1. Educación

Universidad Veracruzana
Facultad de Matem´aticas
Funciones de Lyapunov
y Algunas Aplicaciones
TESIS
que para aprobar la experiencia educativa
Experiencia Recepcional
correspondiente al plan de estudios
de la Licenciatura en Matem´
aticas
P R E S E N T A:
Mario Alberto Yepez Rivera
DIRECTOR DE TESIS:
Dr. Evodio Mu˜
noz Aguirre.
Mayo del a˜
no 2013, Xalapa-Enr´ıquez, Veracruz. M´exico
Despu´es de varios a˜nos el final de una etapa m´as de mi vida ha llegado, una
etapa que no fue f´acil de transitar, pero gracias a muchas personas hoy estoy
aqu´ı, en primer lugar a mi madre Herminia Rivera Reyna, quien me ha brindado
la fortaleza para siempre salir adelante y me ha ense˜nado a nunca darme por
vencido; a mis hermanos: Margarita, Olivia, Flor, Rolando, Wilfrido y Carolina,
quienes siempre creyeron en m´ı y me han brindado su apoyo incondicional; a mis
profesores, quienes me transmitieron los conocimientos; tambi´en a mis amigos,
esos que hac´ıan todo divertido en la facultad, esos que en mi casa me alentaban a
superarme; tambi´en esos amigos que se han ido o pronto los dejar´e de ver, porque
han dejado una huella muy grande en m´ı; y a Dios por haberme dado esta vida y
ponerme a tan maravillosas personas en el camino.
´
Indice
general
1. Introducci´on
1
2. Teor´ıa de Estabilidad
2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Conceptos B´asicos de Sistemas Din´amicos .
2.2.1. Descripci´on y Tipos de Sistemas . .
2.2.2. Puntos de Equilibrio . . . . . . . .
2.3. Definici´on y Tipos de Estabilidad . . . . . .
2.4. Primer M´etodo de Lyapunov . . . . . . . .
2.4.1. Sistemas Lineales . . . . . . . . . .
2.4.2. Sistemas no Lineales . . . . . . . .
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3. Funciones de Lyapunov
3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Segundo M´etodo de Lyapunov . . . . . . . . . . .
3.4. M´etodos de busqueda de Funciones de Lyapunov .
3.4.1. M´etodo de Krasovskii . . . . . . . . . . .
3.4.2. M´etodo del Gradiente Variable . . . . . . .
3.4.3. Funci´on de Lyapunov de Forma Cuadr´atica
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4. Aplicaciones
4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . .
4.2. P´endulo simple no amortiguado . . .
4.2.1. Modelo . . . . . . . . . . . .
4.2.2. M´etodo de Krasovskii . . . .
4.2.3. M´etodo del Gradiente Variable
4.2.4. Funci´on de Lyapunov . . . . .
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4.3. Controlador de Posici´on Rob´otico . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.1. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.2. Funci´on de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5. Conclusiones
39
1
Introducci´on
Antecedentes
Desde los or´ıgenes de lo que conocemos como ciencia, el hombre ha tratado
de entender y explicar su entorno, pero se ha encontrado con un mundo cambiante,
donde todo est´a en movimiento, y se ha propuesto comprender el c´omo y el por
qu´e de esos movimientos. Una forma de explicar este comportamiento es a trav´es de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO’s), pero algunos fen´omenos
requieren de un sistema de e´ stas. La teor´ıa de los sistemas din´amicos intenta entender procesos en movimiento, es decir cambios o variaciones de un objeto con
respecto al tiempo.
Se entiende por un sistema din´amico al sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias expresados como x˙ = f (x), seg´un se puede ver en [5], [7], [8], [14],
[15], etc.
La estabilidad es una propiedad cualitativa de los sistemas din´amicos a la que
se le considera la m´as importante de todas. Los conceptos de estabilidad e inestabilidad est´an presentes en la vida cotidiana (bolsa de valores, estado de salud,
estructuras en construcci´on, etc.), por eso es necesario definir un concepto usado
con mucha frecuencia.
No fue sino hasta 1892 cuando Aleksandr Mij´ailovich Lyapunov (1857-1918)
formul´o de manera precisa el concepto de estabilidad, dando origen a lo que hoy
se conoce como teor´ıa de estabilidad, enmarcada en el estudio de los sistemas de
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales y no lineales.
1
´
1. INTRODUCCION
2
Justificaci´on
Para sistemas lineales, existen resultados que nos indican de una manera f´acil
y sencilla si el sistema es estable y a qu´e tipo de estabilidad nos referimos, e´ sto
forma parte de la teor´ıa de Lyapunov. Estos resultados no se pueden aplicar directamente a los sistemas no lineales, sin embargo en algunos casos se puede llegar
a conocer su comportamiento mediante sistemas linealizados asociados a e´ stos.
Pero en general no se puede obtener ninguna informaci´on del sistema no lineal.
En el an´alisis de Lyapunov se permite estudiar la estabilidad alrededor de un
punto de equilibrio de sistemas no lineales, por medio de una funci´on a la que
se le llama funci´on de Lyapunov. Una funci´on de Lyapunov es una funci´on
˙
V : Rn → R, tal que V(x) es definida positiva y V(x)
es definida negativa, ver
[6], [10], [11], [12], [13], etc.
La dificultad que guarda este tema es realmente la identificaci´on de estas funciones, ya que no es posible reconocerlas a simple vista, dado que no existe un
m´etodo sistem´atico que permita dar a conocer una funci´on en sentido de Lyapunov, salvo en algunos casos muy espec´ıficos. Estas funciones son de gran utilidad en muchas ramas de la ciencia, en particular en las que se aplica la teor´ıa
de control, como por ejemplo aeron´autica, rob´otica o procesos industriales, por
mencionar algunas.
Este trabajo se puede resumir de la siguiente manera:
En el segundo cap´ıtulo se dan a conocer definiciones b´asicas de sistemas de
ecuaciones diferenciales ordinarias, as´ı como sus propiedades, siendo la estabilidad una de las m´as importantes, la cual se estudia alrededor de los puntos de
equilibrio del sistema.
El estudio de la estabilidad en los sistemas lineales es sencillo, esto, al analizar
las caracter´ısticas de los eigenvalores y eigenvectores de la matriz asociada al sistema, pero en sistemas no lineales no se puede aplicar esta t´ecnica directamente,
para ello se procede a realizar una linealizaci´on y a partir del sistema linealizado
se puede hacer el estudio de la estabilidad.
En el tercer cap´ıtulo se da a conocer que en algunos casos el sistema linealiza-
´
1. INTRODUCCION
3
do no provee la informaci´on deseada, para ello se puede utilizar las funciones de
Lyapunov, ya que e´ stas estudian la estabilidad a partir del sistema no lineal, pero
estas funciones son dif´ıciles de encontrar, ya que no existe un m´etodo que siempre
gu´ıe al hallazgo de una funci´on de Lyapunov.
Algunos m´etodos que sirven para sistemas no lineales de bajo orden son el de
Krasovskii y el del Gradiente Variable, aunque no siempre son eficaces, incluso
se pueden auxiliar de la construcci´on de funciones de la forma cuadr´atica.
En el cuarto cap´ıtulo se muestra el uso del an´alisis de Lyapunov en fen´omenos
f´ısicos: el movimiento de un p´endulo simple y el de un manipulador rob´otico, ambos tienen su complicaci´on de cierta manera.
El primer fen´omeno se puede analizar mediante el m´etodo de Krasovskii y el
del gradiente variable, sin embargo con estos m´etodos no se puede obtener una
funci´on de Lyapunov, as´ı, se procede a utilizar una ecuaci´on muy utilizada en
f´ısica como funci´on de Lyapunov: La ecuaci´on de la energ´ıa.
Para el segundo fen´omeno es muy complicado obtener una funci´on de Lyapunov por algunos de los m´etodos, dada la dimensi´on del sistema asociado con el
fen´omeno, pero para este caso tambi´en se puede utilizar la ecuaci´on de la energ´ıa,
aunque acoplada al fen´omeno del manipulador.
Objetivos
OBJETIVO GENERAL:
Realizar un an´alisis de la estabilidad de sistemas din´amicos descritos por
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por medio de las funciones de Lyapunov, enfatizar su importancia a trav´es de algunos ejemplos de aplicaciones y mostrar algunos m´etodos que ayuden a encontrarlas.
OBJETIVOS PARTICULARES:
• Realizar un estudio de las Funciones de Lyapunov.
• Mostrar la importancia de las funciones de Lyapunov con algunos
ejemplos de aplicaciones.
• Exponer algunos m´etodos para encontrar funciones de Lyapunov.
2
Teor´ıa de Estabilidad
2.1.
Introducci´on
De acuerdo con los libros de ecuaciones diferenciales ordinarias, una ecuaci´on
diferencial ordinaria (EDO) suele representar el modelo matem´atico de un fen´omeno
f´ısico, las ecuaciones pueden ser lineales o no lineales, en algunos casos los
fen´omenos f´ısicos, qu´ımicos, biol´ogicos, etc. se modela como un sistema de e´ stas.
La soluci´on de un sistema de EDO´s indica el comportamiento de e´ ste, de este
hecho se pueden estudiar algunas de sus propiedades importantes, tal es el caso
de la estabilidad, que se estudia a partir de los puntos de equilibrio.
En este cap´ıtulo se exponen algunas definiciones y algunos resultados para estudiar la estabilidad local de sistemas lineales y no lineales.
El material que se presenta en e´ ste segundo cap´ıtulo se puede encontrar en [2],
[7], [10], [12], [13], [15], etc.
2.2.
Conceptos B´asicos de Sistemas Din´amicos
2.2.1.
Descripci´on y Tipos de Sistemas
Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (SEDO) normal es un
conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias relacionadas entre si:
4
2. TEOR´IA DE ESTABILIDAD
5
x˙1 = f1 (t, x1 , x2 , ... , xn )
x˙2 = f2 (t, x1 , x2 , ... , xn )
..
.
(2.1)
x˙n = fn (t, x1 , x2 , ... , xn ),
donde los f˙i s son funciones reales de n + 1 variables, x1 , ... ,xn ,t ∈ R conocidas
como variables dependientes e independientes respectivamente.
Definici´on 2.1 Una soluci´on del sistema (2.1) es una funci´on vectorial x = x(t),
que satisface la igualdad, a e´ sta se le llama trayectoria del sistema o l´ınea de flujo.
Para una mejor notaci´on, se usar´an vectores de la siguiente manera:


