1. Bienes raíces

1.7
Los números complejos y la trigonometría
Seno y coseno de un ángulo suma
Gracias a la fórmula de Euler podemos deducir de forma rápida y sencilla las fórmulas trigonométricas de adición de ángulos que tanto cuesta recordar. Si queremos escribir las fórmulas
del seno y coseno de α + β no tenemos más que aplicar la fórmula de Euler a ambos miembros
de la igualdad:
ei(α+ β) = eiα eiβ
con lo que se obtiene:
cos(α + β) + i sen(α + β) = cos α + i sen α
cos β + i sen β
Desarrollando el miembro de la derecha se obtiene:
cos(α + β) + i sen(α + β) = cos α cos β − sen α sen β + i sen α cos β + cos α sen β
e igualando las partes reales e imaginarias tenemos las buscadas fórmulas de adición:
sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β
cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β.
De estas fórmulas se deducen fácilmente las correspondientes a la tangente de un ángulo
suma, así como las del seno coseno y tangente de un ángulo doble y de un ángulo mitad.
1 Ejercicio de tarea. Usa la fórmula del coseno de un ángulo suma para deducir la fórmula del
coseno de un ángulo doble y usa el teorema de Pitágoras sen2 x + cos2 x = 1 para expresar la
fórmula obtenida solamente en términos del seno y solamente en términos del coseno.
Solución: cos 2α = cos2 α − sen2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sen2 α.
2 Ejercicio de tarea. Usa la fórmula del coseno de un ángulo doble para deducir la fórmula del
coseno de un ángulo mitad y la fórmula del seno de un ángulo mitad.
Solución: cos
α
2
=
q
1+cos α
,
2
sen
α
2
=
q
1−cos α
.
2
Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen
en esta sección:
Enlaces: Ejercicio 1, Ejercicio 2.
1
Versión de 20 de marzo de 2017, 1:32 h.
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