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1.
LÓGICA
La lógica es la ciencia que estudia el razonamiento.
”Razonamiento” el proceso que consiste en obtener, a partir de un conjunto de
afirmaciones (llamadas premisas), otras afirmaciones (llamadas conclusiones);
con los criterios adecuados que garanticen que si las premisas son verdaderas,
entonces las conclusiones obtenidas también sean verdaderas.
Existen tres conceptos que deben tenerse claros cuando se estudia matemáticas.
definición, axioma y teorema.
’nondent Procederremos a aclarar que es cada uno de estos conceptos.
2.
Definición
Definición 1. Una definición es un enunciado breve, o una fórmula, por medio
del cual se expone, de manera clara y precisa, las características distintivas de
un concepto.
Las definiciones le dan vida a los objetos matemáticos, y permiten diferenciar el
objeto definido, de todos los demás.
Ejemplo 1. Números Naturales
Números Naturales son los que se utilizan para contar.
Ejemplo 2. Números Primos
Números Primos son los números naturales, mayores que 1, y que solo son divisibles por si mismo y por la unidad.
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3.
Axiomas y Teoremas
Todas las verdades matemáticas se reducen a dos tipos: o son axiomas o son
teoremas. Los axíomas o principios son proposiciones que aceptamos cómo verdaderas o incuestionables; y los teoremas son proposiciones que sólo aceptamos
cómo verdaderas después de que, mediante un argumento lógico, se muestra su
validez. Precisemos:
Axioma Se denomina Axioma, Principio, Ley o Postulado, a una verdad que
se acepta sin demostración.
Ejemplos 1. Son ejemplos de axionas:
Ninguna persona llega a los tres metros de altura.
El Sol ”sale” todos los dias.
Los peces viven en el agua.
Si x es un número real, se cumple que x + x = 2x
Cuando los axiomas o teoremas son muy importanes, se les da nombres:
Postulado de la Regla. Los números reales pueden representarse cómo puntos
de una recta.
Propiedad Modulativa de la Suma. Todo número real sumado con cero da el
2
mismo número.
Ejemplo 3. Otros ejemplos de axiomas son las llamadas Propiedades de las
Igualdades:
I
) Si a ambos lados de una igualdad se les suma (o se les resta) un mismo
numero, el resultado es otra igualdad.
II
) Si ambos lados de una igualdad se multiplican (o se dividen) por un mismo
numero, el resultado es otra igualdad.
III
) Si ambos lados de una igualdad se elevan a la misma potencia (o se les
extrae la misma raiz) el resultado es otra igualdad.
Teorema Un Teorema, es una verdad que necesita ser demostrada.
Ejemplo 4. La Tierra gira alrededor del Sol.
Si a y b son números reales tales negativos (a < 0 y b < 0), entonces ab > 0.
Ejemplo 5. En todo triángulo rectángulo: el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos.
Ejemplo 6. En todo triangulo la suma de los ángulos interiores es igual a 180
grados.
Ejemplo 7. Si ABC es un triángulo cualquiera y O, G y K son su ortocentro,
baricentro y circuncentro, respectivamente, entonces: OG = 2GK
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3.1.
La Forma de los Teoremas
Todos los teoremas tienen la fórma lógica: H → C, es decir, son proposiciones
condicionales; sin embargo, por simplicidad idiomática o, para facilitar su comprensión, en algunos casos la forma condicional no se encuentra explícita en el
enunciado de un teorema; pero, con un ligero cambio, o mediante la introducción
de algunas palabras, se hace evidente la forma condicional.
El teorema 5 expresado en forma lógica sería:
Si ABC es un triángulo rectángulo con c cómo hipotenusa, entonces c2 = a2 + b2 .
Y el teorema 6 tomaría la forma:
b+B
b+C
b = 180◦
Si ABC es un triángulo cualquiera, entonces A
La parte H, formada por una, o por la conjunción de varias proposiciones simples, se denomina Hipótesis o Antecedente.
La parte C, formada generalmente por una proposición, se denomina Conclusión, Tesis o Consecuente.
En algunos casos en que los teoremas se presentan en la forma: H ↔ C,
(bicondicionales) se trata de dos teoremas en uno: la parte H → C se llama
teorema directo; y la parte C → H. se llama teorema recíproco.
Los siguientes son otros ejemplos de teoremas.
Ejemplo 8. Cuadrado de un Binomio
Si a y b son números reales, entonces (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
Ejemplo 9. Teorema del Valor Medio
Si f : [a, b] →
R es una función continua, entonces existe un punto c ∈ [a, b] tal
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que f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a).
4.
Demostración de Teoremas
Demostrar un teorema es comprobar, de manera lógica, su validez.
Puesto que los teoremas son proposiciones condicionales, la demostración de
un teorema se reduce a comprobar que la condicional H → C, es verdadera,
aceptando que la hipótesis es siempre verdadera. Esquemáticamente se tiene la
siguiente situación:
Gráfica 1: Esquema de verdad de un teorema.
Revisando la tabla de la condicional (primera y segunda lineas), encontramos
que la única forma válida de completar este esquema, es bajo la presunción de
que la conclusión C, también sea verdadera.
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
5
Por lo tanto, para demostrar un teorema sólo debe comprobarse que la conclusión C, es verdadera.
