d) Dado el sistema SLID descripto por la ecuación en diferencias:
y[n] + b1 y[n − 1] + b2 y[n − 2] = a0 x[n] + a1 x[n − 1] + a2 x[n − 2]
halle de manera analı́tica la expresión que representa la respuesta en frecuencia H(ej2πs ) del
sistema. Para los siguientes casos:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
a0
a0
a0
a0
a0
a0
a0
a0
a0
a0
a0
=1
=1
=1
=1
=1
=1
=1
=1
=1
=1
=1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
a1
=1
= −1
=0
=1
= −1
=1
=0
=0
=0
=0
=0
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a2
=0
=0
= −1
=1
=1
= −1
=0
=0
=0
=0
=0
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
b1
=0
=0
=0
=0
=0
=0
= −0,5
= 0,5
= 0,8
= 0,2
= 0,8
b2
b2
b2
b2
b2
b2
b2
b2
b2
b2
b2
=0
=0
=0
=0
=0
=0
=0
=0
= 0,8
= 0,8
= 0,2
Grafique módulo y fase de H(ej2πs ) y determine si se trata de un sistema pasa-bajos, pasa-altos
o pasa-banda. ¿Cuáles de los sistemas son FIR? ¿Cuáles son IIR?
Algunos resultados
1.
a)
i. e−j2πn0 s
iv. ↑↑↑(s)
d)
i. Bsinc(Bn)
sen(N πs)
sen(πs)
v. ↑↑↑(s − s0 ) ejφ
e) X(ej2πs ) = ( 32 − 8s2 )⊓ (2s) + ( 52 + 8s + 8s2 )⊓ (2s + 1), en
1
↑↑↑(s)
+
(1 − e−j2πs )
2
i. X ∗ (e−j2πs )
X(ej2πs )
↑↑↑(s)X(1)
iv.
+
−j2πs
(1 − e
)
2
h) i. 0
ii. 16
g)
iii.
ii. Bsinc2 (Bn)
iv. 5δ[n] − jδ[n − 1] − jδ[n + 1] + 2jδ[n − 2] − 2jδ[n + 2]
f ) TFTD{u[n]} =
1
1 − a e−j2πs
vi. ↑↑↑(s + s0 ) + ↑↑↑(s − s0 )
(−1)n − δ[n]
iii.
j2πn
ii.
−3
4
< s < 14 .
y TFTD{sgn[n]} = −j cotg(πs)
ii. X(e−j2πs )
j dX(ej2πs )
v.
2π
ds
iii. 4
iii. (1 − e−j2πs )X(ej2πs )
vi. X(ej2πks )
iv. 44
3.
4.
√
2
2πn
a) ii. i ) √ sen
− tg−1 (3 3)
ii ) [8,5(0,7)n − 7,5(0,5)n ] u[n]
3
7
iii ) (3n + 1)(0,5)n u[n]
iii. y[n] + 0,5y[n − 1] = x[n] − x[n − 1]
sen(M πs)
k
, H = 0 en s =
, con k = 1, ..., (M − 1).
b) H(ej2πs ) =
M sen(πs)
M
a) Soluciones para 0 ≤ k ≤ N − 1
sen(3πk/N )
i. c[k] = N1
ii. c[k] =
N sen(πk/N )
1
iv. N = 3, c[k] = 2 δ[k − 1] + 12 δ[k − 2]
v. N = 6, c[k] = − 2j δ[k − 2] + δ[k − 3] +
5.
a) rxx [m] =
iii. c[k] = δ[k − 1]
j
2
δ[k − 4]
a|m|
1
1
, sxx (ej2πs ) =
, Ex =
1 − a2
|1 − a e−j2πs |2
1 − a2
1
2 −1
1
2 + π tg (a)
para
|s|
<
;
E
=
y
2
|1 − a e−j2πs |2
1 − a2
1
1
1
1
1
πm
d) rxx [m] = cos(
), sxx (ej2πs ) =
↑↑↑(s − )+ ↑↑↑(s + ) = syy (ej2πs ), Px = Py =
2
8
4
16
16
2
c) syy (ej2πs ) =
⊓ (2s)
f ) SY Y (ej2πs ) = σ 2 ⊓ (2s) para |s| < 12 ; RY Y [m] =
σ2
m
sinc( ); RZZ [m] = σ 2 δ[m]; SZZ (ej2πs ) = σ 2
2
2