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CAPÍTULO 1
EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Las ligaduras a ser consideradas y las ecuaciones de Lagrange a ser usadas son las
siguientes:
Lagrangiano ! L qi ; q i ; t = T qi ; q i ; t
U qi ; q i ; t
Coordenadas Generalizadas ! q1 , q2 , q3 ,. . . ,
qn
(1.1)
(1.2)
LIGADURAS
Ligaduras
Holónomas
Ligaduras
no-holónomas y
semi-holónomas
8
>
< fl (qi ; t) = 0
!
l = 1; 2; 3; :::; K (h)
>
:
i = 1; 2; 3; : : : ; 3N
8 P
>
Alj (qk ; t) dqj + Bl (qk ; t) dt = 0
>
>
>
j=1
>
>
>
Forma de diferencial
>
>
>
>
>
>
>
< P
Alj (qk ; t) q j + Bl (qk ; t) = 0
!
j=1
>
>
>
Forma de derivada
>
>
>
>
donde,
en ambos
casos,
>
(
>
>
(nh)
>
>
K
, no-holónomas.
>
>
: l = 1; 2; 3; :::;
(h)
K , semi-holónomas.
1
(1.3)
(1.4)
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
ECUACIONES DE LAGRANGE
d
dt
=
@L
@ qj
(lig)
Qj
@L
@qj
+
(lig)
U
QN
j
8
(
>
Sin ligaduras
>
(lig)
>
Qj = 0 !
>
>
>
j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N
>
>
>
>
>
>
>
8
>
>
>
>
Ligaduras holónomas
>
<
>
>
(lig)
>
Qj = 0 !
>
en forma implícita
>
>
>
>
:
>
j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N K (h)
>
>
>
<
8
!
>
>
>
(h)
< Ligaduras holónomas en
>
> (lig) KP @fl(h)
>
>
!
Qj =
forma explícita.
l @qj
>
>
>
>
l=1
:
>
>
j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N
>
>
>
>
>
>
8
>
>
>
> Ligaduras no-holónomas
>
(nh)
(h)
<
>
K P
;K
>
(lig)
>
>
Qj =
y semi-holónomas.
>
l Alj !
>
>
>
l=1
:
:
j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N
(1.5)
U
Aquí Qj son las fuerzas generalizadas de ligadura y QN
son las fuerzas generalij
zadas que no provienen de potenciales (o energías potenciales U ). Obviamente en lo
U
sistemas mecánicos conservativos se tiene que QN
j .
En las siguientes secciones se mostrarán una serie de ejemplos de aplicación de las
Ecuaciones de Lagrange.
1.1.
Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en forma implícita
Los ejemplos siguientes representan sistemas sin ligaduras y sistemas con ligaduras holónomas en los que las ecuaciones de ligadura serán usadas en forma implícita.
Se dirá que las ligaduras holónomas son empleadas en Forma Implícita
cuando se utilicen para eliminar todas las coordenadas dependientes, reduciéndose así la descripción matemática del sistema a sólo coordenadas
independientes.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 2
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
Pasos a seguir cuando se tienen sistemas sin ligaduras: recuérdese que en estos
casos el número de coordenadas generalizadas a utilizar es = 3N , siendo todas independientes.
1. Se halla el número de grados de libertad, que es igual al número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema.
2. Se construye el Lagrangiano del sistema.
3. Se encuentran las ecuaciones de Lagrange (1.5).
4. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones formado por las Ecuaciones de Lagrange.
Pasos a seguir cuando se tienen sistemas con ligaduras holónomas a ser usadas en
forma implícita: recuérdese que en estos casos el número de coordenadas generalizadas a utilizar es = = 3N K (h) , puesto que serán eliminadas las coordenadas
dependientes.
1. Se identifican las ligaduras presentes en el sistema dado.
2. Se halla el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema.
3. Se construye el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras.
4. Se usan las ligaduras para eliminar coordenadas dependientes en el Lagrangiano
construido en el paso anterior, obteníéndose así el Lagrangiano con las ligaduras
incluidas.
5. Se encuentran las ecuaciones de Lagrange (1.5).
6. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones formado por las Ecuaciones de Lagrange y las ecuaciones de ligadura.
