1 Ecuaciones de Maxwell Las ecuaciones del electromagnetismo hasta antes de Maxwell son: 1. Ley de Gauss: I ~ .D ~ = qV , dS ~D ~ =ρ ∇ S 2. Ley de Gauss del Magnetismo: I ~ .B ~ = 0, dS ~B ~ =0 ∇ S 3. Ley de Ampere: I ~ .d ~x = IS H ~ ×H ~ =J ~ ∇ C 4. Ley de Faraday I C ~ .d ~x = − dΦB E dt 1 ~ ∂B ~ ~ ∇×E + =~0 ∂t 1.1 Corriente de desplazamiento Maxwell se dio cuenta que estas ecuaciones son incompatibles con la conservación ∂ρ ~J ~ = 0. de la carga eléctrica: ∂t + ∇ ~ En efecto, use la identidad ∇. ∇ × A = 0(Demuéstrela!) en la ley de Ampére, lo ~J ~ = 0. Esto es cierto sólo si ρ no depende del tiempo. que da: ∇ ~ un término Para generalizar la ley de Ampere, Maxwell propuso agregar a J ~D. Se tiene ahora: llamado corriente de desplazamiento J ~J ~ +∇ ~J ~D = 0 = − ∂ρ + ∇ ~J ~D ∇ ∂t De la ley de Gauss: ~ ∂ρ ∂D ~ = ∇ ∂t ∂t Entonces: ~ ∂D ~ ~ ∇ JD − ∂t ! =0 ~ ∂D ~ JD = ∂t 2 1.2 Ecuaciones de Maxwell Las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell son: 1. Ley de Gauss: I ~ .D ~ = qV , dS ~D ~ =ρ ∇ S 2. Ley de Gauss del Magnetismo: I ~ .B ~ = 0, dS ~B ~ =0 ∇ S 3. Ley de Ampere y corriente de desplazamiento: I C ~ .d ~x = µ0 IS + dΦD H dt ~ ∂D ~ ~ ~ ∇×H = J + ∂t 4. Ley de Faraday I C ~ .d ~x = − dΦB E dt 3 ~ ∂B ~ ~ ∇×E + =~0 ∂t ! 2 Potencial vector y potencial escalar ~B ~ = 0, B ~ =∇ ~ ×A ~, A ~ es el potencial vector. ∇ ~ ~ ×A ~ ∂A ∂∇ ~ ~ ~ ~ ~ =0=∇× E + ∇×E + ∂t ∂t ! ~ ∂A ~ ~Φ E+ = −∇ ∂t ~ ∂A ~ ~ E = −∇Φ − ∂t Φ: Potencial escalar. 2.1 Transformaciones de gauge ~ +∇ ~ψ ~ ′=A A ′ ~ ~ ∂A ∂A ′ ~ ~ = ∇Φ + ∇Φ + ∂t ∂t 4 ~ Φ ′ + ∂ψ − Φ = 0 ∇ ∂t ∂ψ Φ′ = Φ − ∂t ′ ~′ ~ Φ, A producen los mismos campos electromagnéticos que Φ , A Esta libertad de gauge permite imponer condiciones de gauge sobre los potenciales sin cambiar los campos electromagnéticos. ~ .A ~ + 12 ∂Φ = 0 1. Gauge de Lorentz:∇ c ∂t ~ .A ~ =0 2. Gauge de Coulomb:∇ 2.2 Ecuaciones de onda Por ahora consideremos las dos ecuaciones de Maxwell inhomogéneas en el vacío: ~ ∂A ~ ∂ −∇ Φ − ~ ∂t ~ ~ ~ + ε0 ∇ × ∇ × A = µ0 J ∂t 5 2~ ~A ~ + 1 ∂Φ = µ0J ~ , 1 = µ0ε0 ~ + µ0ε0 ∂ A + ∇ ~ ∇ −∇2A ∂t2 c2 ∂t c2 ! ~ ρ ∂A ~ ~ = = ∇ −∇Φ − ε0 ∂t 2 ∂ 1 ∂Φ ~ ~ ∂ Φ + ∇A −∇2Φ + µ0ε0 2 − 2 ∂t c ∂t ∂t En el gauge de Lorentz se obtiene: ~ ∂ 2A ~ −∇ A + µ0ε0 2 = µ0J ∂t ∂ 2Φ ρ 2 −∇ Φ + µ0ε0 2 = ε0 ∂t 2~ c: es la velocidad de las ondas. Coincide con la velocidad de la luz en el vacío. 3 Función de Green para la ecuación de ondas 1 ∂2ψ ∇ ψ − 2 2 = −4πf (x ~ , t) c ∂t 2 6 Función de Green: 2 1 ∂ ∇2x − 2 2 G(x, t; x ′, t ′) = −4πδ(x − x ′)δ(t − t ′) c ∂t En el espacio abierto, se tiene: ψ(x, t) = Z G(x, t; x ′, t ′)f (x ′, t ′)d3x ′dt ′ El espacio abierto es invariante bajo traslaciones, G = G(x − x ′.t − t ′). Z Z 1 ik(x−x ′) −iω(t−t ′) 3 δ(x − x ′)δ(t − t ′) = d k dω e e 4 (2π) Z Z ′ ′ G(x, t; x ′, t ′) = d3k dωg(k, ω)eik(x−x )e−iω(t−t ) g(k, ω) = 1 1 4π 3 k 2 − ω2 c2 Causalidad: i. G = 0,t < t ′ 7 ii. G representa ondas salientes para t > t ′. Figura 1. Z Z iθ ω = Re , R→∞ Z −iω(t−t ′) R senθ(t−t ′) −1 dθ e 6 R dωg(k, ω)e t − t ′ < 0, cerramos por arriba.Para imponer i.los polos se mueven bajo el eje Re ω t − t ′ > 0, cerramos por abajo. ! ′ ′ c2 e−i c k(t−t ) eic k(t−t ) −iω(t−t ) = 2πi 3 − dωg(k, ω)e 4π 2kc 2kc ′ 8 = 2π Z ∞ 0 c2 sen ck(t − t ′) 2π 2 ck 2 Z ′ c sen ck(t − t ) i k cosθr dkk 2 dθ sen θ e , r = |x − x ′| 2 2π ck 2 ikr Z ∞ ′ c sen ck(t − t ) e − e−i kr 2 dkk =2π = 2 2π ck ikr 0 Z ∞ 2c dk sen ck(t − t ′)sen kr πr 0 c − {2δ(c(t − t ′) + r) − 2δ(c(t − t ′) − r)} , c(t − t ′) + r > 0 2r c 1 r ′ ′ = δ(c(t − t ) − r) = δ t − t + r r c 4 Teorema de Poynting La potencia gastada por un campo electromagnético en un volumen V es: Z Z ~ .E ~ = d3x{(∇ × H).E − E.∂tD} P = d3x J Z Z I = dSkεikjH jEi + d3x(∇ × E).H − d3xE.∂tD = S 9 I Z Z ∂B d3x .H − d3xE.∂tD = ∂t S Z I 1 1 ∂ d3x B.H + E.D dSkεikjH jEi − 2 2 ∂t S dSkεi kjH jEi − Ley de Faraday medio lineal, independiente t. εikjB j ,kEi = (εikjB jEi) ,k − εikjB jEi,k 1 Densidad de Energía magnética: uB = 2 B.H 1 Densidad de Energía eléctrica: uE = 2 E.D La integral de superficie da el flujo de energía a través de S(Vector de Poynting). S = E × H. ∂tu + ∇S = −J.E Conservación de la energía. 10
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