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La formula de Riemann-Hurwitz para
supercies de Riemann
Jes
us Romero Valencia.
Resumen
El proposito de estas notas es presentar y dar una demostracion del
Teorema de Riemann{Hurwitz, desde un punto de vista topologico,
usando herramientas sencillas como son el grado de una aplicacion
holomorfa y la multiplicidad de la misma en un punto.
1.
Superficies de Riemann
En esta seccion, X representa un espacio topologico Hausdor, conexo
y segundo numerable, a menos que se indique otra cosa.
X abierto y V un disco de C, una carta (compleja)
es un homeomorsmo : U ! V . Si p 2 U , diremos que la carta esta
Definición: Sean U
centrada en p, si (p) = 0.
Ejemplo: Las siguientes son cartas en el espacio considerado:
I. en R2 , las funciones : R2 ! C, dada por:
(x; y )
y
x + iy
: R2 ! C dada por:
(x; y )
px2 2 + i py 2 2 :
1+ x +y
1+ x +y
II. en C la funcion identidad 1C : C ! C:
x + iy
x + iy:
1
1
2
SUPERFICIES DE RIEMANN
III. en la esfera unitaria S2 , si N = (0; 0; 1) y U1 =
1 : U1 ! C dada por:
(a; b; c)
1
a
c
+i
Analogamente, si S = (0; 0; 1) y U2 = S2
dada por:
(a; b; c)
a
1+c
1
b
c
S2 fN g, la funcion
:
fS g, la funcion 1 : U1 ! C
i
b
1+c
:
}
Sean U1 ; U2 X dos abiertos y consideremos dos cartas 1 : U1 ! V1 y
2 : U2 ! V2 , tenemos dos posibilidades: U1 \ U2 = ; o U1 \ U2 6= ;, en el
segundo caso la situacion es como en la siguiente gura:
1
3
SUPERFICIES DE RIEMANN
las cartas 1 y 2 son compatibles, si sus dominios no se intersectan o cuando se intersectan la composicion:
Definición: Diremos que
2 1 1 : 1 (U1 \ U2 )
2 (V1 \ V2 )
es una funcion holomorfa.
Notemos que la condicion que pedimos tiene sentido, puesto que la funcion 2 1 1 es compleja de variable compleja.
y del ejemplo I anterior no son compatibles.
Solucion: Sabemos que y , denidas en todo R2 , estan dadas por:
(x; y )
x + iy
px2 2 + i py 2 2 ;
(x; y )
1+ x +y
1+ x +y
Ejemplo: Las cartas de
respectivamente. Notemos que:
(
1
)(x + iy ) = ( 1 (x + iy )) = (x; y )
px2 2 + i py 2 2
1+ x +y
1+ x +y
= u + iv;
=
y esta funcion no es holomorfa en C, pues:
pxy22+y2 + 1
@u
= p
; y
@x 2 x2 + y2 + x2 + y2 + 1
pxx22+y2 + 1
@v
= p
;
@y 2 x2 + y2 + x2 + y2 + 1
}
es decir, no satisface las condiciones de Cauchy-Riemann.
Ejercicio: Las cartas del ejemplo III son compatibles.
Definición: Bajo las condiciones anteriores.
i
. Un atlas (complejo) de X es un conjunto de cartas:
A = fj : Uj
! Vj g
en el cual cualesquiera dos de ellas son compatibles y
S
j
Uj = X .
1
4
SUPERFICIES DE RIEMANN
ii
. Si A1 y A2 son dos atlas de X tales que cada carta de A1 es compatible
con cada carta de A2 , diremos que A1 y A2 son equivalentes.
Se puede demostrar facilmente que la relacion de que dos atlas sean
equivalentes resulta ser, precisamente, de equivalencia. Esto nos permite
clasicar a todos los posibles atlas de X en clases de equivalencia. Notemos
ademas que si A es un atlas de X y [A] es su clase de equivalencia, entonces:
A~ =
[
A0 2[A]
A0
es un atlas maximo.
Definición: A una clase de equivalencia de atlas sobre
estructura compleja de X .
X la llamaremos
De manera equivalente, se puede denir estructura compleja de X , como
un atlas maximo de X .
Definición: Bajo las condiciones de arriba, una
supercie de Riemann es
una pareja que consta de X y una estructura compleja sobre el.
Ejemplo:
R2 con la clase del atlas A = fg del primer ejemplo.
II. R2 con la clase del atlas A = f g del primer ejemplo.
III. C con la clase del atlas A = f1C g.
IV. S2 con la clase del atlas A = f1 ; 2 g, del tercer ejemplo. Esta supercie
de Riemann se llama la esfera de Riemann y la denotamos por C1 .
Notemos que de los ejemplos anteriores, unicamente C1 es una supercie
I.
de Riemann compacta, las demas no lo son.
