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Álgebra Lineal
Profesor: Hector Fabian Ramirez Ospina. Edificio: 404 Ofic: 311.
E-mail: [email protected]
Atención: Miercoles 3-5 pm.
Blog: notasfabian.wordpress.com Clave: LINEAL
Evaluación
Tres Parciales (25% cada uno).................75%
Quices y participación .....................25%
NOTA: Los quices se realizarán al inicio de la clase y son diseñados a
partir de los talleres. Pueden ser avisados o sorpresa.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Conceptos Básicos
La ecuación:
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Conceptos Básicos
La ecuación:
La proposición
3x12 − x2 = 4x1 + x3
es una ecuación con variables x1 , x2 , x3 .
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
(1)
Conceptos Básicos
La ecuación:
La proposición
3x12 − x2 = 4x1 + x3
es una ecuación con variables x1 , x2 , x3 .
La proposición
x − 2y + 3z + 1 = s + r − 2,
si s y r son constantes reales (parámetros), entonces es una
ecuación con variables x, y , z.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
(1)
(2)
Conceptos Básicos
La ecuación:
La proposición
3x12 − x2 = 4x1 + x3
(1)
es una ecuación con variables x1 , x2 , x3 .
La proposición
x − 2y + 3z + 1 = s + r − 2,
(2)
si s y r son constantes reales (parámetros), entonces es una
ecuación con variables x, y , z.
La proposición
5 − 3 = 2,
7+3=2
es una ecuación con cualquier número de variables.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
(3)
Conceptos Básicos
La ecuación:
La proposición
3x12 − x2 = 4x1 + x3
(1)
es una ecuación con variables x1 , x2 , x3 .
La proposición
x − 2y + 3z + 1 = s + r − 2,
(2)
si s y r son constantes reales (parámetros), entonces es una
ecuación con variables x, y , z.
La proposición
5 − 3 = 2,
7+3=2
(3)
es una ecuación con cualquier número de variables.
DEF
Una solución de una ecuación con variables x1 , x2 , . . . , xn es una n-úpla
tal que, al sustituir cada una de las variables de la ecuación por las
componentes respectivas de la n-úpla, obtenemos una identidad. Al
conjunto formado por todas las soluciones de una ecuación lo llamaremos
conjunto solución.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Conceptos Básicos
La ecuación:
La proposición
3x12 − x2 = 4x1 + x3
(1)
es una ecuación con variables x1 , x2 , x3 .
La proposición
x − 2y + 3z + 1 = s + r − 2,
(2)
si s y r son constantes reales (parámetros), entonces es una
ecuación con variables x, y , z.
La proposición
5 − 3 = 2,
7+3=2
es una ecuación con cualquier número de variables.
Es (1, −2, 1), (1, 0, 1) ∈ Conj Sol de (1)?.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
(3)
Conceptos Básicos
La ecuación:
La proposición
3x12 − x2 = 4x1 + x3
(1)
es una ecuación con variables x1 , x2 , x3 .
La proposición
x − 2y + 3z + 1 = s + r − 2,
(2)
si s y r son constantes reales (parámetros), entonces es una
ecuación con variables x, y , z.
La proposición
5 − 3 = 2,
7+3=2
es una ecuación con cualquier número de variables.
Es (1, −2, 1), (1, 0, 1) ∈ Conj Sol de (1)?. SI, NO
Es (3s + 3r , s + r , −1) es Sol de (2)?
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
(3)
Conceptos Básicos
La ecuación:
La proposición
3x12 − x2 = 4x1 + x3
(1)
es una ecuación con variables x1 , x2 , x3 .
La proposición
x − 2y + 3z + 1 = s + r − 2,
(2)
si s y r son constantes reales (parámetros), entonces es una
ecuación con variables x, y , z.
La proposición
5 − 3 = 2,
7+3=2
es una ecuación con cualquier número de variables.
Es (1, −2, 1), (1, 0, 1) ∈ Conj Sol de (1)?. SI, NO
Es (3s + 3r , s + r , −1) es Sol de (2)? SI
La 1ra Ecuación (3) siempre tiene solución
La 2da Ecuación (3) no tiene solución, siempre es falsa, pues
10 = 2 ⇒ Conj Sol= ∅.
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Álgebra lineal
(3)
Conceptos básicos
Ecuación lineal. Una ecuación que se puede escribir de la forma
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b,
es una ecuación lineal con variables x1 , . . . , xn , coeficientes a1 , . . . , an y
término independiente b reales.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Conceptos básicos
Ecuación lineal. Una ecuación que se puede escribir de la forma
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b,
es una ecuación lineal con variables x1 , . . . , xn , coeficientes a1 , . . . , an y
término independiente b reales.
Cúales de las siguientes ecuaciones son lineales?
√
a) 3x+πy −12z = 72/3 w
b)4x1 +2x2 +x3 =
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
3x2 + 5
4 − 4x3
c) cos(x1 )+4x2 −3 = 0
Conceptos básicos
Ecuación lineal. Una ecuación que se puede escribir de la forma
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b,
es una ecuación lineal con variables x1 , . . . , xn , coeficientes a1 , . . . , an y
término independiente b reales.
Pivote: primer coef. diferente de cero
Variable Pivotal: variable que acompaña al pivote
b = 0, se llama ecuación lineal homogénea.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Conceptos básicos
Ecuación lineal. Una ecuación que se puede escribir de la forma
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b,
es una ecuación lineal con variables x1 , . . . , xn , coeficientes a1 , . . . , an y
término independiente b reales.
Pivote: primer coef. diferente de cero
Variable Pivotal: variable que acompaña al pivote
b = 0, se llama ecuación lineal homogénea.
PREG. ¿La variable pivotal es única?
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Conceptos básicos
Ecuación lineal. Una ecuación que se puede escribir de la forma
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b,
es una ecuación lineal con variables x1 , . . . , xn , coeficientes a1 , . . . , an y
término independiente b reales.
Pivote: primer coef. diferente de cero
Variable Pivotal: variable que acompaña al pivote
b = 0, se llama ecuación lineal homogénea.
PREG. ¿La variable pivotal es única? R/ NOOOOOOOOO
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Conceptos básicos
Ecuación lineal. Una ecuación que se puede escribir de la forma
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b,
es una ecuación lineal con variables x1 , . . . , xn , coeficientes a1 , . . . , an y
término independiente b reales.
Pivote: primer coef. diferente de cero
Variable Pivotal: variable que acompaña al pivote
b = 0, se llama ecuación lineal homogénea.
Ejemplo: La ecuación
2x − y = 7
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
2x − y = 0
Álgebra lineal
