1. No category

TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo
Mecánica 2
Resumen TEMA 4: Dinámica del sólido
indeformable con punto fijo
1. Ángulos de Euler
a) Definición.
ψ (precesión)
ψ
ψ
O
x
y'
y
ψ
x = N'
θ (nutación)
z'
θ
z
y"
θ
O
x = N'
θ
ON = Línea de nodos
© TECNUN, 2006
y'
y
TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo
Mecánica 2
Z
z'
z
ϕ (rotación propia)
Y
ϕ
y"
O
y
X
x
ϕ
x = N'
El triedro Oxyz está fijo en el espacio. El triedro OXYZ está vinculado al cuerpo.
b) ω del triedro móvil, expresada por sus componentes en el mismo triedro móvil.
Z
z
θ
Y
ψ
ϕ
y"
senθ sen ϕ + θ cos ϕ
ωX = ψ
senθ cos ϕ − θ sen ϕ
ω =ψ
Y
ωZ = ψ cosθ + ϕ
O
x
ψ
θ
N
© TECNUN, 2006
y
X
ϕ
TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo
Mecánica 2
2. Ecuaciones de Euler
Z
•
•
No hay rozamiento en O.
El triedro cartesiano OXYZ es el principal
de inercia en O (está, por tanto,
solidariamente vinculado al cuerpo).
O
X
Y
Las ecuaciones del teorema del momento cinético en O:
dHO
= NO suministran las
dt
ecuaciones del movimiento. Téngase en cuenta que:
HO = IX ωXE1 + IY ωYE2 + IZ ωZE3
está expresado en una base móvil (exige ser derivado aplicando la fórmula de Boure).
Haciendo operaciones (hágalas) se llega a las ecuaciones de Euler:
dω X
+ (IZ − IY )ωY ωZ = NOX
dt
dωY
IY
+ (IX − IZ )ωZ ωX = NOY
dt
dωZ
IZ
+ (IY − IX )ωX ωY = NOZ
dt
IX
Las ecuaciones del teorema del momento lineal permiten determinar la reacción, R ,
en O:
MaG = F + R
N
(F = ∑ Fapi )
i=1
3. Giroscopio con movimiento por inercia. Interpretación
geométrica
El movimiento por inercia se produce cuando el sistema de las fuerzas exteriores se
reduce a una sola fuerza, F, que pasa por O ( F ; NO = 0 )
© TECNUN, 2006
TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo
Mecánica 2
a) Ecuaciones del movimiento:
♦ Si
dHO
≡ 0 ⇒ HO = cte (tanto en módulo, como dirección y sentido)
dt
Luego, por HO = cte ⇒ I2X ω2X + I2Y ω2Y + I2Z ω2Z = cte1
♦ Además: dT = dWap = 0 ⇒ T = cte →
IX ω2X + IY ω2Y + IZ ω2Z = cte2
(1)
1
(IX ω2X + IY ω2Y + IZ ω2Z ) = cte
2
(2)
♦ Añadiendo a estas dos integrales primeras una de las ecuaciones de Euler:
IY
dωY
+ (IX − IZ )ωZ ωX = 0
dt
(3)
♦ (1), (2) y (3) son las ecuaciones diferenciales del movimiento (hay que expresar
ωX , ωY , ωZ en función de los ángulos de Euler).
Al resolver el problema – que conduce a una ecuación elíptica en ωY - hay que hacer
una discusión para establecer correctamente los signos de los radicales que aparecen
en la ecuación elíptica (hágalo).
b) Simplificación del procedimiento:
Al ser HO = cte podemos tomar la dirección de HO (que se determina por las
condiciones iniciales) como eje fijo Oz.
Z
z
En los ejes móviles:
HO
senθ sen ϕ + θ cos ϕ)
HOX = HO senθ sen ϕ = IX ωX = IX (ψ
senθ cos ϕ − θ sen ϕ)
H = H senθ cos ϕ = I ω = I (ψ
OY
Y
O
Y
Y
Y
HOZ = HO cosθ = IZ ωZ = IZ ( ψ cosθ + ϕ )
De ahí se obtiene que (¡obténgalo!):
O
X
1 1
θ = HO ( − ) cos ϕ sen ϕ senθ
IX IY
ψ = HO (
sen2 ϕ cos2 ϕ
+
)
IX
IY
ϕ = HO cosθ (
© TECNUN, 2006
1 sen2 ϕ cos2 ϕ
−
−
)
IZ
IX
IY
(4)
TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo
Mecánica 2
c) Caso de que el giroscopio sea simétrico:
Si el elipsoide de inercia fuera de revolución y el eje OZ fuera el eje de revolución:
IX = IY .