5.
Métodos de Demostración
En esencia existen cuatro métodos de demostración de teoremas: elmétodo directo, el método del contrarrecíproco, el método de reducción al absurdo y método de demostaración por inducción. Los métodos: del contrarrecíproco y de
reducción al absurdo se denominan métodos indirectos.
5.1.
Método Directo
El método esta basado en la tautología [H ∧ (H → C)] ⇒ C, y consiste en partir
de la hipótesis (o de otra verdad previamente demostrada) y por medio de pasos
lógico-matemáticos llegar a la conclusión.
Seguidamente utilizaremos las propiedades (axiomas) de las igualdades (página
3), y de los números reales (página ??), para demostrar algunos teoremas.
Ejemplo 10. Supongamos que deseamos demostrar que todo número real, multiplicado por cero, da cero. El enunciado del teorema sería:
Teorema 1. Si a es un número real cualquiera, entonces: a · 0 = 0.
Demostración. Empezaremos con el axioma 4 de los reales.
0+0=0
Propiedad modulativa de la suma
a · (0 + 0) = a · 0
Propiedad de las igualdades
a · 0 + a · 0 = a · 0 Propiedad distributiva del producto
6
(a · 0 + a · 0) − a · 0 = a · 0 − a · 0 Propiedad de las igualdades
a · 0 + (a · 0 − a · 0) = a · 0 − a · 0 Propiedad asociativa de la suma
a · 0 + 0 = 0 Propiedad invertiva de la suma
a·0=0
Propiedad modulativa de la suma.
El cuadrito negro, al final de la última linea indica el final de la demostración.
Teoremas cuya Conclusión es una Igualdad o una Desigualdad
En el caso en que la conclusión de un teorema sea una igualdad (o una desigualdad), la validez de ésta se demuestra partiendo de uno de los lados y, por medio
de pasos lógico-matemáticos, y la hipótesis, llegar hasta el otro lado.
Ejemplo 11. Supongamos que se tiene el teorema llamado ”Cuadrado de la suma de dos cantidades”:
Teorema 2. Si a y b son números rales, entonces: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
Demostración. Puesto que se trata de una igualdad, empezamos por el lado
izquierdo, para llegar al derecho.
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
Definición de cuadrado de un número
= a2 + ab + ba + b2
Propiedad distributiva de los reales
= a2 + ab + ab + b2
Propiedad conmutativa de los reales
= a2 + 2ab + b2
Efectuando operaciones (suma de reales). Ejemplo 12. Supongamos que se tiene el teorema llamado ”Producto de la suma
por la diferencia de dos cantidades”.
Teorema 3. Si a y b son números rales, entonces: (a + b)(a − b) = a2 − b2 .
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Demostración. De nuevo un teorema cuya conclusión es una igualdad. Justifique
cada paso.
(a + b)(a − b) = a2 + ab − ab − b2
= a2 + ab − ba − b2
−
− b2
= a2 + ab
ab
= a2 − b 2
6.
Conjeturas
Definición 2. Se denomina Conjetura a una proposición cuya validez no se conoce.
Si se demuestra su validez, entonces la conjetura es verdadera; y si se comprueba su no validez, la conjetura es falsa.
7.
Refutación de Conjeturas
Si una conjetura es del tipo generalizacion universal, es decir: (∀x)(xP ), entonces su refutación está basada en la equivalencia:
− (∀x)(xP ) ⇔ (∃x)(−xP )
(1)
y consiste en mostrar un contraejemplo (un elemento que no cumpla la condición).
Ejemplo 13. Si se afirma que "Todos los hombres son morenos".
La refutación consistirá en mostrar un hombre que sea blanco o negro o amarillo
(que no sea moreno).
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Ejemplo 14. Si se conjetura que "Todos los números primos son impares".
La refutación consistira en mostra al número 2 que es, primo y no es impar.
Por otra parte, si una conjetura es del tipo especificación existencial, es decir:
(∃x)(xP ), entonces su refutación se basa en la equivalencia
−(∃x)(xP ) ⇔ (∀x)(−xP )
y consiste en realizar una demostración que pruebe la condición.
Ejemplo 15. Si se afirma que: ”Algunos insectos tienen ocho patas”.
La refutación consistirá en mostrar que todos los insectos tiene un número de
patas que no es ocho.
Ejemplo 16. Si se conjetura que: ”Algunas asignaturas son inútiles”.
La refutación consistiría en mostrar que todas las asignaturas son útiles.
8.
Ejercicios
Catalogue las siguientes proposiciones como axiomas o teoremas.
1 ) La mayoría de los estudiantes de la Unimag no saben leer bien.
2 ) Las buenas madres quieren mucho a sus hijos.
(
(
).
).
3 ) Todos los hombres ”bebedores” maltratan a sus compañeras.
(
).
4 ) Mantener un promedio académico alto requiere un gran esfuerzo.
(
).
5 ) Los políticos deshonestos egresan de universidades prestigiosas.
(
).
6 ) Alguos hombres ricos no tiene títulos universitarios.
(
).
7 ) Todos los políticos que promueven la guerra han sido militares.
9
(
).
8 ) Todas las máquinas son suceptibles de fallar.
(
).
9 ) Los egresados con mas bajo promedio consiguen mejors los empleos. (
10
).