C´ alculo I EPS (Grado TICS) Tema 3: Integrales definidas – Encuesta 1. Calcular la integral definida b a f (x)dx de de las siguientes funciones: x3 − x , a = 1, b = 3. x3 + x x4 , a = 2, b = 4. (b) f (x) = 2 (x − 1)(x − 1) x (c) f (x) = 2 , a = 0, b = 3. (x + 1)(x + 1) (a) f (x) = (d) f (x) = (e) f (x) = (f) f (x) = x2 − 6x , a = 0, b = 1 (x2 − 4x + 4)(x2 + 6x + 9) x3 , a = −2, b = −1 (x − 1)3 (x2 − 9) x4 , a = −3, b = −2 (x2 − 1)2 2. Calcular la integral definida b a f (x)dx de de las siguientes funciones: 1 , a = 1, b = 2. cosh3 (3x) (a) f (x) = cos(3x) cos(7x), a = 0, b = π. (c) f (x) = (b) f (x) = sinh3 (3x), a = 0, b = 1. (d) f (x) = tan(2x) tan(6x), a = 0, b = π. 3. Calcular la integral indefinida de de las siguientes funciones: sin x 3 − 2 cos x cos x sin x (b) f (x) = 2 cos x − 3 sin x (a) f (x) = cos 2x + sin 2x 3 cos 2x − sin 2x sin(x/2) (d) f (x) = 1 − cos(x/2) (c) f (x) = (e) f (x) = cos x 2 + sin x (f) f (x) = cos x sin 2x cos 2x sin x 4. Calcular integrando por partes la integral indefinida de de las siguientes funciones: (a) f (x) = x2 log x (d) f (x) = e3x log x (g) f (x) = cos3 x sin x (b) f (y) = ex sin2 (x) (e) f (y) = e2x cos3 (x) (h) f (y) = cos2 x sin4 x (c) f (x) = xargsinh(x) (f) f (x) = cos4 x sin5 x (i) f (x) = x2 arccos x 5. Calcular la integral indefinida de de las siguientes funciones: (a) f (z) = x sec2 (x2 ) (b) f (t) = t3 (4 − 2t4 )11 (c) f (z) = (z 5 +4z 2 )(z 3 +1)12 sin x cos x (d) f (x) = √ sin x + 1 (e) f (x) = (f) f (x) = (1 + 1 √ x)3 2x3 + 3x (3x4 + 9x2 )5 6. Calcular las integrales definidas siguientes: 1 3 x3 (a) 9 + x2 dx 0 0 a 3 x (b) 0 25 − x2 dx 0 1 √ dx 28 − 12x − x2 (c) (d) x2 0 √ (e) −1 0 1 dx x 2 + a2 (f) −a 1 √ dx (x − 2) x + 2 x4 x dx + a4 7. Calcular las integrales definidas siguientes: 2 log 6 0 log 2 3 (b) 1 d3 x2 + 3x − 1 dx dx3 (c) e−x dx (a) π/4 x x dx x+2 (d) 3 (e) 1 y 1/3 + y 1/2 dy y −2 sec2 xdx (−4)dx (f) 3 0 8. (a) Si (f + g)(x)dx = 3, (f − g)(x)dx = 10, ¿cu´anto vale (b) Si g(x)dx = 5. y 0 4 1 1 0 g(x)dx? 8 1 8 2g(x)dx = 6, g(x)dx = 4, g(x)dx = 5. y 2 6 1 ¿cu´anto vale 4 1 4 6 2 g(x)dx? Ejerc´ıcios extra algo m´ as dif´ıciles voluntarios 9. Demostrar que n k = n(n + 1) 2 k=1 para cualquier n entero positivo y usar este hecho para calcular el ´area de un tri´ angulo de base b y altura h usando particiones equidistantes. (Se hizo en clase con algo de detalle). 10. Demostrar que n k2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 k=1 para cualquier n entero positivo y usar este hecho para calcular el ´area de la par´ abola que 2 pasa por el or´ıgen, tiene derivada 0 en el or´ıgen, y por el punto (a, a h) donde a > 0, h > 0. 11. Calcula los l´ımites: lim n→∞ lim n→∞ lim n→∞ n n n + 2 + ··· + 2 +1 n +4 n + n2 1 2 n + 2 + ··· + 2 2 n +1 n +4 n + n2 . n2 1 1 1 + + ··· + n+1 n+2 n+n . .
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