Universidad Nacional de Colombia Taller de Repaso Segundo Parcial (Tomado del texto de Stewart) Cálculo Integral 1. Trace la región encerrada por las curvas y halle el área que encierran: (a) y = 12 x2 y y = x2 (b) y = cos x y y = 1 6: cos x; 0 x : 2. Encuentre el área bajo un arco de la cicloide x = r( sen ) ; y = r (1 cos ) ; r > 0: 3. Trace la región encerrada por las curvas dadas en coordenadas polares y halle el área que se encuentra dentro de ambas curvas: p (a) r = 3 cos ; r = sen (b) r = 1 + cos ; r = 1 cos : 4. Encuentre el volumen del tronco de una pirámide con base cuadrada de lado b; cuadrado superior de lado a; y altura h (piense que le corta a una pirámide la parte superior con un corte horizontal). ¿Qué pasa si a = b? ¿Qué pasa si a = 0? 5. Encuentre el volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje x la región limitada por las curvas y = e 2x ; y = 1 + x y x = 1: 6. Encuentre la longitud de la curva: p p (a) y = x x2 + sen 1 ( x) ; 0 x Z xp p (b) y = t 1dt; 1 x 2 1 2 (c) x = 3t ; y = 2t3 ; 0 2 (d) r = e ; 0 t 1 2 2 : 7. En cierta ciudad, la temperatura (en F) t horas después de las 9 a.m. fue t : Encuentre el promedio de modelada por la función T (t) = 50 + 14 sen 12 la temperatura durante el periodo de 9 a.m. a 9 p.m. Encuentre de forma aproximada un valor de c tal que Tprom = T (c) : 1 8. Una fuerza de 30 N se requiere para mantener un resorte estirado desde su longitud natural de 12 cm a una longitud de 15 cm: ¿Cuánto trabajo se realiza para estirarlo desde 12 cm hasta 20 cm? 9. Un elevador de 1600 lb está suspendido por un cable de 200 f t que pesa 10 f t=lb: ¿Cuánto trabajo se requiere para subir el elevador desde el sótano al tercer piso, una distancia de 30 f t? 10. Un tanque lleno de agua tiene forma de paraboloide de revolución; esto es, su forma se obtiene al girar una parábola vertical con vértice en el origen alrededor del eje y. Si su altura es de 4 f t y el radio de la parte más alta es 4 f t; encuentre el trabajo requerido para bombear el agua fuera del tanque. 11. Una compuerta de un canal de irrigación está construida en forma de trapecio de 3 f t de ancho en el fondo, 5 f t de ancho en la parte superior y 2 f t de alto. La compuerta está colocada verticalmente en el canal, de modo que el nivel del agua es exactamente la altura de la compuerta. Encuentre la fuerza hidrostática que el agua ejerce sobre la compuerta. 12. Encuentre el centroide de la región triangular con vértices (0; 0) ; (3; 0) y (3; 2) : 13. Un isótopo del estroncio tiene una vida media de 25 años. Se tiene una muestra de 18 mg (a) Encuentre la masa del estroncio que queda después de t años. (b) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la masa decaiga hasta 2 mg? 14. Un tanque contiene 100 litros de agua pura, y le entra salmuera que contiene 0:1 kg de sal por litro, a razón de 10 litros= min : La solución se mantiene bien mezclada y se drena del tanque a la misma razón. ¿Cuánta sal hay en el tanque después de 6 minutos? 15. Use la Ley de enfriamiento de Newton para resolver el sifuiente problema: Se lleva un termómetro de un cuarto a 20 C al exterior, donde la temperatura es de 5 C. Después de un minuto, la lectura del termómetro es de 12 C. (a) ¿Cuál será la temperatura un minuto más tarde? (b) ¿Cuándo marcará 6 C? 2