Conceptos básicos
Ecuación lineal. Una ecuación que se puede escribir de la forma
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b,
es una ecuación lineal con variables x1 , . . . , xn , coeficientes a1 , . . . , an y
término independiente b reales.
Pivote: primer coef. diferente de cero
Variable Pivotal: variable que acompaña al pivote
b = 0, se llama ecuación lineal homogénea.
Ejemplo: La ecuación
2x − y = 7
2x − y = 0
Cúal es el Conj. Sol de cada una de estas ecuaciones?
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Conceptos básicos
Ecuación lineal. Una ecuación que se puede escribir de la forma
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b,
es una ecuación lineal con variables x1 , . . . , xn , coeficientes a1 , . . . , an y
término independiente b reales.
Pivote: primer coef. diferente de cero
Variable Pivotal: variable que acompaña al pivote
b = 0, se llama ecuación lineal homogénea.
Ejercicio: Encuentre todos los valores de a para los cuales cada una de
las siguientes ecuaciones
(a − 3)x = 5
(a2 − 4)x = 0
i) tenga solución única,
ii) tenga infinitas soluciones,
iii) sea inconsistente (no tenga solución)
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Conceptos básicos
Sistema de Ecuaciones Lineales: Un sistema de m ecuaciones lineales con
n variables x1 , . . . , xn es un conjunto de m ecuaciones lineales de la forma
α11 x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn
=
b1
α21 x1 + α22 x2 + · · · + α2n xn
..
.
=
b2
..
.
αm1 x1 + αm2 x2 + · · · + αmn xn
=
(4)
bm
El número αij es el coeficiente de la variable xj en la ecuación i y bi es el
término independiente de la ecuación i.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Conceptos básicos
Sistema de Ecuaciones Lineales: Un sistema de m ecuaciones lineales con
n variables x1 , . . . , xn es un conjunto de m ecuaciones lineales de la forma
α11 x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn
=
b1
α21 x1 + α22 x2 + · · · + α2n xn
..
.
=
b2
..
.
αm1 x1 + αm2 x2 + · · · + αmn xn
=
(4)
bm
El número αij es el coeficiente de la variable xj en la ecuación i y bi es el
término independiente de la ecuación i.
Si bi = 0, el sistema lo llamamos
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
.
Álgebra lineal
Conceptos básicos
Sistema de Ecuaciones Lineales: Un sistema de m ecuaciones lineales con
n variables x1 , . . . , xn es un conjunto de m ecuaciones lineales de la forma
α11 x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn
=
b1
α21 x1 + α22 x2 + · · · + α2n xn
..
.
=
b2
..
.
αm1 x1 + αm2 x2 + · · · + αmn xn
=
(4)
bm
El número αij es el coeficiente de la variable xj en la ecuación i y bi es el
término independiente de la ecuación i.
Si bi = 0, el sistema lo llamamos HOMOGÉNEO.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Conceptos básicos
Sistema de Ecuaciones Lineales: Un sistema de m ecuaciones lineales con
n variables x1 , . . . , xn es un conjunto de m ecuaciones lineales de la forma
α11 x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn
=
b1
α21 x1 + α22 x2 + · · · + α2n xn
..
.
=
b2
..
.
αm1 x1 + αm2 x2 + · · · + αmn xn
=
(4)
bm
El número αij es el coeficiente de la variable xj en la ecuación i y bi es el
término independiente de la ecuación i.
Si bi = 0, el sistema lo llamamos HOMOGÉNEO.
El siguiente conjunto de ecuaciones
x1 + 2x2
2x1 + 3x2 − 2x3
=
=
−3
−10
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
x1 + 2x2
2x1 + 3x2 − 2x3
Álgebra lineal
=
=
0
0
DEF
Una solución de un sistema de ecuaciones lineales con variables
x1 , x2 , . . . , xn es una n-úpla que es solución de todas y cada una de las
ecuaciones del sistema. Al conjunto formado por todas las soluciones de
un sistema lo llamamos conjunto solución.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Ejemplo: Sean
(a)
x −y
2x − 2y
=
=
2
4
(b)
x −y
x −y
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
=
=
2
4
Álgebra lineal
(c)
x −y
x +y
=
=
1
3
Ejemplo: Sean
(a)
x −y
2x − 2y
=
=
2
4
(b)
x −y
x −y
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
=
=
2
4
Álgebra lineal
(c)
x −y
x +y
=
=
1
3
Ejemplo: Sean
(a)
x −y
2x − 2y
=
=
2
4
(b)
x −y
x −y
=
=
2
4
(c)
x −y
x +y
=
=
Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales son: infinitas(a),
ninguna(b) y sólo una(c)
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
1
3
Si el sistema 3x3 las posibles soluciones gráficamente serı́an: (esto lo
estudiaremos más adelante en detalle
Infinitas soluciones
Solución única
Ninguna solución
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
PREG. Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo es consistente?
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
PREG. Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo es consistente? SI
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
PREG. Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo es consistente? SI
DEF
Decimos que dos sistemas son equivalentes, si tienen el mismo conjunto
de soluciones.
Ejemplo: Sean
(a)
x −y
x +y
=
=
1
3
(b)
x −y
y
ya que ambos tienen como única solución (2, 1).
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
=
=
1
1
PREG. Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo es consistente? SI
DEF
Decimos que dos sistemas son equivalentes, si tienen el mismo conjunto
de soluciones.
Ejemplo: Sean
(a)
x −y
x +y
=
=
1
3
(b)
x −y
y
=
=
1
1
ya que ambos tienen como única solución (2, 1).
Los sistemas que tienen el ”patrón escalonado” son fáciles de resolver.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
PREG. Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo es consistente? SI
DEF
Decimos que dos sistemas son equivalentes, si tienen el mismo conjunto
de soluciones.
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales
x −y −z
3x − 3y + 2z
2x − y + z
=
=
=
x −y −z
y + 3z
5z
2
16
9
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
=
=
=
2
5
10
PREG. Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo es consistente? SI
DEF
Decimos que dos sistemas son equivalentes, si tienen el mismo conjunto
de soluciones.
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales
x −y −z
3x − 3y + 2z
2x − y + z
=
=
=
2
16
9
Después de hallar el ”patrón escalonado”, es fácil encontrar la solución
mediante el método de sustitución hacia atrás
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Representación Matricial:
Representación matricial del sistema
x −y −z
3x − 3y + 2z
2x − y + z
=
=
=
2
16
9