Los anteriores pasos son una simple guía para resolver los problemas, no pretenden
ser reglas de estricto cumplimiento y son introducidos como una guía para ordenar los
conocimientos presentados en los siguientes ejemplos.
..............................................................................................
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 3
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Figura (1.1): Partícula de masa m que se desplaza hacia abajo en un plano inclinado un ángulo
respecto a la horizontal.
con
EJEMPLO 5.1 F
La figura 1.1 muestra un sistema donde una partícula masa m se
desliza sobre un plano inclinado sin rozamiento. Encuentre la ecuación de movimiento
de Lagrange del sistema y la aceleración de la partícula a lo largo del plano inclinado.
SOLUCION: este es un sistema con ligaduras.
Ligaduras: existen K (h) = 2 ligaduras holónomas,
8
(h)
>
< z = 0 ) f1 = z = 0, limita el movimiento de m al plano xy
(h)
(1.6)
y = x Tg + h ) f2 = y + x Tg
h = 0, limita el movimiento
>
:
de m al plano inclinado.
(h)
que son esclerónomas. La ligadura f2 es sencilla de encontrar ya que es la ecuación
de la línea recta que define el plano inclinado.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad es,
s = 3N
K (h) = 3 (1)
2=1
(1.7)
y el número mínimo de coordenadas generalizadas,
e = 3N
K (h) = 3 (1)
2=1
(1.8)
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas Cartesianas se tiene que la
energía cinética viene dada por,
2
2
2
1
1
T = mv 2 = m x + y + z
2
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.9)
Pág.: 4
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
y la energía potencial (para el origen de potencial escogido) por,
(1.10)
U = mgy
de manera que el Lagrangiano viene dado por,
L=T
2
2
2
1
U = m x +y +z
2
mgy
(1.11)
que es el Lagrangiano del sistema sin considerar las ligaduras (1.6).
Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se
usarán las ligaduras (1.6) para eliminar dos de las coordenadas. Si se escoge x como
coordenada generalizada, al sustituir (1.6) en (1.11) el Lagrangiano se puede escribir
como,
2
2
1
x Tg
mg ( x Tg + h)
L= m x +
2
(h)
ya que a partir de f2 ,
y=
(1.12)
x Tg
por lo tanto,
2
1
mgh
(1.13)
L = mx Sec2 + mgx Tg
2
observándose que quedó en función de solamente una coordenada generalizada,
en este caso x, lo cual está en concordancia con el resultado (1.8).
Ecuaciones de Lagrange: de (1.13) se tiene que,
@L
@x
= mg Tg
@L
@x
= mx Sec2
d
dt
@L
@x
= m x Sec2
U
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
= 0 (por no existir este
j
tipo de fuerzas) se obtiene,
d @L
@L
=0
(1.14)
dt @ x
@x
de la cual resulta,
x = g Sen Cos
(1.15)
que es la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema dado para la coordenada
generalizada x.
Cálculo de las cantidades pedidas: la ecuación para la aceleración en y viene
dada al derivar (1.12) con respecto al tiempo, es decir,
y =
x Tg
=
|
g Sen2
{z }
(1.16)
por (1.14)
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Pág.: 5
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
entonces la aceleración a lo largo del plano inclinado viene dada por,
v0
12 0
12
u
q
u
2
2
u
a = x + y = t@g Sen Cos A + @ g Sen2 A
|
{z
}
| {z }
por (1.15)
por (1.16)
o,
(1.17)
a = g Sen
que es el resultado ya conocido de la Física Elemental. Es de hacer notar que este
método no permite encontrar la fuerza o fuerzas que mantienen unido a m a la superficie del plano inclinado. Nótese que si = 2 en (1.15) y (1.16) resulta,
(
x=0
(1.18)
y = g
indicando que la partícula está en caída libre como era de esperarse.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.2 F
Encuentre las ecuaciones de movimiento de Lagrange de una
partícula de masa m que se encuentra inmersa en un campo de fuerza conservativo como se muestra en la figura figura 1.2, (a) en coordenadas Cartesianas y (b) en
coordenadas esféricas.
SOLUCION: la figura 1.2 muestra la situación descrita en el problema. No existen
ligaduras.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como no
existen ligaduras entonces el número de grados de libertad es,
s = 3N
K (h) = 3 (1)
0=3
(1.19)
y el número mínimo de coordenadas generalizadas,
e = 3N
K (h) = 3 (1)
0=3
(1.20)
siendo e = s como era de esperarse para un sistema sin ligaduras.
