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ÍNDICE
Preliminares.
Abstract
Símbolos y notaciones
Tablas de verdad – Leyes lógicas
Conceptos preliminares
Teoremas preliminares
9
11
15
16
21
Primera parte. Aritmética elemental.
Algoritmo de la división
Algoritmo de Euclides
Bezout – Identidad de Bezout
Corolario
Cataldi – Teorema de Cataldi
Observación del Dr. Natalio H. Guersenzvaig
Condición unívoca de primalidad
Criterios de divisibilidad
Diofanto – Ecuación Diofántica
Corolario: Solución general
Ecuación lineal en congruencias
Factorización de los naturales
Función phi – La función 𝜙 es multiplicativa
Fórmula del Binomio de Newton
Fórmula generadora de las ternas pitagóricas
Funciones Tau y Sigma. Multiplicatividad
Fermat – Los números de Fermat son coprimos
Fórmula para los números perfectos pares
Fibonacci. Término general de la sucesión
Lagunas de naturales compuestos
Los números 𝜋 y 𝑒 son irracionales
Los números primos son infinitos
Propiedad del 𝑚𝑐𝑑 y 𝑚𝑐𝑚
Propiedad de la división entera
Pequeño Teorema de Fermat
Raíz cuadrada de un número natural
31
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37
37
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49
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80
81
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Sumatoria de las imágenes de la función 𝜙
Teorema de Wilson
Teorema Chino del Resto
Teorema de Euler – Fermat
Teorema Fundamental de la Aritmética
Teorema de Krönecker
Segunda parte. Cálculo diferencial e integral.
Barrow – Teorema de la integral definida
Bolzano – Teorema del Valor Medio de Bolzano
Cauchy – Teorema del Valor Medio generalizado
Criterio de convergencia de
D’Alembert
Cauchy
Raabe
Leibniz
Comparación
Criterio de la segunda derivada
Derivadas
Fermat – Teorema de los Extremos Relativos
Lagrange – Teorema del Valor Medio
L’Hôpital – Teorema de L’Hôpital
Límite de una función polinómica
Longitud de una curva
Propiedades de las derivadas
Linealidad
Derivada del producto de funciones
Derivada del cociente de funciones
Derivada de la composición de funciones
Derivada de la potencia de funciones
Derivada de la función inversa
Propiedades de los límites
Unicidad
Suma de dos límites
Producto de dos límites
Límite de la inversa multiplicativa
87
89
92
94
96
98
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106
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111
113
116
118
120
122
128
130
132
134
136
138
139
141
142
143
143
145
146
147
148
Límite de un logaritmo
Potencia de dos límites
Corolarios
Relación entre la derivada y el crecimiento
Relación entre la segunda derivada y la concavidad
Rolle – Teorema de Rolle
Teorema del Sándwich
Corolario – Infinitésimo por acotada
Series
Convergencia de la serie geométrica
Divergencia de la serie armónica
Condición necesaria para la convergencia
Radio y entorno de convergencia
Sólido de revolución – Volumen
Sólido de revolución – Superficie
Suma de una sucesión
Aritmética
Geométrica
Armónica
Taylor – Fórmula de Taylor y Resto de Lagrange
Serie de Taylor
Teorema del Valor Medio Integral
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Teorema de las subsucesiones
Toda función derivable es continua
Weierstrass – Teorema de las funciones acotadas
Corolario
Tercera parte. Geometría métrica.
Arco capaz
Brahmagupta – Fórmula del área de un cuadrilátero
Corolario – Área de un cuadrilátero cíclico
Ceva – Teorema de Ceva
Cuadrilátero cíclico
Recíproco
Herón – Fórmula del área de un triángulo
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148
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161
161
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174
176
178
180
182
184
185
186
186
191
193
194
196
199
200
201
Menelao – Teorema de Menelao
Pick – Teorema de Pick
Pitágoras – Teorema de Pitágoras
Recíproco
Potencia de un punto
Propiedad del baricentro de un triángulo
Propiedades de los ángulos en una circunferencia
Ptolomeo – Teorema de los cuadriláteros cíclicos
Recta de Euler
Relación entre lados y ángulos de un triángulo
Relación entre el volumen del prisma y del tetraedro
Suma de ángulos interiores del triángulo
Corolario
Teorema del Seno
Teorema del Coseno
Teorema de la Tangente
Thales – Teorema de Thales
Triángulo órtico
Varignon – Teorema de los puntos medios
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233
235
238
240
246
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Cuarta parte. Clásicos.
