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EJERCICIOS - 1º BACHILLERATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
NÚMERO REAL Y VALOR ABSOLUTO
1) Indica a cuales conjuntos pertenecen los siguientes números:
2) a) Dado el número
π +8
2
10
8
1
, −2π , ,
, y
25
50
3
3
64
, indica dos racionales y dos irracionales que disten de él menos que
0’005
b) Escribe un racional y un irracional comprendidos entre
18 18
y
19 20
3) Estudiar la veracidad de las siguientes afirmaciones:
a) El cociente de un irracional y un racional no puede ser racional.
b) El cuadrado de un número real siempre es mayor que él.
c) La suma de dos irracionales puede ser de cualquier tipo de número.
⎧− 2 ≤ x < 1
⎪
4) Expresar en forma de intervalo los números x que cumplen ⎨
4
⎪ −3 < x ≤
3
⎩
5) Estudia cuáles serían los números x que cumplirían las siguientes condiciones:
a) 2 x − 5 = 1
b) 3 x 2 − 1 = 2
c) x + 3 < 1 d) 3x − 2 > 5
6) Representa gráficamente y expresa usando intervalo, las siguientes desigualdades:
b) x + 1 > 4
c) x − 4 < 3
a) 5 x ≤ 6
7) Sea x perteneciente a los conjuntos dados a continuación. ¿A cuáles conjuntos pertenecería
2 − 3x ?
a)
( −∞, −4 ) ∪ ( 0,5]
b) E1∗ ( 2 )
c) E 1 ( −2 )
2
POTENCIAS Y RAÍCES
1) Realiza, trabajando con potencias:
⎛9⎞
a) 4−2 , 25 , 27 , 8 , ⎜ ⎟
⎝ 16 ⎠
3
−
2
d)
−
4
3
25
3
−12
⋅ 0'01
− 22
1
⋅ 0'0001 3
1000
100
1
−
3
⋅ 100 − 23
⋅ 10 − 23
3
−
2
,−4
1
−
2
, 0 '000001
e) 4 162 +
3
1
−
2
b)
9
−12
27
⋅4 2
⋅ 4 −12
3− 33 ⋅ 2 − 2 ⋅ 313
−
3
2
−
3
+ 16 4
c) 1
3
⎛
⎞
3
8 : ⎜ −25 2 ⎟
⎝
⎠
4
16 ⋅ 6 16
48
2) Simplifica, trabajando con radicales: a) 3 16 + 2 3 2 − 3 54 −
21 3
250 b) 3 48 + 3 135 − 3 384 − 3 40
5
1
3
c)
ab 4 ab
ab
(a a )
d)
6
3
3
e)
a3 a
g)
3
2
1
+
− 6+
2
3
6
h)
j)
1
2+ 3+ 5
k)
⎛ a 4b 2
3
f) ⎜
⎜ 2b a 2
⎝
a a3 a
a
4+2 3
4−2 3
4−2 3
+
a 3 − 2a 4 a 2 + 3a 6 a 3 − 8 a12
2+ a
i)
4+2 3
5
2
4 2
+
−
6
6 +3 2
3
l)
⎞ 2b
⎟:
⎟
a
⎠
2+ 3
2 2 − 3 +1
LOGARITMOS
1) Calcula utilizando la definición de logaritmo:
1
8
1
a) log 3 3
b) log 2 4
c) log 2 16 + log 2 − log 5 125 − log 3 27
8
81
2
1
1
log3
⋅ log5 125 − log7 3
1
1
3
49
d) log 2 3 16 + log 2
e)
− log 5
− log 3 3
2
−
125
2
log(0'001) − log 4 2
2) Calcular el valor de x en las siguientes igualdades:
a) log 5 −3 x = 4
b) log x = log 3 − 2 log 5
d) 3 x = 81
e) 7
−2 x
3
c) log (− x ) = log 5 +
3
log 9 + log 5
2
=4
3) Sabiendo que log 5 2 = 0'43 y que log 5 3 = 0'60 calcular:
1
3
a) log 5 0 '4
b) log 5
c) log 5 1'6 ⋅ 3 3
4 6
(
4) Sabiendo que log 2 = 0'30 y log 3 = 0'47 , obtener log 6
)
24 3 26
4
8
POLINOMIOS, ECUACIONES Y SISTEMAS
1 ⎞
⎛
1) Desarrolla: a) ⎜ 3x + 3 ⎟
x ⎠
⎝
4
2 ⎞
⎛
b) ⎜ x −
⎟
x⎠
⎝
6
x⎞
⎛
c) ⎜ x x − ⎟
2⎠
⎝
5
2) Dado el polinomio p( x ) = x 5 + 5mx 4 + 8 x 3 + 4 x 2
a) ¿Cuánto debe valer m para que el resto que resulta al dividir p (x ) con x + 1 sea − 10 ?