(a) En coordenadas Cartesianas:
Lagrangiano: la energía cinética total del sistema es dada por,
2
2
2
1
1
T = mv 2 = m x + y + z
2
2
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(1.21)
Pág.: 6
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
Figura (1.2): Partícula de masa m inmersa en un campo de fuerza conservativo.
y la energía potencial total por,
(1.22)
U = U (x; y; z)
de manera que el Lagrangiano viene dado por,
2
2
2
1
U = m x +y +z
U (x; y; z)
(1.23)
2
donde se tienen 3 coordenadas generalizadas x, y y z en concordancia con el resultado (1.20). De aquí que,
L=T
@L
@x
=
@U
@x
= Fx
@L
@y
=
@U
@y
= Fy
@L
@z
=
@U
@z
= Fz
@L
@x
@L
@y
@L
@z
= mx )
= my )
= mz )
d
dt
d
dt
d
dt
@L
@x
@L
@y
@L
@z
= mx
= my
= mz
ya que en coordenadas Cartesianas,
!
F =
!
rU =
@U
ebx
@x
@U
eby
@y
@U
ebz
@z
U
Ecuaciones de Lagrange: a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
=0
j
(por no existir este tipo de fuerzas) se obtiene,
8
>
>
>
<
>
>
>
:
d
dt
d
dt
d
dt
@L
@x
@L
@y
@L
@z
@L
@x
@L
@y
@L
@z
= 0 ) Fx = m x
= 0 ) Fy = m y
(1.24)
= 0 ) Fz = m z
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Pág.: 7
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange pedidas, en coordenadas Cartesianas.
(b) En coordenadas esféricas:
Lagrangiano: la energía cinética total del sistema resulta de,
2
1
1
T = mv 2 = m r + r2
2
2
2
+ r2 Sen2 '
2
2
2
(1.25)
2
ya que en coordenadas esféricas v 2 = r + r2 + r2 Sen2 ' , y la energía potencial total
viene dada por,
U = U (r; ; ')
(1.26)
entonces, el Lagrangiano viene dado por,
L=T
2
1
U = m r + r2
2
2
+ r2 Sen2 '
2
donde las coordenadas generalizadas son ahora r,
concordancia con el resultado (1.20).
U (r; ; ')
(1.27)
y ', que igualemente son 3 en
Ecuaciones de Lagrange: de (1.27) se tiene que,
d
dt
d
dt
d
dt
@L
= mr
@r
@L
= mr
@r
@L
= mr
@r
2
+ mr Sen2 '
2
@L
= mr2 Sen Cos '
@
@L
= mr2
@!
@L
= mr2 + 2mrr
@
2
@U
@r
@U
@
@L
@U
=
= F'
@'
@'
@L
= mr2 Sen2 '
@'
!
@L
= 2mrr Sen2 ' + 2mr2 ' Sen Cos + mr2 Sen2 '
@'
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Pág.: 8
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
U
= 0 (por no existir
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
j
este tipo de fuerzas) se obtiene,
d
dt
d
dt
d
dt
@L
@r !
@L
@ !
@L
@'
@L
= 0 ) mr
@r
2
+ mr Sen2 '
2
@L
= 0 ) mr2 Sen Cos '
@
@L
= 0)
@'
2
@U
= mr
@r
@U
= mr2 + 2mrr
@
(1.28)
(1.29)
@U
= 2mrr Sen2 ' + 2mr2 ' Sen Cos
@'
+mr2 Sen2 '
(1.30)
pero en coordenadas esféricas,
!
F =
de la cual,
!
rU =
@U
ebr
@r
1 @U
eb
r@
@U
= Fr
@r
1 @U
= F )
r@
1 @U
= F' )
r Sen @'
1 @U
eb'
r Sen @'
(1.31)
(1.32)
@U
= rF
@
@U
= r Sen F'
@'
(1.33)
(1.34)
entonces al sustituir (1.32) a (1.34) en (1.28) a (1.30) se obtiene finalmente,
8
2
2
>
>
F
=
m
r
r
r Sen2 '
r
>
>
>
>
|
{z
}
>
>
>
Componente r de la aceleración
>
>
>
2
>
< F = m r + 2r
r Sen Cos '
|
{z
}
>
>
>
Componente de la aceleración
>
>
>
>
>
>
F' = m 2r Sen ' + 2r ' Cos + r Sen '
>
>
>
>
|
{z
}
:
(1.35)
Componente ' de la aceleración
que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange pedidas, en coordenadas esféricas.
