1. Bienes raíces

Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas
PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS
PARA EL INGRESO A LA
EDUCACIÓN SUPERIOR
Milagros Riquenes Rodríguez; Raúl Hernández Fidalgo; Arsenio
Celorrio Sánchez; Salvador Ochoa Rodríguez
PÁGINA LEGAL
374.852-Riq-P
Riquenes Rodríguez, Milagros
Problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior / Milagros Riquenes
Rodríguez … [et al.]. -- La Habana (Cuba) : Editorial Universitaria, 2011. -- ISBN 978-95916-1956-3. -- 77 pág.
1. Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas.
2. Matemáticas en la enseñanza media: libros de texto
Digitalización: Dr. C. Raúl G. Torricella Morales, ([email protected])
Depósito Legal: 9789591619563
Milagros Riquenes Rodríguez; Raúl Hernández Fidalgo; Arsenio Celorrio
Sánchez; Salvador Ochoa Rodríguez, 2012
Universidad de Las Tunas - Editorial Universitaria del Ministerio de
Educación Superior, 2012
La Editorial Universitaria (Cuba) publica bajo
licencia Creative Commons de tipo Reconocimiento,
Sin Obra Derivada, se permite su copia y distribución
por cualquier medio siempre que mantenga el
reconocimiento de sus autores y no se realice ninguna
modificación de ellas.
Calle 23 entre F y G, No. 564. El Vedado, Ciudad de La Habana, CP 10400, Cuba
e-mail: [email protected]
En acceso perpetuo: http://www.e-libro.com/titulos
TABLA DE CONTENIDO
1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales
Ecuaciones Lineales.
Ecuaciones Cuadráticas.
Ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y
cuadráticas.
Inecuaciones Lineales.
Inecuaciones Cuadráticas
2. Sistema de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas.
Método de adición algebraica.
Método de Sustitución.
Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas.
Ejercicios.
Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales
3. Trigonometría
Ángulos y medición de ángulos
Fórmulas de reducción
Función Periódica
Gráfico de la Función y = senx en [0, 2π] y sus propiedades
Funciones de la forma y = a sen bx con a ∈ R y b∈ R y sus propiedades
Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente y sus propiedades
Algunas identidades trigonométricas
Demostración de identidades trigonométricas
Ecuaciones trigonométricas
Ejercicios
PRÓLOGO DE LOS AUTORES
El libro: “Problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior” tiene el objetivo de
ayudar a los estudiantes a prepararse para las pruebas de ingreso a la Educación Superior. Se
compone de tres capítulos:
• Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales.
• Sistema de ecuaciones lineales y
• Trigonometría.
El libro presenta un sistema de conceptos, ejemplos resueltos, una metodología de trabajo y
ejercicios propuestos con problemas de aplicaciones; todo esto en un lenguaje claro y sencillo.
Contiene un gran número de ejemplos resueltos, en los que se ejemplifica la metodología de trabajo
empleada, lo cual constituye un aporte metodológico al estudio de las matemáticas.
Los autores, junio 2012
1. Problemas sobre ecuaciones e
inecuaciones lineales
Milagros Riquenes Rodríguez, Raúl Hernández Fidalgo y
Salvador Ochoa Rodríguez
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
Ecuaciones Lineales.
Se denominan ecuaciones, las igualdades que contienen una o varias variables (o incógnitas) y
solo se satisfacen para algunos valores de las variables. En este trabajo el dominio de las
variables que se utilizan, es el de los números reales.
Resolver una ecuación es determinar los valores de las variables que hacen cierta la igualdad o
asegurarse de que no existen tales valores. Los valores que hacen cierta la igualdad se llaman
soluciones o raíces de la ecuación.
Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 (con a y b números reales a ≠ 0 ) se denominan lineales
en una variable real y se resuelven despejando la variable x o sea x =
−b
a
Ejemplos.
Resolver las ecuaciones:
a) 4 x − 3 = 2
1
1 3
5
x− = x+
3
2 4
8
c) 2 x − 3 − ( x + 4 − 2 x) = 5 − ( x + 2)
b)
d)
3x + 1 2 x + 1
=
3x − 1 2 x − 3
Soluciones:
a) 4 x − 3 = 2
Prueba :
2+3
4
5
x=
4
5
MI = 4  − 3 = 5 − 3 = 2
 4
MD = 2
x=
5 
MI = MD → S =  
4
1
1 3
5
b) x − = x +
3
2 4
6
En este caso, la ecuación no está expresada en la forma ax + b = 0 ( c o n a ≠ 0 ) , debe
reducirse la misma a ésta mediante las siguientes transformaciones algebraicas:
• Agrupar todos los términos que contienen la variable x en el miembro izquierdo (MI) de la
ecuación y los valores numéricos en el miembro derecho (MD):
1
3
5 1
x− x= +
3
4
6 2
• Hallar el común denominador de la ecuación que es el mínimo común múltiplo de los
números: 3, 4, 6 y 2. MCM (3,4,6,2) = 2 2.3 = 12
3
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
• Multiplicar toda la ecuación por MCM
1
3
5 1
x − x = + /.(12)
3
4
6 2
4 x − 9 x = 10 + 6
• Reducir en cada miembro, los términos semejantes
− 5 x = 16
Despejar la variable x
x=−
16
5
Comprobación o prueba:
1  16  1
16 1 − 32 − 15
47
MI :  −  − = − − =
=−
3 5  2
15 2
30
30
3  16  5 − 12 5 − 72 + 25
47
MD :  −  + =
+6=
=−
4 5  6
5
30
30
Como ambos miembros son iguales, la ecuación se satisface para el valor x = −
16
y el conjunto
5
 16 
.
 5
solución es S = −
Análogamente se resuelven los demás ejemplos.
c) 2 x + 3 − ( x + 4 − 2 x) = 5 − ( x + 2)
2x + 3 − x − 4 + 2x = 5 − x − 2
2 x-x + 2 x + x = 5-2 + 4-3
4x = 4
x =1
S = {1}
Nota: La prueba queda para el estudiante.
d)
3x + 1 2 x + 1
=
3x − 1 2 x − 3
Esta ecuación es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son:
multiplicar por el común denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y
reducir términos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuación de la
forma ax + b = 0 ( c o n a ≠ 0 ) .
El común denominador de la ecuación es: (3x − 1)(2 x − 3)
4
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
3x + 1 2 x + 1
=
3x − 1 2 x − 3
3x + 1 2 x + 1
/ ⋅ (3x − 1)(2 x − 3)
=
3x − 1 2 x − 3
(3x + 1)(2 x − 3) = (2 x + 1)(3x − 1 )
6 x 2 − 9 x + 2 x − 3 = 6 x 2 − 2 x + 3x − 1
6 x 2 − 9 x + 2 x − 6 x 2 + 2 x − 3 x = −1 + 3
− 8 x = 2 / : (−8)
x=-
1
4
Nota: Comprobar la solución obtenida.
Ecuaciones Cuadráticas.
Las ecuaciones del tipo ax 2 + bx + c = 0 con a, b y c números reales y a ≠ 0 se denominan
cuadráticas y se resuelven mediante la fórmula:
x1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac
, donde D = b 2 − 4ac es el discriminante.
2a
Sí D > 0 → La ecuación tiene dos soluciones reales diferentes.
Sí D = 0 → La ecuación tiene dos soluciones reales iguales.
Sí D < 0 → La ecuación no tiene soluciones reales.
Cuando el trinomio ax 2 + bx + c tiene descomposición factorial racional se puede utilizar este
procedimiento para reducir la ecuación de segundo grado a dos ecuaciones lineales.
Ejemplos.
Resolver las siguientes ecuaciones:
a) x 2 − 5x + 6 = 0
b) y ( y − 3) = 5 y − 1
c)
x + 2 x −1
x2 − 2
+
=
x
x − 2 x2 − 2x
d ) z 2 − 6 z + 10 = 0
e) x 4 − 3 x 2 − 4 = 0
5
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
Solución:
a ) x 2 − 5 x + 6 = 0;
(a = 1, b = −5, c = 6) ;
− (−5) ± (−5) 2 − 4(1)(6) 5 ± 1
=
2(1)
2
x1 = 3, ó x2 = 2
x1, 2 =
Prueba para x1 = 3 MI = (3) 2 − 5(3) + 6 = 0
MD = 0
MI = MD
Prueba para x2 = 2 MI = (2) 2 − 5(2) + 6 = 0
MD = 0
MI = MD → S = {3;2}
Observe que el trinomio a) x 2 − 5 x + 6 se descompone en ( x - 2)( x - 3)
( x - 2)( x - 3) = 0 , x - 2 = 0 ó x − 3 = 0 : x = 2 ó x = 3
por lo que
De esta forma el procedimiento para obtener las soluciones de la ecuación de segundo grado es
más cómodo, por lo que se recomienda que se analice primeramente sí el trinomio tiene
descomposición factorial racional por los métodos estudiados. En caso de no existir la
descomposición factorial racional, se utiliza la fórmula.
b) y ( y − 3) = 5 y − 1
En este caso se deben realizar transformaciones algebraicas hasta obtener la ecuación dada en
la forma
ax 2 + bx + c = 0
y2 − 3y − 5y +1 = 0
y2 − 8y +1 = 0
Como el trinomio del miembro izquierdo no tiene descomposición factorial, se debe utilizar la
fórmula para resolver la ecuación de segundo grado. Para sustituir en la fórmula es necesario
identificar el valor de a, de b y de c: a = 1 , b = −8 y c = 1
x1, 2 =
− (−8) ± (−8) 2 − 4(1)(1) 8 ± 60 8 ± 2 15
=
=
2(1)
2
2
x1 = 4 + 15 , ó x2 = 4 − 15
Compruebe los resultados obtenidos.
{
S = 4 + 15 ; 4 − 15
c)
}
x+2
x −1
x2 − 2
+
= 2
x
x−2
x − 2x
Esta ecuación es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son:
6
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
multiplicar por el común denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y
reducir términos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuación de la
forma ax 2 + bx + c = 0 con a, b y c números reales y a ≠ 0
x + 2 x −1
x2 − 2
+
=
x
x − 2 x( x − 2 )
x + 2 x −1
x2 − 2
+
=
/. x ( x - 2) → MCM.
x
x − 2 x( x − 2 )
( x + 2)( x - 2) + x( x − 1) = x 2 − 2
x2 − 4 + x2 − x − x2 + 2 = 0
x2 − x − 2 = 0
( x + 1)( x − 2) = 0
x = −1 ó x = 2
Nota: El valor x = 2 no pertenece al dominio de la ecuación porque anula dos de los
denominadores de la misma, por tanto, no es solución de la ecuación.
Prueba para x = −1 : MI =
2
1
−1+ 2 −1−1
+
= −1 + = −
−1
−1− 2
3
3
1
3
MI = MD
S = {- 1}
MD = −
Nota: Los valores de la variable de una ecuación que no pertenecen al conjunto solución por ser
valores que indefinen la ecuación o por no satisfacer la misma se denominan raíces extrañas.
d ) z 2 − 6 z + 10 = 0 (a = 1, b = −6 , c = 10 )
Como el discriminante D = b 2 − 4ac = ( −6 )2 − 4( 1 )( 10 ) = −4 < 0
la ecuación no tiene soluciones reales y S = { } ó S = φ
e) x 4 − 3 x 2 − 4 = 0 reduzcamos la ecuación dada a la forma ax 2 + bx + c = 0
sustituyendo x 2 por y, o sea , x 2 = y
( x 2 ) 2 − 3( x 2 ) − 4 = 0
y2 − 3y − 4 = 0
( y + 1)( y − 4) = 0
y = −1 ó y = 4
Sustituyendo en la ecuación x 2 = y se obtiene :
x 2 = −1 y x 2 = 4 La igualdad x 2 = −1 es imposible en R , por lo que no genera
7
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
solución para la ecuación dada. En la igualdad
Realice la prueba para estas raíces.
x 2 = 4 se cumple : x = ± 2
S = {2 ; − 2 }.
Ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y
cuadráticas.
Ecuaciones con radicales.
Las ecuaciones que contienen la incógnita bajo el signo radical al menos una vez, se
denominan irracionales o ecuaciones con radicales.
Para resolver una ecuación con radicales es necesario realizar transformaciones para reducirlas
a una ecuación lineal o cuadrática. En estas transformaciones se pueden introducir raíces
extrañas por lo que se requiere comprobar los valores hallados en la ecuación original.
Ejemplos.
Resolver las siguientes ecuaciones:
a)
x+4= 3
b) 3 + 5 x = 13
c)
x 2 + 5x + 1 + 1 = 2 x
d) x + 1 +
e) 16 + x + 4 = 5
4
2+ x
g)
2+ x + x =
i)
x + 3 − x − 2 = 4x +1
k)
2x
f)
h)
=8
x − 4 + x + 24 = 14
3 x − 5 + 3x − 14
)
1/ 2
=3
j) 1 − x = 1 − x 4 − 7 x 2
l) 2 log x ⋅ 2 log( 2 x +7 ) = 4 log( x + 2 )
2
22 x
(
x =1
x −2
Solución:
x+4 =3
a)
Racionalicemos la ecuación elevando al cuadrado ambos Comprobación:
miembros.
(
x+4
)
2
MI = 5 + 4 = 9 = 3
MD = 3
= (3)
2
MI = MD
x+4=9
S={5}
x =9−4
x=5
Comprobación:
b) 3 + 5 x = 13
En este caso para racionalizar la ecuación aislemos
8
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
MI =3 + 5 4 = 3 + 5(2 ) = 13
MD = 13
primeramente el radical.
13 − 3
5
x = 2 Elevando al cuadrado
x=
( x)
2
MI = MD
S = {4}
= (2) 2
x=4
c)
Comprobación
Para
x 2 + 5x + 1 + 1 = 2 x
[ x + 5x + 1] = [2 x −1]
2
2
x 2 + 5x + 1 = 4 x2 − 4 x + 1
4 x − 4 x + 1 − x − 5x −1 = 0
2
(0)2 + 5(0) + 1 + 1 = 1 + 1 = 2
MD = 2(0 ) = 0
MI =
x 2 + 5x + 1 = 2 x − 1
2
x=0
2
3x − 9 x = 0
3x( x − 3) = 0
2
x=0
MI ≠ MD ⇒ 0 ∉ S
Para
x=3
(3)2 + 5(3) +1 + 1 = 25 + 1 = 5 + 1 = 6
MD = 2(3) = 6 ∴ MI = MD ⇒ 3 ∈ S
S = {3}
MI =
x=3
d)
Comprobacion
x +1 + x = 1
[
x + 1 = 1 − x Aislando un radical
] [
]
2
2
x + 1 = 1 − x Elevando al cuadrado
x +1 = 1− 2 x + x
x + 1 −1 − x
= x Aislando el radical
−2
x =0
( x ) = (0)
2
2
MI = 0 + 1 + 0 = 1; MD = 1
MI = MD
S = {0}
Elevando nuevamente
al cuadrado
x=0
e) 16 + x + 4 = 5
Comprobación :
4+ x+4 =5
MI = 16 + − 3 + 4 = 4 + 1 = 5
MD = 5
x + 4 = 5− 4 =1
(
x+4
)
2
= (1)
2
MI = MD
S = {− 3}
x + 4 =1
x = 1 − 4 = −3
9
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
f)
[
x − 4 + x + 24 = 14
Comprobación :
x − 4 = 14 − x + 24
MI = 40 − 4 + 40 + 24 = 36 + 64 = 6 + 8 = 14
MD = 14
x−4
] = [14 −
2
x + 24
]
2
x − 4 = 196 − 28 x + 24 + x + 24
S = {40}
MI = MD ;
x − 4 − 196 − x − 24 = − 28 x + 24
− 224 = − 28 x + 24 / : (− 28 )
8=
8 =
2
[
x + 24
x + 24
]
2
64 = x + 24
64 − 24 = x
x = 40
[
4
2+ x
2+ x + x =
g)
]
2
2+ x +
2+ x+
/⋅ 2 + x
[x(2 + x )] = 4
(2 x + x ) = 4
(2 x + x ) = 4 − 2 − x
Comprobación :
(2 + 2 / 3) +
MI =
2/ 3 = 8/ 3 + 2/ 3
2 2/3+ 2/3 =3 2/3 =
3 2
2
2
[ 2 x + x ] = (2 − x)
2
2
2
2x + x 2 = 4 − 4x + x 2
2x + x 2 − 4 + 4x − x 2 = 0
2
2: 3
6x − 4 = 0
x = 2/3
=
2 3 2
2 2
2 6
= 6
2
MI = MD
=
S = {2 / 3}
h)
[
(
3 x − 5 + 3 x − 14
 3 x − 5 + 3x − 14

