Taller # 11 Matem´ aticas IV Universidad Central Profesor: Henry Naranjo Teheran. 30 de octubre de 2014. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE L´ INEA 1. Determine si F es un campo vectorial conservativo o no lo es. Si es, encuentre una funci´on tal que F = ∇f . a) b) c) d) F (x, y) = (2x − 3y)i + (−3x + 4y − 8)j. F (x, y) = ex cos yi + ex sin yj. F (x, y) = (ln y + 2xy 3 )i + (3x2 y 2 + x/y)j. F (x, y) = (yex + sin y)i + (ex + x cos y)j. 2. (a) Determine una funci´ on f tal que F = ∇f y (b) use el inciso (a) para evaluar largo de la curva C dada. C F • dr a lo i) F (x, y) = x2 i + y 2 j. C es el arco de la par´abola y = 2x2 de (−1, 2) a (2, 8). ii) F (x, y, z) = (2xz + y 2 )i + 2xyj + (x2 + 3z 2 )k. C : x = t2 , y = t + 1, z = 2t − 1, 0 ≤ t ≤ 1. iii) F (x, y, z) = ey i + xey j + (z + 1)ez k, C : r(t) = ti + t2 j + t3 k, 0 ≤ t ≤ 1. 3. Demuestre que la integral de l´ınea C tan ydx+x sec2 ydy es independiente de la trayectoria y eval´ ue la integral, donde C es cualquier trayectoria desde (1, 0) a (2, π/4). 4. Calcule el trabajo que realiza el campo de fuerza F (x, y) = e−y i − xe−y j; al desplazar un objeto desde P (0, 1) a Q(2, 0). TEOREMA DE GREEN 1. Determine la integral de l´ınea utilizando los dos m´etodos:(a) Directamente (b) Por medio del teorema de Green. 1.1 2.2 (x − y)dx + (x + y)dy, C es la circunferencia en el origen y radio 2. xydx + x2 y 3 dy, C es el tri´ angulo con v´ertices (0, 0), (1, 0) y (1, 2). 2. Eval´ ue mediante el teorema de Green la integral de l´ınea a lo largo de la curva con orientaci´ on positiva que se proporciona. (a) (b) cos ydx + x2 sin ydx, C es el rect´angulo con v´ertices (0, 0), (5, 0), (5, 2) y (0, 2). xe−2x dx + (x4 + 2x2 y 2 )dy, C es el l´ımite de la regi´on entre las circunferencias x2 + y 2 = 1 C y x2 + y 2 = 4. C 3. Eval´ ue mediante el teorema de Green, C F • dr. Compruebe la orientaci´on de la curva C antes de aplicar el teorema. √ √ (a) F (x, y) = ( x + y 3 , x2 + y), donde C consiste del arco de curva y = sin x desde (0, 0) a (π, 0) y el segmento rectil´ıneo desde (π, 0) a (0, 0). (b) F (x, y) = (ex + x2 y, ex − xy 2 ), donde C es la circunferencia (x − 2)2 + (y − 3)2 = 1, orientada en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. 4. Una part´ıcula√parte del punto (−2, 0) se mueve por el eje x hasta (2, 0) y luego por la semicircunferencia y = 4 − x2 hasta el punto de inicio. Use el teorema de Green para calcular el trabajo que hace el campo de fuerza F (x, y) = (x, x3 + 3xy 2 ) sobre esta part´ıcula. 1