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Tema 1: Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Tema 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
1. Resolver las siguientes ecuaciones en variables separadas:
dy
(a)
+ y cos t = 0.
(b) y 0 = (1 + t)(1 + y)
dt
dy
(c) y 0 = et+y+3
(d) cos y sen t = sen y cos t
dt
dy
2
2
2
2
(e)
= 1 − t + y − ty
(f) t (1 + y ) + 2yy 0 = 0
dt
2. Comprobar que las siguientes ecuaciones son homogéneas, y resolverlas:
(a) y 0 =
y 2 + 2ty
y2
(c) xy 0 =
(e) y 0 =
y 3 + t3
y 2 t + t3
et+y
(d) y 0 = t−y
e
(b) y 0 =
q
x2 − y 2 + y
y3
xy 2 − x3
(f) y 0 =
(t2 + 2ty + y 2 )1/2
.
t+y
3. Resolver las siguientes ecuaciones lineales:
dy
2t
1
dy
(a)
+
y
=
(b)
+ t2 y = 1
dt 1 + t2
1 + t2
dt
dy
t
t3
dy
(c)
+
y
=
1
−
y
(d)
+ y = tet
2
2
dt 1 + t
1+t
dt
dy
dy
(e)
+ t2 y = t2
(f) (1 + t2 ) + ty = t(1 + t2 )5/2
dt
dt
1
y
2
= (x + 1)3 .
(g) y 0 − y = 2xex+x
(h) y 0 +
x+1
2
4. Resolver las siguientes ecuaciones exactas:
(a) 2tsen y + y 3 et + (t2 cos y + 3y 2 et )
dy
=0
dt
dy
=0
dt
dy
(c) y sec2 t + sec t tan t + (2y + tan t)
=0
dt
(b) 1 + (1 + ty)ety + (1 + t2 ety )
Ã
(d)
!
y2
− 2yet dt + (yt − 2et )dy = 0.
2
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5. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
(1) x sen x y 0 + (sen x − x cos x)y = sen x cos x − x
(2) (x3 − 3xy 2 )dx + (y 3 − 3x2 y)dy = 0
(3) (4xy − 4y 2 − 6x2 )dx + (y 2 − 8xy + 2x2 )dy = 0
(4) (3xy 2 − x2 )dx + (3x2 y − 6y 2 − 1)dy = 0
2
2
(5) (2xyex − xsen x)dx + ex dy = 0
(6) x2 + xy 0 = 3x + y 0
(7) 4x3 y 2 dx + (x4 − 2x4 y − 1)dy = 0
(8) xyy 0 − y 2 = x4
dx
dy
= 2
2
− xy + y
2y − xy
1 − 4x
(10) (2x − 1)y 0 − 2y =
x2
(9)
x2
2
(11) y 0 (3x2 − 2x) − y(6x − 2) + (9x − 6) = 0
x
x
(12) (1 + ex/y )dx + ex/y (1 − )dy = 0
y
(13) x2 + y 2 − xyy 0 = 0
(14) (x − y + 2)dx + (x − y + 3)dy = 0
(15) (x − 1)(y 2 − y + 1)dx = (2y − 1)(x2 + x + 1)dy
(16) (x − 2xy − y 2 )y 0 + y 2 = 0
(17) y cos xdx + (2y + sen x)dy = 0
(18) y 0 − 1 = ex+2y
(19) 2(x5 − 2x3 y − y 2 x)dx + (y 2 + 2x2 y − x4 )dy = 0
(20) (x − y 2 )dx + 2xydy = 0.
6. Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en un medio es
proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura T0
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del medio. Se tiene entonces para T la siguiente ecuación diferencial:
dT
= k(T − T0 ).
dt
Si la temperatura del medio es de 20o C y el cuerpo se enfrı́a en 20 minutos desde
100o hasta 60o , ¿dentro de cuánto tiempo su temperatura descenderá hasta 30o ?
7. Se disuelven 50 gramos de una sustancia en 300 litros de agua contenidos en un
tanque. Por otro lado se introduce en el mismo una disolución de la misma sustancia
en agua a una concentración de 2 gramos/litro y a razón de 3 litros/minuto, mientras
la solución convenientemente homogeneizada se extrae a razón de 2 litros/minuto.
Si C = C(t) designa la masa en gramos de la sustancia en el tanque, entonces la
ecuación que determina C es:
dC
C
=6−2
.
dt
300 + t
Hallar una expresión para C en función del tiempo.
8. Inicialmente habı́a 100 miligramos presentes de una sustancia radiactiva. Después
de 6 horas, la masa disminuyó en un 3%. Encontrar la cantidad que queda después
de 24 horas, si se sabe que la cantidad de sustancia C(t) verifica la ecuación
C 0 = −kC.
9. Un barco retrasa su movimiento por la acción de la resistencia del agua, que es
proporcional a la velocidad del barco. Si v(t) denota la velocidad, la ecuación
diferencial satisfecha por v es
v 0 = −cv.
Si la velocidad inicial del barco es 10 cm/seg, y después de 5 seg. su velocidad es
de cm/seg., ¿después de cuánto tiempo la velocidad se hará 1 m/seg?