]
)
1/ 2
1
2
=3
2
 = (3)2

3 x − 5 + 3 − 14 = 9
3x − 14 = 9 − 3x − 5
3 2 3
3 6
= 6
3
4
4
4
MD =
=
=
(2 + 2 / 3) 8 / 3 2 2 / 3
=
=
x = 4/6
3
=
Comprobaci ón :
MI =
=
(
(
3(10 ) − 5 + 3(10 ) − 14
25 + 16
)
1/ 2
= (5 + 4 ) 1 / 2 = 9 = 3
MD = 3
MI = MD
S = {10}
10
)
1/ 2
3 3
=
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
[ 3x − 14 ] = [9 −
3x − 5
2
]
2
3 x − 14 = 81 − 18 3 x − 5 + 3x − 5
3 x − 14 − 81 − 3 x + 5 = −18 3 x − 5
− 90 = −18 3 x − 5
5 = 3x − 5
[5] 2 = [
3x − 5
]
/ : (− 18)
2
25 = 3x − 5
30 = 3x
x = 30 / 3
x = 10
i)
(
x + 3 − x − 2 = 4x +1
) (
2
x+3 − x−2 =
4x +1
Comprobación :
(6 + 3) − (6 − 2) = 3 − 2 = 1
MD : 4(6) + 1 = 25 = 5
MI ≠ MD → S = { } ó S = φ
)
MI :
2
x + 3 − 2 x2 + x − 6 + x − 2 = 4x + 1
− 2 x 2 + x − 6 = 4x + 1 − 2x − 1
En este caso decimos que x = 6
− 2 x 2 + x − 6 = 2x / : 2
es una raíz extraña de la ecuación
[−
− x2 + x − 6 = x
x2 + x − 6
] =x
2
2
x2 + x − 6 = x2
x−6 = 0⇒ x = 6
Comprobación
Prueba para x = 0
MI : 1 − 0 = 1
j) 1 − x = 1 − x 4 − 7 x 2
[1 − x]2 = 
1 − x 4 − 7 x 2 


2
MD : 1 − 0 4 − 7(0) = 1
1 − 2x + x = 1 − x 4 − 7x
2
1 − 2x + x − 1 = −x 4 − 7x
2
(
2
=1
MI = MD ⇒ 0 ∈ S
2
x( x − 2 ) = − x 4 − 7 x 2
)
x − 2 = − 4 − 7x2
11
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
[x − 2]2 = [−
4 − 7x2
]
Prueba para x = 1 / 2
MI : 1 − 1 / 2 = 1 / 2
2
x 2 − 4x + 4 = 4 − 7 x 2
MD : 1 − 1 / 2 4 − 7(1 / 2)
2
x 2 − 4x + 4 − 4 + 7x 2 = 0
8x 2 − 4x = 0
4 x(2 x − 1) = 0
4x = 0 ⇒ x = 0
2x − 1 = 0 ⇒ x = 1/ 2
k)
2x
2
= 1−1/ 2 4 − 7 / 4
= 1 − (1 / 2)(3 / 2) = 1 − 3 / 4
= 1/ 4 = 1/ 2
MI = MD ⇒ x = 1 / 2 ∈ S
S = {0; 1 / 2}
2
2x
= 8 x − 2 . En este caso se trata de una ecuación exponencial, la cual debe estar expresada
mediante potencias de igual base a través de las propiedades de las operaciones con potencias.
2x
2
2
2x
= 8 x−2 ; 2 x
2
−2 x
= 23( x − 2 ) ⇒ x 2 − 2 x = 3( x − 2); x 2 − 2 x − 3x + 6 = 0; x 2 − 5 x + 6 = 0
x=2
→ S = {2; 3}
x = 3
(x − 2)(x − 3) = 0 
l) 2log x ⋅ 2log(2 x +7 ) = 4log( x + 2) Aplicando las propiedades de las operaciones con
potencias obtenemos :
2log x +log( 2 x +7 ) = 2 2 log( x + 2)
log( x ) + log(2 x + 7 ) = 2 log( x + 2 ) → Ecuación logarítmica y para su solución
se aplican las propiedades de las operaciones
con los logaritmos, expresados en la misma base.
log[x(2 x + 7 )] = log( x + 2 )2 → x(2 x + 7 ) = ( x + 2 )2 ; 2 x 2 + 7 x = x 2 + 4 x + 4
 x = −4
x 2 + 3 x − 4 = 0 → ( x + 4 )(x − 1) = 0
x = 1
Comprobación :
x = −4 ∉ S porque log(- 4 ), log(- 1), log(- 2 ) son expresiones no definidas
MI = 2log1 ⋅ 2log(2(1)+ 7 ) = 20 ⋅ 2log 9 = 2log 9

Para x = 1 → MD = 4log(1+ 2) = 4log 3 = 2 2 log 3 = 2log 9
∴ S = {1}
MI = MD

12
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
Ejercicios.
1.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 4 + 4(4 x − 9) = 8( x − 1) + 4( x − 3)
b)
x+2
=2
x
c) 2 y − 5[3 y − 7(4 y − 9)] = 66
d) z − 2(1 − 3 z ) = 6 + 3(1 − z )
e) 0.7 x − 0.3 = 0.05 x + 1
f) 5(x + 1) − 3(x + 7 ) = 3x + 4
g) 3( x − 5) − 7(3 − 2 x) = 11 + 3(2 x − 12)
h) ( x + 1)(2 x + 1) = ( x + 3)(2 x + 3) − 4
i) ( x + 1)( x − 1) − ( x + 6) 2 = 1.5
j) 1 − ( x − 5) 2 − (4 + x) 2 = (1 + 2 x)( − x)
k) 2( x 2 − 2.5) = ( x + 1) 2 + ( x − 2) 2
l) (x − 2 )2 −
(2 − x 2 ) = x − 1
2
2
m)
3y − 2
1
= 4− y
5
2
n)
x −8 x −3
5
+
=−
7
5
2
o)
x+4
x−4
= 2−
14
6
p)
0 ,75 − x 0,47 + 2 x 4 ,4
=
−
3
5
1,5
q)
3x + 5 5 x + 4
x
−
= 1−
6
9
18
r) 3( x − 1) −
2.
2 x − 3 11 4 x − 1
1
+ =
+x+
4
6
3
12
Halla el conjunto solución:
a) x( x + 9) = 2 x − 12
b) ( x + 2)( x − 3) + 9 x = 3( x 2 − 5) − 1
1 x
2 3
5
2
c) ( x + )( + 2) = 0
d) 2( x 2 + x) = −2
e) 4 x( x + 2) − 5 = 12 − ( x − 4) 2
f) ( x + 2) 2 = 2 x( x + 2) + 12
g) 15 x = 3(2 − 3x 2 )
h) ( 3 x − 5 ) − ( 5 − 3x )2 = −20
i) 2 x(3x + 5) = −(2 x + 5) 2
j) 9(a − 1) 2 + (a + 1) 2 = 6(a 2 − 1)
k) (5 x − 4) 2 − (3 x + 5)(2 x − 1) = 20 x( x − 2) + 27
l) ( 2t − 3 )2 − ( t + 59 ) = −59
m) (2 x + 1) 2 − 5(2 x + 1) + 4 = 0
n) 9t + 1 = 3(t 2 − 5) − (t − 3)(t + 2)
( 2 − x2 )
1
o) ( x − 2 ) −
= x−
2
2
p)
2
3.
1
2
5( x − 1)
= 2x + 1
(x + 1)(x − 1)
Para qué valores de x ∈ R se satisfacen las siguientes igualdades.
a)
2x − 3 = 3
b)
5x + 6 = 4
c)
x − 2 = −3
d)
x −5 −6 = 0
13
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
e)
g)
2 + 3 2x + 1 = 5
3x + 1 − 7 x − 2 = 0
f)
5 x − 7 − 2 x + 10 = 0
h)
x 2 − 2 − 5x − 8 = 0
i)
x+ x−2 = 4
j)
x − 1 − x = −1
k)
x = 4 x + 16 − 4
l)
x2 + 5x + 1 + 1 = 2 x
m)
x 2 − x +1 = 0
n)
ñ)
p)
r)
t)
4.
o)
4x + 8 − 2 − 4x = 0
x−7 +
x =
x +3 − x =1
1 − x = 1 − x 4 − 7x2
21
q)
x+ x =6
2 x − 1 = 2( x − 3) : 2 x − 10
x +1 +
x−7
s)
u)
2
= x+6
x +1
x − 9 − x x 2 − 12 = 3
(x + 1)1/ 2 = 2 + (x − 7 )1/ 2
Resuelva las siguientes ecuaciones y compruebe sus resultados:
a) ( x + 7) + 1 = 2 x
b) 2 ( x + 4) = x + 1
c) 2 + (7 − x) = x + 13
x−2
= x−4
f)
2x − 7
d)
e)
x+5 + x =1
7+
x2 + 3 = 3
5.
6.
Calcula los ceros de la función h( x) =
5x − 1 − x − 1
Resuelve la ecuación: 2 x + 5 − 2 x = 2 x − 3
7.
Halla el conjunto solución de la ecuación 2 x + 6 x 2 + 1 = x + 1
Sean las funciones: f (x ) = 3 x 2 − 13 x + 4 y h (x ) = x − 4
8.
Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de los lados gráficos de las funciones
f y h.
9.
Resuelve la ecuación:
x 2 + 5x
x 2 + x − 12
+
x
=1
x −3
10. Dadas las funciones definidas por las siguientes ecuaciones: f ( x ) = 3 − 1 − x 2
y
g( x ) = 3 x + 3 − 3 . Determina los puntos de intersección de los gráficos de f y g cuyas abscisas
son menores que las soluciones de la ecuación 3 3 x + 1 = 27 x + 5 ( 0,75− x )
14
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
11. Halla los valores de x que satisfacen la ecuación: 9
(
1

 + log9 x + 4 
2

− 3 (log3
x +1
)=5
)
12. Resuelve la ecuación: log3 x 16 x 2 + 13 x − 2 − log7 49 = 0
13. Sea: f(x) =
x + 1 .
f (2t ) − f (t − 1) = f (t − 4 ) .
14. Resuelve la ecuación:
Halla todos los valores de t para los que se cumple:
log ( 1+ x+1 ) = 3 log 3 x- 4
15. Sean las funciones: f (x ) = 2 3 senx −cos
los cuales se cumple que f (x ) = g(4 ) .
(
2
x
y
g(x ) = 3 x − 4 . Determina los valores de x para
)
(
)
k −1
k −1
16. Resuelve la ecuación: log2 3 − 11 = 1 + log2 3 − 1
17. Sean las funciones: f (x ) = 4 log 2 x +7 x −log x y g(x ) = 16 log
para los cuales ambas funciones alcanzan el mismo valor.
2
18. Resuelve la ecuación:
x +2
. Determina los valores de x
4x + 16 - x = 1
19. Halle los valores de a para los cuales x = 18 es solución de la ecuación:
20. Resuelve:
x +1+
13
x +1
ax − a = 2
=6
21. Sea la función definida por f ( x) = log (32 x − A.3 x + 10 ) .
a) Halla el valor de A para el cual se cumple f(1) = 0.
b) Considerando que A = 10, halla todos los valores de x que satisfacen la ecuación f(x) = 0.
22. Determina los valores reales de x que satisfacen la ecuación:
23. Sean las funciones f ( x ) =
( −2 x ²)
3
.9
( −2 x ² −3)
 1 
= 
 27 
6 x−2
( x − 1) x + 3 + 2x + 1
y g(x)=x . Encuentra los valores reales de
x+2
x para los cuales se cumple la ecuación f(x )= g(x).
24. Dadas las funciones f y g definidas por f ( x ) = 6 − 4 x y g( x ) = x ³ − 3 x ² + x + 3 .
Determina los valores reales de x tales que f(x) – g(x) = 0
25. Sean f y g dos funciones reales dadas por las ecuaciones f ( t ) = t − 2 + 10 log( t + 3 ) y
g( t ) = ( t − 1)² − 21 + t + 3 . Determina para qué valores de t se cumple que f(t) = g(t)
26. Dada la función f de ecuación f ( x) = log a (2 x + 1) .
a) Si el punto de coordenadas (62 ; 3) pertenece al gráfico de f , determinar el valor de a y
escribe la ecuación de f .
15
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
1


 , halle todos los valores reales de x para los cuales se cumple
2
x
5
x
3
+
−


5
que f ( x) = g ( x) .
b) Si g ( x) = log 1 
Inecuaciones Lineales.
En grados inferiores, a las desigualdades con variables se les denomina inecuaciones.
Las inecuaciones de la forma ax + b < 0 ó ax + b ≤ 0 ó ax + b > 0 ó ax + b ≥ 0 con ( a ≠ 0 ) se
denominan inecuaciones lineales en una variable y se resuelven despejando la variable,
teniendo en cuenta que cuando se multiplica o divide en ambos miembros por un número
negativo el sentido de la desigualdad se invierte.
La inecuación lineal está expresada en sentido estrito si es de la forma ax + b < 0 ó ax + b > 0
y en sentido amplio si es de la forma ax + b ≤ 0 ó ax + b ≥ 0 .
Ejemplos.
Resolver las siguientes inecuaciones y representar gráficamente el conjunto solución.
a) 5 x + 4 > 2 x + 6
1
b) − − 3 x > 4
2
c)(2 x + 5)( x − 1) ≤ 2 x( x − 6) + 10
Solución:
En cada una de las inecuaciones dadas, se debe trasformar algebraicamente, es decir, agrupar y
reducir todos los términos que contienen la variable x en el miembro izquierdo y los términos
numéricos en el miembro derecho hasta obtener una inecuación de la forma ax + b < 0 ó
ax + b ≤ 0 ó ax + b > 0 ó ax + b ≥ 0 con ( a ≠ 0 ) y posteriormente despejar la variable x.
a) 5 x + 4 > 2 x + 6
5x − 2x > 6 − 4
3x > 2 / : 3
x>
b)−
-∝
2