 x1 
 x2 
x =  ..  .
 . 


xn
Luego se tiene el sistema representado por una sola ecuaci´on
x˙ = f (t, x)
donde

 f1 (t, x1 , x2 , ... , xn )

..
f (t, x) = 
.

fn (t, x1 , x2 , ... , xn )
(2.2)



 .

Definici´on 2.2 Se dice que el sistema (2.2) es aut´onomo si no contiene de manera
expl´ıcita a la variable t.
As´ı, un sistema aut´onomo nos queda como:
x˙ = f (x)
(2.3)
Definici´on 2.3 Si cada una de las funciones f1 , . . . , fn de (2.3) es una funci´on
lineal de las variables dependientes x1 , . . . , xn , entonces se dice que el sistema es
lineal; en caso contrario, es no lineal.
2. TEOR´IA DE ESTABILIDAD
6
La forma de representar un sistema aut´onomo lineal es
x˙ = Ax
(2.4)
donde x ∈ R , A es una matriz nxn con entradas constantes y la derivada
 dx1 


dx  dt. 
x˙ =
=  .  .
dt  dx. 
n
dt
Esta forma se utilizar´a cuando se estudie la estabilidad de dichos sistemas.
2.2.2.
Puntos de Equilibrio
Se puede tener el caso en que una trayectoria s´olo le corresponda un punto, a
este punto se le llama punto de equilibrio.
Definici´on 2.4 Un punto x∗ es un punto de equilibrio, si una vez que x(t) es igual
a x∗ , lo sigue siendo para todo el tiempo futuro.
Esto significa que si el vector constante x∗ es un punto de equilibrio, entonces
satisface
f (x∗ ) = 0
(2.5)
As´ı que los puntos de equilibrio pueden encontrarse resolviendo la ecuaci´on
algebraica (2.5).
2.3.
Definici´on y Tipos de Estabilidad
Una de las propiedades m´as importantes de los sistemas de EDO es la estabilidad, la cual, se puede estudiar de manera local o global, el primer caso se estudia
a partir de los puntos de equilibrio.
En este trabajo se estudiar´a la estabilidad para los sistemas aut´onomos. En este
caso, se tiene la siguiente definici´on.
2. TEOR´IA DE ESTABILIDAD
7
Definici´on 2.5 Se dice que un punto de equilibrio x∗ es estable si, dado cualquier
ε > 0, existe δ > 0 tal que la soluci´on x = x(t) del sistema (2.2), que en t = 0
satisface
x(0) − x∗ < δ
existe y satisface
x(t) − x∗ < ε
para toda t ≥ 0
Figura 2.1: punto de equilibrio estable
Esto nos dice que las soluciones que inicien suficientemente cercanas a x∗ permanecen cerca.
Definici´on 2.6 Un punto de equilibrio es inestable, si no es estable.
Figura 2.2: punto de equilibrio inestable
2. TEOR´IA DE ESTABILIDAD
8
Definici´on 2.7 Un punto de equilibrio x∗ es asint´oticamente estable si es estable
y si existe δ0 , con 0 < δ0 < δ, tal que si una soluci´on x = x(t) satisface
x(0) − x∗ < δ0
entonces
l´ım x(t) = x∗ .
t→∞
Figura 2.3: punto de equilibrio asint´oticamente estable
Por tanto las trayectorias que inician suficientemente cerca de x∗ no s´olo deben
permanecer cerca, al final deben aproximarse a x∗ cuando t → ∞.
2. TEOR´IA DE ESTABILIDAD
2.4.
Primer M´etodo de Lyapunov
2.4.1.
Sistemas Lineales
9
Antes de comenzar con el estudio de la estabilidad de los sistemas no lineales,
se har´a un breve estudio sobre la estabilidad de los sistemas lineales, para ello se
toma el caso m´as sencillo, cuando A es una matriz 2x2 en la ecuaci´on (2.4).
Considere un sistema lineal de segundo orden con coeficientes constantes, este
sistema tiene la forma:
x˙ = Ax.
Claramente x∗ = 0 es un punto de equilibrio.
Para este sistema se buscan soluciones de la forma x = ξeλt . Sustituyendo en
la ecuaci´on anterior se tiene:
(A − λI)ξ = 0.
(2.6)
De esto, λ es un eigenvalor y ξ un eigenvector.
Los n´umeros λ s son ra´ıces de la ecuaci´on polinomial
det(A − λI) = 0
(2.7)
Los eigenvalores pueden determinarse a partir de (2.7).
El plano donde se encuentran ubicadas las soluciones se le llama plano fase y
al conjunto de trayectorias retrato fase.
Para analizar la estabilidad, debemos considerar diferentes casos, dependiendo de los eigenvalores de A. A continuaci´on se hace un esquema de los diferentes
retratos fase al variar las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico.
Caso 1 : Eigenvalores reales y del mismo signo
Se tienen dos opciones:
i) Fuente (Eigenvalores positivos): Las trayectorias del sistema inician
cerca del origen y se alejan de e´ l en diferentes direcciones.
2. TEOR´IA DE ESTABILIDAD
10
Figura 2.4: fuente o repulsor (λ1 ≥ λ2 ≥ 0)
ii) Sumidero (Eigenvalores negativos): Las trayectorias del sistema con
condicion inicial fuera del origen se acercan a e´ l en diferentes direcciones.
Figura 2.5: sumidero o atractor (λ1 ≤ λ2 ≤ 0)
Caso 2 : Eigenvalores reales y de signo contrario
Nodo silla: Las trayectorias del sistema con condici´on inicial fuera del origen se acercan un poco a e´ l y despues se alejan.
2. TEOR´IA DE ESTABILIDAD
11
Figura 2.6: nodo silla (λ1 > 0 > λ2 )
Caso 3 : Eigenvalores complejos(λ1−2 = α ± iβ)
Tenemos dos opciones:
i) Espirales (Eigenvalores con parte real diferente de cero):
a) Parte real negativa e imaginaria positiva: las trayectorias con condici´on inicial fuera del origen se dirigen a e´ l girando en sentido horario.
b) Parte real e imaginaria positivas: las trayectorias surgen en un
punto cercano al origen y se alejan de e´ l girando en sentido horario.
c) Parte real e imaginaria negativas: las trayectorias condici´on inicial
fuera del origen se dirigen a e´ l girando en sentido antihorario.
d) Parte real positiva e imaginaria negativa: las trayectorias surgen
en un punto cercano al origen y se alejan de e´ l girando en sentido
antihorario.
2. TEOR´IA DE ESTABILIDAD
12
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 2.7: Tipos de espirales de acuerdo a su parte real e imaginaria: a) α <
0, β > 0, b) α > 0, β > 0, c) α < 0, β < 0, d) α > 0, β < 0.