Curvas planas afines
Sean f (z; w) 2 C[z; w] y (a; b) 2 C2 , recordemos que f (z; w) es singular
en (a; b), si:
@f
@f
(a; b):
0 = f (a; b) = (a; b) =
@z
@w
1
5
SUPERFICIES DE RIEMANN
f (z; w) se llama no singular, si no es singular en cada punto de C2 .
Definición: Sea
f (z; w) 2 C[z; w], denimos la curva afn denida por
f (z; w) como el conjunto:
X = f(a; b) 2 C2 : f (a; b) = 0g:
Diremos que X es no singular, si el polinomio que la dene f (z; w) es no
singular.
Sean X una curva plana afn no singular y p 2 X . Supongamos que
p) 6= 0, entonces, por el teorema de la funcion implcita, existen una
vecindad Up , alrededor de p, y una funcion holomorfa gp : U ! C tales que:
@f
@w (
w = gp (z ); para todo z 2 U:
Claramente, la funcion p : U
! C, dada por:
(z; w)
z;
es un homeomorsmo entre U y p (U ), as p es una carta de X . Construyamos cartas de esta manera para cada p 2 X y consideremos el conjunto:
A = fp : p 2 X g:
Veamos que cualesquiera dos cartas son compatibles: supongamos que q 2
U1 \ U2 , consideremos las cartas 1 y 2 , sobre U1 y U2 , respectivamente. Si
z = 1 (q), entonces:
(2 1 1 )(z ) = 2 (1 1 (z )) = 2 (q ) = z;
es decir, 2 1 1 es la funcion identidad en 1 (U1 \ U2 ), por lo cual es holomorfa, as, dichas cartas son compatibles y, por lo tanto, A es un atlas de X .
Como C2 es Hausdor y segundo numerable, as es X . Por ultimo, daremos por hecho que X es conexo1 . En resumen, tenemos el siguiente resultado:
Teorema 1.1 Si X es una curva plana afn no
con el atlas A, es una supercie de Riemann.
1
singular, entonces X ,
Una demostracion de esta armacion puede encontrarse en [G-H], pagina 21.
1
6
SUPERFICIES DE RIEMANN
Curvas planas proyectivas
Definición: Sea
como el conjunto:
n 2 Z+ , denimos el n espacio proyectivo complejo
Pn = f` Cn+1 : dim ` = 1g:
En particular, si n = 2, P2 se llama el plano proyectivo.
Notemos que Pn se puede construir como un cociente de Cn+1 de la
siguiente manera: para ; 2 Cn+1 , distintos de cero, denimos la relacion:
si y solo si existe k 2 C, k 6= 0 tal que = k:
La anterior es una relacion de equivalencia y las clases de equivalencia son
precisamente los subespacios de dimension 1 de Cn+1 .
Para el caso particular del plano proyectivo, los elementos de P2 son
rectas que pasan por el origen de C3 , as, cualquier vector , no cero, de `
satisface ` = hi. Si = (a; b; c), denotaremos por (a : b : c) a `, es decir:
(a : b : c) = f(ka; kb; kc) : k 2 C; k 6= 0g:
Ejercicio:
P2 es un espacio Hausdor.
Consideremos los siguientes subconjuntos de P2 :
U0 = f(x : y : z ) : x 6= 0g; U1 = f(x : y : z ) : y 6= 0g
y U2 = f(x : y : z ) : z 6= 0g;
entonces cada uno de ellos es homeomorfo a C2 , por ejemplo, para U0 consideramos el homeomorsmo 0 : U0 ! C2 dado por:
(x : y : z )
y z ; ;
x x
y analogamente para U1 y U2 . Es claro que P2 = U0 [ U1 [ U2 , es decir, P2
lo podemos considerar como la union de tres copias de C2 .
Otra propiedad importante que posee P2 es la compacidad. En efecto, si
tomamos:
S = f(x; y; z ) 2 C3 : x2 + y2 + z 2 = 1g;
el cual es un conjunto compacto, entonces la funcion f : S ! P2 dada por:
1
7
SUPERFICIES DE RIEMANN
(a; b; c)
(a : b : c)
es claramente continua y sobre, luego, P2 = f (S ) es compacto.
Definición: Sea F (x; y; z ) 2 C[x; y; z ], diremos que el
polinomio F (x; y; z )
es homogeneo de grado d, si cada uno de sus terminos es de grado d.
Ejemplo: El polinomio
x3
3x2 y + 5yz 2
mientras que x + 3y no es homogeneo.