Las ecuaciones (4) se convierten en:
θ = 0 ⇒ θ = cte
H
ψ = O = cte
IX
ϕ = HO cosθ (
1 1
− ) = cte
IZ IX
En un movimiento por inercia del giroscopio simétrico:
-
el ángulo de nutación permanece constante
y son constantes las velocidades de precesión y de rotación propia
(tomando como eje de la precesión la recta soporte de HO y como eje de
rotación propia el eje de revolución del elipsoide de inercia en el punto fijo).
d) Interpretación geométrica: (de Poinsot)
n
HO
Propiedad de la normal al elipsoide de
inercia en O:
P
P’
• P es el punto en que ω corta al
elipsoide de inercia en el punto fijo.
P(x,y,z) ⇒
π
O
x
y
z
=
=
= λ (5)
ωX ωY ωZ
• Ecuación del elipsoide de inercia referido a sus ejes principales:
1 = IX x 2 + IY y 2 + IZ z2 y teniendo en cuenta (5)
1 = λ 2 (IX ω2X + IY ω2Y + IZ ω2Z ) = λ 2 2T ⇒ λ =
luego: OP =
1
2T
1
2T
(ωXE1 + ωYE2 + ωZE3 )
• El vector n normal al elipsoide en P será paralelo a gradP (elipsoide)
© TECNUN, 2006
TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo
Mecánica 2
gradP (elip) = 2IX xPE1 + 2IY yPE2 + 2IZ zPE3 =
=
2
2T
(IXωXE1 + IY ωYE2 + IZ ωZE3 ) =
2
2T
HO = n
luego el vector normal al elipsoide en P es paralelo a HO (que es cte).
• P’ es la proyección de P sobre HO (que es cte):
OP' = OP ⋅
=
HO
1
1
= ( )1/2
(ωXE1 + ωYE2 + ωZE3 ) ⋅ (IX ωXE1 + IY ωYE2 + IZ ωZE3 ) =
HO
2T
HO
2T
= cte
HO
Luego el plano π, perpendicular a HO que contiene siempre a P, es un plano fijo en el
espacio y – por ser perpendicular a On - es tangente al elipsoide de inercia del punto
fijo. En consecuencia este elipsoide – al moverse el giroscopio con movimiento por
inercia – es siempre tangente al plano fijo π, con la particularidad de que el punto de
tangencia, P, tiene velocidad siempre nula. Por tanto puede decirse que en el
movimiento por inercia el elipsoide de inercia en el punto fijo gira y pivota sobre un
plano fijo.
¿Qué son la polodia y la herpolodia?
Si el elipsoide de inercia fuera de revolución, demuestre que la polodia y la
herpolodia son dos circunferencias.
4. Giroscopio de Lagrange
a) Características: giroscopio simétrico ( IX = IY ≠ IZ ). El peso es la única fuerza
aplicada.
b) Ecuaciones del movimiento: (aplicando el formalismo de Lagrange)
1
1
1
T = IX θ 2 + IX ψ 2sen2θ + IZ (ϕ + ψ cosθ)2
2
2
2
(hállela)
V = Mglcos θ
1
1
1
L = T − V = IX θ 2 + IX ψ 2sen2θ + IZ (ϕ + ψ cosθ)2 − Mgl cos θ
2
2
2
© TECNUN, 2006
ψ, ϕ coord. cíclicas

sistema esclerónomo
TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo
Mecánica 2
Luego:
∂L
cos θ) = B
= cte ⇒ IZ (ϕ + ψ
∂ϕ
∂L
sen2θ + IZ ( ϕ + ψ cos θ) cos θ = A
= cte ⇒ IX ψ
∂ψ
1 2 1
1
2sen2θ + IZ ( ϕ + ψ
cosθ)2 + Mgl cos θ = E
T+V =E ⇒
IX θ + IX ψ
2
2
2
Estas tres integrales primeras son las ecuaciones diferenciales del movimiento.