No existen fuerzas de ligadura ya que no hay ligaduras presentes. De haberlas, este
método no permitiría encontrarlas.
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Pág.: 9
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
..............................................................................................
EJEMPLO 5.3 F
La Máquina de Atwood simple. Ecuentre la ecuación de movimiento de Lagrange y la aceleración de las partículas M1 y M2 en el sistema mostrado
en la figura 1.3. Se desprecia el rozamiento en la polea y su masa, su tamaño, la masa
de la cuerda y su deformación.
Figura (1.3): La máquina simple de Atwood.
SOLUCION: este es un sistema con ligaduras.
Ligaduras: existen K (h) = 5 ligaduras holónomas,
8 (
(h)
>
x1 = 0 ) f1 = x1 = 0
>
>
, fijan el movimiento de M1 sobre el eje y.
>
(h)
>
>
< ( z1 = 0 ) f2 = z1 = 0
(h)
x2 = 0 ) f3 = x2 = 0
>
, fijan el movimiento de M2 sobre el eje y.
>
(h)
>
z2 = 0 ) f4 = z2 = 0
>
>
>
:
(h)
y1 + y2 = ` ) f5 = y1 + y2 ` = 0, acopla el movimiento de M1 al de M2 .
(1.36)
que son esclerónomas.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 5 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad es,
s = 3N
K (h) = 3 (2)
5=1
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(1.37)
Pág.: 10
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
y el número mínimo de coordenadas generalizadas,
e = 3N
K (h) = 3 (2)
(1.38)
5=1
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: es fácil notar que la energía potencial total del
sistema es,
U = M1 gy1 M2 gy2
(1.39)
y que la energía cinética total es,
2
2
2
2
2
2
1
1
T = M 1 x 1 + y 1 + z 1 + M2 x 2 + y 2 + z 2
2
2
de aquí que el Lagrangiano venga dado por,
i
2
2
2
2
2
2
1h
L=T U =
M1 x1 + y 1 + z 1 + M2 x2 + y 2 + z 2 + g (M1 y1 + M2 y2 )
2
(1.40)
(1.41)
Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se
usarán las ligaduras (1.36) para eliminar cinco de las coordenadas. Si se escoge y1
como coordenada generalizada, al sustituir (1.36) en (1.41) el Lagrangiano se puede
escribir como,
2
1
L = (M1 + M2 ) y 1 + (M1 M2 ) gy1 + M2 g`
(1.42)
2
observándose que quedó en función de solamente una coordenada generalizada,
en este caso y1 , lo cual está en concordancia con el resultado (1.38).
Ecuaciones de Lagrange: de (1.42) se tiene que,
@L
@y1
= (M1
M2 ) g
@L
@ y1
= (M1 + M2 ) y 1 )
d
dt
@L
@ y1
= (M1 + M2 ) y 1
U
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
= 0 (por no existir este
j
tipo de fuerzas) se obtiene,
!
d @L
@L
=0
dt @ y 1
@y1
(M1 + M2 ) y 1 -(M1
M2 ) g = 0
(1.43)
que es la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema dado para la coordenada
generalizada y1 .
Cálculo de las cantidades pedidas:de (1.43) se obtiene,
y1 =
M1 M2
M1 +M2
g
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(1.44)
Pág.: 11
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
(h)
y al derivar dos veces con respecto al tiempo la ecuación de ligadura f5
sustituir el resultado en la expresión (1.44) resulta,
y2 =
M1 M 2
M1 +M2
g
en (1.36) y
(1.45)
Los resultados (1.44) y (1.45) son las aceleraciones pedidas y constituyen el resultado
familiar de los cursos de Física Elemental para este sistema. No es posible encontrar la o
las fuerzas de ligaduras presentes cuando las ligaduras son usadas en forma implícita.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.4 F
Encontrar la ecuación de movimiento de Lagrange de un anillo
de masa m (tamaño despreciable) que se desliza por un alambre (masa despreciable)
que gira uniformemente con una velocidad angular constante ! en una región libre
de fuerzas (ver figura 1.4).
