´ ALGEBRA LINEAL Escuela Polit´ecnica Nacional Semestre 2014-B ✤ ✜ HOJA DE EJERCICIOS 1 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales ✣ ✢ 1. (1 punto) Dada la matriz  1   n A = In − 1 1 .. .    .  1 1 ··· 1 , 1 probar que: a) (0.50 puntos) A es sim´etrica. b) (0.50 puntos) A2 = A. 2. (1 punto) Hallar las potencias n-´esimas de las matrices:   1 1 1 a) (0.50 puntos) A =  1 1 1  . 1 1 1 b) (0.50 puntos) B = α 0 1 α . 3. (1 punto) Dada una matriz A ∈ Mm×n , razonar la veracidad o falsedad de los siguientes enunciados: a) b) c) d) (0.25 (0.25 (0.25 (0.25 puntos) puntos) puntos) puntos) El producto AAT est´a bien definido. El producto A(AT A) est´a bien definido. El producto A(AT A)T est´a bien definido. Para que el producto AAT est´e definido es necesario que A sea cuadrada. 4. (1 punto) Sean las matrices A, B ∈ M4×3 , C ∈ M3×4 y D ∈ M4×4 con D matriz regular. Razonar si se pueden realizar las siguientes operaciones: a) b) c) d) (0.25 (0.25 (0.25 (0.25 puntos) puntos) puntos) puntos) (A + B)CD−1 . D−1 (A + B)C. BCD3 . DC(A + B). 5. (1 punto) Hallar los posibles valores del determinante de una matriz A en cada uno de los siguientes casos: a) (0.50 puntos) A es idempotente. b) (0.50 puntos) A es ortogonal. 6. (1 punto) Los determinantes de Vandermonde son de la forma: 1 a1 a21 .. . 1 a2 a22 .. . 1 a3 a23 .. . ··· ··· ··· .. . 1 an a2n .. . an−1 1 an−1 2 a3n−1 ··· an−1 n . Demostrar que el valor de este determinante es (aj − ai ). 1≤i<j≤n AL Hoja de Ejercicios 1: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 ´ ALGEBRA LINEAL Escuela Polit´ecnica Nacional Semestre 2014-B 7. (1 punto) Calcular el siguiente determinante: 1 2 3 1 3 3 1 2 5 .. .. .. . . . 1 2 3 1 2 3 ··· ··· ··· .. . n−1 n−1 n−1 .. . ··· ··· 2n − 3 n n − 1 2n − 1 n n n .. . . 8. (1 punto) Resolver la siguiente ecuaci´on: 1+x 1 1 1 1 1+x 1 1 1 1 1 1 1+x 1 1 1+x = 0. 9. (1 punto) Demostrar, sin desarrollar, que: a2 2a 1 ab a+b 1 b2 2b 1 = (a − b)3 . 10. (1 punto) Analizar, seg´ un los valores del par´ametro a, los siguientes sistemas:   ax + y + z = 1 x + ay + z = a a) (0.50 puntos)  x + y + az = a2   (a + 1)x + y + z = 0 x + (a + 1)y + z = 0 b) (0.50 puntos)  x + y + (a + 1)z = 0 AL Hoja de Ejercicios 1: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales 2