b) Indica las raíces del polinomio anterior cuando m = 1 .
3) Indica el polinomio que tiene las siguientes raíces: x = −2 doble, x = 0 triple y x = 3 ,
x = − 3 simples.
4) Dado el polinomio p( x ) = x 4 − 3x 3 + x 2 − x − 6 :
a) Descompón el polinomio e indica sus raíces
2
b) ¿Cuánto vale el resto que resulta al dividir p (x ) con x − 2 ?
5) Indica las raíces de x 5 + x 4 − 5 x 3 + x 2 + 4 x − 2 .
6) Opera, simplificando: a)
⎛ x− y x+ y⎞ ⎛ x y⎞
+
c) ⎜
⎟⋅⎜ + ⎟
⎝ x+ y x− y⎠ ⎝ y x⎠
a
a−b
2ab
+
: 2
a − b a + b a − b2
−1
7) Resuelve
5
1
a) x 4 − x 2 + = 0 b)
4
4
x +5
x−7
+ 2 = 5+
d)
x−3
x+2
⎛ x + 1⎞ ⎛ x ⎞
g) ⎜
⎟ −⎜ ⎟ =1
⎝3 ⎠ ⎝ 2⎠
9
8
j) 22 x + 2 + 22 x −1 − = 0
3
⎛ a
2b
2b 2 ⎞⎟ ⎛ 2
4a ⎞
:⎜
−
− 2
− 2
d) ⎜⎜
2
⎟ ⎝ a − b a − b 2 ⎟⎠
a
b
a
b
−
+
a
b
−
⎝
⎠
x 2 + 4 x − 1 + x 2 + 5x = 2
2
2
IJ
K
k) 4 x +1 − 13 ⋅ 2 x + 3 = 0
3x + y − z
= 0⎫
⎪
ñ) x + 2 y + z = 1 ⎬
− x + 3 y + 3 z = 2 ⎪⎭
2
FG
H
c) 1 + x + 2 x = 2 x − 3
2
1
+ 9 1−
=0
x −1
x +1
⎛ x + 2⎞ ⎛ x⎞
h) ⎜
⎟−⎜ ⎟ = 4
⎝ 2 ⎠ ⎝1⎠
e)
m) log ( 2 x ) − log ( x + 1) = log 4
R| x
q) S
|T y
1
1
+ 2
2
x
y ⎛1 1⎞
: +
b)
x
y ⎜⎝ x y ⎟⎠
−2+
y
x
+ y 2 + 9 x + 14 = 0
= 16 + 4 x
i) 2 x −3 + 3 ⋅ 2 x −1 − 13 = 0
l) 32 x −3 − 3x − 2 = 24
n) log ( 3x − 1) = log 2 + log ( 4 x − 6 )
2 x + y + z = 2⎫
⎪
o) − x − y + 2 z = 3 ⎬
− y + 5 z = 8 ⎭⎪
r)
f) 2 x 4 + 4 x 3 − 18 x 2 − 36 x = 0
x + y − z = 0⎫
⎪
p) − x − y + 3z = 2 ⎬
3x + 2 y + z = 1 ⎪⎭
R| x + 2 y = 8
S|3 x − 5 y = −9
T
8) Resuelve las siguientes inecuaciones y sistemas con una incógnita:
a) x 2 − 2 ≤ 0 b) x 2 + 2 < 0 , x 2 + 2 > 0 , x 2 + 2 ≤ 0 , x 2 + 2 ≥ 0 c) −2 x 2 + 7 x − 3 ≤ 0
2x − 2
<0
d)
x +1
2x − 5
≥0
e)
4x − 2
2x − 6
≤0
f) 2
x −4
⎧ x2 − 2 x > 0
⎪
h) ⎨ x 2 − 4
>0
⎪
⎩ x−6
g) x − 5 x − x + 5 < 0
3
2
9) Resuelve las siguientes inecuaciones y sistemas con dos incógnitas:
a) y + 2 x + 3 ≤ 0
b) y − 2 x 2 + 1 > 0
c)
y + 2 x 2 + 1 > 0 ⎫⎪
⎬
x − y − 3 ≤ 0 ⎪⎭
d)
−3 y + 5 x − 1 ≥ 0 ⎫
⎬
x+ y −3< 0 ⎭
GENERALIDADES SOBRE FUNCIONES Y FUNCIONES ELEMENTALES