Ejercicio: Demuestra la
formula de Euler : si F (x; y; z ) es homogeneo de
2
grado de d, entonces:
F (x; y; z ) =
z 3 es homogeneo de grado 3,
}
@F
@F
@F
x (x; y; z ) + y (x; y; z ) + z (x; y; z ) :
d @x
@y
@z
1
Consideremos F (x; y; z ) homogeneo de grado d. Si (a; b; c) 2 C3 , entonces:
F (ka; kb; kc) = kd F (a; b; c); para todo k;
as, si (a : b : c) 2 P2 , la evaluacion de F (x; y; z ) en este punto no tiene
sentido, pues, en general:
F (a; b; c) 6= kd F (a; b; c); para k 6= 0:
Sin embargo, si F (x; y; z ) se anula en (a; b; c), entonces tambien se anulara
en (ka; kb; kc), para todo k, por lo tanto tendra sentido decir si F (x; y; z ) se
anula en un punto de P2 .
F (x; y; z ) un polinomio homogeneo de grado d, se dene
la curva plana proyectiva, denida por F como el conjunto:
Definición: Sea
X = f(a : b : c) 2 P2 : F (a; b; c) = 0g:
Notemos que como X es cerrado en P2 , entonces es compacto.
Sea X0 el conjunto denido como sigue:
X0 = X \ U0 = f(1 : b : c) : F (1; b; c) = 0g
= f(b; c) 2 C2 : f (b; c) = 0g;
1
8
SUPERFICIES DE RIEMANN
donde, f (y; z ) es el polinomio denido por F (1; y; z ), entonces podemos ver
que X0 es la curva plana afn denida por el polinomio f (y; z ). Analogamente, tenemos las curvas planas anes X1 y X2 . Por lo tanto, podemos
considerar una curva plana proyectiva como la union de tres curvas planas
anes.
Definición: Diremos que
es no singular.
Proposición 1.1
singulares.
X es no singular, si el polinomio que la dene
X es no singular si y solo si X0 , X1 y X2 son no
Demostracion:
Supongamos que alguna de las Xi es singular, digamos X0 ,
entonces el polinomio f (y; z ) que dene a X0 es singular, es decir,
existe (b; c) 2 C2 tal que:
)
f (b; c) = 0 =
@f
@f
(b; c) = (b; c);
@y
@z
entonces:
@F
@f
F (1; b; c) = f (b; c) = 0;
(1; b; c) = (b; c) = 0
@y
@y
@f
@F
(1; b; c) = (b; c) = 0;
@z
@z
y por la formula de Euler:
@F
@F
@F
(1; b; c) = dF (1; b; c) b (1; b; c) c (1; b; c) = 0;
@x
@y
@x
luego, F es singular y as X es singular.
( Supongamos que X es singular, entonces existe (a : b : c) 2
P2 tal que:
F (a; b; c) = 0 =
@F
@F
@F
(a; b; c) =
(a; b; c) (a; b; c);
@x
@y
@z
2
9
APLICACIONES ENTRE SUPERFICIES DE RIEMANN
supongamos que a 6= 0, entonces (a : b : c) = (1 : u : v ), donde
u = ab y v = ac . Si consideramos f (y; z ) = F (1; y; z ), tenemos:
@F
@f
(u; v ) =
(1; u; v ) = 0
f (u; v) = F (1; u; v) = 0;
@y
@y
@f
@F
(u; v ) =
(1; u; v ) = 0;
@z
@z
lo cual implica que X0 es singular.
Supongamos que X es no singular, entonces X0 , X1 y X2 son no singulares. Tomemos A0 , A1 y A2 , atlas en X0 , X1 y X2 , respectivamente.
Ejercicio: A = A0 [ A1 [ A2 es un atlas de
X.
X es conexa, pues es la union de tres conjuntos conexos con interseccion
no vaca. Por lo tanto, tenemos el siguiente resultado.
Sea X una curva plana proyectiva no singular, entonces
X , con el atlas A, es una supercie de Riemann compacta.
Teorema 1.2
2.
Aplicaciones entre superficies de Riemann
Una vez denidos nuestros objetos de interes, supercies de Riemann, el
siguiente paso es considerar aplicaciones \adecuadas" entre ellos. Lo natural, en este caso, es denir aplicaciones que sean holomorfas.
Funciones holomorfas
X una supercie de Riemann, f : X ! C una funcion y
p 2 X , diremos que f es holomorfa en p, si existe una carta : U ! V en
X , con p 2 U , tal que la composicion:
Definición: Sean
f 1
:V
!C
es holomorfa en (p), en el sentido usual de variable compleja.
Si f esta denida en un abierto W X , entonces decimos que f es holomorfa en W , si es holomorfa en cada punto de W .
2
APLICACIONES ENTRE SUPERFICIES DE RIEMANN
Lema 2.1
10
La denicion de arriba no depende de la carta elegida.
Demostracion:
Sean (1 ; U1 ) y (2 ; U2 ) dos cartas tales que p 2 U1 \ U2 y supongamos que f 1 1 es holomorfa en 1 (p). Notemos que:
f 2 1 = (f 1 1 ) (1 2 1 );
es decir, f 2 1 es composicion de dos funciones holomorfas. Por
lo tanto, f 2 1 es holomorfa en 2 (p).
