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METODOS DE DEMOSTRACIÓN
Métodos de demostración:
Designamos en esta forma los modelos o esquemas más generales que
encontramos en los procesos deductivos. Estos modelos, como veremos en el
transcurso de su desarrollo, están fundamentados lógicamente en teoremas o
reglas de inferencia ya establecidos.
Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional
"Dado un conjunto de premisas en una teoría, si bajo el supuesto de que una
proposición P es verdadera y utilizando las premisas disponibles se puede hacer
una demostración de que una proposición Q es verdadera, entonces en esa teoría
puede concluirse que
es verdadero”.
EJEMPLO:
Demostrar utilizando el método directo que la siguiente proposición es teorema: La
suma de dos números pares es un número par.
Observación
En el lenguaje ordinario encontramos los textos de los enunciados tal como está
presentado el ejemplo. Es necesario, en consecuencia, que podamos identificar en
él la implicación implícita con sus correspondientes antecedente y consecuente;
de lo contrario no sería posible abordar su demostración. El enunciado anterior lo
podemos presentar así:
"Si a, b son números pares, entonces a + b es un número par".
Método del contrarrecíproco
El teorema del contrarrecíproco
da lugar a una variante
del método directo, que se utiliza mucho en matemáticas y es conocido como
método del contrarrecíproco. Este método puede resumirse así: Supongamos que
se quiere demostrar que una proposición específica
es teorema y al
intentar su demostración por el método directo no logramos obtener la conclusión
deseada. Se procede entonces a demostrar por el método directo su
contrarrecíproca
, si se consigue este objetivo entonces queda
establecida la validez de
al hacer sustitución por equivalencia.
EJEMPLO:
Demostrar el siguiente teorema: Si el cuadrado de un número es impar entonces
el número es impar.
Enunciado explícito: Si a 2 es impar entonces a es impar.
Empleando el método directo se tiene:
Pero, ¿qué podemos decir de
? No podemos decir que este número es par
ni tampoco que es impar. Esta imposibilidad de obtener la conclusión buscada nos
lleva a cambiar la estrategia.
Procedamos ahora a demostrar su contrarrecíproco por el método directo. El
enunciado del contrarrecíproco corresponde a:
Si a es par entonces
es par.
Método de demostración por contradicción o reducción al absurdo
Contradicción: Designamos en esta forma, toda proposición correspondiente a la
conjunción entre una proposición y su negación.
Teoría contradictoria o inconsistente: Se dice que una teoría es contradictoria o
inconsistente, cuando en dicha teoría es posible demostrar una contradicción. En
una teoría contradictoria podemos concluir que una proposición es verdadera y
falsa a la vez.
El método de demostración por reducción al absurdo se fundamenta en la
condición de no contradicción para una teoría, básicamente la estrategia consiste
en suponer explícitamente la negación de la proposición a demostrar, a partir de
esta hipótesis se trata de generar una contradicción, esto es: que la teoría con ese
supuesto es inconsistente y, en consecuencia, tal hipótesis es falsa, o lo que es
equivalente, que su negación es verdadera, quedando validada la proposición
inicial.
La estructura lógica de lo que acabamos de expresar, se puede resumir en la
siguiente ilustración.
EJEMPLO:
El teorema que acabamos de probar es el soporte lógico de uno de los métodos
de mayor utilización en las matemáticas, designado como método de
Método de casos. (Silogismo disyuntivo).
La regla de inferencia de ese nombre da lugar a este método de demostración,
casi de forzosa utilización cuando la hipótesis o una de las hipótesis es una
disyunción de dos o más proposiciones, en cuyo caso procedemos así:
1. Suponemos la hipótesis dada correspondiente a una disyunción.
2. A partir de cada una de las proposiciones que integran la disyunción se
obtiene una conclusión parcial por el método directo.
3. Se concluye finalmente la disyunción de las conclusiones parciales.
EJEMPLO:
Demostrar el siguiente teorema: Para a, b números reales, si a = 0 ó b = 0
entonces a.b = 0
1. Supongamos a = 0 ó b = 0 Hipótesis auxiliar 1
2. Supongamos: a = 0 Hipótesis auxiliar 2
3. a.b = 0.b Ley uniforme del producto en 2
4. 0.b = 0 Teorema en el conjunto de números reales
5. a.b = 0 Transitividad en la igualdad de 3. y 4.
6.
Método directo 2....5.
7. Supongamos: b = 0 Hipótesis auxiliar 2
8. a.b = a.0 Ley uniforme del producto en 7
9. a.0 = 0 Teorema en el conjunto de los números reales
10. a.b = 0 Transitividad en la igualdad 8.y 9.
11.
Método directo 7....10.
12. a.b = 0 Método de casos de 1., 6. y 11.(Regla de inferencia )
13.
Método directo,