ii) Centro (Eigenvalores con parte real igual a cero): Las trayectorias
tienen forma el´ıptica o circular, las cuales giran en sentido
a) antihorario, si la parte imaginaria es negativa.
b) horario, si la parte imaginaria es positiva.
(a)
(b)
Figura 2.8: Tipos de centros de acuerdo a su parte imaginaria: a) β < 0, b) β > 0.
Al reflexionar estos casos y analizar los retratos fase correspondientes se pueden
2. TEOR´IA DE ESTABILIDAD
13
hacer las siguientes observaciones:
a) Si los eigenvalores tienen parte real negativa, las trayectorias se aproximan
a x∗ = 0 cuando t → ∞.
b) Si la parte real es cero, las trayectorias permanecen acotadas pero no se
aproximan a x∗ = 0 cuando t → ∞.
c) Si los eigenvalores tienen parte real positiva, las trayectorias tienden al infinito cuando t → ∞.
De las definiciones de estabilidad y de estas observaciones podemos concluir con
la siguiente tabla:
Eigenvalores
λ1 ≥ λ2 > 0
λ1 ≤ λ2 < 0
λ1 < 0 < λ2
λ1−2 = α ± iβ; α > 0
λ1−2 = α ± iβ; α < 0
λ1−2 = ±iβ
Tipo de punto de equilibrio
Estabilidad
Fuente
Inestable
Sumidero
Asint´oticamente Estable
Nodo Silla
Inestable
Espiral (repulsor)
Inestable
Espiral (atractor)
Asint´oticamente Estable
Centro
Estable
Se puede estudiar el caso de un sistema lineal n-dimensional y se cuenta con
un Teorema [2] que afirma lo siguiente
Teorema 2.1
* Cada soluci´on x = x(t) de (2.4) es estable si todos los eigenvalores de A tienen parte real negativa.
* Cada soluci´on x = x(t) de (2.4) es inestable si al menos un eigenvalor de A
tienen parte real positiva.
2. TEOR´IA DE ESTABILIDAD
14
* Sup´ongase que todos los eigenvalores de A tienen parte real ≤ 0 y λi =
iσ1 . . . λl = iσl tienen parte real cero. Sea λ j = iσ j de multiplicidad k j , e´ sto
es que el polinomio caracter´ıstico de A puede ser factorizado como
P(λ) = (λ − iσ1 )k1 . . . (λ − iσl )kl q(λ)
donde todos las ra´ıces de q(λ) tienen parte real negativa, entonces cada
soluci´on x = x(t) es estable si A tiene k j eigenvalores linealmente independientes para cada eigenvalor λ j = iσ j , de otra manera cada soluci´on x(t)
es inestable.
2.4.2.
Sistemas no Lineales
Un aspecto importante de los sistemas lineales es que el comportamiento de
sus soluciones cerca de un punto de equilibrio nos dice el comportamiento de las
soluciones en todo el plano, sin embargo, si se quiere analizar el comportamiento
local de los sistemas no lineales, no se puede hacer de una manera tan directa, ello
se hace mediante un proceso de linealizaci´on.
Algunos procesos de linealizaci´on nos pueden llevar a casos err´oneos, como
el caso de tomar s´olo la parte lineal de cada ecuaci´on que compone el sistema, ya
que e´ sto no garantiza que el sistema linealizado se comporte de manera semejante
al original.
El an´alisis de la linealizaci´on se basa en un concepto del c´alculo, la aproximaci´on lineal de Taylor:
f n (a)
f 2 (a)
(x − a)2 + . . . +
(x − a)n
f (x) = f (a) + f˙(a)(x − a) +
2!
n!
f 2 (a) f 3 (a)
f n (a)
= f (a) + f˙(a)(x − a) + (x − a)2
+
(x − a) + . . . +
(x − a)n−2 ,
2!
3!
n!
el cual se puede escribir como: f (x) ≈ f (a) + f˙(a)(x − a) + O((x − a)2 ), donde
O((x − a)2 ) representa el hecho de que si x est´a muy cerca de a, la suma de los
t´erminos a partir del segundo es acotado por un m´ultiplo de (x − a)2 .
Sup´ongase que se tiene un sistema aut´onomo bidimensional, no lineal, de la
forma
x˙1 = F(x1 , x2 )
,
(2.8)
x˙2 = G(x1 , x2 )
2. TEOR´IA DE ESTABILIDAD
15
que tiene como punto de equilibrio el origen (si el punto de equilibrio no es el
origen se puede hacer una traslaci´on a e´ l); es decir F(0, 0) = 0 y G(0, 0) = 0.
Para la funci´on F(x1 , x2 ) la mejor aproximaci´on en torno al punto (a, b) la
proporciona el plano tangente dado por la f´ormula de Taylor
F(x1 , x2 ) ≈ F(a, b) +
donde
(a, b).
∂F
(a, b)
∂x1
y
∂F
(a, b)
∂x2
∂F
∂F
(a, b)(x1 − a) +
(a, b)(x2 − b),
∂x1
∂x2
son las derivadas parciales de F evaluadas en el punto
Si se toma el punto (a, b) como (0, 0), se puede escribir (2.8) en la forma
x˙1 = F(0, 0) +
∂F
∂F
(0, 0)x1 +
(0, 0)x2 + f (x1 , x2 )
∂x1
∂x2
∂G
∂G
(0, 0)x1 +
(0, 0)x2 + g(x1 , x2 ).
∂x1
∂x2
Como el punto de equilibrio es (0, 0), se tiene que, F(0, 0) = G(0, 0) = 0,
entonces el sistema queda
x˙2 = G(0, 0) +
x˙1 = ax1 + bx2 + f (x1 , x2 )
x˙2 = cx1 + dx2 + g(x1 , x2 ),
donde
a=
∂F
∂G
∂G
∂F
(0, 0), b =
(0, 0), c =
yd=
(0, 0),
∂x1
∂x2
∂x1
∂x2
y se cumple que
l´ım
(x1 ,x2 )→(0,0)
f (x1 , x2 )
x12
+
x22
=
l´ım
(x1 ,x2 )→(0,0)
g(x1 , x2 )
x12
+
=0
x22
La ecuaci´on anterior afirma que en las proximidades del origen f y g son
peque˜nos en comparaci´on con la distancia del punto (x, y) al origen.
2. TEOR´IA DE ESTABILIDAD
16
Con este hecho, el sistema asociado en torno al punto de equilibrio es:
x˙1 = ax1 + bx2
x˙2 = cx1 + dx2
(2.9)
a b
, esta u´ ltima igualdad
c d
es el Jacobiano del sistema no lineal evaluado en el origen, en general en un punto
de equilibrio.
o´ x˙ = Ax con x˙ = ( x˙1 , x˙2 )t , x = (x1 , x2 )t y A =
De esta manera el comportamiento local del sistema no lineal, puede ser estudiado por medio de su sistema lineal asociado, del cual es mucho m´as f´acil
estudiar la estabilidad.
Este proceso se puede generalizar para un sistema n-dimensional de manera
an´aloga y nos conduce al resultado que se conoce como primer m´etodo de Lyapunov o m´etodo indirecto de Lyapunov.
Teorema 2.2 (Primer M´etodo de Lyapunov) Sea x∗ = 0 un punto de equilibrio
del sistema aut´onomo no lineal x˙ = f (x) donde f : E → Rn es una funci´on
continuamente diferenciable y E ⊂ Rn es un entorno del origen.
Sea entonces:
 ∂ f1 ∂ f1 ∂ f1
∂ f1 
 ∂x1 ∂x2 ∂x3 · · · ∂x