Figura (1.4): Anillo de masa m que se desliza por un alambre, de masa despreciable, que gira uniformemente.
SOLUCION: este es un sistema con ligaduras y se usarán coordenadas Cartesianas
para la ubicación del anillo. Puede observarse que el ángulo ' coincide completamente con la coordenada cilíndrica o esférica ' y que ' = !t, la cual no es una
ligadura ya que ' no representa una coordenada en el sistema de coordenadas escogido.
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Pág.: 12
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
Ligaduras: existen K (h) = 2 ligaduras holónomas,
8
(h)
>
< z = 0 ) f1 = z = 0, fija el movimiento de m sobre plano xy.
(h)
y = x Tg ' ) f2 = y x Tg ' = y x Tg (!t) = 0, fija el movimiento
>
:
de m sobre el alambre giratorio e introduce la rotación del mismo.
(h)
donde f1
(h)
es esclerónoma y f2
(1.46)
es reónoma.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad es,
s = 3N
K (h) = 3 (1)
2=1
(1.47)
y el número mínimo de coordenadas generalizadas,
e = 3N
K (h) = 3 (1)
2=1
(1.48)
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: como el movimiento se realiza en una región
libre de fuerzas se tiene que,
U =0
(1.49)
y la energía cinética viene dada por,
2
2
2
1
T = m x +y +z
2
de aquí que el Lagrangiano sea,
(1.50)
2
2
2
1
(1.51)
U = m x +y +z
2
En el caso de usarse, por ejemplo, coordenadas esféricas el Lagrangiano es,
L=T
L=T
2
1
U = m r + r2
2
2
2
+ r2 ' Sen2
y las ligaduras se pueden escribir para estas coordenadas como,
(
(h)
= 2 ) f1 =
= 0, fija el movimiento de m sobre plano xy.
2
(h)
' = !t ) f2 = ' !t = 0, que introduce la rotación.
(1.52)
(1.53)
Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se
usarán las ligaduras (1.46) para eliminar dos de las coordenadas. Si se escoge x como
coordenada generalizada, al sustituir (1.46) en (1.51) resulta,
(
)
2
2
1
d
L =
m x +
(x Tg ')
2
dt
h
i2
2
1
m x + x Tg (!t) + x! Sec2 (!t)
(1.54)
=
2
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Pág.: 13
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Se observa que quedó en función de solamente 1 coordenada generalizada, en este
caso x, lo cual está en concordancia con el resultado (1.48).
En el caso del Lagrangiano (1.52) resulta,
2
1
L = m r + r2 !2
2
donde ahora la coordenada generalizada es r.
(1.55)
Ecuaciones de Lagrange: se usará el Lagrangiano (1.55) por ser más simple, obteniéndose a partir de éste,
@L
@r
= mr! 2
@L
@r
= mr )
d
dt
@L
@r
= mr
U
Entonces, de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
= 0 (por no existir este tipo de
j
fuerzas) se obtiene,
d @L
@L
=0
dt @ r
@r
r = r! 2
(1.56)
que es la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema dado para la coordenada generalizada r. Esta ecuación expresa el resultado ya conocido de que el anillo
se mueve hacia afuera debido a la fuerza centrífuga. Como en el caso anterior, el
método no sirve para hallar las fuerzas de ligadura.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.5 F
Considérese el caso del movimieno de un proyectil de masa m
bajo la acción de la gravedad en dos dimensiones (ver figura 1.5), el cual es lanzado
con un ángulo de tiro . Encontrar las ecuaciones de movimiento de Lagrange en: (a)
coordenadas Cartesianas y (b) en coordenadas esféricas.
SOLUCION: este es un sistema con ligaduras.
Ligaduras: existe K (h) = 1 ligadura holónoma,
(h)
z = 0 ) f1
= z = 0, fija el movimiento de m sobre plano xy.