Ejercicio:
I. Cualquier carta de una supercie de Riemann X es una funcion holomorfa.
II. Si f; g son holomorfas en un punto p
siempre que g (p) 6= 0.
2 X , as son f g, fg y f=g,
III. f : C1 ! C es holomorfa en 1 si y solo si f (1=z ) es holomorfa en 0.
En particular, una funcion racional f (z ) = p(z )=q (z ) es holomorfa en
1 si y solo si gr p(x) gr q(x).
Ejemplo: Sea X una curva plana afn no singular denida por un polinomio
f (z; w), entonces las proyecciones:
1 : X ! C y 2 : X ! C;
dadas por:
2
11
APLICACIONES ENTRE SUPERFICIES DE RIEMANN
(z; w)
z
(z; w)
w;
respectivamente, son holomorfas.
Solucion: Veriquemos que 1 es holomorfa: sea p = (a; b) 2 X y consideremos una carta (p ; Up ) alrededor de p, entonces los puntos de Up son
de la forma (a; g (a)), con g holomorfa (o bien (h(b); b), con h holomorfa) y
tenemos:
(
a
1
(1 p )(p (p)) = 1 (p) =
;
h(b)
en cualquier caso, 1 p 1 es holomorfa.
Analogamente, 2 es holomorfa.
}
Ejercicio: Cualquier funcion polinomial restringida a una curva plana afn
no singular es holomorfa.
Si U X es un abierto, al conjunto de todas las funciones holomorfas
sobre U lo denotaremos por O(U ), es decir:
O(U ) = ff : U
Ejercicio: O(U ) es una
! Cjf es holomorfag:
C algebra.
Funciones meromorfas
As como en el plano complejo, puede suceder que una funcion sea holomorfa en una vecindad agujereada de un punto p, consideremos la situacion
analoga sobre una supercie de Riemann X .
Definición: Sea
f una funcion holomorfa en una vecindad agujereada de
p 2 X , diremos que:
i
ii
. f tiene una singularidad removible en p, si existe una carta (; U )
tal que f 1 tiene una singularidad removible en (p);
. f tiene un polo en p, si existe una carta (; U ) tal que f un polo en (p);
1
tiene
. f tiene una singularidad esencial en p, si existe una carta (; U ) tal
que f 1 tiene una singularidad esencial en (p).
iii
2
APLICACIONES ENTRE SUPERFICIES DE RIEMANN
12
Ejercicio: Las deniciones de arriba no dependen de la carta elegida.
f una funcion holomorfa en una vecindad agujereada de
p 2 X , diremos que f es meromorfa en p, si es holomorfa, tiene una singularidad removible o tiene un polo en p.
Definición: Sea
Ejemplo:
I. Sean W un abierto de X y f; g 2 O(W ), con g no identicamente cero.
Si p 2 W , entonces f=g es meromorfa en p.
Solucion: Sea (; U ) una carta de X , con p 2 U , notemos que:
f
g
1
=
f g
1
1
es cociente de dos funciones holomorfas, con g es meromorfa en (p).
1
6= 0, por lo cual
II. Sea X una curva plana afn, entonces cualquier funcion racional restringida a X es meromorfa.
}
Sean f una funcion holomorfa en una vecindad agujereada de p 2 X y
(; U ) una carta de X tal que p 2 U , considerando z = (x), para x 2 U ,
tenemos que f 1 es holomorfa alrededor de z0 = (p), entonces podemos
escribir podemos escribirla como serie de Laurent:
(f 1 )(z ) =
X
n 2Z
cn (z z0 )n ;
a esta expresion la llamaremos la serie de Laurent de f alrededor de p,
con respecto a .
Ejercicio:
I. f tiene una singularidad removible en p si y solo si alguna de sus series
de Laurent no tiene potencias negativas.
II. f tiene un polo en p si y solo si alguna de sus series de Laurent no
tiene un numero nito (no cero) de potencias negativas.
2
13
APLICACIONES ENTRE SUPERFICIES DE RIEMANN
III. f tiene una singularidad esencial en p si y solo si alguna de sus series
de Laurent tiene innitas potencias negativas.
Obviamente, dicha serie depende de la carta elegida, sin embargo, un
dato importante no dependera de esta.
Sea f una funcion meromorfa en p, si (; U ) y ( ; V ) son
cartas de X , con p 2 U \ V , tales que las series de Laurent, respecto a
estas, son:
Lema 2.2
X
nn0
cn (z z0 )n y
X
mm0
dm (w w0 )m ;
con n0 ; m0 6= 0, entonces n0 = m0 .