n 
 ∂ f2 ∂ f2 ∂ f2
∂ f2 
 ∂x1 ∂x2 ∂x3 · · · ∂xn 
 ∂ f3 ∂ f3 ∂ f3
∂ f (x)

∂ f3 
A=
=  ∂x1 ∂x2 ∂x3 · · · ∂xn 
∂x x∗ =0  .
..
.. . .
. 
 ..
. .. 
.
.
 ∂ fn ∂ fn ∂ fn

∂ fn 
·
·
·
∂x1
∂x2
∂x3
∂xn
x∗ =0
i) El origen es asint´oticamente estable, si todos los eigenvalores de A tienen
parte real negativa.
ii) El origen es inestable, si al menos un eigenvalor de A tiene parte real positiva.
Este teorema nos muestra el comportamiento local de los sistemas no lineales
alrededor de un punto de equilibrio que tenga valor propio con parte real distinta
de 0, pero se puede tener el caso de que el punto de equilibrio sea solamente
2. TEOR´IA DE ESTABILIDAD
17
estable, es decir un centro, entonces se proceder´a a estudiar la estabilidad en una
cierta regi´on, para conocer el comportamiento en dicha regi´on se necesitan otro
tipo de t´ecnicas, tal es el caso de las funciones de Lyapunov.
3
Funciones de Lyapunov
3.1.
Introducci´on
Se ha analizado la estabilidad tanto de los sistemas lineales como de los no
lineales, para estos u´ ltimos se ha descrito el proceso de linealizaci´on, sin embargo, cuando el punto de equilibrio es un centro no se puede asegurar qu´e tipo de
estabilidad se tiene, en estos casos se procede a estudiar la estabilidad de los sistemas no lineales en una regi´on alrededor de este punto.
Una de las t´ecnicas para estudiar la estabilidad, es el uso de funciones de Lyapunov, pero e´ stas tienen cierta particularidad, no existe un m´etodo que garantice
que una funci´on es de Lyapunov, ni alg´un m´etodo general para encontrarlas, mas
bien se requiere de habilidad para realizar su b´usqueda.
En este cap´ıtulo se hablar´a acerca de estas funciones, as´ı como de sus caracter´ısticas para garantizar el tipo de estabilidad que tienen los sistemas, tambi´en se
dar´an algunos m´etodos para encontrar funciones candidatas a ser de Lyapunov.
Este material se encuentra en [2], [3], [4], [5], [7], [8], [10].
18
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
3.2.
19
Definici´on
Sea V : D → R un campo escalar continuamente diferenciable definido en un
dominio D ⊂ Rn que contiene a x∗ , entonces:
Definici´on 3.1 :
V(x) es una funci´on definida positiva si V(x∗ ) = 0 y V(x) > 0 en D − x∗ .
V(x) es una funci´on semidefinida positiva si V(x∗ ) = 0 y V(x) ≥ 0 en D.
V(x) es una funci´on definida negativa si −V(x∗ ) es definida positiva.
V(x) es una funci´on semidefinida negativa si −V(x∗ ) es semidefinida positiva.
˙
Definici´on 3.2 Una funci´on V(x) definida positiva con V(x)
semidefinida negati∗
˙
va se le llama Funci´on de Lyapunov para x ; si adem´as se cumple que V(x)
es
∗
definida negativa, se le llama Lyapunov estricta con relaci´on a x .
3.3.
Segundo M´etodo de Lyapunov
Para estudiar la estabilidad de los sistemas no lineales en una determinada regi´on a partir de las funciones de Lyapunov, se tiene el siguiente teorema, tambien
conocido como m´etodo directo de Lyapunov.
Teorema 3.1 (Segundo M´etodo de Lyapunov) Si existe una funci´on de Lyapunov
V(x) para el punto de equilibrio x∗ del sistema (2.3), entonces x∗ es estable.
Adem´as , si esta funci´on es Lyapunov estricta entonces el punto de equilibrio
es asint´oticamente estable.
Demostraci´on:
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
20
Para el caso de un sistema bidimensional se tiene al sistema:
dx
dt
dy
dt
= F(x, t)
= G(x, t)
(3.1)
Sea c ≥ 0 una constante y V(x, y) = c la curva en el plano xy con V(0, 0) = 0.
Sup´ongase que si 0 < c1 < c2 la curva V(x, y) = c1 est´a dentro de v(x, y) = c2 .
Se sabe que ∇V(x, y) es normal a la curva en c y apunta en direcci´on de V(x, y)
creciente, es decir V(x, y) crece hacia afuera del origen.
Se consideran las trayectorias x = φ(t), y = τ(t) del sistema y sea T (t) =
˙
φ(t)i
+ τ˙ (t) j la tangente en la trayectoria en cada punto.
Sea x1 = φ(t1 ), y1 = τ(t1 ) un punto de intersecci´on de la trayectoria y la curva
V(x, y) = c entonces:
˙ y) = V x (x, y)φ(t
˙ 1 ) + Vy (x, y)˙τ(t1 ) = [V x (x, y)i + Vy (x, y) j] · [φ(t
˙ 1 )i + τ˙ (t1 ) j]
V(x,
= ∇V(x, y) · T (t1 ) = ∇V(x, y) T (t1 ) cos ϕ
˙ y) es el producto escalar de ∇V(x, y) y T (t), como V(x,
˙ y) ≤ 0, se
De e´ sto V(x,
tiene que el coseno del a´ ngulo entre ∇V(x, y) y T (t) tambi´en es menor o igual a
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
21
cero, entonces este a´ ngulo se encuentra en el intervalo [ π2 , 3π
].
2
Por lo tanto el movimiento de la trayectoria es hacia adentro con respecto a c
o en el peor de los casos es tangente a la curva c.