(1.57)
que es esclerónoma.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existe
K (h) = 1 ligadura holónoma entonces el número de grados de libertad es,
s = 3N
K (h) = 3 (1)
1=2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.58)
Pág.: 14
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
Figura (1.5): Movimieno de un proyectil de masa m bajo la acción de la gravedad en dos dimensiones.
y el número mínimo de coordenadas generalizadas,
e = 3N
K (h) = 3 (1)
1=2
(1.59)
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
(a) En coordenadas Cartesianas:
Lagrangiano sin ligaduras incluidas:
2
2
2
1
m x +y +z
2
U = mgy
(1.60)
T =
(1.61)
observándose aquí que U = 0 cuando y = 0. De esta manera el Lagrangiano viene
dado por,
2
2
2
1
mgy
(1.62)
L=T U = m x +y +z
2
Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se
usará la ligadura (1.57) para eliminar una de las coordenadas. Al sustituir (1.57) en
(1.62) el Lagrangiano se puede escribir como,
2
2
1
L= m x +y
2
(1.63)
mgy
Se observa que quedó en función de dos coordenadas generalizadas, en este caso x
y y, lo cual está en concordancia con el resultado (1.59).
Ecuaciones de Lagrange: de (1.63) se tiene que,
@L
@x
=0
@L
@y
=
mg
@L
@x
@L
@y
= mx )
= my )
d
dt
d
dt
@L
@x
@L
@y
= mx
= my
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 15
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
U
= 0 (por no existir este
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
j
tipo de fuerzas) se obtiene,
8
@L
< d @L
=0
dt
@x
:
o,
@x
@L
@y
d
dt
(
@L
@y
=0
x=0
y = g
(1.64)
que son las ecuaciones de movimiento de Lagrage pedidas, en coordenadas Cartesianas.
(b) En coordenadas esféricas:
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas esféricas la energía cinética
(1.60) y la energía potencial (1.61) quedan escritas como,
2
2
2
1
m r + r2 + r2 ' Sen2
2
U = mgy = mgr Sen Sen '
(1.65)
T =
(1.66)
ya que en estas coordenadas y = r Sen Sen ', observándose aquí que U = 0 cuando
' = 0. De esta manera el Lagrangiano viene dado por,
2
1
U = m r + r2
2
L=T
2
2
+ r2 ' Sen2
mgr Sen Sen '
(1.67)
Lagrangiano con ligaduras incluidas: la ligadura es ahora,
=
(h)
2
) f1
=
2
= 0, fija el movimiento de m sobre plano xy.
(1.68)
y como se va a usar el método implícito, se usará la ligadura (1.67) para eliminar una de
las coordenadas, en este caso . En efecto, al sustituir (1.68) en (1.67) el Lagrangiano
se puede escribirse ahora como,
2
2
1
L = m r + r2 '
2
mgr Sen '
(1.69)
Se observa que quedó en función de 2 coordenadas generalizadas, en este caso r y
', lo cual está en concordancia con el resultado (1.59).
Ecuaciones de Lagrange: de (1.69) se tiene que,
@L
@r
= mr'
@L
@'
=
2
mg Sen '
mgr Cos '
@L
@r
@L
@'
= mr )
d
dt
= mr2 ' )
@L
@r
d
dt
= mr
@L
@'
= 2mrr' + mr2 '
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 16
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
U
= 0 (por no existir este
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
j
tipo de fuerzas) se obtiene,
8
@L
< d @L
=0
dt
@r
o,
(
:
d
dt
@r
@L
@'
@L
@'
=0
2
r'
g Sen ' r = 0
g Cos ' + 2r' + r ' = 0
(1.70)
que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange pedidas, en coordenadas polares.
Las ecuaciones de movimiento (1.64) claramente son más simples que las ecuaciones (1.70). Por esta razón se escogerían coordenadas Cartesianas como coordenadas generalizadas para resolver este problema. La clave está en reconocer que en
estas coordenadas la energía potencial sólo depende de la coordenada y, mientras
que en coordenadas esféricas depende de r y '.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.6 F
Una partícula de masa m está obligada a moverse sobre la
superficie interna de un cono liso como se muestra en la figura 1.6, donde es un
ángulo constante. La partícula está sometida a la fuerza gravitacional. Encuentre las
ecuaciones de movimiento de Lagrange para este sistema.
SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Se usarán coordenadas cilíndricas
Ligaduras: en el sistema dado existe K (h) = 1 ligadura holónoma,
(
(h)
r = z Tg ) f1 = r z Tg = 0, haciendo quem se mueva
(1.71)
sobre la superficie del cono (ecuación del cono).
que es esclerónoma y, por lo tanto, el sistema es holónomo esclerónomo.