→ S = x ∈ R : x >
3

2

3
9
/ : ( −3 )
2
9
1
x < ⋅( − )
2
3
3
x<−
2
1
− 3x > 4
2
− 3x > 4 +
2
3
− 3x >
1
2
-∝
-
3
2
+∝
16
+∝
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
c )( 2 x + 5 )( x − 1 ) ≤ 2 x( x − 6 ) + 10
2 x 2 + 3x − 5 ≤ 2 x 2 − 12 x + 10
2 x 2 + 3 x − 2 x 2 + 12 x − 10 − 5 ≤ 0
15 x − 15 ≤ 0
15
15
x ≤1
x≤
S = {x ∈ R : x ≤ 1}
-∝
Inecuaciones Cuadráticas.
Toda
inecuación
2
+∝
1
de
2
2
la
2
ax + bx + c < 0 ó ax + bx + c ≤ 0 ó ax + bx + c > 0 ó ax + bx + c ≥ 0
forma:
(con a ≠ 0 )
se denomina inecuación cuadrática. El trinomio ax 2 + bx + c es el miembro izquierdo de la
inecuación (MI) y 0 es el miembro derecho (MD). Resolver una de estas inecuaciones es
determinar para qué valores de x (x ∈ R ) y = ax 2 + bx + c con a , b y c números reales y a ≠ 0
(función cuadrática) es positiva ( y > 0) , no negativa ( y ≥ 0 ) , negativa ( y < 0) o no positiva
( y ≤ 0) . Para resolver una inecuación cuadrática se debe tener en cuenta lo siguiente:
Los ceros de la función cuadrática determinan (si los tiene) varios intervalos en R (rayo
numérico) y en cada uno el signo de la mismas es constante. A continuación se presenta la
discusión de cada uno de los casos posibles en la determinación del signo constante de la
función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados.
a) Sí a > 0 y x1 < x2 . En este caso la gráfica de la
y
función y = ax 2 + bx + c con a ,b y c números reales y
a ≠ 0 es una parábola (Fig.1) que abre hacia arriba siendo
x1 y x2 las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática
ax 2 + bx + c = 0 , que son los ceros de la función
y = ax 2 + bx + c
(abscisas de los interceptos de la
parábola con el eje de las x) , los intervalos determinados
son
(− ∞; x1 ), (x1; x2 ) y (x2 ;+∞ ) y los signos constante de la
función cuadrática son los mostrados en la siguiente
figura , tomados de la Fig.1
-∝
(+)
x1
(-)
x2
(+)
17
+
O x1 -
Fig.1
+
x2
x
+∞
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
b) Sí en a) cambiamos solamente el signo del factor
a (Fig. 2), entonces cada signo se cambia por su
opuesto, es decir, los signos de la función cuadrática en
cada uno de los intervalos determinados son −, + ,− ,
dispuestos de derecha a izquierda en el rayo numérico.
y
-
+
x1
−∞
-∝
(-)
x1
(+)
x2
-
x2
x
+∞
(-)
Fig.2
c) Si a > 0 (Fig.3) y x1 = x 2 . En este caso los ceros
de la función cuadrática son iguales, por tanto. los
intervalos determinados son (− ∞; x1 ) y ( x1 ;+∞ ) y los
signos constante de la función son (+) y (+) como se
muestra en la figura siguiente:
y
−∞
-∝
(+)
x1
(+)
+∝
+
O +
x1
x
+∞
Fig.3
e) Sí a > 0 (Fig.4), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es menor que cero, entonces
no tiene solución la inecuación porque en la función y = ax 2 + bx + c con a ≠ 0 ,
y > 0, ∀x ∈ R.
f) Sí a > 0 (Fig.4), el trinomio no tiene ceros y la
Fig.4
desigualdad es mayor que cero, entonces el intervalo de
signo constante (+ ) es todo R porque en la función
y
y = ax 2 + bx + c con a ≠ 0 , y > 0, ∀x ∈ R .
g) Sí a < 0 (Fig.5), el trinomio no tiene ceros y la
desigualdad es mayor que cero, entonces no hay solución
para
la
inecuación
porque
en
la
función
x
−∞
O
+∞
y = ax 2 + bx + c con a ≠ 0 , y < 0, ∀x ∈ R.
h) Sí a < 0 (Fig.5), el trinomio no tiene ceros y la
desigualdad es menor que cero, entonces el intervalo de
signo constante (− ) es todo R porque en la función
Fig.5
y = ax 2 + bx + c = 0 con a ≠ 0 , y < 0 , ∀x ∈ R.
Como conjunto solución, se toman los intervalos de signo constante que coincidan con el
sentido de la desigualdad.
Nota:
Por lo expuesto en la discusión de cada uno de los casos posibles en la determinación del signo
constante de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados, cuando la
misma no tiene ceros, se puede concluir (*):
18
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
• Si el signo del coeficiente a coincide con el sentido de la desigualdad de la inecuación
( a > 0 y MI > 0 ó a < 0 y MI < 0 ) la solución de la inecuación es todo el conjunto de los
números reales (R).
• Si el signo del coeficiente a es opuesto al sentido de la desigualdad de la inecuación ( a > 0
y MI < 0 ó a < 0 y MI > 0 ) la solución de la inecuación es el conjunto nulo o vacío, es
decir, la inecuación no tiene solución lo que se denota como S = { } ó S = φ
Ejemplos.
Resuelve las siguientes inecuaciones y represente gráficamente el conjunto solución.
a ) x( x + 3) ≥ 5 x + 3
2
b ) 4 ( x + 3) − 8 x < 10 x
c ) 3 x ( x − 2 ) − ( x − 6 ) < 23 ( x − 3 )
d ) x( x + 2) > −7 + x)
Solución:
En cada uno de los casos se debe seguir el siguiente procedimiento:
Transformar algebraicamente en ambos miembros hasta reducir la inecuación a la forma:
ax 2 + bx + c < 0 ó ax 2 + bx + c ≤ 0 ó ax 2 + bx + c > 0 ó ax 2 + bx + c ≥ 0 (con a > 0 ) .Ig
ualar a cero el miembro derecho y resolver la ecuación cuadrática resultante. Los valores
obtenidos los denotaremos como x1 y x 2
Situar a x1 y a x 2 en el rayo numérico
Como a > 0 el signo constante de la función en cada intervalo es de la forma: + , − , +
(Fig.1) si x1 y x 2 son soluciones reales diferentes ó + , + (Fig.3) si x1 y x 2 son soluciones
reales iguales. Para el caso de que no existan los valores reales x1 y x 2 no es necesario
determinar los intervalos de signo constante y se debe concluir según (*).
Dar el conjunto solución, tomando los intervalos que su signo coincida con el sentido de la
desigualdad. Los límites de los intervalos (al menos uno) solo se incluyen en la solución si la
desigualdad es en sentido amplio ( ≥ ó ≤ )
a )x( x + 3 ) ≥ 5 x + 3
x 2 + 3x − 5 x + 3 ≥ 0
-∝
(+) -1
x2 − 2x + 3 ≥ 0
( x + 1 )( x − 3 ) ≥ 0, los ceros del S = {x ∈ R : x ≤ −1 ó x ≥ 3}
trinomio son x 1= −1 ó x 2 = 3 S = x ∈ R : x ∈ (− ∞; − 1] ∪ [3; + ∞ )
(-)
3
(+)
ó
b) 4( x 2 + 3) − 8 x < 10 x
4 x 2 + 12 − 8 x − 10 x < 0
4 x 2 − 18 x + 12 < 0 / : (2)
2 x2 − 9 x + 6 < 0
2 x 2 − 9 x + 6 = 0 a = 2, b = −9, c = 6
Como en este caso el trinomio no se descompone en factores racionales, utilizamos la fórmula
para resolver ecuaciones cuadráticas.
19
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
x1,2 =
x1 =
9 ± 81 − 4( 2 )( 6 )
2( 2 )
9 + 33
ó
4
x2 =
=
9 ± 81 − 48 9 ± 33 9 ± 5 .74
=
≈
4
4
4
9 − 33
4

 9 − 33 9 + 33 
9 − 33
9 + 33 
,
<x<
S = x ∈ R :
 ó x ∈

4
4
4
4




+
-∝
9 − 33
4
-
9 + 33
4
+
+∝
c) 3 x( x − 2) − ( x − 6) < 23( x − 3)
3x 2 − 6 x − x + 6 < 23x − 69
3 x 2 − 6 x − x + 6 − 23 x + 69 < 0
3x 2 − 30 x + 75 < 0 / : (3)
x 2 − 10 x + 25 < 0
( x − 5)( x − 5) < 0
( x − 5) 2 < 0
S =φ
La función y = (x − 5) es no negativa para toda x ∈ R , luego la inecuación no tiene solución.
2
d ) x( x + 2) > −(7 + x)
x 2 + 2 x > −7 − x
x 2 + 2x + 7 + x > 0
x 2 + 3x + 7 > 0
Este trinomio no tiene descomposición factorial racional por lo que aplicamos la fórmula:
x 2 + 3x + 7 = 0
a = 1, b = 3, c = 7
D = b 2 − 4ac = ( 3 )2 − 4( 1 )( 7 ) = 9 − 28 = −19 < 0
El trinomio no tiene descomposición factorial en R pero coincide el signo de a, (coeficiente de
x 2 ) con el signo de la inecuación dada (>), la solución es todos los números reales
S = R.
Ejercicios.
1. Resuelve las inecuaciones siguientes:
b) 3.2 x − 6 > 2 − 0.8 x
1
a) 5 x − 2 ≥
2
c) x( x − 3 ) + 5 < x( x − 5 ) + 3
e) 21 − 7( 2 x − 9 ) > 3 x
d) 2 x − 4 + 2( x + 3 ) > 3 + 2( x + 3 )
f) 5( 3 − x ) − 3( x − 4 ) < 16 x
20
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
2
5
3

2

 3 x  3 x 3 
j) x −  − 
+  > 1
 4  2 10 
h) 3x 2 + 2 x < 2 x  x − 1 + 4
g) x + ( x − 5 ) ≤ − x + 10
i)
2x − 1
5x
7
+1−
< 4x +
3
6
2
k) ( x − 4 )( x + 7 ) − ( x − 0.5 ) ≥ x 2 + 10( x − 0.1 )
l)
1
1
 1
3
−
2
x
−
(
4
−
5
x
 > 5 ( x + 4 ) − 16
3 
6
2. Hallar los valores de x ∈ R que satisfacen las siguientes inecuaciones:
a) x 2 − 4 x − 21 > 0
c) ( 2 x + 1 )( 2 − x ) ≥ 0
e)
b) 3 x 2 − 11x + 6 ≤ 0
d) x 2 − 4 ≤ 0
1
− x2 ≤ 0
4
f) 4 x 2 − 13 x > 17
g) 4 x 2 − 4 x + 1 ≤ 0
h) ( x + 5 )( x − 5 ) ≥ ( 3 x + 1 )2 − 9 x 2 − 25
1

1

i)  + x  −  − x  > 3

2

2
j) x 2 + ( x + 2 )( x − 2 ) ≥ ( x − 2 )2
k) ( x + 4 )2 − ( x − 5 )2 + ( x − 3 )2 > 17 x + 24
3

l) 4 x − 4  x −  > 2
2

2
2
r)
o)
( 4 x − 1 )( x − 2 ) − ( 2 x − 1 )( 2 x + 1 ) ≤ 5
1 2
x < 3( x + 5 )
2
x2 + x − 4
s)
<1
x
q)
x −1
<0
x+5
3. Sean A =
x 3 − 2 x 2 − 5x + 6
9− x
2
, B=
2
n) ( 0.1 + x )2 − ( 0.1 − x )2 ≥ − x 2
2
1 
1

m) x +  x −  <  x + 
4 
4

3 x − 12 ( 2 x + 2 )( x − 5 ) 1
ñ)
−
>
6
8
2
p) x( x − 1 ) − 6 > x( 5 − x ) (x > 0)
2
2
2x3 − x 2
2
2 x + 5x − 3
yC=
1
x
a) Para qué valores de x, el numerador de A y B es no negativo
b) Para qué valores de x, el denominador de A es negativo
c) Si B es positivo, ¿qué valores toma x?
d) Para qué valores de x, C es positivo.
21
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
4. Dada la función definida por: p( x ) =
9x 2 + 4
4x 2 − 9
. Determina para qué valores de x los puntos
correspondientes al gráfico de “p” están por debajo del eje “X”.
5. Sea A( x ) =
x 3 − 3x 2 + 4
. Determina el conjunto de números reales no negativos para los
x2 − 4
cuales A( x ) ≤ 0.
1
x 3 - x 2 +x-1
6. Sean: A =
y B = 4 . Halla el mayor número entero negativo x para el cual
x+8
x -1
se cumple A ⋅ B ≤ 0 .
7. Dada la función f ( x ) =
x 3 + 5x 2 + 8x + 4
x2 − 4
se cumple que f ( x ) ≥ 0 .
. determina los valores reales de x para los cuales
2
8. Resuelve la siguiente inecuación: log3 5 ( x −3 )  ≥ log3 5 2 x −7 + log3 5 x + 2


9. Dadas f ( x ) = 3 x 2 − kx + 3 , g( x ) = 2 x − 4 y h( x ) = 1 − x
a) Calcula los valores de k para los cuales la función f tiene dos ceros diferentes.
b) Calcula los ceros de f para k = 7.
( 13 ≈ 3 ,6 )
c) Determina los valores de x que satisfacen la inecuación g(x) < h(x).
10. Dadas las expresiones: A = 36 − x 2 y B = x 2 − 3 x − 28 .Determina para qué valores de
x están definidas simultáneamente ambas expresiones.
11. Resuelve la inecuación
1
x
x
−
≤ 2
.
x − 5 x − 4 x − 9 x + 20
12. Dadas la funciones f ( x ) = log 2 ( x − 3) y g( x ) = log0,5
x
. Halla los valores de x para los
4
cuales las imágenes de la función f son menores o iguales que las imágenes de la función g.
13. Sean las expresiones A =
m 3 + 4m 2 − 5m
m 3 + 125
y B=
3 − 3m 2
m 3 − 4m 2 + 20m + 25
.
a) Prueba que para todos los valores admisibles de la variable se cumple que
A
m
=− .
B
3
b) Halla todos los valores reales de la variable m para los cuales se cumple que:
4
2
A
≥ m2 + m −
3
3
B
14. Sean las funciones reales f, g y h, definidas por las ecuaciones: f (x ) = 3 2+
g( x ) = 4 3 x
g( x ) ≥ h ( x ) .
y
 1
h (x ) =  
2
x +5
,
2
x +5
. Calcula los valores reales para los cuales se cumple que
22
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
15. Se tiene la expresión A(x ) =
x−4
.
x +5
a) Resuelve la ecuación 4 A (x ) = 16 x
(x ∈ R) .
b) Determina para quévalores reales de la variable x se cumple que A(x ) ≥ x .
16. Sean f (x ) =
3 f (x ) ≥ 3 g(x ) .
2x − 5
x +5
y g( x ) =
1
.
x −3
Determina para qué valores de x se cumple:
23
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
BIBLIOGRAFÍA
1. Álvarez Socarrás Ada Matemática para curso Introductorio/ Ada Álvarez Socarrás.Camagüey: /s.c/,/s.a/.—191p.
2. Ballester, Sergio: Cómo Sistematizar los conocimientos matemáticos. Editorial Academia.
Ciudad de la Habana. 1995.
3. Ballester, Sergio y C. Arango: Cómo Consolidar Conocimientos Matemáticos. Editorial
Academia. Ciudad de la Habana. 1995.
4. Campistrus, Pérez L. Y otros: Matemática. Orientaciones Metodológicas 10 grado. Editorial
Pueblo y Educación 1989.
5. Cuadrado González, Zulema. Matemática 10mo grado / Zulema Cuadrado González,
Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. —La Habana: Editorial Pueblo y Edición,
6. 1991. —152p.
7. Exámenes de Ingreso a la Educación Superior
24
2. Sistema de ecuaciones lineales
Milagros Riquenes Rodríguez, Raúl Hernández Fidalgo y
Salvador Ochoa Rodríguez
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
SISTEMA DE ECUACIONES.
Sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas.
Llamaremos sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas (o variables) a todo conjunto de
ecuaciones de la forma:
a x + b y = c con a , b y c números reales y a y b no nulos simultaneamente
1
1
1
1 1
1
1 1
a x + b y = c con a , b y c números reales y a y b no nulos simultaneamente
2
2
2
2 2
2
2 2
Conjunto solución: La representación gráfica de una función lineal de la forma y = mx + n con
m y n números reales, es una recta del plano. Transformando algebraicamente en la ecuación
y = mx + n podemos generalizar que toda recta del
y
plano está dada por la ecuación ax + by = c con
a y b números reales no simultáneamente nulos,
r1
por lo que obtener el conjunto solución de un
sistema
de
ecuaciones
lineales,
significa
geométricamente, determinar el punto de
intersección entre ambas rectas lo que permite
conocer la posición de las mismas (secantes ó
O
paralelas coincidentes ó disjuntas).
x
r2
Caso I: r1 y r2 son secantes (se cortan en un
punto) Fig.1
Fig. 1
y
En este caso el conjunto solución del sistema, está
formado por las coordenadas del punto de
intersección de ambas rectas y el sistema es
determinado (solución única); S = {( x1 ; y1 )}
Caso II: r1 y r2 (Fig. 2) son paralelas
coincidentes.
r1
r2
O
x
Aquí el conjunto solución en infinito ya que la
intersección de ambas rectas es la propia recta r1 ó
r2 que contienen infinitos puntos. En este caso el
sistema es indeterminado; S = r1 ó S = r2 .
3
Fig. 2
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
Caso III: r1 y r2 (Fig. 3) son paralelas disjuntas.
En este caso el conjunto solución es vacío ya que
dichas rectas no se interceptan; S = { } ó S = φ y
el sistema es imposible o incompatible.
y
r1
r2
Resolver un sistema de ecuaciones es hallar sus
soluciones o demostrar que carece de ellas. A
continuación mostraremos dos métodos para resolver
estos sistemas.
O
x
¾ Método de adición algebraica.
¾ Método de sustitución.
Fig. 3
Método de adición algebraica.
Para resolver un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas se elimina una de las
incógnitas y se procede a resolver la ecuación resultante con respecto a la otra, esta eliminación de
una de las incógnitas puede lograrse sumando o restando las ecuaciones dadas después de haberlas
multiplicado en casos necesarios por números convenientes.
Una vez hallado el valor de una de las incógnitas se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del
sistema la cual se resuelve respecto a la otra incógnita.
Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)7 x + y = 19
4x - y = 3
b)2 x - y = 4
x -2 y = -1
c) 2 x + 3 y = 5
d) 3 x + 8 y = 23
3x + 2 y = 5
11x + 6 y = -9
e) 1/ 3 x - 1/ 2 y = 6
1/ 6 x - 1/ 4 y = -1
Solución:
a)
En este sistema para eliminar la variable y con sumar ambas ecuaciones es suficiente.
1) 7x + y = 19
2)4x - y = 3
Sustituyendo en 1)
7(2) + y = 19
y =5
11x = 22
x=2
4
S = {(2 ; 5)}
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
Comprobación:
Se sustituye los valores obtenidos, en las ecuaciones originales para verificar que las mismas satisfacen
ambas ecuaciones.
En ecuación 1) MI : 7(2) + 5 = 19 = MD. En ecuación 2) MI : 4(2) - 5 = 3 = MD
b) 2 x - y = 4
x -2 y = -1
En este ejemplo para eliminar la variable x ó y es necesario multiplicar por -2 la ecuación (2) para
eliminar la variable x o la ecuación (1) para eliminar la variable y.
Eliminemos y, multiplicando la ecuación (1) por (-2)
1 ) 2 x - y = 4 / .( −2 )
2 ) x -2 y = -1
Sustituyendo en ( 2) :
3 − 2 y = −1
− 4 x + 2 y = −8
x -2 y = -1
y=
−1− 3 − 4
=
=2
−2
−2
S = {( 3 ; 2 )}
− 3x = −9
x=3
c) 1 ) 2 x + 3 y = 5
2 ) 3x + 2 y = 5
En este caso para eliminar x ó y es necesario multiplicar ambas ecuaciones por el número que al sumar
estas se anule una de las incógnitas.
Si se desea eliminar x se multiplica la ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por (-2).
Si se desea eliminar y se multiplica la ecuación (1) por (-2) y la ecuación (2) por 3.
Eliminando x
1 ) 2 x + 3 y = 5 / .( 3 )
2 ) 3 x + 2 y = 5 / .( −2 )
6 x + 9 y = 15
− 6 x − 4 y = −10
5y = 5
y =1
Sustituyendo en la ecuación (1):
2 x + 3(1) = 5
x=
5−3 2
= =1
2
2
S = {( 1 ; 1 )}
5
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
En general cuando se resuelve un sistema de la forma:
1) a1 x + b1 y = c1
2 ) a1 x + b2 y = c2
Por el método "Adición Algebraica" (método de reducción) es necesario conocer el factor por el que
hay que multiplicar cada una de las ecuaciones y para ello se puede utilizar el siguiente procedimiento:
1ro.- Hállese el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los coeficientes de la incógnita que desea
eliminar.
2do.- Divídase este MCM por el coeficiente de la incógnita a eliminar en la primera ecuación y el
cociente dará el valor absoluto del factor que se debe usar para multiplicar esta ecuación.
3ro.- Análogamente se determina el valor absoluto del factor que se utiliza en la segunda ecuación.
4to.- El signo de cada factor dependerá del signo de los coeficientes de la incógnita a eliminar.
d) 3x + 8 y = 23
11x + 6 y = -9
Eliminemos y :
MCM de 8 y 6 : ¿?
8 = 23
6 = 2.3
MCM de( 8 y 6) = 23 . 3 = 24
24 : 8 = 3 → valor absoluto del factor por el que se debe multiplicar la ecuación (1)
24 : 6 = 4 → valor absoluto del factor por el que se debe multiplicar la ecuación (2)
(1) 3x + 8 y = 23 / (-3 )
( 2 ) 11x + 6 y = − 9 / ( 4 )
-9 x - 24 y = -69
44 x + 24 y = -36
Sustituyendo en la ecuación (1)
3 ( − 3) + 8 y = 23
− 9 + 8 y = 23
8 y = 23 + 9
35 x = -105
x = -105 : 35
x = -3
8 y = 32
y = 32 : 8
y = 4
S = {(-3 , 4)}
6
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
1
1
x- y = 6
3
2
1
1
(2) x - y = -1
6
4
e) (1)
Este sistema es de coeficientes fraccionarios por lo que se hace muy difícil la reducción de una
variable. Es necesario que eliminemos las fracciones multiplicando cada ecuación por el MCM de sus
denominadores.
En ecuación (1) : MCM de 3 , 2 y 1 es 6
En ecuación (2) : MCM de 6 , 4 y 1 es 12
1
1
(1)
x - y = 6 / (6)
3
2
1
1
(2)
x - y = -1 / (12)
6
4
2 x - 3 y = 36
2 x - 3 y = -12 restando ambas ecuaciones se obtiene :
0 = 48 → Imposible
Del resultado anterior se infiere que el sistema no tiene solución o sea
S = { } y esto significa geométricamente que las rectas dadas por dichas ecuaciones son paralelas
disjuntas.
Método de Sustitución.
Consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra
ecuación, resultando una ecuación de una incógnita que se resuelve por el método de solución de
ecuaciones lineales. Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas por sustitución se encuentra
el valor de la otra.
Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas:
a) 2 x - 3 y = 6
3 x + y = 20
a)
(1)
(2)
b) x ( y -2) - y ( x - 3) = -14
y ( x - 6) - x ( y + 9) = 54
2x - 3y = 6
3 x + y = 20
Despejar x en la ecuación (1). Puede despejarse cualquier de las dos incógnitas en cualquier ecuación.
3) x =
6 + 3y
2
7
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
 6 + 3y 
Sustituyendo en la ecuación (2): 3 
 + y = 20
 2 
 6 + 3y 
3
 + y = 20 / .2
 2 
3(6 + 3 y ) + 2 y = 40
18 + 9 y + 2 y = 40
18 + 11y = 40
y=
40 − 18 22
6 + 3(2) 12
=
=6
=
= 2 → Sustituyendo en 3) x =
2
2
11
11
S = {(6,2)}
b) x ( y -2 ) - y (x - 3) = -14
y (x - 6) - x ( y + 9) =
54
En este caso debe calcularse primeramente las operaciones indicadas hasta transformar este sistema en
un sistema de la forma:
a1 x + b1 y = c1
a1 x + b2 y = c2
En ecuación (1) :
Enecuación (2) :
xy - 2 x - yx + 3 y = -14
→ −2 x + 3 y = −14
yx - 6 y - xy - 9 x = 54 → - 9 x - 6 y = 54 /:(-3 )
3 x + 2 y = -18
Obteniéndose el sistema:
(1) -2 x + 3 y = -14
(2) 3 x + 2 y = -18
Para resolver el mismo debe procederse como en el ejemplo anterior:
Despejar y en ecuación (1):
3) y =
− 14 + 2 x
3
Sustituyendo en la ecuación
(2):
Sustituyendo en (3):
 − 14 + 2 x 
3x + 2 
 = -18
3


