1. Educación

C´
alculo I
EPS (Grado TICS)
Tema 3: Integrales definidas – Encuesta
1. Calcular la integral definida
b
a f (x)dx
de de las siguientes funciones:
x3 − x
, a = 1, b = 3.
x3 + x
x4
, a = 2, b = 4.
(b) f (x) = 2
(x − 1)(x − 1)
x
(c) f (x) = 2
, a = 0, b = 3.
(x + 1)(x + 1)
(a) f (x) =
(d) f (x) =
(e) f (x) =
(f) f (x) =
x2 − 6x
, a = 0, b = 1
(x2 − 4x + 4)(x2 + 6x + 9)
x3
, a = −2, b = −1
(x − 1)3 (x2 − 9)
x4
, a = −3, b = −2
(x2 − 1)2
2. Calcular la integral definida
b
a f (x)dx
de de las siguientes funciones:
1
, a = 1, b = 2.
cosh3 (3x)
(a) f (x) = cos(3x) cos(7x), a = 0, b = π.
(c) f (x) =
(b) f (x) = sinh3 (3x), a = 0, b = 1.
(d) f (x) = tan(2x) tan(6x), a = 0, b = π.
3. Calcular la integral indefinida de de las siguientes funciones:
sin x
3 − 2 cos x
cos x sin x
(b) f (x) =
2 cos x − 3 sin x
(a) f (x) =
cos 2x + sin 2x
3 cos 2x − sin 2x
sin(x/2)
(d) f (x) =
1 − cos(x/2)
(c) f (x) =
(e) f (x) =
cos x
2 + sin x
(f) f (x) =
cos x sin 2x
cos 2x sin x
4. Calcular integrando por partes la integral indefinida de de las siguientes funciones:
(a) f (x) = x2 log x
(d) f (x) = e3x log x
(g) f (x) = cos3 x sin x
(b) f (y) = ex sin2 (x)
(e) f (y) = e2x cos3 (x)
(h) f (y) = cos2 x sin4 x
(c) f (x) = xargsinh(x)
(f) f (x) = cos4 x sin5 x
(i) f (x) = x2 arccos x
5. Calcular la integral indefinida de de las siguientes funciones:
(a) f (z) = x sec2 (x2 )
(b) f (t) =
t3
(4 − 2t4 )11
(c) f (z) = (z 5 +4z 2 )(z 3 +1)12
sin x cos x
(d) f (x) = √
sin x + 1
(e) f (x) =
(f) f (x) =
(1 +
1
√
x)3
2x3 + 3x
(3x4 + 9x2 )5
6. Calcular las integrales definidas siguientes:
1
3
x3
(a)
9 + x2 dx
0
0
a
3
x
(b)
0
25 − x2 dx
0
1
√
dx
28 − 12x − x2
(c)
(d)
x2
0
√
(e)
−1
0
1
dx
x 2 + a2
(f)
−a
1
√
dx
(x − 2) x + 2
x4
x
dx
+ a4
7. Calcular las integrales definidas siguientes:
2
log 6
0
log 2
3
(b)
1
d3
x2 + 3x − 1 dx
dx3
(c)
e−x dx
(a)
π/4
x
x
dx
x+2
(d)
3
(e)
1
y 1/3 + y 1/2
dy
y
−2
sec2 xdx
(−4)dx
(f)
3
0
8. (a) Si
(f + g)(x)dx = 3,
(f − g)(x)dx = 10,
¿cu´anto vale
(b) Si
g(x)dx = 5.
y
0
4
1
1
0 g(x)dx?
8
1
8
2g(x)dx = 6,
g(x)dx = 4,
g(x)dx = 5.
y
2
6
1
¿cu´anto vale
4
1
4
6
2 g(x)dx?
Ejerc´ıcios extra algo m´
as dif´ıciles voluntarios
9. Demostrar que
n
k = n(n + 1)
2
k=1
para cualquier n entero positivo y usar este hecho para calcular el ´area de un tri´
angulo de
base b y altura h usando particiones equidistantes.
(Se hizo en clase con algo de detalle).
10. Demostrar que
n
k2 = n(n + 1)(2n + 1)
6
k=1
para cualquier n entero positivo y usar este hecho para calcular el ´area de la par´
abola que
2
pasa por el or´ıgen, tiene derivada 0 en el or´ıgen, y por el punto (a, a h) donde a > 0, h > 0.
11. Calcula los l´ımites:
lim
n→∞
lim
n→∞
lim
n→∞
n
n
n
+ 2
+ ··· + 2
+1 n +4
n + n2
1
2
n
+ 2
+ ··· + 2
2
n +1 n +4
n + n2
.
n2
1
1
1
+
+ ··· +
n+1 n+2
n+n
.
.