Algoritmo de la división de polinomios
Desigualdad triangular
Corolario
Fibonacci – Límite del cociente
Gauss – Teorema de Gauss
Teorema de las clases laterales
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260
262
264
Bibliografía
265
ABSTRACT
El Diccionario de Teoremas es la primera compilación escrita con más de cien teoremas
seleccionados por el autor.
El lector encontrará el listado de conceptos preliminares, definiciones y los teoremas ordenados
alfabéticamente, para facilitar su búsqueda. Entonces la lectura no tiene porqué seguir un orden
lineal; los teoremas no están secuenciados sino agrupados en cuatro partes: Aritmética Elemental,
Cálculo Diferencial e Integral, Geometría Métrica y un anexo con Teoremas Clásicos.
Cada teorema está precedido por el enunciado en lenguaje coloquial, la hipótesis, la tesis, los
conocimientos previos, los lemas y corolarios. Además encontrarán una o más demostraciones
íntegramente explicadas y desarrolladas, abordadas desde distintos dominios de la matemática, con
los comentarios de los especialistas convocados por el autor.
El Diccionario de Teoremas es muy útil para estudiantes de Licenciaturas, Maestrías, Doctorados,
Profesorados de Matemática y Física, Estudiantes de Ingeniería, Ciencias Económicas y de otras
carreras en las que se dicten cursos de Análisis Matemático, Álgebra, Matemática Discreta,
Geometría Métrica, Aritmética Elemental y materias afines, así como para profesores y
profesionales que necesiten el acceso rápido a un libro de consulta permanente.
POR QUÉ DEMOSTRAMOS EN MATEMÁTICA
El conocimiento matemático se sustenta en dos modos de comprensión y expresión: uno se realiza
de forma directa, que corresponde a la intuición y el otro se lleva a cabo de forma reflexiva, es decir
lógica. Estos modos de conocimiento, aunque de naturaleza distinta, son complementarios e
indispensables en la matemática. El primero es creativo y subjetivo, mientras que el segundo es
analítico y objetivo.
...“Quien sabe repetir una demostración, pero no sabe hacerlo si se cambian las letras o la
disposición de los elementos, significa que ha aprendido la demostración de memoria y esto sí no
tiene ningún valor. Mejor dicho: tiene un valor altamente negativo, pues significa que, no solamente
ignora tal demostración, sino que desconoce lo que es la Matemática y que ha desperdiciado el uso
de la memoria con un objetivo inútil y nada educativo”.1
Creo que éste es el mejor argumento.
La posibilidad de afirmar algo sin ningún lugar a la duda, sin que dependa del punto de vista, de los
gustos, de la cultura, o de la religión es el argumento más poderoso para reconocer la necesidad de
la demostración en Matemática.
1
Luis Santaló, 1962
La demostración tal como la consideramos hoy difiere (en su estructura) de lo que se consideraba
hace dos mil años; pero la esencia, la idea estructural y sobre todo el propósito sigue siendo el
mismo. Según Thales de Mileto, “el ser humano puede llegar a comprender la naturaleza por medio
de la penetrante luz de la razón”. Y qué mejor forma de presentar tal razón, que la de una
demostración lógica.
En la actualidad no discutimos que, en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las
medidas de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa. Sin embargo hace casi
trescientos años tratamos de dilucidar si es cierto que todo número par mayor que dos es suma de
dos números primos. La principal y más relevante diferencia entre estos enunciados es que de uno
existen cientos de demostraciones. El otro, por ahora, sigue sin encontrar una.