9 x − 28 + 4 x = -54
13 x = -54 + 28 = −26
 − 14 + 2 x 
3 x + 2
 = -18 /.3
3


− 26
x=
= −2
13
8
y=
− 14 + 2( −2 ) − 18
=
= −6
3
3
S = {(-2,-6)}
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas
a)
3x + 2 y - z = -4
2 x + 3 y + 4 z = 11
5 x - 4 y -2 z = 14
d)
b) x + 5 y + 2 z = 3
3x - 2 y - 2 z = -1
3y -
z = -6
c)
s + t = 10
t + r = 16
r + s = 20
2 3 1
+ − =5
x y z
1 2 3
− − + =4
x y z
3 2 3
+ − = −2
x y z
Los sistemas a resolver, son sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas y para resolverlos
se elimina una incógnita entre dos ecuaciones y luego se elige otro par de ecuaciones y se elimina de
nuevo la misma incógnita. Resulta así un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que se
resuelven de la manera ya estudiada. Los valores obtenidos para estas dos incógnitas se sustituyen en
cualquiera de las ecuaciones del sistema original.
Es decir, se reduce el sistema dado a uno de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y después a
una ecuación lineal en una incógnita. Se puede utilizar, según sea más cómodo, el método de
sustitución o el de reducción.
Solución:
a) (1)
3x + 2 y - z = -4
(2) 2 x + 3 y + 4 z = 11
(3)
5 x - 4 y − 2 z = 14
Tomemos las ecuaciones (1) y (2) y eliminemos z
1)
Tomemos las ecuaciones (1) y (3) y eliminemos z
3 x + 2 y − z = -4 / (4)
1) 3 x + 2 y − z = - 4 / (-2)
2) 2 x + 3 y + 4 z = 11
3) 5 x - 4 y − 2 z = 14
12 x + 8 y - 4 z = -16
2 x + 3 y + 4 z = 11
-6 x - 4 y + 2 z = 8
5 x - 4 y − 2 z = 14
4) 14 x + 11y = -5
5) -x-8 y = 22
9
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
Con las ecuaciones (4) y (5) formemos el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
(4) 14 x + 11 y
(5) -x − 8 y
= -5
= 22 / (14)
14 x + 11 y = -5
-14 x -112 y = 308
-101 y = 303
y = 303 : (-101)
y = -3
Sustituyendo en ecuación (5)
- x - 8 (-3 ) = 22
x = ( 22 − 24 ) : (-1 )
x = 2
Sustituyendo en ecuación (1):
3 (2) + 2 (-3) - z = -4
z = -4 : (-1)
z = 4
Comprobación :
En ecuación (1) : MI : 3(2) + 2 (-3) 4 = - 4 = MD
En ecuación (2) : MI : 2(2) + 3 (-3) + 4(4) = 11 = MD
En ecuación (3) : MI : 5(2) - 4 (-3) − 2(4) = 14 = MD
S = {(2 , - 3, 4)}
b) 1)
x + 5 y + 2z = 3
2) 3x − 2 y − 3z = − 1
3)
3y − z = − 6
10
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
Tomemos las ecuaciones (1)
convenientemente eliminemos x:
y
(2)
y Sustituyendo en (3) para hallar a z
3 (-1) - z = - 6
(1) x + 5 y + 2 z = 3 /.(-3)
(2)
4)
3x - 2 y - 3 z = -1
-3 - z =-6
-z=-6 + 3
-3 x - 15 y - 6 z = -9
3x - 2 y - 3z = -1
- z = - 3 /(-1)
z=3
Sustituyendo en ecuación (1)
- 17 y - 9 z = -10
Con las ecuaciones (3) y (4) formamos el sistema
de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
3)
4)
x + 5 (-1) + 2 (3) = 3
x = 3-1
x = 2
S = {(2 , - 1, 3)}
3y - z = - 6 /. (-9)
- 17y - 9z = - 10
- 27y + 9z = 54
- 17y - 9z = - 10
- 44y = 44
y = 44 : (-44) , por lo que y = - 1
c)
(1) s + t = 10
(2) t + r = 16
(3) r + s = 20
Ordenemos el sistema dado en la forma r, s y t:
c) (1) s + t = 10
(2) r + t = 16
(3) r + s = 20
Tomemos las ecuaciones (1) y (2) y eliminemos convenientemente t:
(1) s + t = 10 / .( −1)
(2) r + t = 16
− s − t = −10
r + t = 16
4) r −s = 6
11
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
Con las ecuaciones (3) y (4) formemos el sistema de dos con dos:
(3) r + s = 20
( 4 ) -s + r = 6
2r = 26 / : 2
r = 13
Sustituyendo en ecuación (3):
13 + s = 20
s=7
Sustituyendo en ecuación (1)
7 + t = 10
t = 10 - 7
t = 3
S = { (13; 7; 3) }
Observe que el conjunto solución está expresado en el mismo orden de las variables r , s y t
d)
2 3 1
+ − =5
x y z
1 2 3
− − + =4
x y z
3 2 3
+ − = −2
x y z
En este caso las variables se encuentran en los denominadores, para facilitar la solución
recomendamos el siguiente cambio de variables:
1
1
1
= A; = B y
=C
x
y
z
Sustituyendo en el sistema original se obtiene el sistema:
(1) 2A + 3B − C = 5
(2) − A − 2 B + 3C = 4
(3) 3A + 2 B − 3C = −2
Sumemos ecuación (1) y (2) y eliminemos la variable A:
(1) 2A + 3B − C = 5
(2) − A − 2 B + 3C = 4 / .(2)
2A + 3B − C = 5
− 2 A − 4 B + 6C = 8
(4)
-B + 5C = 13
12
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
Sumemos ecuación (1) y (3) y eliminemos la variable A:
(1) 2A + 3B − C = 5 / .(3)
(3) 3A + 2 B − 3C = −2 / .(−2)
6 A + 9 B − 3C = 15
− 6 A − 4 B + 6C = 4
(5)
5B + 3C = 19
Tomemos las ecuaciones (4) y (5) y eliminemos la variable B
(4) -B + 5C = 13 / .5
(5) 5 B + 3C = 19
-5B + 25C = 65
5B + 3C = 19
28C = 84
C=
84
=3
28
Sustituyendo en ecuación (4): -B + 5(3) = 13 → B =
13 − 15
=2
−1
Sustituyendo en ecuación (1): 2A + 3(2) − 3 = 5 → A =
5−3
=1
2
Para hallar los valores de x; y e z se sustituye en las ecuaciones del cambio de variables.
A = 1/x → 1 = 1/x
x =1
B = 1/y → 2 = 1/y
y =
1/ 2
C = 1/z → 3 = 1/z
z =
1
3
Se comprueba en el sistema original.
En ecuación (1)
MI =
2 3 1
+ − = 2 + 6 − 3 = 5 = MD
1 1 1
2 3
13
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
 1 1 
Análogamente se comprueba en las restantes ecuaciones. S = 1; ; 
 2 2 
Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas.
Ejemplos.
Resolver los siguientes sistemas:
a) 1) ( x + 3) + y 2 = 8
2)
x - y + 3 = 0
b) 1) x 2 = 4 y
2
2) 2 y 2 = x
x2
+ y2 = 1
2) ( x-2)
+ y2 = 1
c) 1)
2
Estos sistemas son cuadráticos ya que contienen al menos una ecuación de segundo grado por lo que es
conveniente aplicar el método de sustitución.
Solución:
a) 1) ( x + 3) + y 2 = 8
2)
x - y + 3 = 0
2
En este caso, donde existe una ecuación lineal y una cuadrática, se despeja una variable en la ecuación
lineal y se sustituye en la cuadrática resultando una ecuación cuadrática, cuyas soluciones se sustituyen
en la lineal para hallar el conjunto solución del sistema.
Despejando x en ecuación (2) :
2) x = y - 3
Sustituyendo en (1)
(y
- 3 + 3)
2
+ y2 = 8
2 y2 = 8
y2 = 4
y= 4 =2 ó
y = − 4 = −2
Sustituyendo en (3)
Si y = 2
→ x = 2 - 3 = -1
Si y = -2
→ x = -2 - 3 = -5
Para x = - 1 e y = 2
Comprobación :
En ecuación (1)
MI : (-1 + 3) 2 + 2(2 ) = 4 + 4 = 8 = MD
14
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
En ecuación (2)
MI : - 1 − 2 + 3 = 0 = MD
En ecuación (1)
Para x = - 5 e y = - 2
MI : (-5 + 3) 2 + (-2)2 = 4 + 4 = 8 = MD
En ecuación (2)
MI : (-5 ) - (-2) + 3 = 0 = MD
S = { (-1, 2), (-5, - 2) }
b) 1) x 2 = 4 y
2) 2 y 2 = x
En este ejemplo ambas ecuaciones son cuadráticas por lo que se despeja la variable lineal en cualquier
ecuación, obteniéndose la ecuación (3), se sustituye en el otra ecuación, se resuelve la ecuación
resultante, obteniéndose así los valores de una variable, y con estos se sustituye en la ecuación (3) para
obtener los valores de la otra variable.
En el ejemplo, la variable x en la ecuación (2) está despejada.
x = 2 y 2 , con esto sustituimos en ecuación (1):
(2y 2 ) 2 = 4 y
4 y4 - 4 y = 0
4 y ( y 3 - 1) = 0
4y = 0
y = 0
ó
y3 - 1 = 0
y= 1
Si y = 0 → x = 0
Si y = 1 → x = 2
S = { (0, 0), (2, 1) }
x2
+ y2 = 1
2) (x-2 )
+ y2 = 1
c) 1)
2
En este caso todas las incógnitas que intervienen en el sistema son cuadráticas por lo que hay que
utilizar el método de reducción o sustitución.
15
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
1)
2)
x2
+ y 2 = 1 /(-1 )
(x - 2 )2 + y 2 = 1
-x 2 - y 2
= -1
x - 4x + 4 + y = 1
2
2
-4 x + 4 = 0
x = (-4) : (-4)
x = 1
Sustituyendo en ecuación (1):
(1) 2 + y 2 = 1
y2 = 0
y = 0 → S = {(1; 0 )}
Realice la comprobación.
16
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales.
Seguidamente estudiaremos la resolución de problemas que conducen a sistemas de ecuaciones
lineales. El planteamiento de los mismos requiere saber expresar en lenguaje algebraico las
condiciones que en lenguaje común contiene el enunciado del problema como mostraremos en los
ejemplos siguientes:
Un número
x
Un número aumentado en 2
x+2
Un número disminuido en 3
x-3
El duplo de un número
2x
El triplo de un número
3x
La mitad de un número
x/2 ó ½ x
El cuadrado de un número
x2
El duplo de un número aumentado en 5
2x + 5
La edad de una persona hace cuatro años
x-4
La edad de una persona dentro de 5 años
x+5
Dos números enteros consecutivos
n y n+1
Un número par
2n
Un número impar
2n + 1
Si las cifras de un número natural es d y las cifras de las unidades es u
n = 10d+u
Ej: 54 = 10(5) + 4
Si una persona camina x km por hora, el número de kms que camina en t x. t
horas (a un paso uniforme)
El número de centavos que hay en x pesos y en y pesetas
100x + 20y
Toda situación en la que se persigue la determinación de uno o varios números desconocidos mediante
la relación (o relaciones) que existen entre ellos y otros conocidos, se dice que es un problema.
Los números y las relaciones conocidas constituyen los datos del problema. Los números cuya
determinación se pide son las incógnitas.
17
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
A continuación mostraremos con algunos ejemplos la técnica de la resolución de los problemas por
medio de ecuaciones (resolución algebraica).
Ejemplos.
Resolver los siguientes problemas:
a) La suma de dos números es igual a 52. La diferencia entre el triplo de uno y el quíntuplo del otro es
igual a 100. ¿Cuáles son los números?
b) La suma de las edades de un matrimonio y de su hijo es 84 años. La quinta parte de la edad del
hijo es igual a la diferencia entre las edades del padre y la madre. La suma de las edades de la madre y
el hijo es igual a cuatro tercios de la edad del padre. ¿Cuáles son sus edades?
c) Cuáles son las longitudes de los lados de un triángulo si cada dos lados suman 9 cms, 12 cms y 13
cms.
Algunos aspectos a tener en cuenta en la solución de los problemas:
1) Representación (según el enunciado, escoger las variables a utilizar).
2) Planteo (formación de las ecuaciones).
3) Resolución (aplicación de los métodos estudiados para resolver sistemas de ecuaciones lineales con
dos y tres incógnitas).
4) Interpretación de los resultados obtenidos y con esto dar la respuesta.
a) 1er número → x
Sustituyendo en la ecuación 1):
x + 7 = 52
2do número → y
x = 52 − 7 = 45
1)
2)
x + y = 52 / .(−3)
3 x-5 y = 100
R/ El primer número es 45 y el segundo es 7.
− 3 x − 3 y = −156
3x − 5 y = 100
− 8 y = −56 /:(-8 )
y=7
b) Edad del padre ------ x
Edad de la madre --- y
Edad del hijo ------ z
18
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
1)
2)
3)
1)
x + y + z = 84
z
= x − y / ⋅ (5 )
5
4x
/ ⋅ (3 )
y+z=
3
x + y + z = 84
2) − 5 x + 5 y + z = 0
3) − 4 x + 3 y + 3 z = 0
En ecuación (1) y (2)
1) x + y + z = 84 / .(5)
2) − 5 x + 5 y + z = 0
En ecuación (1) y (3)
1)
x + y + z = 84 / .(4)
3) − 4 x + 3 y + 3 z = 0
5 x + 5 y + 5 z = 420
4 x + 4 y + 4 z = 336
− 5x + 5 y + z = 0
4)
− 4 x + 3 y + 3z = 0
10 y + 6 z = 420 / : (2)
5 y + 3 z = 210
7 y + 7 z = 336 / : (7)
5) y + z = 48
Con ecuación (4) y (5)
Sustituyendo en (5)
4) 5 y + 3z = 210
5) y + z = 48 / . (-3)
33 + z = 48
z = 48 - 33
5 y + 3 z = 210
-3 y − 3 z = -144
2 y = 66
y = 33
z = 15
Sustituyendo en (1)
x + 33 + 15 = 84
x = 36
R/ La edad del padre es: 36 años
La edad de la madre: 33 años
La edad del hijo es: 15 años
c) Los lados del triángulo.
L1------- x
L 2 ------- y
L3 ------- z
1) x + y = 9
2) y + z = 12
3) x + z = 13
19
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
En ecuación (1) y (2)
En ecuación (3) y (4)
1) x + y = 9 /.(−1)
3) x + z = 13
2) y + z = 12
4) − x + z = 3
− x − y = −9
y + z = 12
4) − x + z = 3
Sustituyendo en (3)
x + 8 = 13
x = 5
2 z = 16
z = 16 : 2
z =8
Sustituyendo en (1)
5 + y = 9
y = 4
R/ Las longitudes de los lados son 5cms; 4cms y 8 cms respectivamente.
20
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
Ejercicios:
1. Dado el siguiente sistema de ecuaciones.
(I)
3x + y = 2
( II )
2x + 3y =5
Halle su conjunto solución.
Represente gráficamente la función definida por la ecuación (I).
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
I) 4 x + 3 y- 2 z = 5
5 x - y - 4 z = 15
3x + 2 y = 5
II) 6 x + y + 2 z = 5
x - 10 y - 2 z = 7
5x - 2 y + z = 5
IV) x + y + z = 3
V) x + y + 2 z = 1
x + 2 y- z = -2
x + 3y + z = 5
2 x-y + z = 2
2y + z = 3
III) 15 ( x + 2 ) - 20 y = 50
20( x - 3) - 40( y-x ) = 20
x y 1
+ =
4 4 2
x z 1
3. Resuelva y compruebe:
− =
2 3 6
4y + z = 5
4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
x − y = −5
a. x + y = 7
c.
b.
2x + y = 4
3x + y = 5
x + y = 14
d. 6 x − y = 13
3x − y = 4
x − 3 y = −7
e. 3 x − 2 y = 7
f. 2x + 9y = 3
4x + 3y = 80
4 x + 3 y = 37
21
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
g.
− 10 x + 11 y = 36
h.
4 x + 3 y = −18
3x + 8 y = 80
i. 13 x + 15 y = 17
j.
− 7 x + 10 y = 27
l.
8 x + 15 y = 21
1
1
x+ y=3
3
5
m.
1
1
x + y = 4 ,25
2
4
o.
q.
x y
+ = 10
9 7
x
+ y = 50
3
s.
6 x + 2( y + 3 ) = 0
3( x + y ) = −11
3
y −9
2
3
y= x+3
4
x=
n.
2
x + y = 16
p. 3
x + y = 14
r.
1
1
−
=2
x+ y x− y
3
4
+
=7
x+ y x− y
t.
x + y + z = 15
u.
x + 12 y = 58
5 x − 8 y = 18
k. 9 x + 20 y = 33
x y
+ =5
5 2
x− y = 4
5 x − 6 y = −2
1
(x − y ) = x − 4
3
1
(x + y ) = x − y + 1
2
2
4 3
+
= 4 ,2
x 5y
9 6
− = 2 ,5
2x y
6x + y + 2z = 4
x− y + z =5
x − y − z = −9
v.
22
x − 10 y − 2 z = 7
5x − 2 y + z = 5
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
3x − 4 y = 6 z − 16
w.
x
+
2
x
x.
+
3
x
−
6
4x − y = z + 5
3 x + 2( z − 1 ) = x
1
(y + z) = 5
2
(x + z ) = 5
y+
2
(x + y ) = 5
z+
2
x+
y.
z.
x2 + 1 = 2 y
aa.
y− x=0
cc.
y z
− =3
2 3
y z
− = 13
6 2
y z
+ =0
3 6
x 2 = 12 y
x
y=
4
y 2 = 2x + 1
bb.
y − x +1= 0
( y − 1)2 = 8(x − 2)
dd.
y − x =1
x2
+ y2 = 1
4
x
y +1 =
2
Problemas:
1. La suma de dos números es 48. La diferencia entre el duplo del mayor y el triplo del menor es 6.
¿Cuáles son los números?
2. Si la mitad del número se resta del mayor de dos números, el resultado es 36. Halla los números, si
difieren en 35.
3. La diferencia de dos números racionales es 5/8. El duplo del mayor menos el triplo del menor es
igual a uno. ¿Cuáles son los números?
4. La suma del triplo de un número con el cuádruplo de otro es 85. La suma de la tercera parte del
primero y la quinta parte del segundo es 7. ¿Cuales son los números?
5. Para fabricar una pieza entre dos obreros se necesitan 48 minutos. Si la diferencia entre los tiempos
empleados entre ambos es de 8 minutos. ¿Qué tiempo empleó cada uno en la fabricación de la pieza?
6. Entre dos terminales marítimas se embarcan 2 000 t de azúcar por hora, si una de ellas embarca las
2/3 partes de lo que embarca la otra. ¿Cuántas toneladas de azúcar embarca cada una de las terminales
por hora?
23
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
7. En una tabla gimnástica, los 196 alumnos participantes forman 6 círculos y 4 estrellas. Para formar
un círculo y una estrella se necesitan 40 alumnos. ¿Con cuántos alumnos se forma un círculo y con
cuántos una estrella?
8. La diferencia entre el duplo de las horas voluntarias realizadas por Mario y el triplo de las horas
realizadas por Alexis es de 12 h, y la mitad del número de horas voluntarias de Mario excede en 13h
a la tercera parte de las de Alexis. ¿Cuántas horas de trabajo voluntario realizó cada uno?
9. En el décimo grado de un preuniversitario, seis veces el número de varones es igual a cinco veces
el número de hembras, y la mitad del número de varones excede en 10 a la tercera parte del número de
hembras. ¿Cuántas hembras y cuántos varones hay en el grado?
En un aula de 38 alumnos, la cuarta parte de los aprobados excede en 2 a la cantidad de
10.
alumnos suspensos. ¿Cuántos alumnos aprobados y cuántos suspensos hay en el aula?
11. En un preuniversitario, la cuarta parte de los alumnos que practican pelota, sumados con la tercera
parte de los que practican natación es igual a 20. Si se divide el triplo del número de los que juegan
pelota entre el número de los que practican natación, el cociente es 4. ¿Cuántos alumnos practican cada
deporte?
12. A una obra en construcción se le envían en el mes 80 cargas con un total de 488 t de materiales.
Algunos camiones cargan 5 t y los restantes 7 t. ¿Cuántas cargas de cada tipo se han enviado?
13. La suma de tres números es 19. El triplo del menor más el duplo del mediano menos el mayor es
igual a 18. El menor más el mediano excede en tres unidades al mayor. Halla los números.
14. Un melón, una piña y un aguacate cuestan $ 2.60; dos melones y tres piñas cuestan $5.60; dos
piñas y tres aguacates cuestan $2.90. ¿Cuánto vale cada fruta?
15. El número de horas voluntarias realizadas por Norma, Caridad y Moraima suman 100. Entre
Norma y Caridad han realizado los mismos números de horas que Moraima, y cuatro veces las horas
realizadas por Norma e igual al número de horas realizadas por Moraima y Caridad. ¿Cuántas horas de
trabajo voluntario han realizado cada una?
16. La suma de las edades de Fermín, Leopoldo y Jorge es de 75 años. La suma de las edades de
Fermín y Leopoldo es de 45 años y el duplo de la edad de Jorge excede en 15 años a la suma de las
edades de Fermín y Leopoldo. ¿Qué edad tiene cada uno, si Fermín es 5 años menor que Leopoldo?
17. En un kiosco se venden 3 clases de revistas a $0.15, $0.20 y $0.25 respectivamente. En un día se
vendieron 255 revistas por un valor de $52.50. Si el triplo de las que se venden a $0.15 es igual al
duplo de las que se venden a $0.25. ¿Cuántas revistas de cada tipo se han vendido?
18. En un triángulo cualquiera la suma de las amplitudes del ángulo mediano y del ángulo menor
excede en 36º al ángulo mayor y la suma de los ángulos mayor y mediano es igual al triplo del ángulo
menor. ¿Cuántos grados mide cada uno?