1) Halla el dominio y los cortes con los ejes de las siguientes funciones:
a) f ( x ) =
d) f ( x) =
3
x+6
x
x − 3x + 2
2
b) f ( x) = −3 x
c) f ( x) = x − 1 + x + 1
e) f ( x) = 4 x + 12 + 4
f) f ( x) =
2x + 4
x( x 2 − 16)
3
2) Dadas las funciones f ( x) = 2 x + 1 ; g ( x ) = x 2 − 3 ; h( x) =
a) f ( x ) + g ( x)
e) g ( x) : h( x)
b) f ( x) + h( x)
f) ( g D f )( x)
c) f ( x) ⋅ g ( x)
g) ( f D g )( x)
3) Halla la inversa de las siguientes funciones:
1
x−2
x
a) y = 2
b) y = 3 + 1
c) y = − 2
x
x−5
, calcula:
x+3
d) f ( x) ⋅ h( x)
h) (h D g )( x)
d) y =
3x + 1
2x − 3
e) y = 3 x 3 − 2
4) Representa gráficamente las siguientes funciones:
⎧1
⎪ 2
⎪x
d) y = ⎨2
⎪
⎪⎩9 − 3x
si − 3 < x ≤ −1
si − 1 < x < 2
e) y = − x 2 + 4 x + 3
si x = 2
f) y = 2 x − 6
2
g) y = − x + 4
k) y = − log 3 x
l) y = 2 ln x + 1
si 2 < x < 4
2
h) y = x − x − 6
m) y = −3cos 2 x
q) y =
si x < 0
⎧x − 2
⎪
c) y = ⎨3x − 2 si 0 ≤ x ≤ 2
⎪−2 x + 8 si 2 ≤ x
⎩
⎧ x + 2 si x ≤ −1
⎪
si − 1 < x ≤ 1
b) y = ⎨− x
⎪3x − 4 si 1 < x
⎩
si x ≤ 1
⎧1 − x
a) y = ⎨ 2
⎩ x − 2 x si x > 1
−2
x +1
i) y =
3x
2
j) y = −2− x + 5
n) y = 3sen
x
2
o) y = tag
ñ) y = 2 cos x − 3
x
2
p) y = − tag x + 2
2
+1
x−3
r)
LÍMITES Y CONTINUIDAD
1) Calcula los siguientes límites en el infinito:
x +1
1
b) lim
2
x
x →+∞ x + 1
x→+∞ 1 + 7
3x + 1
2x
f) lim 3
g) lim
x →+∞ 6 x + 2 x − 3
x →−∞ x − 7
a) lim
9
x →−∞ 4− x
l) lim
lim
x3 + 5 x + 3
x2 − 2x
o) lim
x →−∞
s) lim
x →−∞
1 + 2− x
1 + 2x
3
w) xlim
→+∞
x →0
x2 + x
x +1 1 − 100 x100
1 + 200 x 200
p) lim
x →+∞
5x + 1
x4 + x + 1
3x3 + 3x 2 − 1
lim
d)
e)
lim
3
2
x →+∞
2 x3 + 8
x →+∞ x + x + x + 1
x →+∞ 3 x − 2
2 x5 + 1
3x
x3 − 2 x
h) lim 7
i) lim x
j) lim 2
k)
x →−∞ 3 x − 1
x→−∞ 2
x →−∞ 7 x + 1
c) lim
m) lim
x →+∞
2 x 2 + 3x − 1
5 + x 2 + 9 x 4 + 3x3
⎛ x2 + 2 x2 + 2x ⎞
−
⎟
x +1 ⎠
⎝ x −1
t) lim ⎜
x →+∞
x) lim
x →+∞
x−2
x+6
3x 2 + 7
x
x2 + 5
1
n) lim
x+5
x →+∞
3
4 x 2 − x + 2 x →+∞
x →+∞
1− x
⎛ 3x + 3 ⎞
q) xlim
⎜
⎟
→+∞
⎝ x+2 ⎠
u) lim
ñ) lim
(
x2 − 2 − x
⎛ 3x + 5 x2 − 2 ⎞
−
⎟
x →+∞
x ⎠
⎝ 2
r) lim ⎜
)
v) lim