Caso 1 Si la trayectoria se inicia dentro de la curva nunca podr´a salir de e´ sta. Se
puede tomar una bola de radio ε alrededor del origen y una curva con una
c suficientemente peque˜na para asegurar que la trayectoria no escapa de la
bola.
Por lo tanto el origen es un punto estable.
˙ y) < 0 entonces las trayectorias siempre apuntan hacia adentro de
Caso 2 Si V(x,
), de esta
la curva, dado que el a´ ngulo se encuentra en el intervalo ( π2 , 3π
2
manera la trayectoria no solo ir´a hacia dentro de la curva sino, adem´as se
aproximar´a al origen.
Por lo tanto el origen es un punto de equilibrio asint´oticamente estable.
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
22
3.4.
M´etodos de busqueda de Funciones de Lyapunov
3.4.1.
M´etodo de Krasovskii
Teorema 3.2 (M´etodo de Krasovskii) Considere el sistema aut´onomo definido
en (2,2), con punto de equilibrio en el origen. Sea A(x) la matriz jacobiana del
sistema, es decir
∂f
A(x) =
∂x
Si la matriz F = A + AT es definida negativa en una vecindad Ω, entonces el punto
de equilibrio en el origen es asint´oticamente estable.
Una funci´on de Lyapunov para este sistema es V(x) = f T (x) f (x)
Demostraci´on:
Primero se demostrar´a que si f (x) es definida negativa entonces la matriz jacobiana A(x) es invertible.
Se probar´a que si F es definida negativa, entonces f (x)
0 para x
0.
Sup´ongase que A(x) no es invertible, es decir, que A(x) es singular, entonces
existe un vector y0 tal que A(x)y0 = 0.
Se multiplica F por la derecha con y0 y por la izquierda con yT0
yT0 Fy0 = yT0 (A + AT )y0 .
Como A + AT es una matriz sim´etrica, al efectuar la multiplicaci´on con yT0 y
y0 por la izquierda y por la derecha respectivamente, se tendr´a como resultado 2
veces la suma del escalar resultante de yT0 Ay0 , de esto se tiene que
yT0 Fy0 = 2yT0 Ay0 .
La singularidad de A implica que yT0 Ay0 = 0, esto es que yT0 Fy0 = 0, lo que
contradice que F sea una matriz definida negativa.
Como la matriz A es invertible y esta es el jacobiano de f (x), se puede garantizar que f (x) es u´ nicamente invertible, lo cual implica que el sistema tiene solo
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
23
un punto de equilibrio en Ω, es decir que f (x)
0 para x
0.
Para mostrar que el origen es asint´oticamente estable, se toma la funci´on escalar V(x) = f T (x) f (x), que por construcci´on es definida positiva, dado que s´olo
se tienen sumas de funciones al cuadrado.
Se sabe que f˙ = A f , entonces la derivada de V puede ser escrita como
˙
V(x)
= f T f˙ + f˙T f = f T A f + f T AT f = f T F f.
Como F es definida negativa se tiene que
˙
V(x)
= f T F f < 0.
Esto es que V(x) es definida negativa.
Por lo tanto, de acuerdo al m´etodo directo de Lyapunov, el origen es asint´oticamente estable.
Ejemplo
Considere el sistema no lineal
x˙1 = −6x1 + 2x2
x˙2 = 2x1 − 6x2 − 2x23 .
Se puede observar que el origen es un punto de equilibrio.
Como matriz jacobiana de este sistema se tiene
A=
∂f
=
∂x
−6
2
2 −6 − 6x22
y su transpuesta es la misma.
Se suman ambas matrices para obtener F
F=
−12
4
4 −12 − 12x22
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
24
Sea el vector (a, b)T ∈ R2
a b
=
−12
4
4 −12 − 12x22
a
b
−12a + 4b 4a − 12b − 12bx22
a
b
= −12a2 + 4ab + 4ab − 12b2 − 12b2x22
= −12(a2 + b2 + b2 x22 ) + 8ab.
Solo falta comprobar que e´ ste resultado es menor que cero, se sabe que a2 +
b2 > 2ab y partir de e´ sto se tiene:
a2 + b2 + b2 x22 > 2ab + b2 x22 > 2ab ⇒ a2 + b2 + b2 x22 > 2ab
3(a2 + b2 + b2 x22 ) > 6ab > 2ab ⇒ 3(a2 + b2 + b2 x22 ) > 2ab
12(a2 + b2 + b2 x22 ) > 8ab ⇒ −12(a2 + b2 + b2 x22 ) < −8ab
−12(a2 + b2 + b2 x22 ) + 8ab < 0.
as´ı, F es definida negativa, entonces una funci´on de Lyapunov para el sistema
es:
V = (−6x1 + 2x2 )2 + (2x1 − 6x2 − 2x23 )2 .
Por lo tanto el origen es asint´oticamente estable.
3.4.2.
M´etodo del Gradiente Variable
El m´etodo del gradiente variable es un camino formal para construir funciones
de Lyapunov, consiste en asumir una cierta forma para el gradiente de una funci´on
de Lyapunov, y entonces encontrar la funci´on de Lyapunov por la integraci´on del
gradiente. En sistemas de bajo orden, e´ ste m´etodo conduce a encontrar una funci´on de Lyapunov, pero en sistemas de orden superior los c´alculos se vuelven muy
complicados.
La funci´on escalar V(x) est´a relaciona con su gradiente ∇V por la integraci´on
x
V(x) =
∇Vdx
0
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
donde ∇V =
∂V ∂V
, ,···
∂x1 ∂x2
25
T
∂V
, ∂x
.
n
Con el fin de obtener una funci´on u´ nica V del gradiente ∇V, se procede a
obtener el jacobiano de e´ ste u´ ltimo