19. En un número de 3 cifras, la suma de ellas es 14, la suma del triplo de las cifras de las centenas con
las cifras de las unidades es igual a las cifras de las decenas. Si al números se le suman 99, el nuevo
número tiene las mismas cifras pero en orden inverso. ¿Cuál es el número?
20. En un número de 3 cifras, la suma de ellas es 15, la suma de las cifras de las centenas y de las
decenas es igual al cuádruplo de las cifras de las unidades, y si al número se le resta 18, se
intercambian las cifras de las unidades y de las decenas. ¿Cuál es el número?
24
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
21. Un campesino tiene en su casa ovejas y gallinas. En total se tienen 56 patas y 17 cabezas. ¿Cuántas
ovejas y cuántas gallinas tiene?
22. La entrada a un espectáculo cuesta 80 centavos los mayores y 50 centavos los menores. Una noche
entraron al espectáculo 320 personas y habiendo todas pagado la entrada, se recaudó por este concepto
220 pesos. ¿Cuántos mayores y cuántos menores entraron esa noche?
23. Un caballo y un mulo caminaban juntos, llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el
caballo de su penosa carga a lo que el mulo le dijo: ¿De qué te quejas? Si yo tomara un saco, mi carga
sería el doble de la tuya. En cambio si te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía. ¿Diga cuántos
sacos llevaba el caballo y cuántos el mulo?
24. Un tren de carga con 38 vagones transporta 730 toneladas de minerales. Algunos vagones cargan
15t de mineral; los demás, transportan 20t. ¿Cuántos vagones de cada tipo hay?
25. Los tres ángulos interiores de un triángulo están en la razón.
5
6
y . Calcula la amplitud de cada
6
7
uno.
26. En un grupo de estudiantes del 7mo grado de una ESBU, hay 35 estudiantes. Si el cuádruple de la
cantidad de hembras excede en 20 a la cantidad de varones, ¿cuántas hembras y cuántos varones tiene
el grupo?
27. La entrada a una piscina cuesta $5.00 por 3 mayores y 4 menores. ¿Cuánto paga cada uno, si un
domingo entraron 31 mayores y 20 niños y se recaudó por este concepto $41.00?
28. En una fábrica de calzado solo se elaboran zapatos para niños y mujeres. Si 3 pares de zapatos de
niños y 2 pares de mujeres cuestan $140.00 y en una jornada se vendieron 20 pares de niños y 40 pares
de mujeres y se recaudaron $2000.00. ¿Cuánto cuesta un par de zapato de niño y uno de mujer?
29. Una parcela de autoconsumo de un CDR de nuestra provincia tiene forma rectangular. Si uno de
2
los lados es menor en 3m que el otro y el área del terreno es 28m . Calcula la longitud que tiene la
cerca que rodea dicha parcela.
30. Entre Juan, Daniel y Pedro sembraron 36 árboles frutales. Entre Juan y Daniel sembraron 22, entre
Daniel y Pedro sembraron 23 y entre Pedro y Juan sembraron 27. ¿Cuántos árboles frutales sembró
cada uno?
31. En un ómnibus articulado viajan 96 personas. El número de mujeres es el triplo del número de
niños y la cantidad de hombres es igual a la suma de la cantidad de mujeres y niños. ¿Cuántos niños
viajan en el ómnibus?
32. El denominador de una fracción supera en 3 unidades al numerador. Si a cada término de la misma
se le adicionan 2 unidades se obtiene la fracción ⅔. ¿Cuál es la fracción inicial?
33. El promedio de las notas de Miguel, un estudiante de Pre Universitario, en las asignaturas: Español,
Inglés y Geografía es 88 puntos. Si hubiera obtenido 100 puntos en Español, el promedio sería 92 pero si
en lugar de obtener 100 en Español lo hubiera obtenido en Geografía sería 94 el promedio. ¿Qué
promedio hubiera obtenido si los 100 puntos los hubiera obtenido en Inglés?
34. Dos fábricas producen el mismo tipo de piezas. José trabaja en una de ellas y Pablo en la otra. Entre
ellos tiene lugar el siguiente diálogo:
25
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
José: Si mi fábrica lograse aumentar su producción diaria en 19 piezas, entonces produciría cada día el
doble de lo que tu fábrica produce diariamente.
Pablo: ¿Tú conoces la producción diaria del país?
José: Sí, es de 87 piezas.
Pablo: Pues si tu fábrica produjese diariamente 2 piezas menos, entonces el cuadrado de esa producción
sumado con lo que el país produce diariamente sería 8
veces lo que nuestras dos fábricas juntas
producen al día en estos momentos.
¿Cuántas piezas producen diariamente cada fábrica?
35. Las tres cifras de un número suman 13. Si del número se resta 270 se obtiene otro número de tres
cifras en el cual resultan intercambiadas la cifra de las centenas y de las decenas, pero se conserva la
cifra de las unidades. El número de dos cifras formado por la cifra de las decenas y la de las unidades
del número original es igual a 6 veces la cifra de las centenas. ¿Cuál es el número?
36. En un mercado agropecuario hay dos cajas que contienen en total 90 Kg. de frijoles. Si de la caja
más pesada se sacase el 10 % del contenido y se echase en la otra entonces ambas tendrían la misma
cantidad. ¿cuántos Kg. de frijoles contiene cada caja?
37. Dos fábricas debían producir entre ambas 360 piezas de repuesto, según sus respectivos planes de
producción. La primera de ellas cumplió su plan al 112% y la segunda al 110% y entre las dos produjeron
400 piezas de repuesto.
a) ¿Cuál era el plan de producción de cada fábrica?
b) ¿Cuántas piezas de repuesto produjeron cada fábrica?
38. En un taller de piezas de repuesto había en total 120 piezas de dos tipos. Una empresa adquirió la
mitad de las piezas del tipo I y tres cuartos de las piezas del tipo II. Si lo que quedó es el 40% de las
piezas que había inicialmente, calcula cuántas piezas de cada tipo había al principio.
39. Un número de cuatro cifras es mayor que 1000 pero menor que 2000.La cifra de las unidades es
igual a la cifra de las decenas disminuida en 2. La cifra de las centenas es igual a la cifra de las
unidades aumentada en 2. La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las centenas es igual a la
cifra de las unidades aumentada en 11. ¿Cuál es el número?
40. Dos grupos de estudiantes, en una jornada de trabajo voluntario, están recogiendo tomates. Al
inicio de la jornada se le entregó a cada uno cierta cantidad de cajas vacías. La tercera parte de las
cajas entregadas al grupo B excede en 4 a la cuarta parte de las entregadas al grupo A. Al terminar la
sesión de campo, entre los dos grupos lograron llenar todas las cajas pero el grupo A, llenó 30 cajas
menos que las que le habían sido entregadas y la cantidad de cajas que logró llenar el grupo B excede
en dos al duplo de los que llenó el grupo A. ¿Cuántas cajas vacías se entregaron al inicio de la jornada
a cada grupo?
41. En un Instituto Pre Universitario Vocacional en Ciencias Exactas hay 400 varones más que
hembras. Se decidió trasladar para otro centro de este mismo tipo al 70% de los varones y al 20% de
las hembras, quedando en el centro inicial, 100 hembras más que varones. ¿Cuántas hembras y cuántos
varones se quedaron?
42. En un recipiente hay 10 Kg. de mezcla de alcohol y agua. Se añade cierta cantidad de agua de
forma que la cantidad de alcohol representa el 30% del total. Se añade otra cantidad igual de agua y
26
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
entonces el alcohol representa el 20% del total. ¿Cuánta agua se añadió en total y qué cantidad de
alcohol hay?
43. En una granja estatal tenían sembrados 480 ha más de papas que de cereales. Después de haber
recolectado el 80% del cultivo de papas y el 25% del de cereales quedaron en el campo 300 ha más de
cereales que de papas. ¿Qué cantidad de hectáreas de cada uno de los cultivos habían sembrados en la
granja?
44. Alejandro hizo dos llamadas de larga distancia desde Ciudad de la Habana, una a Santiago de Cuba
y la otra a Matanzas. La operadora al final le informa que habló en cada ocasión más de tres minutos y
que en total estuvo conversando 15 minutos por lo que debe pagar $7,40. Más tarde, Alejandro
consultó la siguiente tabla para saber lo que le cobraron por cada llamada:
Desde Ciudad de la Habana a los siguientes territorios.
Tres minutos Minuto adicional
Pinar del Río, Isla de la Juventud, Matanzas
1.00
0.25
Las Tunas, Holguín, Granma,
Guantánamo
2.40
0.60
Santiago de Cuba,
¿Cuántos minutos estuvo hablando Alejandro con cada provincia?
¿Cuánto pagó por cada llamada?
45. Una empresa de la industria electrónica produce teclados y pantallas para calculadoras gráficas en
dos plantas: en la A y en la B. En la planta A se fabrican 14 teclados y 9 pantallas por hora y en cada
jornada de 8 horas se desechan como promedio 2 teclados y 2 pantallas. En la planta B, de más
moderna tecnología, se producen 55 teclados y 55 pantallas por hora. ¿Cuántas jornadas de 8 horas
debe trabajar cada planta para que conjuntamente produzcan 1210 teclados y 1090 pantallas?
46. En una UBPC se plantaron 2 caballerías más de papas que de boniatos. Después de una semana de
trabajo en la recolección, los trabajadores de la UBPC verificaron que aun quedaba por recoger el 21%
de la plantación de papas y el 75% de la de boniatos, lo que implicaba que faltaba por recoger 3,9
caballerías más de boniatos que de papas. ¿Cuántas caballerías de cada cultivo se habían plantado?
47. Entre dos Institutos Preuniversitarios en el Campo había a principios de curso 62 alumnos de
duodécimo grado que manifestaron interés por estudiar carreras pedagógicas. A mediados de curso, el
número de interesados en el IPUEC 1 se incrementó en un 20%, y en el IPUEC 2, en un 25%, de
modo que entre ambos centros hay ahora 76 alumnos que desean estudiar una carrera pedagógica.
¿Cuántos alumnos de grado 12 aspiran en estos momentos a una carrera pedagógica en cada escuela?
27
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
48. En un grupo de duodécimo grado todos sus alumnos eligieron en la primera opción una carrera de
los grupos de humanidades, ciencias técnicas o ciencias naturales, comportándose las cifras de este
modo:
El 20% de la matrícula optó por carreras de humanidades, las 3
partes del resto de los alumnos
4
prefirieron carreras técnicas, mientras que 8 alumnos optaron por ciencias naturales.
a) Halla la matrícula del grupo.
b) ¿Cuántos alumnos optaron por las carreras técnicas en la primera opción?
49. En el pasado campeonato nacional de pelota en nuestro país, después que cada equipo había
celebrado la misma cantidad de juegos, los jugadores A y B habían conectado la mayor cantidad de
jonrones, en ese orden. El triplo de los jonrones conectados por B era superior en 16 al duplo de los
conectados por A. Si el cuadrado de los jonrones conectados por B lo dividimos por los conectados por
A, el cociente es 20 y el resto es 16. ¿Cuántos jonrones conectó cada jugador?
50. Dos camiones distribuyeron cierta cantidad de materiales, de modo que cada uno transportó la
mitad. El primer camión realizó 17 viajes, transportando siempre el máximo de su capacidad, excepto
en el último viaje que solo utilizó el 50% de su capacidad. El segundo camión dio un viaje más y en
cada viaje transportó una tonelada menos que la capacidad máxima del primer camión. ¿Cuántas
toneladas de materiales transportaron entre los dos camiones?
51. En una cooperativa de producción agropecuaria se sembraron 40,5 hectáreas más de ajos que de
3
cebolla. Al terminar la recolección de las
partes de las hectáreas de ajo y el 30% de las hectáreas de
5
cebolla se concluyó que se había recolectado un total de 97,2 hectáreas ¿Cuántas hectáreas de ajo y de
cebollas fueron sembrada en la cooperativa?
52. En febrero una casa de vivienda consumió en el mes, durante el período nocturno el doble de la
electricidad que consumió durante el período diurno. Medidas internas aplicadas en ese núcleo familiar
hicieron que en marzo, durante el período nocturno, el consumo eléctrico del mes disminuyera en un
25% y durante el período diurno se ahorra un 20%, lo que hizo que el consumo eléctrico de la vivienda
este mes fuese de 184Kwh ¿En qué tanto por ciento disminuyó el consumo de energía de un mes a
otro, una vez aplicadas las medidas?
53. En un Instituto Preuniversitario en el Campo participaron en el curso anterior todos sus alumnos en
la Brigadas Estudiantiles de Trabajo. Si la cantidad de hembras participantes excedió en 70 al 40% de
la cantidad de varones, y la razón entre la cantidad de hembras y varones es 3 : 4. ¿En cuánto supera la
cantidad de varones a la cantidad de hembras?
54. En los Concursos Nacionales de Matemática, Física, Química e Informática las provincias que
obtuvieron los tres primeros lugares, en ese orden, fueron Ciudad de la Habana con 105 puntos, Las Tunas
con 74 puntos y Villa Clara con 65 puntos. En Matemática y Física la provincia ganadora resultó ser
Ciudad de la Habana con 34 puntos en cada una de estas asignaturas; en matemática, Villa Clara logró 15
puntos y Las Tunas 5, pero en Física Las Tunas alcanzó 32 puntos y Villa Clara , 3 puntos. En Informática
la provincia ganadora fue Villa Clara con 4 puntos más que Las Tunas y esta 4 puntos más que Ciudad de
la Habana. Si el total de puntos de estas tres provincias en Informática fue de 57 puntos, determina
cuántos puntos obtuvo cada una de estas tres provincias en Informática y Química
55. Dos brigadas de estudiantes de un IPUEC se propusieron recoger conjuntamente en un día 280
cajas de tomates. Después de terminar la jornada de la mañana, la brigada 1 había recogido las dos
28
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
quintas de lo que se propuso y la brigada 2 el 60%, quedando por recoger entre las dos 142 cajas
¿Cuántas cajas de tomates le faltaban por recoger a cada brigada en la jornada de la tarde para
completar el total de cajas que se propusieron?
56. En los meses de agosto y septiembre del año pasado, nuestro país fue azotado por los huracanes
Gustav y Ike. Debido a las afectaciones provocadas se decidió, por parte de la dirección del país,
asignar materiales de la construcción en las zonas más afectadas como parte del programa para la
recuperación. En un Consejo Popular de la provincia La Habana se asignaron 3t más de cemento que
de arena. Al transcurrir una semana, se determinó que aún faltaban por descargar el 20% de la cantidad
de toneladas de cemento y el 70% de la cantidad de toneladas de arena lo cual equivale a que se
tendrán que entregar 6,9t más de arena que de cemento.¿Cuántas toneladas de cada material se
entregaron?
57. En días pasados se realizó una convocatoria para participar en un trabajo voluntario en la
agricultura. Tanto el sábado como el domingo, el 60% del total de participantes eran hombres. Se sabe
que el sábado participaron 25 hombres más que mujeres. Si el domingo participaron 10 mujeres
menos que el sábado. ¿Cuántas personas más participaron el sábado que el domingo?
58. Tres trabajadores sociales Maria, Luís y José visitaron cierto número de viviendas durante dos
jornadas de trabajo con la finalidad de actualizar el cobro de los efectos electrodomésticos entregado
como parte de los proyectos de la Revolución. Como resultado del trabajo realizado en la primera
jornada se sabe que fueron visitadas por los tres un total de 100 viviendas, y que Maria visitó 5 casa
menos que las que visitó Luís, sin embargo en la segunda jornada con respecto a la primera, la
cantidad de viviendas visitada por Luís disminuyó en un 10%, mientras que José aumentó en 5 la
cantidad de viviendas visitadas. Si en esta última jornada se visitaron por ellos dos el 77% del total de
las viviendas visitadas durante la primera jornada, ¿Cuántas viviendas visitó Luís y cuántas Losé en
esta última jornada?
29
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Problemas.
BIBLIOGRAFÍA
1. Álvarez Socarrás Ada Matemática para curso Introductorio/ Ada Álvarez Socarrás.Camagüey: /s.c/,/s.a/.—191p.
2. Ballester, Sergio: Cómo Sistematizar los conocimientos matemáticos. Editorial Academia.
Ciudad de la Habana. 1995.
3. Ballester, Sergio y C. Arango: Cómo Consolidar Conocimientos Matemáticos. Editorial
Academia. Ciudad de la Habana. 1995.
4. Campistrus, Pérez L. Y otros: Matemática. Orientaciones Metodológicas 10 grado. Editorial
Pueblo y Educación 1989.
5. Cuadrado González, Zulema. Matemática 10mo grado / Zulema Cuadrado González,
Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. —La Habana: Editorial Pueblo y Edición,
6. 1991. —152p.
7. Exámenes de Ingreso a la Educación Superior
30
3. Trigonometría
Milagros Riquenes Rodríguez, Arsenio Celorrio Sánchez y
Salvador Ochoa Rodríguez
Trigonometría
Ángulos y medición de ángulos.
Un ángulo orientado es un par ordenado (h, k ) de rayos
h y k de origen común. En lo sucesivo supondremos
que el rayo k tiene una rotación de sentido positivo,
que es el sentido contrario a las manecillas del reloj
(Fig. 1)
B
k
O
h
( h ,k ) → ∠ AOB
( k ,h ) → ∠ BOA
A
Fig. 1
0 → Vértice del ángulo
Medidas de ángulos.
Dentro de las unidades de medidas de ángulos mas usadas, tenemos el radián y el grado,
estas medidas pertenecen a los sistemas circular y sexagesimal de medidas de ángulos
respectivamente.
Ambos sistemas se relacionan de la siguiente forma:
π
→ 180º
arc α º
π
=
↔
;
arc α º → α º
αº
180º
α º 180 o
=
π
arcα
ó
arc α º
αº
=
, donde arc α ° es la
π
180º
medida en radianes del ángulo α y α ° la medida en grados del ángulo α .
Ejemplos
a) Convertir 30º en radianes.
b) Convertir
3π
en grados.
4
Solución:
3π
180o → π 
180o .
o