En el caso de usarse coordenadas Cartesianas la ligadura se puede expresar como,
x2 + y 2
1
2
= z Tg
(h)
) f1
= x2 + y 2
1
2
z Tg
=0
(1.72)
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existe
K = 1 ligadura holónoma entonces el número de grados de libertad es,
(h)
s = 3N
K (h) = 3 (1)
1=2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.73)
Pág.: 17
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Figura (1.6): Partícula de masa m que está obligada a moverse sobre la superficie interna de un cono
liso.
y el número mínimo de coordenadas generalizadas,
e = 3N
K (h) = 3 (1)
(1.74)
1=2
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: las energías cinética y potencial vienen dadas
respectivamente en coordenadas cilíndricas por,
2
2
2
1 2 1
mv = m r + r2 ' + z
2
2
U = mgz
T =
(1.75)
(1.76)
de aquí que el Lagrangiano venga dado por,
L=T
2
2
2
1
U = m r + r2 ' + z
2
mgz
(1.77)
Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a emplear el método implícito,
se usará la ligadura (1.71) para eliminar una de las coordenadas. Si se escogen r y '
como coordenadas generalizadas, al sustituir (1.71) en (1.77) el Lagrangiano se puede
escribir como,
2
2
1
mgr Ctg
(1.78)
L = m r Csc 2 + r2 '
2
Se observa que quedó en función de dos coordenadas generalizadas, en este caso r
y ', lo cual está en concordancia con el resultado (1.74).
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 18
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
Ecuaciones de Lagrange: de (1.78) se tiene que,
@L
@'
=0
@L
@r
= mr'
2
@L
@'
@L
@r
mg Ctg
= mr2 ' )
= mr Csc2
@L
@'
) dtd
d
dt
=
@L
@r
d
dt
mr2 '
= m r Csc2
U
= 0 (por no existir este
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
j
tipo de fuerzas) se obtiene,
8
@L
< d @L
=0
dt
@'
:
o,
(
@'
@L
@r
d
dt
@L
@r
=0
mr2 ' = c, c = constante.
0= r
2
r' Sen2
+ g Sen Cos
(1.79)
que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange pedidas. La primera ecuación
expresa la conservación del momento angular en torno al eje z y la segunda es la
ecuación de movimiento para la coordenada r. Existen fuerzas de ligadura pero este
método no permite calcularlas.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.7
Se consideran dos partículas de masas m1 y m2 unidas por tres
resortes de constantes de elasticidad k1 , k2 y k3 , como se muestra en la figura 1.7 y
cuyas longitudes naturales respectivas son `1 , `2 y `3 . Los extremos 0 y A están fijos y
distan entre sí D. Encuentre las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema.
SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Se usarán coordenadas Cartesianas
para ubicar a la masas m1 y m2 .
Ligaduras: en el sistema dado se tienen las K (h) = 4 ligaduras holónomas,
8 (
(h)
>
x1 = 0 ) f1 = x1 = 0
>
>
, que obligan a m1 a moverse sobre el eje y.
>
(h)
<
z = 0 ) f2 = z1 = 0
( 1
(h)
>
x2 = 0 ) f3 = x2 = 0
>
>
, que obligan a m2 a moverse sobre el eje y.
>
(h)
:
z =0)f =z =0
2
4
(1.80)
2
que son todas esclerónomas.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 4 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad es,
s = 3N
K (h) = 3 (2)
4=2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.81)
Pág.: 19
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Figura (1.7): Dos partículas de masas m1 y m2 unidas por tres resortes de constantes de elasticidad k1 , k2
y k3 a dos soportes fijos que está a una distancia D entre sí.
y el número mínimo de coordenadas generalizadas,
e = 3N
K (h) = 3 (2)
4=2
(1.82)
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Figura (1.8): Coordenadas generalizadas del sistema formado por dos masas m1 y m2 unidas por tres
resortes de constantes de elasticidad k1 , k2 y k3 a dos soportes fijos.