 ∂2 V
2V
∂2 V
∂2 V

 2
· · · ∂x∂1 ∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
1
2
1
3
n

 12
2
2
2
∂ V
∂ V 
∂ V

 ∂ V
·
·
·
2

 ∂x2 ∂x1
∂x2 ∂x3
∂x2 ∂xn 
∂x2
 ∂2 V
∂2 V 
∂2 V
∂2 V
· · · ∂x3 ∂xn  .
 ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂x2
∂x32

 .
..
..
.. 
...
 ..
.
.
. 
 2

 ∂V
∂2 V
∂2 V
∂2 V 
···
∂xn ∂x1
∂xn ∂x2
∂xn ∂x3
∂x2
n
Dado esto se puede ver que el jacobiano es una matriz sim´etrica, es decir
∂∇Vi ∂∇V j
=
∂x j
∂xi
la i-´esima componente ∇Vi es solamente la derivada direccional
(3.2)
∂V
.
∂xi
Entonces para obtener una funci´on gradiente u´ nica, e´ sta tiene que satisfacer la
condici´on anterior.
Lo principal de este m´etodo es asumir una forma espec´ıfica para ∇V, en lugar
de hacerlo para V.
Una manera simple es asumir que la funci´on gradiente es de la forma
n
∇Vi =
ai j x j
(3.3)
j=1
donde los ai j son coeficientes por ser determinados.
Esto conduce al siguiente procedimiento para la b´usqueda de una funci´on de
Lyapunov V.
Asumir que ∇V est´a dado por (3.3).
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
26
Resolver para los coeficientes ai j que satisfacen (3.2).
Restringir los coeficientes en (3.3) para que V˙ sea semidefinida negativa (al
menos localmente).
Calcular V de la integral de ∇V.
Verificar que V es definida positiva.
Ejemplo:
Considere el sistema no lineal
x˙1 = −2x1
x˙2 = −2x2 + 2x1 x22 .
Se puede observar que el origen es el punto de equilibrio.
Se asume que el gradiente de la funci´on de Lyapunov est´a dado por:
∇V1 = a11 x1 + a12 x2
∇V2 = a21 x1 + a22 x2 .
Se resuelven los coeficientes para que se satisfaga (3.2), para ello se toma:
a11 = a22 = 1; a12 = a21 = 0
quedando:
∇V1 = x1
∇V2 = x2
entonces:
∂∇V1 ∂x1
=
∂x2
∂x2
∂∇V2 ∂x2
=
∂x1
∂x1
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
de esto se satisface (3.2)
27
∂x1 ∂x2
=
∂x2 ∂x1
Ahora se procede a calcular V˙
V˙ = ∇V · x˙ = (∇V1 , ∇V2 ) · ( x˙1 , x˙2 ) = (x1 , x2 ) · (−2x x , −2x2 + 21 x22 )
= −2x12 − 2x22 + 2x1 x23 = −2x12 − 2x22 (1 + x1 x2 ).
Entonces V˙ es definida negativa para (1 + x1 x2 ) > 0.
As´ı, la funci´on de Lyapunov es:
x12 x22 x12 + x22
+
=
.
V=
x1 dx1 +
x2 dx2 =
2
2
2
0
0
Por lo tanto el origen es asint´oticamente estable para la regi´on.
x1
3.4.3.
x2
Funci´on de Lyapunov de Forma Cuadr´atica
Teorema 3.3 La funci´on
V(x, y) = ax2 + bxy + cy2
es definida positiva si y s´olo si
a > 0 y 4ac − b2 > 0,
y es definida negativa si y s´olo si
a < 0 y 4ac − b2 > 0.
Ejemplo:
Considere el sistema no lineal
x˙ = −x3 + xy2
y˙ = −2x2 y − y3 .
Se puede observar que el origen es el punto de equilibrio.
Sup´ongase V como una funci´on cuadr´atica:
V(x, y) = ax2 + bxy + cy2
3. FUNCIONES DE LYAPUNOV
28
cuya derivada es
˙ y) = V x x˙ + Vy y˙ = (2ax + bx) x˙ + (by + 2cy)˙y
V(x,
= (2ax + bx)(−x3 + xy2 ) + (by + 2cy)(−2x2 y − y3 )
= −2ax4 + 2ax2 y2 − bx4 + bx2 y2 − 2bx2 y2 − by4 − 4cx2 y2 − 2cy4
= −(2a + b)x4 + (2a − b − 4c)x2 y2 − (b + 2c)y4
Para que V sea definida positiva a > 0 y 4ac − b2 > 0. Ahora, si se toma b = 0
se tiene que c > 0 y
V˙ = −2ax4 − (4c − 2a)x2 y2 − 2cy4
s´olo falta hallar los valores de a y c para que V < 0, esto se cumple para
4c − 2a > 0
4c > 2a
2c > a,
entonces se toma a = 1 y c = 1.
As´ı, la funci´on de Lyapunov para el sistema es
V = x2 + y2
y el origen es asint´oticamente estable.
4
Aplicaciones
4.1.
Introducci´on
Un campo muy amplio en el que puede ser de mucha utilidad el an´alisis
de Lyapunov es en cuestiones f´ısicas, ya sea desde aplicaciones simples de la
mec´anica o complejas en el caso de la rob´otica. En algunos fen´omenos no es f´acil
obtener la funci´on de Lyapunov, ya que el sistema asociado al fen´omeno puede
ser demasiado complejo, sin embargo, suelen utilizarse los m´etodos mostrados en
este trabajo o usar una b´usqueda mediante ensayo y error.
En este cap´ıtulo se tratar´an dos fen´omenos que ejemplifican lo dicho anteriormente, el primero de ellos el movimiento de un p´endulo simple y el segundo es
el movimiento de un manipulador rob´otico. Se ver´a que, para ambos fen´omenos,
puede ser de utilidad la misma ecuaci´on aunque adecuada para cada caso.
El material se puede hallar en [1], [4], [9], [16].
4.2.
P´endulo simple no amortiguado
4.2.1.
Modelo
Consid´erese una part´ıcula de masa m que est´a suspendida de un punto fijo O
mediante un cable de longitud L cuya masa es despreciable.
29
4. APLICACIONES
30
La siguiente figura muestra el esquema de fuerzas que intervienen en el p´endulo despu´es de desplazar la part´ıcula de la posici´on de equilibrio hasta que el cable
forme un a´ ngulo Θ con la vertical (C), despu´es se deja caer y, por el efecto de la
gravedad se forma un movimiento oscilatorio.
En la figura el a´ ngulo θ es el a´ ngulo que indica la posici´on del p´endulo, A y
A delimitan la amplitud m´axima del p´endulo, de esto el diagrama de fuerzas para