4 = 180 3 = 135o
x
b) 
→
=
3π 
4
π
 x→ 
4 

( )
180o → π 
30o .π π
a) 
x
→
=
=

180o 6
30o → x 
En conclusión, para convertir del sistema sexagesimal al circular y viceversa se utiliza
→ 180º 
π
 como se mostró en los ejemplos a) y b). Cuando se convierte
arc α º → α º 
la relación 
del circular al sexagesimal, puede hacerse sustituyendo π por 1800 y se calculan las
3π
3 180 o
operaciones indicadas, es decir:
⇔
= 135o
( )
4
4
3
Trigonometría
Ejemplos.
a) Para llevar 45º al sistema circular:
b) Para llevar
( )
180o → π 
45o .π π
→
=
=
x
 o

4
180o
45 → x 
5π
al sistema sexagesimal:
6
5π
5 1800
⇔
= 1500
6
6
Ampliación del concepto de ángulo.
Si un rayo realiza una vuelta completa y rota hasta quedar en una posición que determina
un ángulo al que se le asocia la medida α, entonces el ángulo determinado por esta
rotación se le asocia la medida α + 360° , la medida α + 2 .360° en la segunda vuelta y la
medida α + n . 360° con n ∈ Z en la enésima vuelta. A los ángulos cuyas amplitudes en
grados se diferencian sólo en un múltiplo entero de 360° se les llama coterminales.
Ejemplos
ƒ Los
ángulos
1820º
2540º - 1820º = 720º = 2 . 360º
y
2540º son
ƒ Los ángulos 1582º y 461º no son coterminales porque
divisible por 360º
ƒ
30º y - 1050º son coterminales porque
ƒ
10π
4π
son coterminales porque
y
3
3
coterminales
porque
1582º - 461º = 1121º no es
30º - (-1050º ) = 1080º = 3 . 360º
4π 6π
10π
=
= 2π
3
3
3
2. Determinemos a qué ángulo α ( 0° ≤ α ≤ 360° ) es coterminal cada uno de los
siguientes ángulos.
a) 1725º
b)
20π
3
c) - 1820º
Soluciones:
a) 1725º = n ( 360º) + α
Para hallar los valores de n y de α , realizamos la división 1725º : 360º
cociente es el valor de n y el resto es el valor de α es decir:
1725º = 4 . 360º + 285º
R/
0
1725º es coterminal con 285º ya que n = 4 y α = 285
4
donde el
Trigonometría
b) En este caso, expresamos el ángulo en el sistema sexagesimal y posteriormente
apliquemos el procedimiento anterior.
20π
20(180°)
⇔
= 1200°
3
3
b)
1200° = 3.360° + 120°
R/
20π
2π
es coterminal con 120° ó
3
3
Nota: Sugerimos que el ángulo coterminal esté expresado en el mismo sistema
(sexagesimal o circular) que el ángulo dado.
c) - 1820º = 5(-360º ) - 20º.
R/ - 1820º es coterminal con - 20º.
Los ángulos 0º , 90º , 180º y 270º (0,
Los ángulos: 30º , 45º y 60º
π
2
,π y
3π
) se denominan ángulos axiales.
2
π π π 
 , y 
6 4 3
B
β
se denominan ángulos notables.
a
Definición
de
las
funciones
trigonométricas seno, coseno, tangente,
cotangente, secante, y cosecante de un
ángulo cualquiera.
δ
a cateto opuesto
:
c
hipotenusa
b cateto adyacente
cos α = :
c
hipotenusa
sen α =
cot α =
b cateto adyacente
:
a cateto opueto
b
Fig. 2
(Fig. 2).
a cateto opuesto
:
b cateto adyacente
α
C
En la enseñanza media se dan las
definiciones de seno, coseno, tangente y
cotangente de un ángulo α como relación
de los lados de un triángulo rectángulo.
tan α =
c
5
A
Trigonometría
Como estas definiciones corresponden solamente a un ángulo agudo α ( 0° ≤ α ≤ 90° ) , no
se puede hablar de seno, coseno, tangente y cotangente de ángulos tales como
: 0º , 90º , 120º , etc., ya que el ángulo agudo de un triángulo rectángulo no puede tomar estos
valores por lo que daremos a continuación una nueva definición de estas magnitudes de
manera que ellas correspondan a cualquier ángulo.
Sea C(O, r) una circunferencia de centro “O” en el origen de coordenadas y radio r,
tomemos un ángulo central x de la misma y un punto P de la circunferencia de
coordenadas (u, v). (Fig.3)
El triángulo OPQ rectángulo en ∠POQ , siendo
OQ = u, PQ = v y OP = r ,
se cumple:
senx =
PQ v
=
r
r
cos x =
OQ u
=
r
r
y
P (u;v)
x
O
v
PQ v r senx
tan x =
= = =
OQ u u cos x
r
u
OQ u r cos x
cot x =
= = =
PQ v v senx
r
Q
x
Fig. 3
A continuación se presentan las definiciones de cada una de estas funciones
trigonométricas:
Definición.
La función seno es el conjunto de los pares ordenados de números reales (x; sen x) con
x ∈R
y se denota por y = sen x ó f ( x ) = sen x.
Definición.
La función coseno es el conjunto de los pares ordenados de números reales
( x; cos x) con x ∈ R y se denota por y = cos x.
6
Trigonometría
Definición.
La función tangente es el conjunto de los pares ordenados de números reales
π
( x; tan x) con x ∈ R ; x ≠ ( 2k + 1 ) , k ∈ Z y se denota por y = tan x.
2
Definición.
La función cotangente es el conjunto de los pares ordenados de números reales
( x; cot x) con x ∈ R ; x ≠ kπ , k ∈ Z y se denota por y = cot x.
De forma análoga se define las funciones trigonométricas secante y cosecante:
y = sec x =
1
cos x
π
con x ≠ ( 2k + 1 ) , k ∈ Z
y = csc x =
1
senx
con x ≠ kπ , k ∈ Z .
2
TABLA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS
NOTABLES (N) Y AXIALES (A).
0º (A)
0
30º (N)
45º (N)
60º (N)
90º (A)
π
π
π
π
6
4
3
2
2/2
3/ 2
1/2
180º (A) 270º (A)
π
3π
2
1
0
-1
0
-1
0
sen x
0
cos x
1
3/ 2
2/2
tan x
0
3/ 3
1
3
-
0
-
cot x
-
3
1
3/ 3
0
-
0
sec x
1
2 3/ 3
2
2
-
-1
-
csc x
-
2
2
2 3/ 3
1
-
-1
1/2
Todo ángulo α y sus coterminales α + n.360° con n ∈ Z , tienen el mismo valor para cada
función trigonométrica.
El círculo trigonométrico ( r = 1 u ) está dividido en cuatro cuadrantes (Fig. 4).
Primer cuadrante (IC), segundo cuadrante (IIC), tercer cuadrante (IIIC) y cuarto
cuadrante (IVC).
7
Trigonometría
Si
0º < x <
90º
→ x ∈ IC
Si
90º < x < 180º
→ x ∈ II C
y
Si 180 < x < 270º → x ∈ III C
Si 270º < x < 360º
IC
II C
o
→ x ∈ IV C
O
IIIC
IVC
x
Fig. 4
Signo de las funciones trigonométricas en cada cuadrante.
I
II
III
IV
sen x
+
+
-
-
cos x
+
-
-
+
tan x
+
-
+
-
cot x
+
-
+
-
sec x
+
-
-
+
csc x
+
+
-
-
Reducción de las funciones trigonométricas al primer cuadrante. Fórmulas de
reducción.
Reducir un ángulo x al primer cuadrante, es determinar el ángulo α del primer cuadrante,
cuyas funciones trigonométricas sean iguales en magnitud aunque pueden diferir en el
signo con respecto a las funciones del ángulo.
1. Si x ∈ II Cuadrante → x = 180°-α ó x = π − α
sen (180º - α ) = sen α
cos (180º - α ) = − cos α
tan (180º - α ) = − tan α
cot (180º - α ) = − cot α
sec (180º - α) = − sec α
csc (180º - α) = csc α
8
Trigonometría
2. Si x ∈ III Cuadrante → x = 180° + α ó x = π + α
sen (180º + α ) = − sen α
cos (180º + α ) = − cos α
tan (180º + α ) = tan α
cot (180º + α ) = cot α
sec (180º + α ) = − sec α
csc (180º + α ) = − csc α
3. Si x ∈ IV Cuadrante → x = 360° − α ó x = 2 π − α ó x = −α
sen (360º − α ) = − sen α
cos (360º − α ) = cos α
tan (360º − α ) = − tan α
cot (360º − α ) = − cot α
sec (360º − α ) = sec α
csc (360º − α ) = − csc α
Ejemplos.
Calcular:
a) cos 120º
b) tan 225º
c) cos(−45°)
d) sen
4π
3
e) sen300°
f)
sen 5π / 3 cos 5π / 4
.
. cos π / 6
cos 11π / 6 sen 3π / 2
Solución:
Para calcular el valor de cada una de las funciones trigonométricas de un ángulo x que no
está en el primer cuadrante (x ∉ I C), se debe conocer:
ƒ En qué cuadrante está situado el lado terminal del ángulo para usar la fórmula de
reducción correspondiente y con ello hallar el valor de α.
ƒ Qué signo tiene la función en el cuadrante dado.
a) cos 120º
120º ∈ II C, porque 90° < 120° < 180° ∴ cos 120º < 0
120º = 180º - α
α = 180° − 120°
α = 60°
9
Trigonometría
Como
120º ∈ II C,
y para todo ángulo del segundo
cumple: cos(180º - α) = − cos α cos 120º = - cos 60º , cos 120º = - 1/2
cuadrante
se
a) tan 225°
225º ∈ III C ∴ tan 225º > 0
tan 225º = tan 45º
225º = 180º + α , α = 225° − 180 ,
α = 45°
tan 225º = 1
a) sen300°
300º ∈ IV C → 300° = 360°-α y sen 300° < 0
α = 360° − 300° , α = 60°
sen 300º = -sen 60º
sen 300º = -
3
2
b) cos (-45º )
− 45° ∈ IV Cuadrante∴ cos (-45º ) > 0 y por la forma en que
está expresado el ángulo
tomaremos convenientemente para el IV Cuadrante la fórmula x = -α
- 45º = - α
α = 45°
cos (-45º ) = cos (45º ) =
b) sen
2
2
4π
3
4π
1
4π
es 4 .180°. = 240° ∈ III C ∴ sen
<0
3
3
3
4π
= π +α
3
Observa que si el ángulo esta expresado en el
4π
4π − 3π π
α=
−π =
=
3
3
3
sen
f)
sistema circular en la forma
son números enteros diferentes de cero,
4π
3
π
= −sen = −
3
3
2
sen 5π / 3 cos 5π / 4
.
. cos π / 6
cos 11π / 6 sen 3π / 2
(
)
5π 5 180 o
=
= 300 o ∈ IV
3
3
5π
3
π
= −sen = −
sen
3
3
2
kπ
donde k y n
n
Cuadrante
entonces
(Aquí
10
α=
π
n
el
seno
es
negativo)
Trigonometría
11π
π
3
11π
= cos =
⇔ 330° ∈ IV Cuadrante (Aquí el coseno es positivo), cos
6
6
2
6
5π
π
2
5π
= − cos = −
⇔ 225° ∈ III Cuadrante (Aquí el coseno es negativo), cos
4
4
2
4
sen
3π
 3π