x →+∞
4 x4 + 5
y) xlim
→−∞ ( x 2 − 2)(2 x 2 − 1)
2) Calcula los siguientes límites en los puntos indicados:
2x + 1
1
x +1
lim+
a) lim−
b) xlim
c)
4
3
→−1
x →5
x →2 x − 2
( x + 1)
(5 − x )
d) lim−
x →7
x2 + x
x +1
x+2
7−x
(
)
4 x2 − 1 − 2 x + 1
1− x
⎛ 3x + 3 ⎞
z) xlim
⎜
⎟
→+∞
⎝ x+2 ⎠
e) lim−
x →3
x
x−3
4
x
f) lim
x→4
( x − 4)
j) lim−
x 4 − 3x
x3 − 2 x 2
x→2
g) lim+
2
x →2
q) lim
x →3
x2 + x − 2
x →−1
x2 − 1
l) lim
x4 − 6 x2 + 8x − 3
x 4 − 2 x3 + 2 x − 1
o) lim
x→2
k) lim
( x + 1) 2 − 1
x →0
2x
n) lim
1 ⎞
⎛ 1
+
h) lim+ ⎜
⎟
x→2 ⎝ x + 2
x−2⎠
1
x − 3x + 2
2
ñ) lim
x →1
x + 6 − 2x + 3
x2 − 6x + 9
r) lim
x→2
x →3
x2 − 3x
x3 − 9 x
i) lim+
x →1
m) lim
x 2 − 3x + 2
x2 + 4 x − 3
p) lim
x →7
2− x −3
x 2 − 49
x →1
4x +1 − 3
x2 + x − 6
x +1
x − 2x + 1
2
x2 − 4
2x − x + 2
3) Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
a) f ( x) =
2 x 2 − 3x
x−2
⎧1 + 2 x +1
⎪
2
⎪( x − 1) − 1
c) f ( x ) = ⎨
⎪1 x
⎪⎩ x ( x − 2)
⎧ x −9
si x ≠ 9
⎪
b) f ( x) = ⎨ x − 3
⎪6
si x = 9
⎩
si x ≤ 0
si 0 < x ≤ 1
si 1 < x ≤ 2
si 2 < x
4) Calcula las letras que aparecen en las siguientes funciones para que ellas sean continuas en todo su
dominio
⎧− x 2 + a si x < −1
⎪ 2
si − 1 ≤ x < 2
c) f ( x) = ⎨ x − 4
⎪ln( x − b) si x ≥ 2
⎩
⎧ x 2 + 2 x − a si x < 0
⎧a( x 2 − 2) si x ≤ 0
⎪
⎪
si 0 < x < 1
a) f ( x) = ⎨bx + 1
si 0 < x < 1 b) f ( x) = ⎨2 x + b
⎪1 x
⎪
si x ≥ 1
si x ≥ 1
⎩
⎩x + 3
5) Estudia la continuidad de las siguientes funciones en función de las letras que aparezcan en ellas
si x < −3
⎧x + 2
⎪ 2
b) f ( x) = ⎨ x − 10 si − 3 ≤ x < 1
⎪kx + 2 si x ≥ 1
⎩
⎧ 5+ x −3
si x ≠ 4
⎪
a) f ( x) = ⎨ x − 4
⎪k
si x = 4
⎩
⎧x−b
si x < 0
⎪
c) g ( x) = ⎨ b + 1
⎪⎩ x 2 + b si x ≥ 0
6) Calcula las asíntotas de las siguientes funciones
a) y =
4x2 + 5
2x + 8
b) f ( x) =
x +1
x2 − 3
c) f ( x) =
3x 4 + 2 x − 1
x4 + 1
d) y =
2 x − x2
x−3
e) y =
x
1 − x2
DERIVADA Y SUS APLICACIONES
1) Aplicando la definición (como límite), halla la derivada de las siguientes funciones en los puntos
indicados:
a) f ( x) = x 2 − 1 en x = 3
b) f ( x) =
1
1
2
en x = 0 c) f ( x) = x − 2 en x = 4 d) f ( x) = en x = −2
2
2x
x −1
2) Deriva las siguientes funciones:
32
⎛ x −1 ⎞
x2 + 1
3
a) y = 2 x − 5 b) y = ⎜
c)
=
y
⎟
x2 − 5
⎝ x+2⎠
d) y = ( ln x )
g) y = x3 ⋅ ln x h) y = ln(ln x) i) y = ln( x3 − 7 x 2 − 3) j) y =
2
x2
1 + ln x
⎛ x ⎞
2 ⎟
⎝1+ x ⎠
e) y = ln x3 f) y = ln ⎜
k) y = x3 ⋅ log 2 (3 − 2 x)
5
l) y = x3 ⋅ e x m) y=
1 + cos x
x
y = e −5 x
2
r) y = sec x −
y = arcsen(ln x)
sen x
e x − e− x
o) y = ln (1 − xe x ) p) y =
x
−x
1 + cos x
e +e
cos x
sen x + cos x
x −1
s) y = ln
t) y =
u) y = arctg
x +1
1 + cos x
sen x − cos x
1
x) y = 1 − tg 2 x
y) y = e x⋅sen x z) y = arctg x + arctg x
n) y = e
cos x
1 + sen x
w) y = arctg cos x
1+ x 2
ñ) y =
q) v)
6) Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos indicados:
a) f ( x) = − x 2 + 4 x en x = −2
d) f ( x) = − xe x en x = 0
b) f ( x) = x3 − 6 x 2 + 16 x − 11 en x = 0
e) f ( x) =
c) f ( x) = 1 + ln x en x = 1
x +4
en x = 2
2x
2
7) Representa las siguientes funciones estudiando las asíntotas, el crecimiento, los extremos, la
curvatura y los puntos de inflexión.
4
2
a) f ( x) = x − 2 x
e) f ( x) =
3x
x−2
x
g) f ( x) = 2
x +4
b) f ( x) = − x3 + 3x 2 − 2
x2
x +1
f) f ( x) =
x
x −4
2
c) f ( x) =
d) f ( x) =
2 x2
x −1
8) Resuelve los siguientes problemas de optimización:
a) Se dispone de 400 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. ¿Qué dimensiones deberá
tener el solar para que con esa alambrada se limite la mayor área posible? Razonar el proceso.
b) Un segmento de longitud de 5 cm. apoya sus extremos en los semiejes positivos OX y OY, de tal
manera que forma con éstos un triángulo. Halla las dimensiones del triángulo de área máxima así
construido.
c) Calcula el área máxima que puede tiene un triángulo rectángulo tal que la suma de la longitudes de
sus dos catetos vale 4 cm.
d) Calcula dos números que cumplan que al sumarlos resulte 10 y la resta de uno de ellos menos el
inverso del otro sea mínima.