una posici´on queda expresado de la forma siguiente:
De acuerdo a los datos de la figura y la segunda ley de Newton, la ecuaci´on
que representa el movimiento de la part´ıcula es
mat = −mg sin θ
4. APLICACIONES
31
siendo at la aceleraci´on tangencial, el segundo t´ermino de la ecuaci´on es negati¨ si se sustituye en la
vo ya que se opone al movimiento. Por otro lado at = Lθ,
ecuaci´on e´ sta queda expresada como
mLθ¨ = −mg sin θ.
Si se toma u = θ y se reordenan los t´erminos, la ecuaci´on queda expresada
como
g
u¨ + sin u = 0.
L
Se escribe la ecuaci´on como un sistema de ecuaciones de primer orden, donde
x1 = u
x˙1 = x2
x˙2 = − Lg sin x1
con punto de equilibrio en (0, 0).
Para estudiar la estabilidad del sistema se proceder´a a buscar una funci´on de
Lyapunov con los m´etodos estudiados en el cap´ıtulo anterior.
4.2.2.
M´etodo de Krasovskii
Considere el sistema
x˙1 = x2
x˙2 = − Lg sin x1 .
Se obtiene la matriz A =
∂f
:
∂x
A=
− Lg
0
1
,
cos x1 0
y por consiguiente
A =
T
0 − Lg cos x1
1
0
.
4. APLICACIONES
32
Ahora F = A + AT ,
F=
0
1 − Lg cos x1
1 − Lg cos x1
0
.
A continuaci´on se verifica si F es definida negativa.
Sea xT = (a b) ∈ R2 , luego
xT Ax =
0
1 − Lg cos x1
1 − Lg cos x1
0
a b
=
b−
bg
L
cos x1 a −
ag
L
cos x1
a
b
a
b
abg
abg
cos x1 + ab −
cos x1
L
L
2abg
g
= 2ab −
cos x1 = 2ab 1 − cos x1 .
L
L
Para que F sea definida negativa, se tiene que cumplir
= ab −
2ab 1 −
g
cos x1 < 0
L
para cualquier (a, b)T ∈ R2 .
Esto no siempre se cumple, dado que el valor de cos x1 oscila entre −1 y 1 y
el de ab no tiene un signo definido debido a que a y b pueden ser tanto positivos
como negativos.
Por lo tanto, el m´etodo de Krasovskii no puede ser aplicado a este sistema.
4.2.3.
M´etodo del Gradiente Variable
Considere el sistema
x˙1 = x2
x˙2 = − Lg sin x1 .
4. APLICACIONES
33
De acuerdo al an´alisis hecho en el ejemplo de e´ ste m´etodo, es conveniente tomar
∇V = (x1 , x2 ).
As´ı,
g
x2 g
V˙ = ∇V · x˙ = (x1 , x2 ) · x2 , − sin x1 = x1 x2 −
sin x1
L
L
g
sin x1 .
L
Para que V sea una funci´on de Lyapunov se tiene que cumplir que
= x2 x1 −
g
V˙ = x2 x1 − sin x1 < 0.
L
Como se puede apreciar en las siguientes gr´aficas la regi´on que cumple con
e´ sto son dos cuadrantes que no contienen a los ejes y por lo tanto la regi´on no
contiene al punto de equilibrio.
(a)
(b)
Figura 4.1: Gr´afica de x2 x1 − Lg sin x1 : a) vista frontal, b) vista superior.
Por lo tanto, el m´etodo no puede ser aplicado al sistema.
4. APLICACIONES
4.2.4.
34
Funci´on de Lyapunov
Dado que los m´etodos estudiados no conducen a una funci´on de Lyapunov
para el sistema del p´endulo, se proceder´a de una manera diferente.
Para ello se sabe que Lg sin u es la fuerza de restauraci´on y u˙ es la velocidad del
p´endulo, as´ı, la energ´ıa potencial en el desplazamiento u del equilibrio es
g
L
u
sin αdα =
0
g
(1 − cos u)
L
y su energ´ıa cin´etica es 21 (˙u)2 , entonces la energ´ıa total es
1 2 g
(˙u) + (1 − cos u).
2
L
Se tomar´a a la energ´ıa total como una funci´on de Lyapunov
1
g
V(x1 , x2 ) = (x2 )2 + (1 − cos x1 ),
2
L
esta funci´on es definida positiva, dado que el t´ermino 1 − cos x1 est´a acotado por
0 y 2 y el otro t´ermino es cuadr´atico.
S´olo falta ver el comportamiento de V˙
˙ 1 , x2 ) = ∇V(x1 , x2 ) · (x1 , x2 ) = g sin x1 , x2 · x2 , − g sin x1
V(x
L
L
g
g
= x2 sin x1 − x2 sin x1 = 0
L
L
Entonces V˙ es semidefinida negativa y V es una funci´on de Lyapunov.
Por lo tanto el sistema es estable en el origen.
4.3.
Controlador de Posici´on Rob´otico
Una tarea fundamental en aplicaciones rob´oticas es un manipulador rob´otico
para transferir objetos de un punto a otro.
4. APLICACIONES
35
El sistema mec´anico est´a compuesto por diversas articulaciones, normalmente
se distingue entre el brazo y la parte terminal, que puede ser pinzas u otros dispositivos para tareas espec´ıficas. El brazo consiste en un n´umero de articulaciones
conectadas por enlaces de rotaci´on o traslaci´on.
El aumento en el n´umero de articulaciones proporciona mayor maniobrabilidad, pero dificulta el problema de control. Los ingenieros han utilizado t´ecnicas
para el control de brazos rob´oticos, pero no hab´ıa ninguna justificaci´on te´orica
para la estabilidad de estas u´ ltimas, debido a que la din´amica de un robot es altamente no lineal, [1], [9].
4.3.1.
Modelo
Un robot articulado puede describirse definiendo cuatro magnitudes asociadas
a cada articulaci´on. Una de estas magnitudes es la variable de la articulaci´on y las
restantes son par´ametros fijos para cada robot.
As´ı, la variable de una articulaci´on i de rotaci´on se representar´a mediante
el a´ ngulo θi y la de la prism´atica mediante el desplazamiento di . Los otros dos
par´ametros de la articulaci´on son la distancia L entre el eje de la articulaci´on i − 1
y el eje de la articulaci´on i, y el a´ ngulo αi−1 entre estos dos ejes.
El movimiento de un manipulador rob´otico se puede modelar mediante la