c) Movimiento unidimensional equivalente:
cos θ =
IZ (ϕ + ψ cos θ) = B ⇒ ϕ + ψ
B
IZ
sen2θ + IZ (ϕ + ψ cos θ) cos θ = A ⇒ ψ
=
IX ψ
luego: T + V = E ⇒
A − B cos θ
IX sen2θ
1 2 1 (A − B cos θ)2 1 B2
IX θ + IX
+
+ Mgl cos θ = E
2
2
2 IZ
I2X sen2θ
1 2 1 (A − B cos θ)2
ó bien:
IX θ + IX
+ Mgl cos θ = E'
2
2
I2X sen2θ
que es la ecuación del
movimiento unidimensional equivalente en la que:
1 (A − B cos θ)2
Vef (θ) =
+ Mgl cos θ
2 IX sen2θ
⇒ E' =
1 2
IX θ + Vef (θ)
2
Si:
Vef (θ)
E1'
a) E' = E1' → θ1 ≤ θ ≤ θ2 ( θ1 y θ2 son
E'0
b) E' = E'2 → Movimiento imposible.
los valores absidales de θ durante el
movimiento)
E '2
θ
0
θ1
© TECNUN, 2006
θ0
θ2 π
c) E' = E'0 → θ = θ0 = cte
(a este
movimiento se le llama estacionario y
en él E'0 = Vefmin →
dVef
dθ
=0 )
θ=θ0
TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo
Mecánica 2
d) Interpretación geométrica: (de acuerdo con los valores de E’, A y B)
Consideramos la trayectoria del punto de corte del eje de rotación propia con una
superficie esférica cuyo centro sea el punto fijo.
1) E' = E1'
♦ Si
θ1
A > B como ψ =
A − B cos θ
no
, ψ
IX sen2θ
cambia de signo durante el movimiento.
θ2
♦ Si B > A existirá un ángulo θ3 tal que cos θ3 =
ψ =
A
por lo que:
B
B(cos θ3 - cos θ)
IX sen2θ
En estas circunstancias pueden suceder cuatro posibilidades:
a) θ3 < θ1
b) θ3 > θ2
tampoco cambia de signo y la trayectoria en la superficie
en estos dos casos ψ
esférica es similar al caso de A > B
c) θ1 < θ3 < θ2
θ1
θ3
θ2
© TECNUN, 2006
ψ cambia de signo cuando θ = θ3 y la trayectoria es
la dada por la figura de la izquierda.
TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo
Mecánica 2
θ1 = θ3
d) θ3 = θ1
ψ no cambia de signo pero es cero cuando θ = θ1
θ2
Este último movimiento, aunque parezca muy particular, es el que aparece cuando se
hace girar el giroscopio alrededor del eje de revolución, inicialmente en reposo, con
una ω y luego se abandona libremente a sus enlaces. Con estos requisitos resulta que,
llamando θ* al ángulo formado por los ejes Oz (fijo en el espacio) y OZ (eje de
revolución, que es el de rotación propia):
A = IZ ω cos θ*
B = IZ ω
E' = Mglcos θ
Y por tanto: cos θ3 =
(¿por qué?)
*
A
= cos θ* ⇒ θ3 = θ* luego:
B
IZ ω2 (cos θ* − cos θ)2
Vef (θ) =
+ Mglcos θ
2IX sen2θ
y de aquí se deduce (¡hágalo!) que
θ1 = θ* y además que siempre (en este caso particular) θ2 > θ1 (demuéstrelo).
Lo que manifiesta que una trayectoria como la
mostrada en la figura siguiente no es posible:
θ1
θ2
e) Movimiento estacionario:
Se llama movimiento estacionario aquél en el cual E’ = valor mínimo de Vef (θ) .