Demostracion:
Sabemos que la funcion T = 1 , la cual expresa a w como
funcion de z , es holomorfa. Como T es invertible, T 0 (z0 ) 6= 0,
por lo cual, su serie de Taylor es de la forma:
X
w = T (z ) = T (z0 ) + an (z z0 )n ; con a1 6= 0;
n1
X
= w0 +
an (z z0 )n ; con a1 6= 0;
n1
es decir:
w w0 =
X
n1
an (z z0 )n ; con a1 6= 0:
Sustituyendo esta expresion en la serie respecto a , podemos
ver que el termino de potencia menor es:
0
dm0 am
z0 )m0 ;
1 (z
por lo tanto, n0 = m0 .
f una funcion meromorfa enPp tal que, para alguna carta,
la serie de Laurent de f , alrededor de p, es n cn (z z0 )n , denimos el
Definición: Sea
2
APLICACIONES ENTRE SUPERFICIES DE RIEMANN
14
orden de f en p como el mnimo exponente negativo que aparece en dicha
serie:
ordp (f ) = mnfn : n 6= 0g:
Observemos que:
8
>
< > 0; si p es un cero de f ;
ordp (f ) > < 0; si p es un polo de f ;
: = 0; si p no es cero ni polo de f:
Definición: Bajo las condiciones anteriores, diremos que:
i
ii
. f tiene un cero de orden n en p, si ordp (f ) = n > 0;
. f tiene un polo de orden n en p, si ordp (f ) = n < 0.
f y g funciones meromorfas en p, entonces:
I. ordp (fg ) = ordp (f ) + ordp (g );
Ejercicio: Sean
II. ordp (f=g ) = ordp (f )
Ejercicio: Si
ordp (g ).
f : C1 ! C es una funcion meromorfa, entonces es racional.
Ejemplo:
I. Sea f : C1 ! C una funcion meromorfa, entonces:
X
p2X
ordp (f ) = 0:
Solucion: Como f es meromorfa, por el ejercicio anterior, existen
p(z ); q(z ) polinomios tales que f (z ) = p(z )=q(z ), digamos:
(z a1 )d1 (z
(z b1 )e1 (z
con los ai 's distintos de los bj 's, entonces:
ar )dr
;
bs )es
f (z ) = c
8
di ;
si p = ai ;
>
>
>
< ej ;
si p = bj ;
P
ordp (f ) = > P
>
j ej
i di ; si p = 1;
>
:
0
Por lo tanto:
X
p2X
en otro caso:
ordp (f ) = 0:
2
15
APLICACIONES ENTRE SUPERFICIES DE RIEMANN
II. Sea X la curva plana afn no singular, denida por el polinomio f (x; y ).
Sabemos que cualquier funcion polinomial g (x; y ), restringida a X es
holomorfa, luego cualquier funcion racional p(x; y )=q (x; y ) es meromorfa en X , siempre que q (x; y ) no sea identicamente cero en X .
Obviamente, si f (x; y ) divide a q (x; y ), q se anula en todo X , e inversamente tambien, si q se anula en todo X , entonces f divide a q 2 .
En resumen, p=q es una funcion meromorfa en X si y solo si f no divide
a q.
}
Hay muchos resultados que se heredan de lo que sucede con funciones de
variable compleja. A continuacion enunciamos algunos, y la prueba se deja
como ejercicio.
Sean X una supercie de Riemann y f : X
funcion meromorfa no identicamente cero. entonces:
Teorema 2.1
i
ii
. si X es compacta, f tiene un numero nito de ceros y polos;
Sean X una supercie de Riemann y f : X
funcion holomorfa.
ii
una
. los ceros y polos forman un conjunto discreto de X ;
Teorema 2.2
i
!C
!C
una
. Si existe p 2 X tal que jf (x)j jf (p)j, para todo x 2 X , entonces f
es constante.
. Si X es compacta, entonces f es constante.
Aplicaciones holomorfas
X y Y supercies de Riemann, F : X ! Y una funcion
y p 2 X , diremos que F es holomorfa en p, si existen cartas 1 : U1 ! V1
Definición: Sean
2
Esto es una consecuencia del Teorema de los Ceros de Hilbert: Sean F un campo
algebraicamente cerrado y g; h1 : : : ; hm 2 F [x1 ; : : : ; xn ] tales que g se anula en el conjunto
de los ceros comunes de los hi 's, entonces existen g1 ; : : : ; gm 2 F [x1 ; : : : ; xn ] tales que:
g
= g1 h1 + + gm hm :
2
APLICACIONES ENTRE SUPERFICIES DE RIEMANN
16
en X , con p 2 U1 , y 2 : U2 ! V2 , en Y , con F (p) 2 U2 , tales que la composicion 2 F 1 1 : V1 ! V2 es holomorfa en 1 (p), en el sentido usual
de variable compleja.
Si F esta denida sobre un conjunto abierto W X , entonces decimos que
F es holomorfa en W , si F es holomorfa en cada punto de W .
Si F es holomorfa, diremos que F es un isomorsmo, si es biyectiva y su
inversa es holomorfa.
Ejercicio: La denici
on anterior es independientemente del par de cartas
que se elijan.