ecuaci´on de Lagrange:
∂
d ∂
L − L=τ
dt ∂q˙
∂q
donde el Lagrangiano (L) est´a dado por la diferencia de energ´ıas, cin´etica y potencial
L = Ec − E p .
En el caso de un manipulador con una articulaci´on, la energ´ıa cin´etica est´a dada por
1
1
˙ 2 = 1 mL2 θ˙ 2
Ec = mv2t = m(Lθ)
2
2
2
4. APLICACIONES
36
donde la inercia puede ser representada por mL2 = I, y la energ´ıa potencial es
E p = mgh = mg sin θ
luego
1
L = Ec − E p = mL2 θ˙ 2 − mg sin θ
2
se realizan las operaciones
∂L
= −mg cos θ
∂θ
∂L
= mL2 θ˙
˙
∂θ
d ∂L
= mL2 θ¨
dt ∂θ˙
y al sustituir se tiene
τ = mL2 θ¨ + mgL cos θ.
Al generalizar el caso de un manipulador con n articulaciones y tomar q = θ
se tiene
τ = Dq¨ + H + g
(4.1)
donde
q → Vector de coordenadas articulares.
τ → Vector de fuerzas en cada articulaci´on.
D(q) →Matriz de inercias, de dimensi´on (nxn), cuyos elementos son funci´on de
q.
H(q, q)
˙ → Matriz (nx1) de fuerzas coriolis, dependientes de q y q.
˙
Se considera un controlador simple compuesto de un t´ermino P.D. y un t´ermino de compensaci´on de gravedad.
τ = −KD q˙ − KP q + g
donde KD y KP son matrices constantes nxn definidas positivas.
(4.2)
4. APLICACIONES
4.3.2.
37
Funci´on de Lyapunov
Resulta muy tedioso utilizar ensayo y error para hallar una funci´on de Lyapunov para el sistema dado por 4.1 y 4.2. Sin embargo, una funci´on de Lyapunov
puede ser encontrada de manera satisfactoria para tales sistemas rob´oticos complejos.
Desde puntos de vista f´ısicos se puede encontrar una funci´on de Lyapunov
adecuada para el sistema:
1. Se puede ver que la matriz de inercias (D) es definida positiva para alg´un q,
˙
ya que tomar velocidades negativas no tiene sentido para este fen´omeno, s´olo se
pueden tomar valores positivos o nulos.
2. El t´ermino P.D. de control se puede interpretar como una combinaci´on de amortiguadores y resortes (p´endulo).
Esto sugiere que la funci´on de Lyapunov puede ser
1
V = [q˙ T Dq˙ + qT KP q]
2
donde el primer t´ermino representa la energ´ıa cin´etica y el segundo la energ´ıa potencial artificial del sistema.
La ecuaci´on V es definida positiva puesto que las matrices D y K p tambi´en lo
son.
Para el c´alculo de la derivada se proceder´a por separado.
En el caso de la energ´ıa cin´etica se puede usar un teorema de la energ´ıa en
mec´anica, el cual establece que la velocidad de cambio de la energ´ıa cin´etica
es igual a la potencia proporcionada por las fuerzas externas, de esta manera la
derivada puede ser expresada como
E˙ c = q˙ T (τ − g).
Para la energ´ıa potencial se proceder´a de manera normal:
1
E p = [qT KP q]
2
4. APLICACIONES
38
1
E˙ p = [q˙ T KP q + qT KP q]
˙
2
pero q˙ T KP q = qT KP q˙ dado que KP es una matriz cuadrada, de esta manera la
derivada es
1
E˙ p = [2q˙ T KP q] = q˙ T KP q.
2
Por lo tanto
V˙ = q˙ T (τ − g) + q˙ T KP q.
Al sustituir la ecuaci´on (4.2) en la ecuaci´on anterior se tiene
V˙ = q˙ T (−KD q˙ − KP q + g − g) + q˙ T KP q
= −q˙ T KD q˙ − qK
˙ P q + q˙ T KP q
= −q˙ T KD q˙
De esta manera V˙ es definida negativa dado que KD es definida positiva y
q˙ no puede ser negativo ni tampoco cero puesto que alguna articulaci´on est´a en
movimiento.
La funci´on V es una funci´on de Lyapunov para el sistema (4.1-4.2), pero el
an´alisis no se hizo en un u´ nico punto de equilibrio, sino que fue de forma general.
Por lo tanto se dice que el sistema es globalmente asint´oticamente estable.
5
Conclusiones
Despu´es de realizar el an´alisis de sistemas din´amicos no lineales mediante el
uso de las funciones de Lyapunov, se observa que, se requiere de una gran habilidad para la obtenci´on de una funci´on de Lyapunov, ya sea por medio de los
m´etodos estudiados en este trabajo (o por otros) o por inspecci´on del sistema, ya
que e´ ste u´ ltimo depende de la naturaleza del fen´omeno y de sus caracter´ısticas
f´ısicas.
Se mostr´o el uso de la ecuaci´on de la energ´ıa como funci´on de Lyapunov
en los fen´omenos del p´endulo y un manipulador rob´otico, aunque adecuando la
funci´on para cada aplicaci´on, e´ sto permite ver c´omo gracias a conocimientos del
fen´omeno se puede llegar a una funci´on de Lyapunov sin necesidad de hacer muchos c´alculos y, en el caso del p´endulo, se observ´o c´omo los m´etodos estudiados
no siempre llevan a encontrar una.
En el trabajo se ha mostrado en general el uso de las funciones de Lyapunov,
aunque fueron poco los ejemplos utilizados. Sin embargo, el tema es muy amplio
y existen diversas aplicaciones para estas.
El trabajo es una introducci´on a un tema que no se aborda en alguna experiencia educativa oblgatoria de mi plan de estudios, as´ı se puede ver como trabajo
a futuro desarrollar funciones para sistemas m´as especializados, no s´olo sistemas
f´ısicos, sino tambi´en en ciencias en las que se pueda utilizar.
39
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