ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL GRUPO 6(entrega 19-05-2015) 1. Demuestre que si una matriz no singular A tiene únicamente entradas enteras y det(A) = ±1 entones A−1 existe y tiene todas sus entradas enteras. 2. (Criptografı́a: Inversa de una matriz) Existen muchas maneras de encriptar un mensaje, y el uso del encriptamiento se ha vuelto particularmente importante en los ultimos años debido prinicpalemente a la realización de transacciones financieras e intercambio de información sensible a través del internet. Una manera de encriptar un mensaje usa matrices no singulares. Considere una matriz A, no singular. Se puede convertir el mensaje en una matriz B n × m tal que el productoAB exista. Se envı́a el mensaje generado por AB. El receptor conocerá A−1 para poder decifrar el mensaje enviado usando A−1 (AB) = B. Se debe tener en cuenta que cuando un intruso indeseado (hacker) descifra la matriz A, debemos ser capaces de cambiarla. Ası́ se debe conocer una forma mecánica de generar matrices A que sean simples y tengan inversas simples. De preferencia, las entradas de A deberı́an ser enteras, puesto que es complicado enviar fracciones en formato electrónico. Usaremos el teorema demostrado en el ejercicio anterior y propiedades de determinantes para formar matrices alternativas, tal que su determinante sea siempre ±1. (a) Usted es un espı́a y necesita informar a uno de sus contactos una información sensible,para lo cual debe enviarle por correo electrónico el punto de encuentro ”puente del Guambra”. El cifrado que utilizara sera: 0 para espacio en blanco, 1 = A, −1 =  B, 2 = C, −2 = D, y ası́ sucesivamente para 1 2 9 las demás letras del abecedario. Utilice la matriz A = 0 −1 3 ¿Qué matriz AB enviarı́a a su 0 0 1 contacto? y ¿Qué matriz conocerı́a él para descifrar su mensaje? (b) Descifre el mensaje: 81 23 8 -4 10 1 -11 13 1 67 16 7 -28 10 0 (c) Su archienemigo ha descifrado la matriz A, modifı́quela para enviar el mensaje de que han sido descubiertos ”Nos descubrieron”. (d) Utilice el siguiente cifrado: 0 significa espacio en blanco. Asociar números del 1 en adelante en orden para las letras del alfabeto, asi A=1, B=2, etc. ¿Cuáles serı́an las matrices AB para cada mensaje de los literales a y c? 3. Determine el área del triángulo con vértices (3, 3), (−1, −1), (4, 1) 4. Determine el área del paralelogramo con vértices (2, 3), (5, 3), (4, 5), (7, 5) 5. El vector u = (20, 30, 80, 10) proporciona el número de receptores, reproductores de discos compactos, bocinas y grabadoras que estan a la venta en una tienda de articulos de sonido. El vector v = (200, 120, 80, 70) representa el precio en dólares de cada receptor, reproductor de discos compactos, juego de bocinas y grabadora respectivamente. ¿Qué le indicarı́a el producto punto u.v? 6. Demuestre que V es un espacio vectorial. V = R2 con la suma y producto por escalar usuales.