TRIGONOMETRÍA
1) Calcula razonadamente (si existen) el valor de las siguientes razones trigonométricas:
b) cos135º
h) cos 225º
a) sen 210º
g) cos120º
c) sen 300º
i) tg150º
d) cos 720º
j) sec120º
e) sen 390º
k) tg 240º
f) sec315º
l) sec 225º
2) Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
⎛ 5π
⎞
⎛π
⎞
⎛ 3π
⎞
⎛ 7π
⎞
a) cos ⎜ − x ⎟ − sen ⎜ + x ⎟ + cos ⎜ − x ⎟ − sen ⎜ + x ⎟
⎝ 2
⎠
⎝2
⎠
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎠
b)
cos(α − β) − cos(α + β)
sen(α + β) + sen(α − β)
3) Comprueba las siguientes relaciones:
a) sen(45º +α ) =
2
(sen α + cos α )
2
b) sen(45º +α) + cos(45º +α) = 2 cos α
c) tg a + tg b =
sen(a + b)
cos a cos b
6
d)
cos a + cos b
1
=
sen(a + b) ⋅ sen(a − b) cos b − cos a
e) 1 − cos(a + b)cos(a − b) = sen 2 a + sen 2 b
4) Sabiendo que tg α = − 3 4 y que α ∈ ( π 2, π ) determinar las razones seno y coseno del ángulo
(180º −2α) .
5) Considera un ángulo del tercer cuadrante tal que tg α = 2 . Indica en que cuadrante estará el ángulo
( α 2 ) y calcula (sin utilizar decimales):
a) tg 2α
b) cosα
c) sen 2α
d) cos ( α 2 )
6) Siendo α y β dos ángulos del primer cuadrante tales que sen α = 3 5 y sen β = 12 13 calcula
sen(α + β) y cos(α + β) .
7) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas dando las soluciones en radianes
a) 3cos x + 3 = 2sen 2 x
b) 3 + cos 2 x = 5cos x
c) cos x ⋅ cos 2 x + cos 2 x = 0
d) tg x ⋅ tg 2 x = 1
e) sen 2 x + cos 2 x = 2
f) cos 2 x + 2sen x = 1
8) Una torre de agua de 30 m de alto se coloca en la cima de una colina. Desde una distancia de 120
m colina abajo, se observa que el ángulo entre la parte superior y la base de la torre es de 8º.
Encuentre el ángulo de inclinación de la colina.
9) Un explorador parte de un punto A, recorriendo 3 Km en línea recta hasta que llega a otro punto B.
Aquí gira un ángulo de 65º hacia su izquierda caminando 2'5 Km en línea recta en la nueva dirección
hasta alcanzar un punto C. Nuevamente gira ahora un ángulo de 125º a su derecha y recorre 6'2 Km
en la nueva dirección hasta llegar a D. Averiguar la distancia en línea recta que hay desde A hasta D.
10) Una columna está situada sobre un peñón. Desde un punto del suelo, se ve la parte superior de la
columna bajo un ángulo de 55º. Situándonos en un punto 40 m delante se constata que el ángulo de
elevación se transforma en 80º, y el ángulo bajo el cual se ve la base de la columna es de 60º. Hallar
la altura de dicha columna.
11) La caja con forma de ortoedro de la figura tiene las dimensiones que se indican. Hallar la medida
del ángulo θ formado por las diagonales que se muestran.
7
NÚMEROS COMPLEJOS
1) Dados los números complejos: z1 = k − 2i , z2 = 1 + ki se pide:
a) Si k va tomando todos los valores posibles, ¿qué figura formarán todos los afijos del número
complejo z 2 ?
b) Calcular k para que z1 ⋅ z2 sea real.
z
c) Para k = 1 , halla 1 .