Es claro que cualquier funcion holomorfa es una aplicacion holomorfa,
en particular, una carta es una aplicacion holomorfa.
! X es holomorfa.
Solucion: Sean p 2 X y (; U ) una carta de X , con p 2 U , entonces:
( F 1 )((p)) = (p);
es decir, F 1 es la identidad en (U ) C, la cual obviamente es
holomorfa.
}
Ejemplo: La funci
on identidad 1X : X
Ejercicio:
I. La composicion de aplicaciones holomorfas es holomorfa.
2
APLICACIONES ENTRE SUPERFICIES DE RIEMANN
17
II. La composicion de una aplicacion holomorfa con una funcion holomorfa
es una funcion holomorfa.
III. La composicion de una aplicacion holomorfa con una funcion meromorfa es una funcion meromorfa. (Siempre que la imagen de la aplicacion
no este contenida en el conjunto de polos de la funcion.)
Para este caso tambien tenemos muchos resultados heredados de la funciones holomorfas de variable compleja, como los siguientes:
1. Una aplicacion holomorfa, no constante es abierta.
2. Una aplicacion holomorfa inyectiva es un isomorsmo entre el
dominio y su imagen.
3. Si dos aplicaciones holomorfas entre X y Y coinciden en un abierto de X , entonces son iguales.
4. Si F : X ! Y es holomorfa, no constante, entonces F 1 (y ) X
es discreto. En particular, si X es compacta, F 1 (y ) es nito.
5. Si F : X ! Y es holomorfa, no constante, y X es compacta,
entonces F es sobre y Y es compacta.
Solucion: Sabemos que F (X ) es abierto en Y , pues F es abierta,
tambien es un compacto, ya que X es compacta, en particular es un
conjunto cerrado, luego F (X ) = Y . Por lo tanto, F es sobre y Y es
compacta.
Una propiedad que posee una aplicacion holomorfa, es la siguiente, que
nos dice que la aplicacion localmente se comporta como una funcion potencia.
Sean X y Y supercies de
Riemann, F : X ! Y una aplicacion holomorfa no constante y p 2 X ,
entonces existe un unico m 2 Z+ tal que para cada carta 2 : U2 ! V2
de Y centrada en F (p), existe una carta 1 : U1 ! V1 de X , centrada
en p, tal que 2 (F (1 1 (z ))) = z m :
Proposición 2.1 (Forma Local Normal)
La idea de la demostracion de esta proposicion es como sigue: se escribe
la expresion en serie de Taylor de la funcion T (w) = 2 (F (1 1 (w))), donde
2 es una carta en Y alrededor de F (p) y 1 una en X alrededor de p, el
2
APLICACIONES ENTRE SUPERFICIES DE RIEMANN
18
entero m es precisamente la menor potencia que aparece en esta serie. (Para
mas detalles, ver pagina 44 de [Mi].)
Definición: Bajo las condiciones de arriba, denimos
la multiplicidad de
F en p como el entero m dado por la proposicion anterior y la denotamos
por multp (F ).
Notemos que para todo punto p 2 X se cumple que multp (F ) 1.
Ejemplo: Si
p 2 U.
: U ! V es una carta, entonces multp () = 1, para todo
Definición: Sea
i
ii
}
F : X ! Y una aplicacion holomorfa no constante.
. Diremos que p 2 X es un punto de ramicacion de F , si multp (F ) 2.
. Si q 2 Y es imagen de algun punto de ramicacion de F , diremos que
q es un punto rama de F .
Sean X y Y supercies de Riemann compactas y F :
X ! Y una aplicacion holomorfa no constante. Para cada y 2 Y ,
consideremos el numero:
Proposición 2.2
gry (F ) =
X
p2F 1 (y )
multp (F );
entonces gry (F ) es constante e independiente de y .
Bosquejo de demostracion:
La idea es probar que la funcion y 7! gry (F ) es una funcion localmente constante de Y a Z. Como Y es conexa, una funcion
localmente constante sera constante. Para ello consideramos el
disco unitario D = fz 2 C : jz j < 1g y la funcion potencia
f : D ! D dada por f (z ) = z m para algun m 1.
Dicha funcion f es holomorfa, sobreyectiva, su unico punto de
ramicacion es z = 0 (donde la multiplicidad es m), los demas
puntos tienen multiplicidad 1, ademas para un w 2 D; w 6= 0,
3
LA CARACTERISTICA DE EULER DE UNA 2 VARIEDAD
19
existen m preimagenes (las m races de w) cada una de multiplicidad 1, por lo que f tiene la propiedad de que la suma de las
multiplicidades de los puntos de las preimagenes es constante e
igual a m. Y como F localmente se comporta como funciones
potencia como la de arriba, la prueba esta completa.
As, si F : X ! Y es como en la proposicion anterior, entonces esta nos
asegura que la siguiente denicion tiene sentido:
el grado de F como
el entero gry (F ) de la proposicion anterior, para cualquier y 2 Y y lo denotamos por gr(F ).