= −1  es un ángulo axial 
2
 2

cos
π
3 π

=
 es un ángulo notable 
6
2 6

Sustituyendo en la expresión original se tiene:
sen 5π / 3 cos 5π / 4
.
. cos π / 6
cos 11π / 6 sen 3π / 2
=
− 3/2 − 2/2
.
. 3 / 2 = −1 . 2 / 2 . 3 / 2 = − 6 / 4
−1
3/2
Función Periódica.
Una función y = f (x) se llama periódica si existe un número k ≠ 0
( k ∈ R) tal que para todo ( k ∈ R) se cumple:
f (x + k ) = f (x).
- Al número k se le denomina período de la función.
- El menor intervalo de valores positivos de x que corresponde a un ciclo completo de la
función, se le llama período principal de la
función.
y
- Las funciones trigonométricas seno y coseno
tienen período principal 2π y las funciones
tangente y cotangente π .
1
Gráfico de la Función y = senx en [0, 2π ]
(Fig. 5) y sus propiedades fundamentales
0
-1
x
0 π π 3π 2π
2
sen x 0 1
2
0 -1
Fig. 5
0
11
3π/2
π/2
π
2π
x
Trigonometría
Algunas propiedades
ƒ Dominio de la función (Dom f ) : x ∈ R
ƒ Imagen de la función (Im f ) : - 1 ≤ y ≤ 1
ƒ Período principal (PP) : 2 π
ƒ
Ceros : kπ ; k ∈ Z , para 0 ≤ x ≤ 2π , k = {0, 1, 2} y los ceros en su período principal
son: {0, π ,2π }
ƒ Monotonía:
ƒ Creciente para 0 < x <
ƒ Decreciente para
π
2
π
2
ó
<x<
3π
< x < 2π
2
3π
2
ƒ Valores de las abscisas de los extremos: En x =
π
2
tiene un punto de máximo
3π
π 
 3π

tiene un punto de mínimo  ; - 1 .
 ; 1 y en x =
2
2 
 2

Funciones de la forma y = a sen bx con a ∈ R y b ∈ R y sus propiedades
Para representar gráficamente este tipo de función es necesario conocer:
El conjunto imagen, ceros y valores de las abscisas de los extremos así como período
principal.
ƒ Imagen: -a ≤ y ≤ a
ƒ Los ceros en el dominio de la función se obtienen resolviendo la ecuación: bx = kπ ,
con k ∈ Z y con valores tales que x ∈ Dom f .
ƒ Las abscisas de los puntos extremos se obtienen resolviendo la ecuación
π
bx = (2k + 1) , con k ∈ Z , es decir, los ceros y las abscisas de los puntos de extremos
2
se obtienen con la expresión
kπ
, si k es un número par se obtiene un cero y si k es
2b
impar se obtiene la abscisa de un punto de extremo.
ƒ Para los extremos debe tenerse en cuenta lo siguiente:
El primer extremo a la derecha es máximo si el signo del producto de a por senbx es
mayor que cero o mínimo si el producto es menor que cero y los restantes extremos
alternan.
ƒ Período principal:
2π
b
12
Trigonometría
Ejemplos
Representar gráficamente las siguientes funciones.
a) y = 3sen 2 x en [0,2π ]
b) y = 2sen
x
en [0 ,3π ]
2
y
3
c) y = −2,5sen 3x en 0 ≤ x ≤ 3π
d) y = sen
x
en [− 2π, 2π ]
3
0
π/2
Solución:
-3
a) y = 3sen 2 x en [0,2π ] → a = 3 y b = 2 (Fig. 6)
Fig. 6
Imagen: - 3 ≤ y ≤ 3
Ceros: x =
π
3π/2 2π
x
3π
kπ
 π

Para k = {0, 2, 4, 6, 8} → Ceros: 0, , π , ,2π 
4
2
 2

Nota: obsérvese que los valores de k dependen del dominio de la función, en este caso
kπ
por cada uno de los
0 ≤ x ≤ 2π . Cada cero se obtiene sustituyendo en la expresión
4
valores de k
Abscisas de los extremos: x =
kπ
para k: {1, 3, 5, 7}
4
π 3π 5π 7π 
: ,
,
,

4
4 
4 4
↓ ↓
↓
↓
Max. Min. Max. Min.
b) y = 2sen
y
x
en [0 ,3π ] → a = 2; b = 1/2
2
2
(Fig.7)
0
Imagen: [ - 2, 2 ]
Ceros: x =
kπ
kπ
=
= kπ con k : {0, 2}
2b 2 1
2
( )
-2
Fig. 7
Ceros: {0, 2π }
Abscisa
de
los
extremos:
13
π/2
π 3π/2
2π
3π
x
Trigonometría
x=
kπ
kπ
=
= kπ con k : {1, 3}
2b 2 1
2
( )
{π : máx, 3π : mín)}
f (π ) = 2sen
π
2
y
=2
2,5
→ Max (π ; 2 )
3π
= −2
2
→ Min (3π; − 2 )
f (3π ) = 2sen
π/2 5π/6 7π/6
0
π/6
c)
5π/2
11π/6
3π/2
13π/6
3π
17π/6
y = −2,5sen 3 x con 0 ≤ x ≤ 3π
→ a = -2.5 y b =3
-2,5
(Fig .8)
Imagen: [− 2,5; 2,5] ,
kπ
kπ
kπ
Fig.1.8
8
Fig
x=
=
=
con
2b 2(3) 6
k : {0, 2 , 4 , 6, 8,10,12,14,16,18}
4π 5π
7π 8π
 π 2π

Ceros: 0, , , π , , ,2π , , ,3π 
 3 3
3
3
Abscisas
de
los
kπ
kπ
kπ
x=
=
=
2b 2(3) 6
k : {1, 3, 5, 7 , 9,11,13,15,17}
3
3
extremos:
con
 π π 5π 7π 3π 11π 13π 5π 17π 
,
, ,
,
,
,
 , ,

6 2 6 
6 2 6 6 2 6
d) y = sen

y
1
- 3π/2
0
-1
x
en [− 2π , 2π ]
3
→ a =1 y b =
1
3
Fig. 9
(Fig. 9)
Imagen: [-1, 1]
14
3π/2
x
x
Trigonometría
Ceros:
kπ
kπ
kπ 3kπ
=
=
=
2b
2
1 2
2 
 3 3
con k : {0}
Abscisas de los extremos:
kπ
kπ
kπ 3kπ
con k : {− 1, 1}
=
=
=
2b
2
1 2
2 
 3 3
 − 3π 3π 
; 
2
 2
:
En este caso, en los límites del dominio de la función la misma no posee valor extremo,
ni se hace cero por lo que es necesario que se evalúe la función para los valores límites:
f (-2π ) = sen (
f (2π ) = sen (
- 2π
π
3
) = - sen = = - 0.86
3
3
2
2π
π
3
= 0.86
) = sen =
3
3
2
1. Dado los siguientes datos, obtenga la ecuación de la función
y = a sen bx
a) Imagen: - 2,3 ≤ y ≤ 2,3
PP: 3π
b) Imagen: - 0,7 ≤ y ≤ 0,7
PP:
5π
3
Solución:
a) Como la imagen está dada por - 2,3 ≤ y ≤ 2,3 → a = 2,3
PP =
2π
por esto se tiene
b
3π =
2π
b
y = 2,3 sen
b=
2π
2
, b=
3π
3
2
x
3
b) Como - 0,7 ≤ y ≤ 0,7 → a = 0.7
2π 5π
=
b
3
15
Trigonometría
b=
6
5
y = 0.7 sen
6
x
5
Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente.
y = cos x (Fig.10)
b)
y
x
cos x
0
1
π /2
0
π
-1
3π /2
0
2π
1
1
0
-1
π
π/2
3π/2
2π
x
Fig. 10
Algunas propiedades
Dom f : x ∈ R
y
Im f: - 1 ≤ y ≤ 1
Período principal: 2π
Monotonía: Creciente (π ,2π ) Decreciente (0, π )