1 −1
A =  3 −3
2 −1

−1 2
2 16 
1
9
Pivote de una fila de una matriz A: es el primer elemento de la fila, de
izquierda a derecha, que es diferente de cero.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Representación Matricial:
Representación matricial del sistema
x −y −z
3x − 3y + 2z
2x − y + z
=
=
=
2
16
9

1 −1
A =  3 −3
2 −1

−1 2
2 16 
1
9
Pivote de una fila de una matriz A: es el primer elemento de la fila, de
izquierda a derecha, que es diferente de cero.
Las operaciones elementales entre ecuaciones Ei se pueden interpretar
como operaciones entre filas Fi en esta matriz A
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Representación Matricial:
Representación matricial del sistema
x −y −z
3x − 3y + 2z
2x − y + z
=
=
=
2
16
9

1 −1
A =  3 −3
2 −1

−1 2
2 16 
1
9
Pivote de una fila de una matriz A: es el primer elemento de la fila, de
izquierda a derecha, que es diferente de cero.
OPERACIONES ELEMENTALES:
Escalamiento: Reemplazar la ecuación Fi , por un múltiplo de esta, cFi
Eliminación: Reemplazar la ecuación Fi , por la suma de esta con un
múltiplo de otra, Fi + cFj .
Permutación: Intercambiar las ecuaciones i y j, Fi y Fj .
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Representación Matricial:
Representación matricial del sistema
x −y −z
3x − 3y + 2z
2x − y + z
=
=
=

1 −1
A =  3 −3
2 −1
2
16
9

−1 2
2 16 
1
9
Pivote de una fila de una matriz A: es el primer elemento de la fila, de
izquierda a derecha, que es diferente de cero.
OPERACIONES ELEMENTALES:
Escalamiento: Reemplazar la ecuación Fi , por un múltiplo de esta, cFi
Eliminación: Reemplazar la ecuación Fi , por la suma de esta con un
múltiplo de otra, Fi + cFj .
Permutación: Intercambiar las ecuaciones i y j, Fi y Fj .
Que significan:
F2 − 3F1 → F2 ,
F3 − 2F1 → F3 ,
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
F2 ↔ F3
DEF
Decimos que dos matrices son equivalentes si al efectuar operaciones
elementales entre filas a una de ellas, se obtiene la otra.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
DEF
Decimos que dos matrices son equivalentes si al efectuar operaciones
elementales entre filas a una de ellas, se obtiene la otra.
Las matrices

1
A = 3
2
−1 −1
−3 2
−1 1

2
16
9
y

1
B = 0
0

−1 −1 2
1
3
5
0
5 10
Son equivalentes, si aplicamos F2 − 3F1 → F2 , F3 − 2F1 → F3 y F2 ↔ F3
a A obtenemos B
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Eliminación de Gauss:
La idea consiste en llevar la matriz aumentada del sistema dado a otra
equivalente con ”patrón escalonado”, que corresponda a un sistema que
pueda ser resuelto por medio de sustitución hacı́a atrás.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Eliminación de Gauss:
La idea consiste en llevar la matriz aumentada del sistema dado a otra
equivalente con ”patrón escalonado”, que corresponda a un sistema que
pueda ser resuelto por medio de sustitución hacı́a atrás.
DEF
Una matriz es escalonada si posee las siguientes caracterı́sticas:
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Eliminación de Gauss:
La idea consiste en llevar la matriz aumentada del sistema dado a otra
equivalente con ”patrón escalonado”, que corresponda a un sistema que
pueda ser resuelto por medio de sustitución hacı́a atrás.
DEF
Una matriz es escalonada si posee las siguientes caracterı́sticas:
Cualquier fila cuyas componentes sean todas cero, se encuentra en la
parte inferior de la matriz
Ejemplo: Matrices escalonadas.