z2
2) Realiza en forma binómica:
⎛ 3 1 ⎞
a) (3 − i ) ⋅ ⎜ + i ⎟
⎝ 10 10 ⎠
⎛1 1 ⎞
b) ⎜ − i ⎟ ⋅ (4 + 2i )
⎝ 5 10 ⎠
8 + 2i
c) 1 + 3i
1 1
− i
5
5
d) 3 − 4i
( 3 + 3i ) f)
4
e)
3) Hallar el producto z1 ⋅ z2 y el cociente z1 z2 expresando el resultado en forma polar:
a) z1 = 1π , z2 = 1π 3
b) z1 = 3π 6 , z2 = 54 π 3
c) z1 = cos 45º + isen45º , z2 = cos135º +isen135º
1
3
i y w = 2 45º , calcular :
4) Dados los números complejos z = − −
2 2
a) z ⋅ w
b) z 3 ⋅ w
c) z ⋅ w4
5) Dados los números complejos z1 = 3 + i y z2 = 1 + 3i
a) Efectuar de dos formas distintas la división z1 : z2
b) Calcular y representar los afijos de
3
z1
z2
6) Resuelve las siguientes ecuaciones complejas representando las soluciones e indicándo su
expresión en forma binómica:
b) x 7 − π14 i = 0
c) z 4 + 1 = −15
d) (1 + i) z 3 − 2i = 0
a) z 5 − z = 0
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1) Escribe las ecuaciones paramétricas de una recta que es paralela al eje OY y que pasa por el punto
(−3, 2) . ¿Cuál es su ecuación general?
⎧ x = 1 − 2t
y halla la ecuación continua de una paralela a ella que pase por
⎩ y = 3t
2) Representa la recta r ≡ ⎨
el punto P(3, −1) .
⎧ x = 5 + 3t
⎧ x = 1 − 9s
y r2 ≡ ⎨
son paralelas
⎩ y = −3 + 2t
⎩ y = 2 + ks
3) Cuánto vale k si las rectas r1 ≡ ⎨
⎧ x = 1 + 4t
4) Dos lados de un paralelogramo están sobre las rectas r ≡ 2 x − y + 1 = 0 y s ≡ ⎨
y el punto
⎩y = 3−t
(3, −2) es uno de sus vértices.
a) Dibuja el paralelogramo.
8
b) Halla las ecuaciones de los otros dos lados.
c) Calcula las coordenadas de los restantes vértices.
5) Hallar la ecuación general de la recta que:
a) Pasa por los puntos P(3,2) y Q(4,5).
b) Pasa por el punto A(2,1) y forma un ángulo de 135º con la parte positiva del eje OX.
c) Es paralela a la recta r : 3 x − y − 2 = 0 y corta al eje OY en un punto de ordenada. y = 3
d) Es perpendicular al segmento PQ y pasa por Q.
6) Calcula la ecuación de las siguientes rectas:
a) Perpendicular a la recta x − 2 y − 3 = 0 y pasa por el punto A(2, −1) .
b) Perpendicular al eje de abscisas y pasa por B(−4,8) .
c) Perpendicular al eje de ordenadas y pasa por C (−1,3) .
⎧ x = −1 + 2t
y que pasa por P(−1, 0) .
⎩y = 5+ t
d) Perpendicular a ⎨
e) Perpendicular al segmento AB con A(−1, −3) y B(2, −5) que pasa por el punto Q(−3, 2) .
7) Se tiene un triángulo con dos de sus vértices en los puntos A(0,2) y B(1,1). El tercer vértice C se
encuentra en la intersección de las rectas siguientes:
⎧x = 2 + λ
r : 2x − y −1 = 0 y s : ⎨
. Calcula la ecuación general de la altura relativa al vértice C.
⎩ y = 3 + 3λ
8) Calcula el ángulo que forman las rectas r : 3 x − 4 y = 0 y s : 2 x + 2 y + 3 = 0
9) Calcula el simétrico del punto P (5, −1) respecto a:
a) El origen de coordenadas.
b) El punto Q(2, −1) .
c) La recta x = 2 .
d) La recta y = 1 .
e) La recta x − y + 3 = 0 .
10) Las rectas r : x − 2 y + 5 = 0 y s : 2 x + 3 y − 4 = 0 contienen respectivamente a un cateto y la
hipotenusa de un triángulo rectángulo. Sabiendo que el vértice correspondiente al ángulo recto es el
punto A(3, 4) , determinar la ecuación de la recta que contiene al otro cateto y el área del triángulo.
