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Teorema del Seno
Existe una relación muy útil para la resolución de triángulos que relaciona los lados con los ángulos. Esta
relación es conocida como teorema del seno
h
En el triángulo AC´C se verifica sen(A)  c de donde h c = b × sen(A)
b
Análogamente en el triángulo BC´C sen(B) 
hc
y obtenemos h c = a × sen(B)
a
Igualando ambas expresiones resulta la igualdad a × sen(B) = b × sen(A) expresión
a
b

equivalente a
sen(A) sen(B)
Igualmente podemos considerar los triángulos rectángulos AA´C y ABA al trazar la
altura relativa al vértice A. Mediante un razonamiento análogo al anterior
c
b

obtendremos
sen(C) sen(B)
a
b
c


expresión conocida como
sen(A) sen(B) sen(C)
teorema del seno y que demuestra que la relación que existe entre los lados de un triángulo y los senos
opuestos es siempre la misma.
De las expresiones obtenidas podemos deducir que
Aunque no se demuestre en este curso, el teorema es válido para cualquier tipo de triángulo oblicuángulo.
Teorema del Coseno
“El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el
doble producto de ellos por el coseno del ángulo comprendido”
De la misma manera se puede demostrar que: c 2 = a 2 + b 2 - 2.a.b. cos Ĉ
y

b 2 = a 2 + c 2 - 2.a.b. cos B
Ejercitación:
1. Hallar el valor de todos los lados y los ángulos interiores de los siguientes triángulos:
2. Un poste está inclinado 11º respecto a la vertical del lugar y proyecta una sombra
de 25 m de largo sobre el piso, cuando el ángulo de elevación del Sol es de 20º.
¿Cuál es la longitud del poste?
3. Hallar la altura del edificio.
4. Hallar el valor de todos los lados y los ángulos interiores de los siguientes triángulos:
5. Dos caminos se cruzan en un punto P formando un ángulo de 42º. El edificio situado en R está a
368 m de P, mientras que el situado en S está a 426m de P. ¿A qué distancia están los edificios
entre sí? 6. Resolver el triángulo del que se conocen los datos siguientes :
a) A=45º ; a=8cm. ; b=10cm
b) a=23m. B=53º C=84º
c) a=12m. b=9m A=96º
d) a=23m. B=53º C=84º
e) a=5m. b=4m. C=47º
f) c=4 cm; a=7cm. ; 6=10cm
7. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina
la longitud de la diagonal menor.
8. Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km. y el
ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuánto distan A y C?
9. Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m, otro 1,5 m y el ángulo opuesto al
primer lado debe ser 40º. ¿Lo conseguirá?
10. Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 38º y cada uno va por su
lado, uno camina a 3 km por hora y el otro a 3,5 km por hora, ¿a qué distancia se encuentran al cabo de media hora?
11. En una plazoleta de forma triangular, los lados miden 60m, 75m y 50m. ¿Qué ángulos se forman en las esquinas de la
misma?
12. Dos salvavidas se encuentran en la orilla de una playa a una distancia uno del otro de 10 Km. en los puntos A y B, y
divisan un bote que se está hundiendo situado en el punto C. Si el ángulo CAB igual a 60º y el ángulo CBA igual a
53º ¿a qué distancia está el bote de cada salvavidas?