1 −2
1
1
0 6
−1
−5 


0 0 −1/3 7/3
0 0
0
0
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina

3 1
, 0 0
0 0
Álgebra lineal
0 −2
2 3
0 0

0
1
−5
Eliminación de Gauss:
La idea consiste en llevar la matriz aumentada del sistema dado a otra
equivalente con ”patrón escalonado”, que corresponda a un sistema que
pueda ser resuelto por medio de sustitución hacı́a atrás.
DEF
Una matriz es escalonada si posee las siguientes caracterı́sticas:
Cualquier fila cuyas componentes sean todas cero, se encuentra en la
parte inferior de la matriz
Cada pivote está a la izquierda de cualquier otro pivote por debajo
de él.
Ejemplo: Matrices escalonadas.


1 −2
1
1
0 6
−1
−5 


0 0 −1/3 7/3
0 0
0
0
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina

3 1
, 0 0
0 0
Álgebra lineal
0 −2
2 3
0 0

0
1
−5
Eliminación de Gauss:
La idea consiste en llevar la matriz aumentada del sistema dado a otra
equivalente con ”patrón escalonado”, que corresponda a un sistema que
pueda ser resuelto por medio de sustitución hacı́a atrás.
DEF
Una matriz es escalonada si posee las siguientes caracterı́sticas:
Cualquier fila cuyas componentes sean todas cero, se encuentra en la
parte inferior de la matriz
Cada pivote está a la izquierda de cualquier otro pivote por debajo
de él.
Ejemplo: Matrices escalonadas.


1 −2
1
1
0 6
−1
−5 


0 0 −1/3 7/3
0 0
0
0
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina

3 1
, 0 0
0 0
Álgebra lineal
0 −2
2 3
0 0

0
1
−5
Eliminación de Gauss:
La idea consiste en llevar la matriz aumentada del sistema dado a otra
equivalente con ”patrón escalonado”, que corresponda a un sistema que
pueda ser resuelto por medio de sustitución hacı́a atrás.
DEF
Una matriz es escalonada si posee las siguientes caracterı́sticas:
Cualquier fila cuyas componentes sean todas cero, se encuentra en la
parte inferior de la matriz
Cada pivote está a la izquierda de cualquier otro pivote por debajo
de él.
Ejemplo: Matrices escalonadas.


1 −2
1
1
0 6
−1
−5 


0 0 −1/3 7/3
0 0
0
0

3 1
, 0 0
0 0
0 −2
2 3
0 0
PREG. ¿Cúales son los pivotes y las columnas pivotales?
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal

0
1
−5
Eliminación de Gauss
Objetivo: Dada una matriz, encontrar una matriz escalonada equivalente
a la matriz dada
1
Identifique la primera columna, de izquierda a derecha, que no sea
de sólo ceros.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Eliminación de Gauss
Objetivo: Dada una matriz, encontrar una matriz escalonada equivalente
a la matriz dada
1
Identifique la primera columna, de izquierda a derecha, que no sea
de sólo ceros.
2
Si la primera componente de esta columna es un cero, intercambie la
primera fila con una que tenga una componente no cero en esta
columna. Esta componente no cero será el pivote de esta columna.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Eliminación de Gauss
Objetivo: Dada una matriz, encontrar una matriz escalonada equivalente
a la matriz dada
1
Identifique la primera columna, de izquierda a derecha, que no sea
de sólo ceros.
2
Si la primera componente de esta columna es un cero, intercambie la
primera fila con una que tenga una componente no cero en esta
columna. Esta componente no cero será el pivote de esta columna.
3
Aplique sucesivamente operaciones elementales para obtener ceros
debajo del pivote de esta columna.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Eliminación de Gauss
Objetivo: Dada una matriz, encontrar una matriz escalonada equivalente
a la matriz dada
1
Identifique la primera columna, de izquierda a derecha, que no sea
de sólo ceros.
2
Si la primera componente de esta columna es un cero, intercambie la
primera fila con una que tenga una componente no cero en esta
columna. Esta componente no cero será el pivote de esta columna.
3
Aplique sucesivamente operaciones elementales para obtener ceros
debajo del pivote de esta columna.
4
Repı́ta este procedimiento con otro pivote.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Eliminación de Gauss
Objetivo: Dada una matriz, encontrar una matriz escalonada equivalente
a la matriz dada
1
Identifique la primera columna, de izquierda a derecha, que no sea
de sólo ceros.
2
Si la primera componente de esta columna es un cero, intercambie la
primera fila con una que tenga una componente no cero en esta
columna. Esta componente no cero será el pivote de esta columna.
3
Aplique sucesivamente operaciones elementales para obtener ceros
debajo del pivote de esta columna.
4
Repı́ta este procedimiento con otro pivote.
Ejemplo: Aplicando el Método de Eliminación de Gauss encuentre una
matriz escalonada equivalente a la matriz

2
3

0
6
−2
4
0
5
2 −2/3
−3
11

1
−9/2

−1 
−5
F2 − 32 F1
F4 − 3F1
→
→
F2
F4
F3 − 32 F2
F4 − F2
→
→
F3
F4
F4 + 32 F3
→
F4
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal

2 −2
0 3

0 0
0 0

4
1
−1 −6

0
3
0
0
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

2x1 + x2 + x3 =
3
2
1
3
2x1 + 3x2 + x3 =
5
Matriz Ampl  2
x1 − x2 − 2x3 = −5
1 −1
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal

3
1
1
5 
−2 −5
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

2x1 + x2 + x3 =
3
2
1
3
2x1 + 3x2 + x3 =
5
Matriz Ampl  2
x1 − x2 − 2x3 = −5
1 −1

3
1
1
5 
−2 −5
Eliminación de Gauss
F2 − F 1
F3 − 21 F1
→
→
F2
F3
F3 + 43 F2
→
F3

2
Matriz Esc  0
0
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
1
1
2
0
0 −5/2

3
2 
−5
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

2x1 + x2 + x3 =
3
2
1
3
2x1 + 3x2 + x3 =
5
Matriz Ampl  2
x1 − x2 − 2x3 = −5
1 −1

3
1
1
5 
−2 −5
Eliminación de Gauss
F2 − F 1
F3 − 21 F1
→
→
F2
F3
F3 + 43 F2
→
F3

2
Matriz Esc  0
0
1
1
2
0
0 −5/2

3
2 
−5
Variables pivotales: son las variables correspondientes a las columnas con
pivotes
Variables libres: son las variables correspondientes a las columnas que no
tienen pivotes.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

2x1 + x2 + x3 =
3
2
1
3
2x1 + 3x2 + x3 =
5
Matriz Ampl  2
x1 − x2 − 2x3 = −5
1 −1

3
1
1
5 
−2 −5
Eliminación de Gauss
F2 − F 1
F3 − 21 F1
→
→
F2
F3
F3 + 43 F2
→
F3

2
Matriz Esc  0
0
1
1
2
0
0 −5/2

3
2 
−5
Variables pivotales: son las variables correspondientes a las columnas con
pivotes
Variables libres: son las variables correspondientes a las columnas que no
tienen pivotes.
Entonces x1 , x2 y x3 son las variables pivotales y que no hay variables
libres.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

2x1 + x2 + x3 =
3
2
1
3
2x1 + 3x2 + x3 =
5
Matriz Ampl  2
x1 − x2 − 2x3 = −5
1 −1

3
1
1
5 
−2 −5
Eliminación de Gauss
F2 − F 1
F3 − 21 F1
→
→
F2
F3
F3 + 43 F2
→
F3

2
Matriz Esc  0
0
1
1
2
0
0 −5/2

3
2 
−5
Sistema correspondiente a la matriz aumentada escalonada
2x1 + x2 + x3
2x2
− 25 x3
=
=
=
3
2
−5
Sustitución Hacia Atrás
Unica solución (0, 1, 2)
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
x3 = 2
x2 = 1
2x1 = 0
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

x − y − z + 2w =
1
1
2x − 2y − z + 3w =
3
Matriz Ampl  2
−x + y − z = −3
−1
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
−1 −1
−2 −1
1 −1

1
2
3
3 
0 −3
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

x − y − z + 2w =
1
1
2x − 2y − z + 3w =
3
Matriz Ampl  2
−x + y − z = −3
−1
−1 −1
−2 −1
1 −1
Eliminación de Gauss
F2 − 2F1
F3 + F 1
→
→
F2
F3
F3 + 2F2
→
F3

1
Matriz Esc  0
0
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
−1 −1
2
0
1 −1
0
0
0

1
1 
0

1
2
3
3 
0 −3
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

x − y − z + 2w =
1
1
2x − 2y − z + 3w =
3
Matriz Ampl  2
−x + y − z = −3
−1
−1 −1
−2 −1
1 −1
Eliminación de Gauss
F2 − 2F1
F3 + F 1
→
→
F2
F3
F3 + 2F2
→
F3

1
Matriz Esc  0
0
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
−1 −1
2
0
1 −1
0
0
0

1
1 
0

1
2
3
3 
0 −3
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

x − y − z + 2w =
1
1
2x − 2y − z + 3w =
3
Matriz Ampl  2
−x + y − z = −3
−1
−1 −1
−2 −1
1 −1
Eliminación de Gauss
F2 − 2F1
F3 + F 1
→
→
F2
F3
F3 + 2F2
→
F3

1
Matriz Esc  0
0
−1 −1
2
0
1 −1
0
0
0

1
1 
0
Entonces x y z son las variables pivotales, y y w son variables libres.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal

1
2
3
3 
0 −3
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

x − y − z + 2w =
1
1
2x − 2y − z + 3w =
3
Matriz Ampl  2
−x + y − z = −3
−1
−1 −1
−2 −1
1 −1

1
2
3
3 
0 −3
Eliminación de Gauss
F2 − 2F1
F3 + F 1
→
→
F2
F3
F3 + 2F2
→
F3

1
Matriz Esc  0
0
−1 −1
2
0
1 −1
0
0
0

1
1 
0
Sistema correspondiente a la matriz aumentada escalonada
x − y − z + 2w
z −w
=
=
1
1
Sustitución Hacia Atrás
z =1+w
x =2+y −w
Tiene infinitas soluciones, ya que las variables y y w pueden tomar
cualquier valor. Conj Sol=?
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

x − y − z + 2w = 0
1 −1 −1
2x − 2y − z + 3w = 0
Matriz Ampl  2 −2 −1
−x + y − z = 0
−1
1 −1
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal

2 0
3 0 
0 0
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

x − y − z + 2w = 0
1 −1 −1
2x − 2y − z + 3w = 0
Matriz Ampl  2 −2 −1
−x + y − z = 0
−1
1 −1