Definición: Bajo las condiciones anteriores, denimos
Sean X y Y supercies de Riemann compactas y F :
X ! Y holomorfa, entonces F es un isomorsmo si y solo si es de
Corolario 2.1
grado uno.
3.
La caracterı́stica de Euler de una 2 variedad
La caracterstica de Euler es una propiedad topologica que, en un principio, era una formula asociada a poliedros: en cualquier poliedro el numero
de vertices, v , mas el numero de caras, c, era dos mas que el numero de
aristas, a:
v a + c = 2:
Definición: Sea
S una 2 variedad, una triangulacion de S es una des-
composicion de S en subconjuntos cerrados, cada uno de ellos homeomorfo
a un triangulo, y tal que cualesquiera dos de ellos, son ajenos, se intersecan
en un unico vertice o bien en una unica arista.
b
b
b
b
3
LA CARACTERISTICA DE EULER DE UNA 2 VARIEDAD
20
T una triangulacion de S con v vertices, a aristas y t
triangulos, denimos la caracterstica Euler de S (con respecto a la triangulacion T ), como el entero:
Definición: Sea
e(S ) = v a + t:
Una de las principales propiedades de la caracterstica de Euler es que
no depende de la triangulacion tomada. Sea T una triangulacion de S . Un
renamiento elemental de T es otra triangulacion de S que se obtiene de
alguna de las formas siguientes:
Aumentando un vertice en algun punto del interior de un triangulo y
tres aristas desde los vertices al nuevo vertice. Con ello se reemplaza un
triangulo por tres triangulos, lo cual aumenta un vertice, tres aristas
y dos triangulos. Observemos que:
(v + 1)
(a + 3) + (t + 2) = v
a + t = e(S ):
b
b
b
bc
b
Al tomar dos triangulos vecinos con una arista comun A, ponemos un
vertice en algun punto del interior de A y dos aristas de cada uno de los
vertices opuestos de los dos triangulos. Esencialmente esto biseca a los
dos triangulos, aumentando un vertice, tres aristas y dos triangulos.
As:
(v + 1) (a + 3) + (t + 2) = v a + t = e(S ):
b
b
b
bc
b
En una 2 variedad con frontera, simplemente bisecamos un triangulo
por una arista que forme parte de la frontera. Con esto se suman un
vertice, dos aristas y un triangulo. As:
(v + 1)
(a + 2) + (t + 1) = v
a + t = e(S ):
3
LA CARACTERISTICA DE EULER DE UNA 2 VARIEDAD
b
21
b
bc
b
b
Con base en lo anterior, podemos observar que estas tres operaciones no
afectan la caracterstica de Euler.
Un renamiento se obtiene por una sucesion de renamientos elementales. Por lo tanto, una triangulacion y cualquier renamiento de esta da la
misma caracterstica de Euler para la supercie. Ademas, cualesquiera dos
triangulaciones de una 2 variedad compacta (incluso con frontera), tiene un
renamiento comun. Esto se puede ver al sobreponer ambas triangulaciones
en la supercie y completar con los vertices y aristas que hagan falta, con lo
cual obtenemos un renamiento comun de estas. De donde, la caracterstica
de Euler esta bien denida.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bc
bc
b
b
b
b
b
b
b
b
Como la caracterstica de Euler es invariante bajo renamientos y cualesquiera dos triangulaciones tienen un renamiento comun, entonces podemos
considerar cualquier triangulacion para calcular la caracterstica de Euler de
una 2 variedad.
Ejemplo:
I. Si S es una esfera, entonces con la siguiente triangulacion obtenemos:
e(S ) = v a + t = 6 12 + 8 = 2:
3
LA CARACTERISTICA DE EULER DE UNA 2 VARIEDAD
22
b
bc
b
b
b
b
II. Si C es un cilindro, entonces considerando la siguiente triangulacion
obtenemos:
e(C ) = v a + t = 6 12 + 6 = 0:
b
b
b
b
b
b
III. Si D es un disco cerrado, entonces con la siguiente triangulacion tenemos:
e(D) = v a + t = 5 8 + 4 = 1:
b
b
b
b
b
Como topologicamente C = R2 , de topologa sabemos que toda 2 variedad
compacta y orientable X es homeomorfa a una esfera con \asas", el numero
de asas es lo que llamamos el genero topologico de X .
4
LA FORMULA
DE RIEMANN-HURWITZ
23
Para incrementar el genero de una supercie en uno, basta con quitar
dos discos (con frontera) y pegar un cilindro sobre ellos, lo cual lo podemos
interpretar como poner un asa. Al quitar los dos discos la caracterstica de
Euler baja 1 por cada uno de ellos, en total 2 y al pegar el cilindro esta no
se ve afectada. De esta manera, la caracterstica de Euler disminuye 2 cada
vez que aumentamos un asa.