Las ecuaciones del movimiento del giroscopio de Lagrange son:
© TECNUN, 2006
TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo
Mecánica 2
cos θ) = B
IZ (ϕ + ψ
sen2θ + B cos θ = A
IX ψ
1
1 (A − B cos θ)2
E' = IX θ 2 + Vef (θ) donde Vef ( θ) =
+ Mgl cos θ
2
2 IX sen2θ
Llamando θ0 el ángulo para el cual el Vef es mínimo:
dVef
dθ
= 0 y además: E' = Vef (θ = θ0 )
θ0
De esta última ecuación se deduce (hágalo) que:
IXMgl sen4 θ0 = (A − Bcos θ0 )(B − A cos θ0 )
(a)
por lo que para un valor predeterminado de θ0 es posible prefijar arbitrariamente una
de las dos constantes A ó B: esto es, que existen infinitas posibilidades de obtener un
movimiento estacionario en el que θ = θ0 .
Si prefijamos B resulta que:
A − Bcos θ0 = IX ψ sen2 θ
A − Bcos θ0 = (B − IX ψ cos θ0 ) sen2θ
Por lo que la ecuación (a) se convierte en: (haga las operaciones)
Mgla0ψ (B − IX ψ cos θ0 ) y de aquí se deduce que:
ψ =
B
2 IX cos θ0
4IXMgl cos θ0 1/2 

) 
1 ± (1 −
B2


(b)
Lo que manifiesta que existen dos velocidades de precesión asociadas a ese
movimiento estacionario: una rápida (la que corresponde al signo + ) y otra lenta.
asociado a cada una de estas velocidades se obtiene
El valor de la rotación propia ϕ
+ψ
cos θ) = B
fácilmente pues: IZ (ϕ
Y finalmente, las E’ valen:
1
02 sen2θ0 + Mgl cos θ0
E' = IX ψ
2
f) Movimiento estacionario con grandes velocidades de rotación propia:
fuera muy grande → B >>> 4IXMglcos θ0 . La ecuación (b) podría reducirse a:
Si ϕ
© TECNUN, 2006
TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo
Mecánica 2
ψ =
B
2 IX cos θ0
ψ max =
2IXMgl cos θ0 

) (¿por qué?) Y de aquí:
1 ± (1 −
B2


B
IX cos θ0
→ ψ max =
NO
Mgl
=
IX ϕ
IX ϕ sen θ0
ψ min =
IZ ϕ
(IX -IZ ) cos θ0
(¿por qué?) Y:
(¿por qué?)
donde NO = mgl sen θ0 es el momento del peso del giroscopio respecto del punto
fijo.
5. Momento giroscópico
♦ Definición: Es el momento producido por las fuerzas de inercia del giroscopio en el
punto fijo O.
NO =
dHO
dt
→ NO −
dHO
=0
dt
luego el momento giroscópico MO : MO = −
dHO
dt
♦ Determinación del momento giroscópico en el caso de un giroscopio de Lagrange
con movimiento estacionario ( θ = θ0 ).
como ϕ son constantes:
Como en este movimiento estacionario tanto ψ
MO = [(IX − IZ ) ψ sen θ0 cos θ0 − IZ ψ ϕ sen θ0 ] E1
donde E1 es el versor correspondiente a la línea de nodos. (¿por qué?)
>>> ψ
se podría prescindir del primer término y entonces:
Si ϕ
ϕ sen θ0 y como: N0 + M0 = 0
MO = −IZ ψ
ϕ sen θ0 → ψ =
NO = IZ ψ
anterior.
© TECNUN, 2006
NO
IZ ϕ sen θ0
min del apartado
que coincide con ψ
TEMA 4: Dinámica del sólido indeformable con punto fijo
Mecánica 2
6. Sólido libre
Si se eligen como parámetros:
-
las tres coordenadas cartesianas del centro de masas: x G , y G , zG
y los tres ángulos de Euler que definen la posición de un triedro con origen
en G: trirrectángulo y atado al sólido, respecto al triedro cartesiano paralelo
al inercial de referencia
El problema se descompone en dos, el movimiento del centro de masas, que se
determina por la ecuación F = MaG , y el movimiento del sólido respecto a unos ejes
con origen en G que se trasladan permanentemente. Este último movimiento es el de
un sólido con punto fijo (G), que se resuelve mediante las ecuaciones ya estudiadas
anteriormente.
FIN DEL TEMA 4
© TECNUN, 2006