2 0
3 0 
0 0
Eliminación de Gauss
F2 − 2F1
F3 + F 1
→
→
F2
F3
F3 + 2F2
→
F3

1
Matriz Esc  0
0
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
−1 −1
2
0
1 −1
0
0
0

0
0 
0
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

x − y − z + 2w = 0
1 −1 −1
2x − 2y − z + 3w = 0
Matriz Ampl  2 −2 −1
−x + y − z = 0
−1
1 −1

2 0
3 0 
0 0
Eliminación de Gauss
F2 − 2F1
F3 + F 1
→
→
F2
F3
F3 + 2F2
→
F3

1
Matriz Esc  0
0
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
−1 −1
2
0
1 −1
0
0
0

0
0 
0
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

x − y − z + 2w = 0
1 −1 −1
2x − 2y − z + 3w = 0
Matriz Ampl  2 −2 −1
−x + y − z = 0
−1
1 −1

2 0
3 0 
0 0
Eliminación de Gauss
F2 − 2F1
F3 + F 1
→
→
F2
F3
F3 + 2F2
→
F3

1
Matriz Esc  0
0
−1 −1
2
0
1 −1
0
0
0

0
0 
0
Entonces x y z son las variables pivotales, y y w son variables libres.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

x − y − z + 2w = 0
1 −1 −1
2x − 2y − z + 3w = 0
Matriz Ampl  2 −2 −1
−x + y − z = 0
−1
1 −1

2 0
3 0 
0 0
Eliminación de Gauss
F2 − 2F1
F3 + F 1
→
→
F2
F3
F3 + 2F2
→
F3

1
Matriz Esc  0
0
−1 −1
2
0
1 −1
0
0
0

0
0 
0
Sistema correspondiente a la matriz aumentada escalonada
x − y − z + 2w
z −w
=
=
0
0
Sustitución hacia atrás
z =w
x =y −w
Tiene infinitas soluciones, ya que las variables y y w pueden tomar
cualquier valor. Conj Sol=?
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

2x − y + 3z =
0
2 −1
2
x + 2y − z =
2
Matriz Ampl  1
−5y + 5z = −1
0 −5
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal

0
3
−1
2 
5 −1
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

2x − y + 3z =
0
2 −1
2
x + 2y − z =
2
Matriz Ampl  1
−5y + 5z = −1
0 −5

0
3
−1
2 
5 −1
Eliminación de Gauss
F2 − 12 F1
→
F2
F3 + 2F2
→
F3

2
Matriz Esc  0
0
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal

−1
3 0
5/2 −5/2 2 
0
0 3
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

2x − y + 3z =
0
2 −1
2
x + 2y − z =
2
Matriz Ampl  1
−5y + 5z = −1
0 −5

0
3
−1
2 
5 −1
Eliminación de Gauss
F2 − 12 F1
→
F2
F3 + 2F2
→
F3

2
Matriz Esc  0
0
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal

−1
3 0
5/2 −5/2 2 
0
0 3
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

2x − y + 3z =
0
2 −1
2
x + 2y − z =
2
Matriz Ampl  1
−5y + 5z = −1
0 −5

0
3
−1
2 
5 −1
Eliminación de Gauss
F2 − 12 F1
→
F2
F3 + 2F2
→
F3

2
Matriz Esc  0
0

−1
3 0
5/2 −5/2 2 
0
0 3
Entonces x y y son las variables pivotales, y la columna de los términos
independientes es una columna pivotal, z es una variable libre.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Sist de ecuaciones y eliminación de Gauss
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

2x − y + 3z =
0
2 −1
2
x + 2y − z =
2
Matriz Ampl  1
−5y + 5z = −1
0 −5

0
3
−1
2 
5 −1
Eliminación de Gauss
F2 − 12 F1
→
F2
F3 + 2F2
→
F3

2
Matriz Esc  0
0

−1
3 0
5/2 −5/2 2 
0
0 3
Sistema correspondiente a la matriz aumentada escalonada
2x − y + 3z
5
5
2y − 2z
0
=
=
=
0
2
3
Obtenemos una ecuación que no tiene solución, 0 = 3, por tanto el
sistema no tiene solución. Conj Sol= ∅
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Ejercicio
Para cada una de las siguientes situaciones, respecto del tamaño del
sistema de ecuaciones lineales (recuerde! N◦ de ecuaciones × N◦ de
variables) y el número de variables pivotales. ¿Qué puede decirse
sobre el tipo de conjunto solución del sistema?
Tamaño del sistema
N◦ de variables pivotales
3×4
3
4×3
4?
3×4
2
5×5
5
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Ejercicio
Para cada una de las siguientes situaciones, respecto del tamaño del
sistema de ecuaciones lineales (recuerde! N◦ de ecuaciones × N◦ de
variables) y el número de variables pivotales. ¿Qué puede decirse
sobre el tipo de conjunto solución del sistema?
Tamaño del sistema
N◦ de variables pivotales
3×4
3
4×3
4?
3×4
2
5×5
5
Si en el proceso de escalonar la matriz aumentada de un sistema de
ecuaciones lineales, se obtiene

 √
2 0 3 −1
4 0
 0 2 2 −π
−1 1 


 0 0 0
a
−1 5 
0 0 0
0 b2 − b b
a) El sistema es consistente cuando a = b = 0?.
b) Si b = 2 y a 6= 0, ¿Qué puede decirse del conjunto solución?
c) Si b = 1 y a 6= 0, ¿Qué puede decirse del conjunto solución?
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Eliminación de Gauss + Sustitución hacia atrás
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales



3
1 1
1
1 1
1
1
 0 1 −1

0
1
−1
−1 
F
→
F
3
5 3
0 0 −5 −10
0 0
1
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal

3
−1 
2
Eliminación de Gauss + Sustitución hacia atrás
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales



3
1 1
1
1 1
1
1
 0 1 −1

0
1
−1
−1 
F
→
F
3
5 3
0 0 −5 −10
0 0
1
Obtengamos ceros encima

1 1
F2 + F3 → F2 
0 1
F1 − F3 → F1
0 0
del pivote


0 1
1 0
0 1  F1 − F2 → F1  0 1
1 2
0 0
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal

3
−1 
2

0 1
0 1 
1 2
Eliminación de Gauss + Sustitución hacia atrás
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales



3
1 1
1
1 1
1
1
 0 1 −1

0
1
−1
−1 
F
→
F
3
5 3
0 0 −5 −10
0 0
1
Obtengamos ceros encima

1 1
F2 + F3 → F2 
0 1
F1 − F3 → F1
0 0
del pivote


0 1
1 0
0 1  F1 − F2 → F1  0 1
1 2
0 0
Solución única
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal

3
−1 
2

0 1
0 1 
1 2
Eliminación de Gauss + Jordan
Consiste en convertir el pivote en 1, luego introducir ceros debajo del
pivote y después introducir ceros encima de él, para cada columna pivotal.
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales por Gauss-Jordan


x1 + x2 + x3
= 3
1
1
1
3
2x1 + 3x2 + x3 = 5
3
1
5 
Matriz Ampl  2
x1 − x2 − 2x3
= −5
1 −1 −2 −5
.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Eliminación de Gauss + Jordan
Consiste en convertir el pivote en 1, luego introducir ceros debajo del
pivote y después introducir ceros encima de él, para cada columna pivotal.
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales por Gauss-Jordan


x1 + x2 + x3
= 3
1
1
1
3
2x1 + 3x2 + x3 = 5
3
1
5 
Matriz Ampl  2
x1 − x2 − 2x3
= −5
1 −1 −2 −5
Primer pivote 1.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Eliminación de Gauss + Jordan
Consiste en convertir el pivote en 1, luego introducir ceros debajo del
pivote y después introducir ceros encima de él, para cada columna pivotal.
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales por Gauss-Jordan


x1 + x2 + x3
= 3
1
1
1
3
2x1 + 3x2 + x3 = 5
3
1
5 
Matriz Ampl  2
x1 − x2 − 2x3
= −5
1 −1 −2 −5
Primer pivote 1.
F2 − 2F1 → F2
F3 − F1 → F3

1
1
1
 0
1 −1
0 −2 −3


1 0
3
F + 2F2 → F3 
0 1
−1  3
F1 − F2 → F1
−8
0 0
Solución única
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal

2
4
−1
−1 
−5 −10
Eliminación de Gauss + Jordan
Consiste en convertir el pivote en 1, luego introducir ceros debajo del
pivote y después introducir ceros encima de él, para cada columna pivotal.
Ejemplo: Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales por Gauss-Jordan


x1 + x2 + x3
= 3
1
1
1
3
2x1 + 3x2 + x3 = 5
3
1
5 
Matriz Ampl  2
x1 − x2 − 2x3
= −5
1 −1 −2 −5
Primer pivote 1.
F2 − 2F1 → F2
F3 − F1 → F3
1
F
5 3
→ F3


1
1
1
 0
1 −1
0 −2 −3
1 0
2
 0 1 −1
0 0
1


1 0
3
F + 2F2 → F3 
−1  3
0 1
F1 − F2 → F1
−8
0 0


4
1 0
F2 + F3 → F2 
−1 
0 1
F1 − 2F3 → F1
0 0
2
por lo tanto, (0, 1, 2) es la única solución del sistema.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal

2
4
−1
−1 
−5 −10

0 0
0 1 
1 2
Solución Simultánea de sist lineales
Hallar la solución a los

 z + 2w
3x − 6y − 3z

−2x + 4y − 4w
siguientes sistemas

= −3
 x3 + 2x4
3x1 − 6x2 − 3x3
= 12

−2x1 + 4x2 − 4x4
= −2
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
=
=
=
0
−9
4
Solución Simultánea de sist lineales
Hallar la solución a los

 z + 2w
3x − 6y − 3z

−2x + 4y − 4w
siguientes sistemas

= −3
 x3 + 2x4
3x1 − 6x2 − 3x3
= 12

−2x1 + 4x2 − 4x4
= −2
=
=
=
0
−9
4
La matriz de coeficientes de los dos sistemas es la misma, entonces


0
0
0
1
2 −3
0 12 −9 
Matriz Ampl  3 −6 −3
4
−2
4
0 −4 −2
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Solución Simultánea de sist lineales
Hallar la solución a los

 z + 2w
3x − 6y − 3z

−2x + 4y − 4w
siguientes sistemas

= −3
 x3 + 2x4
3x1 − 6x2 − 3x3
= 12

−2x1 + 4x2 − 4x4
= −2
=
=
=
0
−9
4
La matriz de coeficientes de los dos sistemas es la misma, entonces


0
0
0
1
2 −3
0 12 −9 
Matriz Ampl  3 −6 −3
4
−2
4
0 −4 −2
F1 ↔ F2
3
F3 − 23 F1 → F3  0

F3 + 2F2 → F3
−6
0
0
0
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
−3 0
1 2
0 0
Álgebra lineal

12 −9
−3
0 
0 −2
Solución Simultánea de sist lineales
Hallar la solución a los

 z + 2w
3x − 6y − 3z

−2x + 4y − 4w
siguientes sistemas

= −3
 x3 + 2x4
3x1 − 6x2 − 3x3
= 12

−2x1 + 4x2 − 4x4
= −2
=
=
=
0
−9
4
La matriz de coeficientes de los dos sistemas es la misma, entonces