11) De un paralelogramo ABCD se sabe que sus lados AB y AD están sobre las rectas
r ≡ x − 4 y + 3 = 0 y s ≡ 3 x − y − 2 = 0 y que las coordenadas de C son (6,5). Hallar:
a) Las ecuaciones de los otros dos lados.
b) La ecuación de la perpendicular a la diagonal AD que pasa por el centro geométrico del
paralelogramo.
12) Dado el cuadrilátero A(2,0) , B(6,1) , C(4,8) y D(0,6) , halla razonadamente:
a) La mediatriz del lado AB.
b) El punto de corte de sus diagonales.
b) El área del cuadrilátero.
13) Dadas las rectas r : 3x + 4 y − 2 = 0 y s : x − y = 0 .
a) Hallar el ángulo que forman.
b) Determinar los puntos de la recta s cuya distancia a r es de dos unidades.
9
CÓNICAS
1) Calcula la ecuación general de la circunferencia que tiene como diámetro al segmento
determinado por los puntos A ( − 3 , 2 ) y B ( 1 , 6 ) .
2) Calcula la ecuación general de la circunferencia con centro en el baricentro del triángulo
determinado por A ( 5 , 7 ) , B ( 1 , − 5 ) y C ( 3 , 1 ) , y que pasa por el punto P (−5, −4) .
3) Halla el centro y el radio de las siguientes circunferencias:
a) x 2 + y 2 − 2 x + 2 y − 23 = 0
b) x 2 + y 2 − 2 y − 8 = 0
c) x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = 0
4) Halla la ecuación de una circunferencia tangente al eje de abscisas y con centro en C ( 2,3)
5) Identifica las siguientes cónicas, calcula sus elementos característicos y dibújalas:
b) 16 x 2 − 9 y 2 = 144
c) 9 x 2 + 9 y 2 = 25
a) 4 x 2 + 9 y 2 = 36
d) x 2 − 4 y 2 = 16
e) y 2 = 14 x
f) 25 x 2 + 144 y 2 = 900
6) Halla las ecuaciones de las siguientes cónicas:
a) Elipse con focos en ( −1,0 ) y (1,0 ) , con semieje mayor 2.
b) Elipse con focos en ( −3,0 ) y ( 3,0 ) , pasando por P ( 5,0 ) .
c) Hipérbola en la que un foco es F (17,0 ) y un vértice V (15,0 )
d) Hipérbola cuya diferencia de distancias a ( −3,0 ) y ( 3,0 ) es 4.
7) Indica cuáles de las siguientes ecuaciones generales corresponden o no a circunferencias, y en caso
positivo indica el centro y el radio.
a) x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 1 = 0
b) x 2 + y 2 + x + 2 y + 1 = 0
c) x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 12 = 0
8) Escribe la ecuación de una circunferencia concéntrica con x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 4 = 0 y que pase
por P ( 0, −1) .
9) Dada la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 − 12 x + 6 y + 29 = 0 calcula la ecuación general de la
JJJJG
JJJG
circunferencia con centro en el punto determinado por OC ' = −OC , siendo C el centro de la
circunferencia dada, y con el doble de radio.
10) Representa las siguientes cónicas e indica todos sus elementos:
a)
x2
+ 4 y2 = 1
4
2
2
b) x − y = 1
c) x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0
d) y 2 = 8 x
11) Identifica las siguientes cónicas e indica sus focos, vértices y excentricidad:
x2 y2
b)
−
=1
a) 4 x 2 + 9 y 2 = 4
b) x 2 − y 2 = 16
a) x 2 + 4 y 2 = 1
9
9
12) Consideremos la elipse y la hipérbola con semiejes 4 y 3. Indica de ambas:
a) Ecuación
b) Focos
c) Excentricidad
13) Representa gráficamente e indica la ecuación de las siguientes cónicas:
a) Parábola con foco en OX y parámetro 1
b) Hipérbola con vértice en (1, 0 ) y semieje imaginario 1
14) Representa gráficamente e indica la ecuación de las siguientes cónicas:
a) Elipse con distancia focal 16 y semieje mayor 10
b) Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos ( 3, 0 ) y
( −3, 0 ) es 4.
10