+
∼
=
=
Lo anterior lo podemos usar para probar por induccion el siguiente resultado:
Sea S una 2 variedad de genero g , compacta, orientable y sin frontera, entonces la caracterstica de Euler de S es 2 2g .
Proposición 3.1
4.
La fórmula de Riemann-Hurwitz
La formula de Riemann-Hurwitz es muy importante y a menudo utilizada
en la teora de supercies de Riemann, es una relacion determinada por
Riemann y demostrada por Hurwitz, esta conecta el grado de una aplicacion
holomorfa entre supercies de Riemann compactas con la caracterstica de
Euler y el numero de puntos de ramicacion de la aplicacion.
Sean X y Y supercies de Riemann compactas y F : X ! Y una aplicacion holomorfa y
no constante, entonces:
Teorema 4.1 (Fórmula de Riemann-Hurwitz)
2gX
2 = gr(F )(2gY
2) +
X
p2X
[multp (F )
1];
donde gX y gY son los generos de X y de Y , respectivamente.
Demostracion:
Como X es compacta, el conjunto de puntos de ramicacion es
nito, luego la suma que aparece en la formula es nita, pues los
4
LA FORMULA
DE RIEMANN-HURWITZ
24
unicos puntos que cuentan son los de ramicacion, ya que para
los demas se tiene multp (F ) = 1.
Tomemos una triangulacion de Y de tal forma que cada punto
rama de F sea un vertice y supongamos que hay v vertices, a
aristas y t triangulos.
Ahora \levantamos" esta triangulacion a una para X va F , es
decir, construimos una triangulacion para X de tal manera que
los vertices sean las preimagenes de los vertices de la triangulacion dada para Y y las aristas se toman de las correspondientes
aristas en Y :
Supongamos que la triangulacion de X tiene v 0 vertices, a0 aristas
y t0 triangulos. Como no hay puntos de ramicacion en el interior
de cualquier triangulo, entonces cada triangulo de Y se levanta a
gr(F ) triangulos en X . De esta manera, t0 = gr(F )t y de manera
similar a0 = gr(F )a. Pero no ocurre lo mismo con los vertices v 0 ,
pues si jamos un vertice q 2 Y , el numero de preimagenes de q
en X es jF 1 (q )j, que podemos escribir como sigue:
jF
1
(q )j =
X
p2F 1 (q )
1 = gr(F ) +
X
p2F 1 (q )
[1
multp (F )]
ya que quitaremos algunos puntos, dependiendo de la multiplicidad del punto rama. As, el numero total de preimagenes de
vertices de Y , el cual es el numero v 0 de vertices de X es:
v0 =
X
vertices
q 2Y
0
1
X
@gr(F ) +
[1 multp (F )]A
= gr(F )v +
X
p2F 1 (q )
X
[1
vertices p2F 1 (q )
q 2Y
multp (F )]:
25
REFERENCIAS
Ademas sabemos que 2 2gX = a0 v 0 + t0 . Sustituyendo nuestros
valores obtenemos:
2
2gX = gr(F )a
gr(F )v +
X
X
[1
vertices p2F 1 (q )
q 2Y
multp (F )] + gr(F )t
X
v + t) + [1 multp (F )]
p2X
X
= gr(F )(2 2gY ) +
[1 multp (F )]:
= gr(F )(a
p2X
Ejemplo: Sean X y Y supercies de Riemann compactas y F : X
aplicacion holomorfa no constante, entonces:
!Y
una
gY gX :
Solucion: Como gr(F ) 1, la formula de Riemann-Hurwitz implica:
2gX
luego:
2 (2gY
2gX
2 gY
2) +
X
p2X
X
p2X
[multp (F )
[multp (F )
1];
1]:
Ademas, como multp (F ) 1, para todo p 2 X , entonces:
X
p 2X
de donde, 2gX
2gY
[multp (F )
1] 0;
0 y por lo tanto, gX gY :
}
Referencias
[A-S] Ahlfors Lars, Sario Leo; Riemann Surfaces. Princeton Math. Series,
vol. 2, 1960.
[Ar] Armstrong, Mark A.; Basic Topology. Undergraduate Texts in Mathematics, 1983.
REFERENCIAS
26
[G-H] Griths Phillip, Harris Joseph; Principles of Algebraic Geometry.
Wiley-Interscience Publication, 1978.
[Fo] Forster,Otto; Lectures on Riemann Surfaces. Springer-Verlag, 1981.
[Ki] Kirwan, Frances; Complex Algebraic Curves. Cambridge University
Press, 1992.
[Mi] Miranda, Rick; Algebraic Curves and Riemann Surfaces. American
Mathematical Society, 1995.
[Sp] Springer, George; Introduction to Riemann Surfaces. AddisonWesley Publishing Company, Inc., Massachusetts, 1957.