Ceros:  x ∈ R / x = (2k + 1)
π
x
0

: k ∈ Z
2

-π/2
π/2
c) y = tan x (Fig. 11)
π
π
3π


 x ≠ (2k + 1) : k ∈ Z  en - < x <
2
2
2


x
tanx
Fig. 11
-π / 4 0 π / 4
-1
0 1
16
Trigonometría
El gráfico de la función se obtiene en
π π π 3π
los intervalos (− , ); ( , )
2 2
2 2
y
y así sucesivamente, es decir, es
periódica en kπ ; k ∈ Z ; y su período
principal es π .
π
Domf: x ∈ R / x ≠ (2k + 1) : k ∈ Z
2
0
-π
Im f: y ∈ R
Monotonía:
intervalos
π
( 2k − 1 )
2
Creciente
de
la
π
en
-π/2
π/2
π
x
los
forma
< x < ( 2k + 1 ) , k ∈ Z
2
Fig. 12
d) y = cot x, {x ∈ R : x ≠ kπ , k ∈ Z } para -π < x < π (Fig. 12)
Propiedades
Dom f: {x ∈ R : x ≠ kπ, k ∈ Z }
Im f: y ∈ R
Período principal: π
Monotonía: Decreciente en los intervalos de la forma: (2k − 1)π < x < (2k + 1)π , k ∈ Z
Ceros: ( 2 k + 1) π , k ∈ Z
2
Algunas identidades trigonométricas.
En esta sección daremos al estudiante algunas identidades trigonométricas, tan
importantes, que recomendamos memoricen.
1) sen 2 x + cos 2 x = 1
2) tan x =
senx
π
con x ≠ (2k + 1) : k ∈ Z ,
cos x
2
3) cot x =
cos x
con x ≠ kπ; k ∈ Z
senx
4) sen x . csc x = 1
5) cos x . sec x = 1
6) tan x. cot x = 1
7) 1 + sec 2 x = tan 2 x
17
Trigonometría
8) 1 + csc 2 x = cot 2 x
9) sen 2 x = 2sen x . cos x
10) cos 2x = cos2 x- sen2 x
1
2
11) cos 2 x = 1 - 2 sen 2 x → sen 2 x = ( 1 − cos 2 x)
1
2
12) cos 2 x = 2 cos 2 x - 1 → cos 2 x = ( 1 + cos 2 x)
Ejemplos.
1. Sea x0 un ángulo del intervalo
π
2
≤ x≤π
Existe exactamente un valor x0 en este intervalo para el que se cumple:
senx0 =
2
. Calculemos cos x 0 , tan x 0 y cot x 0
3
Solución:
sen 2 x0 + cos 2 x0 = 1
2
2
cos 2 x0 +   = 1
3
cos 2 x0 = 1 −
cos 2 x0 =
4
9
5
como x0 ∈ II cuadrante se cumple: cos x0 < 0
9
cos x0 = −
5
5
=−
9
3
tan x0 =
sen x0
−2. 5
2/3
=
=−2 . 3
=− 2
=
= −2 5
3
5
5
5
cos x0 − 5 / 3
5. 5
cot x0 =
cos x0 − 5 / 3
=
= − 5 /3 . 3/ 2 = − 5
2
sen x0
2/3
Demostración de identidades trigonométricas.
En la trigonometría se tropieza frecuentemente con dos expresiones de diferentes
aspectos, pero, para todos los valores admisibles de los ángulos, adquieren iguales
valores numéricos. Estas dos expresiones se llaman idénticas y la igualdad entre ellas se
llama identidad trigonométrica. Para comprobar que la igualdad dada es una identidad
18
Trigonometría
trigonométrica no existen reglas de validez general que lo permitan, no obstante,
recomendamos que se tenga en cuenta:
1. Iniciar la demostración por el miembro que ofrece mayor posibilidad para
transformarlo en el otro, sino trabaje en ambos miembros por separado para luego
concluir que son iguales.
2. Si es posible, utilice la descomposición factorial y la simplificación.
3. Si no encuentra un camino propicio para empezar las transformaciones, reduce todas
las funciones trigonométricas a senos y cosenos.
4. Tenga en cuenta que todas las transformaciones efectuadas sean válidas en el
dominio de la identidad.
Ejemplos.
Demuestre las siguientes identidades para los valores admisibles de la variable.
a) (sen x + cos x) 2 + (sen x - cos x)2 = 2
b) sen 2 α(1 + cot 2 α) = 1
c) tan x =
sen 2 x
1 + cos 2 x
Soluciones:
a)MI = sen 2 x + 2sen x . cos x + cos 2 x + sen 2 x − 2sen x . cos x + cos 2 x
(
) (
)
= sen 2 x + cos 2 x + sen 2 x + cos 2 x = 1 + 1 = 2 = MD
(
)
b) MI = sen 2 α 1 + cot 2 α = sen 2 α . csc 2 α = sen 2 α .
c) MD =
=
(
1
= 1 = MD
sen 2 α
sen 2 x (1 − cos 2 x )
sen 2 x (1 − cos 2 x ) 2 sen x . cos x (1 − cos 2 x )
=
=
(1 + cos 2 x )(1 − cos 2 x )
sen 2 2 x
4 sen 2 x cos 2 x
)
sen x
1 − 1 − 2sen 2 x
2sen 2 x
=
=
= tan x = MI
2 sen x . cos x
2 sen x . cos x cos x
Otra vía de solución:
sen 2 x
2 sen x . cos x sen x
=
=
= tan x = MI
1 + cos 2 x 1 + 2 cos 2 x − 1 cos x
Ecuaciones trigonométricas.
Una ecuación se llama trigonométrica si ella contiene la incógnita (o variable) sólo bajo
los signos de las funciones trigonométricas y se satisfacen para algunos de los valores
admisibles de la variable.
19
Trigonometría
Ejemplos
b) tan x − 1 = 0
a) sen x = 1
c)sen 2 x + cos x = 1
No es ecuación trigonométrica: x + sen x = 2 ya que la incógnita x se encuentra no solo
bajo el signo seno.
Resolver una ecuación trigonométrica significa hallar todos los ángulos que satisfacen
dicha ecuación, es decir que reducen la ecuación a una proposición verdadera después de
la sustitución de la incógnita.
Para resolver una ecuación trigonométrica debemos tener en cuenta los siguientes pasos:
ƒ Expresar todas las funciones trigonométricas que aparecen en la ecuación con el
mismo argumento aplicando identidades.
ƒ Expresar toda la ecuación en términos de una sola función trigonométrica.
ƒ Resolver la ecuación, haciendo transformaciones algebraicas considerando como
incógnita la función trigonométrica en que quedó expresada la ecuación (factorizando
o de cualquier otra forma).
ƒ Determinar los valores de la incógnita que satisfacen las ecuaciones
transformadas.
Ejemplos
a) sen x =
3
; 0 ≤ x ≤ 2π
2
b) 2 cos 2 x - 1 = 0
c) 3 cos α − 2sen 2 α = 0
d) sen 2t - cos t = 0
Solución:
a) sen x =
3
; 0 ≤ x ≤ 2π
2
En este caso no hay que hacer ninguna transformación porque la función sen x está
despejada.
Para hallar los valores de x , se debe analizar en qué cuadrantes está situado el ángulo x
teniendo en cuenta el signo de la función, como en este caso sen x es positivo , se
cumple que x pertenece al primer cuadrante (IC) o x pertenece al segundo cuadrante
(IIC)
I C: x = α → α es un ángulo del primer cuadrante cuyo seno es
I C : x = 60º
20
3
∴ α = 60° .
2
Trigonometría
II C : x = 180º - α
x = 180º - 60º = 120º
 π 2π 
S = {60°; 120°} ó S =  ; 
3 3 
b) 2 cos 2 x - 1 = 0
cos 2 x =
cos x =
1
2
1
ó cos x = 2
1
2
Racionalizando en ambos casos se tiene:
cos x =
2
2
ó cos x = 2
2
cos x =
2
→
2
→ α = 45º
x ∈ IC ó x ∈ IVC
I C : x = α = 45°
IVC : x = 360º - α = 360º - 45° = 315°
cos x = -
2
→ x ∈ IIC ó x ∈ IIIC
2
II C : x = 180º - α = 180° − 45° = 135°
0
III C : x = 180º + α = 180º + 45° = 225°
Como todo ángulo y sus coterminales tienen el mismo valor para cada función
trigonométrica, al dar el conjunto solución se debe tener en cuenta. Si el dominio de la
variable no está restringido a cada solución se le debe sumar 2kπ ó 360o k con k ∈ Z .
S = {45° + 360°k , 135° + 360°k , 225° + 360°k , 315° + 360°k }, k ∈ Z .
Observe
que
la
diferencia entre cada solución y su consecutiva es de 90º por lo que la solución anterior
se puede simplificar expresándose en la forma siguiente:
π kπ 
S = {45° + k ⋅ 90°} ó  +
 con k ∈ Z
2 
4
c) 3 cos α − 2sen 2 α = 0
En este ejemplo para expresar la ecuación en función de una sola función trigonométrica,
es necesario sustituir a sen 2 α .
3 cos α − 2(1 − cos 2 α ) = 0
3 cos α − 2 + 2 cos 2 α = 0
21
Trigonometría
2 cos 2 α − 2 + 3 cos α = 0
2 cos 2 α + 3 cos α − 2 = 0
↓
↓
2cos α
-1
cosα
2
4 cos α − cos α = 3 cos α
(2 cos α − 1)(cos α + 2) = 0
2 cos α − 1 = 0
cosα + 2 = 0
1
cos α = −2 → imposible ya que - 1 < cosα < 1
2
como cosα es positivo, se tiene que α ∈ I C ó α ∈ IV C
cosα =
I C : α = 60°
IV C : α = 360° - 60° = 300°
S = {(60° + 360°k ); (300° + 360°k ), k ∈ Z} → Sistema sexagesimal
5π
π

+ 2kπ , k ∈ Z → Sistema circular
S =  + 2kπ ;
3
3

d) sen 2t - cos t = 0
En este ejemplo debe transformarse la ecuación de forma tal que en la misma se utilice el
mismo argumento para cada función.
2sen t cos t- cos t = 0
cos t (2sen t - 1) = 0
cos t = 0
ó
cos t = 0
π
2
3π
t=
2
t=
π
t = (2k + 1) ; k ∈ Z
2
2sen t -1 = 0
1
sen t =
→ t ∈ IC ó t ∈ IIC
2
π
α=
6
π
IC : t = α =
6
π 5π
II C : t = π-α = π- =
6
6
5π
π
π
+ 2kπ ; (2k + 1) ;
S =  + 2kπ ;
6
2
6

k ∈ Z

22
Trigonometría
Ejercicios
Ejercicio # 1
1) Determine si los pares de ángulos siguientes son coterminales o no.
a) 2652º y 1572º
b) 1370º y 5204º
c) 3280º y
320º
d) 270º y
-90º
2) Calcule el valor numérico de las expresiones siguientes:
sen 270 ° ⋅ tan
π
⋅ cot 60°
6
π
b) sec + cos 45°
4
π
π
c) csc ⋅ sen + sen 0°
6
6
cot 60° ⋅ tan 0°-sen 45°
d)
cos π ⋅ sen 30°
a) cos
3) Si a =
π
6
, b =π , c =
e)
π
3
sec 60 °
π
π
f) sen
⋅ cos 30 ° + tan − sec 45 °
3
3
π
3π
cos π + cot 60 °- tan
- sen
6
2
g)
3 3 ⋅ sec 60 °
π
cos π ⋅ cot + sec 60 °
3
h)
csc 60 ° ⋅ sen 270 °
π
2
, d=
π
3π
, e=45º y f = . Halla el valor numérico de las
2
3
expresiones siguientes:
a.
sen 2 a + cos b
cot 2 c − send
b.
5senb − 7 csc c + 5 cos d
2 tan a . sec b
c.
sen f . cos a
cot e
d.
cot f . senc
cos a + csc f
e.
sec f
tan a
cos b + cot f − tan a − send
3 3 . sec a
23
Trigonometría
4) Probar que:
π
3
π
6
a ) 3 cot 2 . cos . sen 2 180 o = 0
b)
d) sen 2 x +
tan π/ 3 .sen30º
= 3/ 2
cot 3π/ 2 + cot 60º
π

π

cos − α 
cos − α 
2
 • cot α •
2
 = cos 2 α
e)
sec α
sen α


π
2
cot 2 x
=1

2 π
sec  − x 
2

c) sen − α . csc α = cot α
5) Halla:
a) cot
7π
4
b) csc 315o
d) cos
4π
3
e) sen
c) cot
2π
3
11π
6
6) Calcula el valor numérico de las restantes funciones trigonométricas del ángulo x:
a) cos x =
1
3
y
senx < 0
b) tan x =
3
4
y
csc x > 0
y
cos x < 0
c) senx = −
5
13
d) tan x =
5
2
y
sec x > 0
e) senx =
1
4
y
cot x < 0
7) Halle el valor numérico de las expresiones siguientes:
a)
cot 5π/ 4 . tan 5π/ 3 . csc 2π/ 3
cos π . sec 5π/ 6
b)
sen5π / 3 cos 5π / 4
. cos π / 6
.
cos11π / 6 sen3π / 2
c)
csc 5π / 6 . cos 7 π / 6 . sec π / 4
sen 4π / 3 . tan 3π / 4
24
Trigonometría
d)
cos 2π / 3 cos11π / 6
.
− sec 5π / 3
tan 3π / 4 senπ / 2
8.-Prueba que:
a)
sen11π / 6 . csc 5π / 6 . cos 0
=− 3
cot 5π / 3 . sen3π / 2
b) 4sen 210º + sec 2 30º +2 cot 2 150º = 16 / 3
c) cos 2 13π / 4 + sen 2 5π / 4 − csc 7 π / 6 = 3
d)
csc 2π / 3 . cos π / 2 . tan 7π / 4
=0
senπ / 2 − sec 5π / 6
e)
cot(−120º ) + cos π 1 − 3
=
2 cot(−120º )
2
f)
senπ / 2 . cos π / 6 . sen3π / 2
= − 3/4
cot π / 4 . sec π / 3
9.- Calcule el valor numérico de las expresiones siguientes con los valores dados para a:
a.
cos α cos(π / 2 − α) cot(π − α)
; α = π/6
sec(π + α)
b.
cos(π + α) + cot π / 4
; α = π/3
sen (π / 2 − α) sen (2π − α)
c.
cos α tan(π / 2 − α)
; α = π/4
sen α sen (π / 2 − α) cot α
d.
cos(π / 2 − α) sen (π / 2 − α)
. csc(π + α); α = π / 6
tan α cot(2π − α)
10.- Representa gráficamente las siguientes funciones:
a) y = 4,5 senx
− 2π ≤ x ≤ 2π
b) y = sen3x
− 2π ≤ x ≤ 2π
c) y = 2,5 sen 2 x
− π ≤ x ≤ 2π
d) y = 0,5 sen3x
− π ≤ x ≤ 2π
25
Trigonometría
e) y = 4 sen
0 ≤ x ≤ 5π
x
2
11.- Demuestra las siguientes identidades para los valores admisibles de las variables.
i. (senα − cos α )2 = 1 − sen 2α
ii. cot 2 x = cos 2 x + (cot x. cos x )2
iii. sen 3 x + cos 3 x = (senx + cos x )(1 − senx. cos x )
iv.
1 + cos 2 x
= cos 2 x
2
v.
1 − cos 2α
= tan α
sen 2α
vi.
cos 2 y + sen 2 y
2
1 − cos y
= cot 2 y
(
)(
vii. (1 − tan 2 x )(1 − sen 2 x ) = 1 − 2 senx 1 + 2 senx
viii.
)
cos 2 x + 2 cos x + 1
=2
cos x (cos x + 1)
8) Resolver las siguientes ecuaciones:
a. senx + 2sen 2 x = 0
h. 3cos x – 2 sen2 x = 0
b. 2 cos 2 x + 3 cos x + 1 = 0
i. cot x . sen 2x = cos x
c. 2 cos2 x + sen x = 2
j. 2 sen2 2x + 4 sen x. cos x =0
d. 2 sen2 x + 3cos x = 0
k. Sen4 x – cos 4 x = 1
e. sen2 α - 2cos α + 1/4 = 0
l. Cos 2x + cos x = -1
f.
2
2sen x + 3 cos x = 0
g. cos 2x – senx = 0
m. 4sen2 x + sen2 2x = 3
n. (1 + cos x) [1/(sen x) - 1 ] = 0
9) Resuelve las siguientes ecuaciones sabiendo que 0 ≤ x ≤ 2π
a. 3 sen2 x = cos2 x
b. 2 3 cos2 x = sen x
c. 3(1 + cos x) = sen 2x. tan x
d. cos 2x + 5cos x = 2
26
Trigonometría
e. cos 2x + 3sen2 x – cos2 x = 5sen x – 2
f. sen2 2x – sen 2x = 2
1
2
g. cos 2 x − cos x + sen 2 x = 0 para 0 ≤ x ≤ 2π
h.
sen2 x − 2 senx
=1
sen x + ( senx + cos x) 2
2
10)
1
3
y x pertenece al primer cuadrante, hallar: sen x; tan x; sen 2x y
3
4
y x es un ángulo del segundo cuadrante: Halle cos x y sen 2x
Si cos x =
cos 2x
11)
Si sen x =
12)
Si x =
13)
Si tan x = − 5 4 ; cos x = − 3 5 y π 2 ≤ x ≤ π ; Hallar senx, cos2x, y sen2x
14)
Halle el valor de tan
15)
Halle los valores de x, que satisfagan la ecuación 3 tan 3x = 3
16)
Sea cos x =
2π
3
. Calcule sen 2x. tan 2x
7π
+ 2cos225o
4
1 3π
,
≤ x ≤ 2π
3 2
a) Determine el valor de sen x.
b) Determine el valor de cot x.
17) Compruebe que para los valores admisibles de x, se cumple que :
18)
19)
a)
π
2 cos( − x). cos(π + x). tan(π − x)
2
= −2
sen (π + x).sen (π − x)
π
π
π
π
cot . cos
tan .sen
3
6 = 3 2
3
4 +
Pruebe que:
π
π
2
sen
cos
4
6
Calcule.
sen150 + cos 90
7π
tan
4
o
3π
5π
+ tan
2
3
9π
cot 1560 o + tan
4
sen 2 225 o − cos
o
b)
27
Trigonometría
20)
I)
Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
2sen2x + 5cos x = 4 en el intervalo [0; 2 π ]
II) 2sen2x - 5cos x + 1 = 0
III) sen2x - cosx = 0
IV) 2 sen 2 x cot x − cos 2 x = 3 cos x
21) Hallar los valores de x; 0 < x < 2π que son soluciones de la ecuación:
sen2x - 5senx - cos2x - 2 = 0. Dar la respuesta en grados sexagesimales.
22) Para qué valores de x, las funciones f ( x) = cos 2 x y g(x) = senx alcanzan el mismo
valor.
3 senx − cos 2 x
23) Sean las funciones: f ( x ) = 2
y
g(x) =3x-4 .
Determine los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=g(4).
24) Sea la ecuación:
4 sen 2 x − 2(k + 1) sen x + 1 = 0
con 0° ≤ x ≤ 90°
a) Halla las soluciones de esta ecuación para k = 3 2 .
b) ¿Para qué valor positivo de k la ecuación tiene una sola solución?
25) Halle los valores de x ( 0 ≤ x ≤ π ) que satisfacen la ecuación:
log ( senx −cos x ) (cos 2 x − sen2 x + 7 cos x + 5) = 2
26) Sean:
1
f ( x ) = 3− sen 2 x tan x
2
g ( x ) = 1 + senx
y
π 
a) Calcula f  
4
b) Halla los valores de x para los cuales se cumple que f ( x ) = g ( x )
27) Halla la abscisa x (0 < x < π/2 ) del punto donde se cortan los gráficos de las funciones
dadas por las ecuaciones: f ( x) = 10 + 9 2 cos x
28) Dada la igualdad
y
g ( x) = 3 + cos x
A2 + cos 2 x
= A cot x
sen 2 x
a) Demuestre que para A = 1 la igualdad que se obtiene es una identidad para todos los
valores admisibles de la variable x.
b) En la igualdad toda considera A = ½ y resuelve la ecuación obtenida.
28
Trigonometría
BIBLIOGRAFÍA
Álvarez Socarrás Ada Matemática para curso Introductorio/ Ada Álvarez Socarrás.Camagüey: /s.c/,/s.a/.—191p.
Ballester, Sergio: Cómo Sistematizar los conocimientos matemáticos. Editorial
Academia. Ciudad de la Habana. 1995.
Ballester, Sergio y C. Arango: Cómo Consolidar Conocimientos Matemáticos.
Editorial Academia. Ciudad de la Habana. 1995.
Campistrus, Pérez L. Y otros: Matemática. Orientaciones Metodológicas 10 grado.
Editorial Pueblo y Educación 1989.
Cuadrado González, Zulema. Matemática 10mo grado / Zulema Cuadrado
González, Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. —La Habana: Editorial
Pueblo y Edición, 1991. —152p.
29