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Introducción al Análisis Complejo
Curso 2015
Práctico 1
Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
1. Expresar los siguientes números complejos en la forma x + iy, con x, y ∈ R:
√
a) (−1 + 3i)−1
f ) (2i + 1) 2i
j) 1+i
i
i
b) (1 + i)(i − 1)
k) 1+i
g) (1 + i)(i − 2)(i + 3)
c) (1 + i)i(2 − i)
i3
h) (i + 1)−1
l) 3−i
d) (i − 1)(2 − i)
4
2+i
e) (7 + πi)(π + i)
m) −3+5i
i) 2−i
2. Encontrar la parte real e imaginaria de (1 + i)100 .
3. Sean α, β dos números complejos. Probar que:
a) α = α
c) α + β = ᾱ + β̄
e) |α + β| ≤ |α| + |β|
b) αβ = ᾱβ̄
d) |αβ| = |α||β|
f ) |α| = |α|
4. Calcular el módulo de:
a) i(1 + 2i)(4 − 3i)(2 − i)
b)
(2−4i)(3−6i)(2−i)
(4−2i)(6−5i)
5. Sean α, β ∈ C.
α−β 6 1. ¿Qué ocurre si |α| = |β| = 1?
a) Probar que 1−αβ
= 1 si |α| = 1 y |β| =
α−β b) Probar que 1−αβ
< 1 si |α| < 1 y |β| < 1.
* 6. Se define el conjunto de Mandelbrot como el conjunto M de los números complejos c para
los cuales la sucesión (zn )n≥1 ⊆ C definida por
z1 = c,
zn+1 = zn2 + c (n ≥ 1),
resulta acotada.
Figura 1: El conjunto de Mandelbrot.
n−1
Probar que si |c| ≥ 2 entonces la sucesión satisface que |zn+1 | ≥ |c|(|c| − 1)2
n ≥ 1. Deducir que M ⊆ {c ∈ C : |c| ≤ 2}.
1
para todo
7. Escribir los siguientes números complejos en forma polar:
a) 1 + i
√
b) 1 + i 2
c) −3
g) −7
d) 4i
√
e) 1 − i 2
f ) −5i
h) −i − 1
8. Escribir los siguientes números en la forma x + iy , con x, y ∈ R:
a) e3πi
c) 3eπi/4
e) eπi/3
b) e2πi/3
d) πe−πi/3
f ) e−iπ
9. Sea α ∈ C, α 6= 0.
a) Probar que existen dos números complejos distintos cuyo cuadrado es α.
b) Si α = a+bi con a, b ∈ R, encontrar x, y ∈ R (en función de a y b) tales que (x+iy)2 =
α.
* 10. Dado z ∈ C, denotemos
a)
√
i
√
z = {w ∈ C : w2 = z}. Calcular:
b)
√
−i
c)
√
i+1
d)
q
√
1−i 3
2
11. Resolver la ecuación cuadrática z 2 + (a + bi)z + (c + di) = 0, donde a, b, c, d ∈ R.
12. Dibujar en el plano todos los complejos z tales que z n = 1, para n = 2, 3, 4, 5.
13. Encontrar todas las raíces cuartas de 1, i, −i.
14. Sean α ∈ C \ {0} y n ∈ N. Mostrar que existen n complejos distintos z tales que z n = α.
Escribirlos en forma polar.
15.
a) Encontrar todos los complejos que verifican ez = 1.
b) Si ez = ew , mostrar que existe k ∈ Z tal que z = w + 2kπi.
* 16. Dados n ∈ N y φ ∈ R, simplificar la expresión
1 + cos(φ) + cos(2φ) + · · · + cos(nφ).
17. Sea n un número natural. Si z = cos(2π/n) + i sen(2π/n), demostrar que
1 + z h + z 2h + . . . + z (n−1)h = 0
para todo natural h no múltiplo de n.
18. Mostrar que el conjunto de las matrices de la forma
a b
con a, b ∈ R
−b a
es un subanillo de R2×2 , que es isomorfo al cuerpo de los números complejos (y por lo
tanto, un cuerpo).
19. Probar que C ' R[X]/ X 2 + 1 .
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