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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NUCLEO- GUANARE
GUIA I (Limites Por Definición E Indeterminaciones)
UN POCO DE HISTORIA
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite
de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.2 Sin
embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours
d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.3 La
primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 18604
y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A
Course of Pure Mathematics en 1908.
I. Límite: de un enfoque informal.
Las dos grandes áreas de cálculo se dividen en calculo diferencial y calculo integral que son los que se
basan en un concepto fundamental del límite en esta sección el enfoque que haremos a este concepto será
intuitivo centrado en la comprensión de que es un límite mediante el uso de ejemplos numéricos y
ejemplos.
II. Definición Informal De Limites
Una función f tiene límite un número real L en C si f(x) se acerca cada vez más al número L cuando x se
aproxima más y más al número C, sin llegar a veler C, en cualquier sentido.
EJERCICIOS
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III. Existencia O No De Un Límite:
si tanto el limite por la izquierda lim x–a- f(x) como el limite por la derecha lim f(x)x—a+ existen y tiene
un valor común L,.
IV. Teoremas sobre continuidad
1. Teorema de los valores intermedios:
Sea f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b], tal que f(a)≠f(b). Entonces f(x) toma todos los
valorescomprendidos entre f(a) y f(b) cuando x varía entre a y b.
2. Teorema de Bolzano:
Sea f una función continua en [a,b] tal que f(a) y f(b) tienensignos distintos. Entonces existe al menos un c ∈
(a,b) tal quef(c) = 0
3. Teorema de los valores óptimos (Weierstrass):
Si una función f es contínua en un intervalo [a,b] cerrado y acotado, entonces f alcanza un máximo y un mínimo
dentro del intervalo.
IV. Definición formal De Limites
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo
todo número real x en el dominio de la función
existe un
.
EJERCICIOS
Si
entonces calcule el valor δ, para un valor de ε = 0,001
Si
entonces calcule el valor δ, para un valor de ε = 0,002
Si
entonces calcule el valor δ, para un valor de ε = 0,003
Si
entonces calcule el valor δ, para un valor de ε = 0,003
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tal que para
V. Propiedades de los Límites.
Ejercicios
Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso:
(LIMITES INDETERMINADOS)
Operaciones con infinito
Sumas con infinito
Infinito más un número
Infinito más infinito
Infinito menos infinito
Productos con infinito
Infinito por un número
Infinito por infinito
Infinito por cero
Cocientes con infinito y cero
Cero partido por un
número
Un número partido
por cero
Un número partido
por infinito
Infinito partido por un
número
Cero partido por
infinito
Infinito partido por
cero
Cero partido por
cero
Infinito partido por
infinito
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VI. Limites Indeterminados
Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación
de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.
En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones
(Factor común, trinomio, diferencia de cuadrados, Ruffini, conjugada entre otras).
VII. Tipos de indeterminación
Estudiaremos los casos 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 1∞ .
Cero sobre
EJERCICIOS RESUELTOS
cero
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Calcula los siguientes límites, eliminando las indeterminaciones que se presenten
x3
x 1 x2
x4
4. Lim 3
x 2 x
3
r
7. Lim
r 8 r
3m 2 3
m 1
m 1
t2 9
5. Lim 2
t 3 t
5t 6
3
x 1
8.
x 1
5 n
5
11. Lim
n 0
2n
1
1
16
8
2
8
v 1 2
10. Lim
v 3
v 3
1. Lim
Infinito
partido por
2. Lim
( x 2) 2
x 2 x2
4
x 64
6. Lim
x 64
x 8
3. Lim
x2
2x 1
x
1
x 1
x 2
11. Lim 2
x 2 x
x 6
9. Lim
Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al
mayor exponente.
infinito
EJERCICIOS RESUELTOS
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Infinito
Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado.
menos
infinito
Calcula los siguientes límites, eliminando las indeterminaciones que se presenten
Uno al
Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e.
infinito
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VIII. Límites Trigonométricos
En términos generales los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un límite notable o una
identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es
necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número,
factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.
lim
x
0
1 cos x
tan x senx
tan 2 x
0 1 cos x
lim
x
lim
x
0
1 cos x
senx
senx
cos x
tan 2 0
1 cos 0
0
(1 1)
lim
x
0
1 cos x cos x
senx senx cos x
lim
x
0
1 cos x cos x
senx(1 cos x)
lim
x
0
cos x
senx
cos0
sen0
1
0
0
0
2
tan 2 x
lim
x 0 1 cos x
lim
x
0
1 cos x
cos2 x
senx
cos x
lim
x 0 1 cos x
1 cos0
cos2 0
sen 2 x
lim
x 0 1 cos x cos2 x
1 1
12
1 cos2 x
lim
x 0 1 cos x cos2 x
lim
x
0
1 cos x 1 cos x
1 cos x cos2 x
2
Ejercicios Propuestos:
“No es grande aquel que nunca falla si no el que nunca se da por vencido”
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