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PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2015
MATEMÁTICAS II
TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES

Junio, Ejercicio 3, Opción B

Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A

Reserva 2, Ejercicio 3, Opción A

Reserva 3, Ejercicio 3, Opción B

Reserva 4, Ejercicio 3, Opción B

Septiembre, Ejercicio 3, Opción A
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 1 2 0
y B    2 m 0 
 3 2 m


a) Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango.
b) Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante.
MATEMÁTICAS II. 2015. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
 1 2 
Considera las matrices A  

 2 m
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de cada matriz y lo igualamos a cero.
A 
1
2
2 m
 m4  0 m  4
m  4
m  4
1
2
B  2 m
3
2
R(A)
1
2
0
0  m 2  4m  0  m  0 ; m   4
m
m0
m  4
m  0 y 4
R(B)
2
2
3
Luego, para m  0 el rango de A es igual al rango de B y vale 2.
b) Igualamos los dos determinantes
 m  4  m 2  4m  m 2  5m  4  0  m  1 ; m   4
Luego, para m  1 y m   4 , el det(A)=det(B)
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Halla la matriz X que verifica la igualdad
sabiendo que
MATEMÁTICAS II. 2015. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Despejamos la matriz X
A X  A 1  B  C  A 1  A X  A 1  A  B  A  C  A 1  A  A X  I  B  A  C  I  A X  B  A  C 
 A  X  C  B  A  A  1  A  X  A  1  (C  B  A)  X  A  1  (C  B  A)
 0
Calculamos la matriz inversa de A    1
 1

1 0 

3 0 .
4 1 
1
  3 1  1
3



0
 1 0  1
 1
 1 1
( Ad )t  0 0 1
1


 A 
A
1
1
t
0

0
 3
1  
  1
 1

1 0 

0 0
1 1 
Calculamos la matriz X
XA
1
 3

 (C  B  A)    1
 1

 1 0   1  1
 
0 0    0
0
1 1   1
0
2  1
1
0   3
 
 
1    1
1 1     1
1   1  5  3    1
1 0   0  2 2 
 

0 0    1 1 0  
1 1   2
5 2 
6
1 5


 0
2 2
1
2
4 

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Considera la matriz
a) Halla el valor, o valores, de m para los que la matriz A tiene rango 2.
b) Para
, determina
.
MATEMÁTICAS II. 2015. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de A y lo igualamos a cero:
0
A  m 1
0
1
m
0
2   m 3  2m 2  m  0  m  0 ; m  1
1 m
0
 0 1 0
0 1


 2  0  Rango(A) = 2
Si m  0  A    1 0 2  y como el
1 0
 0 1 0


0 1 1
1 1


 2  0  Rango(A) = 2
Si m  1  A   0 0 2  y como el
0
2
0 0 0


0 1 1


b) Si m  1  A   0 0 2 
0 0 0


0 1 1 0 1 1 0 0 2

 
 

A  A A   0 0 2 0 0 2   0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0

 
 

2
0 0 2 0 1 1 0 0 0

 
 

A  A  A   0 0 00 0 2   0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0

 
 

3
Luego: A
2015
2
0 0 0


 0 0 0
0 0 0


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Considera las matrices:
y
a) Halla el determinante de una matriz X que verifique la igualdad
b) Determina, si existe, la matriz Y que verifica la igualdad
MATEMÁTICAS II. 2015. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
.
.
R E S O L U C I Ó N
a)
X 2  A X  B  X 2  A X  B  X  X  A  X  B  X
3

B
A

8
 X 
1
3
8   2
b) Despejamos la matriz Y, para ello multiplicamos por A 1 a la izquierda y por B a la derecha
A 2 Y  B  1  A  A  1  A  1  A  A Y  B  1  B  A  1  A  1  A  B  A  1  I  A Y  I  A  1  I  B  Y  A  1  B
Calculamos la matriz inversa de A.
 1 1 
 1  2




d t
2
1
1
1   1
(A )   2
A 1 




A
1
1
 1 1 
t
Calculamos la matriz Y
2   4 1   4
3
 1
Y  A 1  B  



1  0  2 
 1 1   4
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Considera las matrices:
y
a) Halla la matriz X que verifica
b) Calcula el determinante de la matriz
(I denota la matriz identidad de orden 3).
MATEMÁTICAS II. 2015. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) Despejamos la matriz X, para ello multiplicamos por A  1 a la izquierda
A  X  B  I  A  1  A  X  A  1  B  A  1  I  X  A  1  (B  I )
1 1 1 
Calculamos la matriz inversa de A  1 2 3  .
1 4 9 


2
1
 6 6
 6 5




8 3
8  2
 5
 6
1
 6 5
 2 3
1 
1  1 
( Ad )t  1  2
1




  6
8  2
 A 
A
2
2
2 
1 
 2 3
t
Calculamos la matriz X
1    1
1
1  1 0 0  
1 0 1 1
 6 5
 6 5
1 
 
 
 1 
 

1
X  A  (B  I )     6
8  2    1  1
1   0 1 0       6
8  21 0 1 
2 
2 
1   1 1 1   0 0 1  
1   1 1 0 
 2 3
 2 3
7
1
4
1 

  6 8
2
2 
3 1 
2
b) Calculamos el determinante de A y de B
1
1 1 1
A  1 2 3 2 ;
B 
1 4 9
A B
2
1
2015


A  A  B
1 1
1
1

2015
1
1
1 4
1 1

1 
  2  2 

B 

2015
1

  2 2 
4

2015
1
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 1 0 0
2
 1
 1 0 0


Considera las matrices A  
 ; B    2 1 0 y C  

 2 1
 1 5 0
 3 2 1


t
1
a) Determina la matriz X para la que A  X  B  C , ( A t la matriz traspuesta de A).
b) Calcula el determinante de B  1 (C t  C )  B , ( C t la matriz traspuesta de C).
MATEMÁTICAS II. 2015. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A
R E S O L U C I Ó N
a) Despejamos la matriz X
A t  X  B 1  C  (A t ) 1  A t  X  B 1  B  (A t ) 1 C  B  X  (A t ) 1 C  B
 1
Calculamos la matriz inversa de A t  
 2
2
.
1 
 1  2 
 1  2 




 2 1  1  1 2 
(( A t )d )t   2 1 

t 1
 A   A  3  3  3  2 1


t
Calculamos la matriz X
 1 0 0
 1 0 0
1
2
1
0
0

1
10
0






1
1




X  (A t ) 1 C  B  

  2 1 0  
  2 1 0 
3  2 1   1 5 0  
 3  1 5 0  3 2 1
 3 2 1


10


7
0
1   21 10 0  
3
 


5
3  9 5 0 
0 
 3
3


b)
B
1
 (C  C )  B  B
t
1
 2

  5
 0

 1 1 
1

  1 0 0
t
t
 C C  B 
 C C  B  C C  0 5
 

1
5
0
B


0 0


t
5
0

25 0   0
0 0 
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