0
0
0
1
2 −3
0 12 −9 
Matriz Ampl  3 −6 −3
4
−2
4
0 −4 −2
F1 ↔ F2
3
F3 − 23 F1 → F3  0

F3 + 2F2 → F3
−6
0
0
0
−3 0
1 2
0 0

12 −9
−3
0 
0 −2
El segundo sistema no tiene solución, y el primero cual es el conjunto
solución?
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Aplicaciones
Ejemplo: La compañia de transportes Rodriguez se especializa en carga
pesada, para lo cual dispone únicamente de tractomulas T, camiones
grandes C de motor 900 c.c. y los llamados dobletroques D. Los talleres
Reina de Bogotá se disponen abrir una sucursal en la zona franca de Cali
con una base de 32 tornos industriales y 10 fresadoras manuales. Para el
transporte de dicha maquinaria contratan a los Rodriguez quienes les
informan que cada T puede transportar solo 2 tornos, cada C un torno y
una fresadora, mientras que cada D un torno y 2 fresadoras. Determine
el número de T, C y D que han de utilizar los Rodriguez para cumplirle a
los talleres Reina.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Aplicaciones
Ejemplo: La compañia de transportes Rodriguez se especializa en carga
pesada, para lo cual dispone únicamente de tractomulas T, camiones
grandes C de motor 900 c.c. y los llamados dobletroques D. Los talleres
Reina de Bogotá se disponen abrir una sucursal en la zona franca de Cali
con una base de 32 tornos industriales y 10 fresadoras manuales. Para el
transporte de dicha maquinaria contratan a los Rodriguez quienes les
informan que cada T puede transportar solo 2 tornos, cada C un torno y
una fresadora, mientras que cada D un torno y 2 fresadoras. Determine
el número de T, C y D que han de utilizar los Rodriguez para cumplirle a
los talleres Reina.
Ejercicio 1: Para fabricar insecticidas se utilizan tres clases de
compuestos. Una unidad del insecticida Magnon requiere 10 mls de
Nuvan, 30 mls de Citronela B y 60 mls de petróleo. Una unidad del
Baygon requiere 20 mls de Nuvan, 30 mls de Citronela y 50 mls de
petróleo. Una unidad del insecticida Nocaut, requiere 50 mls de Nuvan y
50 mls de petróleo. Si se disponen de 1600 mls de Nuvan, 1200 mls de
Citronela y 3200 mls de petróleo. Determine cuántas unidades de los tres
insecticidas pueden producirse usando todos los componentes disponibles.
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Aplicaciones
Ejercicio 2: Una empresaria necesita en promedio cantidades de yenes
japoneses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje de
negocios. Este año viajo tres veces. La primera vez cambio 2550 dolares
con las siguientes tasas 100 yenes por dólar, 0.6 libras por dólar y 1.6
marcos por dólar. La segunda vez cambio 2840 dolares en total con las
tasas de 125 yenes, 0.5 libras y 1.2 marcos por dólar. La tercera vez
cambió un total de 2800 a 100 yenes, 0.6 libras y 1.2 marcos por dólar.
Cuántos yenes, libras y marcos compró cada vez?
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Aplicaciones
Ejercicio 2: Una empresaria necesita en promedio cantidades de yenes
japoneses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje de
negocios. Este año viajo tres veces. La primera vez cambio 2550 dolares
con las siguientes tasas 100 yenes por dólar, 0.6 libras por dólar y 1.6
marcos por dólar. La segunda vez cambio 2840 dolares en total con las
tasas de 125 yenes, 0.5 libras y 1.2 marcos por dólar. La tercera vez
cambió un total de 2800 a 100 yenes, 0.6 libras y 1.2 marcos por dólar.
Cuántos yenes, libras y marcos compró cada vez?
Ejercicio 3: Un padre desea distribuir sus bienes raices, cuyo valor es
234.000,entre sus 4 hijas de la siguiente manera: 2/3de las propiedades
debendividirse por igual entre las 4 hijas. Para el resto, cada hija
deberecibir 3000 cada año hasta el vigésimo primer cumpleaños. Como
entre ellas se llevan 3 años. ¿Cuánto recibirı́a cada una de los bienes de
su padre?. ¿Que edad tienen ahora esas hijas?
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Una aplicación a la trigonometrı́a
Ejemplo: Demuestre la ley de los cosenos.
Es decir, que para el triángulo ABC se cumple
cos(α) =
b 2 + c 2 − a2
a2 + c 2 − b 2
a2 + b 2 − c 2
, cos(β) =
, cos(γ) =
2bc
2ac
2ab
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Una aplicación a la trigonometrı́a
Ejemplo: Demuestre la ley de los cosenos.
a = BD + DC . Luego,

 c cos(β) + b cos(γ) = a
c cos(α) + a cos(γ) = b

a cos(β) + b cos(α) = c
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Un problema de palancas en estática
Ejemplo: Calcule los pesos w1 , w2 , w3 y w4 para balancear las siguientes
palancas
Ley de la palanca Arquı́medes: Dos masas en una palanca se
equilibran cuando sus pesos son inversamente proporcionales a sus
distancias al punto de apoyo
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal
Un problema de palancas en estática
Ejemplo: Calcule los pesos w1 , w2 , w3 y w4 para balancear las siguientes
palancas


2w1 = 6w2
2w3 = 8w4

5(w1 + w2 ) = 10(w3 + w4 )
Héctor Fabián Ramı́rez Ospina
Álgebra lineal