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: usando coordenadas Cartesianas, las energías
cinética y potencial totales vienen dadas por,
2
2
2
2
2
2
1
1
m1 x1 + y 1 + z 1 + m2 x2 + y 2 + z 2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
U =
k1 D1x
+ k1 D1y
+ k1 D1z
+ k2 D2x
+ k2 D2y
+ k2 D2z
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
+ k3 D3x
+ k3 D3y
+ k3 D3z
2
2
2
T =
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.83)
(1.84)
Pág.: 20
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
dondeDix , Diy y Diz son las deformaciones en el eje x, y y z respectivamente para el
i-ésimo (i = 1; 2; 3) resorte. Es fácil notar a partir de la figura 1.8 que,
8
>
< D1y = y1 `1
(1.85)
D2y = y2 y1 `2
>
:
D3y = D y2 `3
Finalmente el Lagrangiano del sistema dado se expresa como,
L = T
2
2
2
1
U = m1 x1 + y 1 + z 1 +
2
1
1
1
2
2
2
k1 D1y
k1 D1z
k2 D2x
2
2
2
1
1
2
2
k3 D3y
k3 D3z
2
2
2
2
2
1
m2 x2 + y 2 + z 2
2
1
1
2
2
k2 D2y
k2 D2z
2
2
1
2
k1 D1x
2
1
2
k3 D3x
2
(1.86)
Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se
pueden usar las ligaduras (1.80) para eliminar cuatro de las coordenadas en el Lagrangiano (1.86). En efecto,
L=T
2
2
1
1
U = m1 y 1 + m2 y 2
2
2
1
2
k1 D1y
2
1
2
k2 D2y
2
1
2
k3 D3y
2
(1.87)
o,
L =
2
2
1
1
1
m1 y 1 + m2 y 2
k1 (y1
2
2
2
1
k3 (D y2 `3 )2
2
`1 )2
1
k2 (y2
2
y1
`2 )2
(1.88)
Ecuaciones de Lagrange: como se puede ver en el anterior Lagrangiano, las coordenadas generalizadas para este sistema son y1 y y2 . De (1.88) se tiene que,
@L
= k1 (y1 `1 )
@y1
@L
= m1 y 1
@ y1
d
@L
= m1 y 1
dt @ y
1
+ k2 (y2
y1
`2 )
@L
= k2 (y2 y1
@x2
@L
= m2 y 2
@ x2
d
@L
= m2 y 2
dt @ x2
`2 ) + k3 (D
y2
`3 )
(1.89)
U
entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
= 0 (por no existir este
j
tipo de fuerzas) se obtiene,
!
d @L
@L
= 0
(1.90)
dt @ y 1
@y1
!
d @L
@L
= 0
(1.91)
dt @ y 2
@y2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 21
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Finalmente, al sustituir los resultados (1.89) en las ecuaciones (1.90) y (1.91) resulta,
(
m1 y 1 =
m2 y 2 =
k1 (y1
k2 (y2
`1 ) + k2 (y2 y1
y1 `2 ) + k3 (D
`2 )
y2 `3 )
(1.92)
que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange pedidas.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.8
En la figura 1.9 se muestra un péndulo simple de longitud `, masa
pendular m y ángulo de desplazamiento
colocado dentro de un vagón que se
mueve con una aceleración constante a en la dirección +x. Encuentre la ecuación
de movimiento de Lagrange del sistema y la frecuencia para pequeñas oscilaciones
de la masa pendular m. Tómese x = vo y x = 0 en t = 0.
Figura (1.9): Péndulo simple colocado dentro de un vagón que se mueve con una aceleración constante a en la dirección +x
SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Se usarán coordenadas Cartesianas
para la ubicación de la masa pendular m.
Ligaduras: en el sistema dado existen K (h) = 2 ligaduras holónomas,
8
(h)
z = 0 ) f1 = z = 0, que obliga a m a moverse sobre el plano xy.
>
>
>
< (x d)2 + y 2 = `2 ) f (h) = (x d)2 + y 2 `2 = 0, haciendo que
2
>
m
se
mueva
describiendo
un arco de circunferencia de radio `,
>
>
:
acoplándola al origen 0.
(1.93)
que son esclerónomas. Aquí d = vo t + 12 at2 que es la distancia recorrida por el vagón en
el tiempo t partiendo de xo = 0, en concordancia con el enunciado del problema.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 22
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
Grados de Libertad y Coordenadas Generalizadas mínimas: como existen K (h) = 2
ligaduras holónomas, entonces el número de grados de liberdad es,
s = 3N
K (h) = 3 (1)
(1.94)
2=1
y el número mínimo de coordenadas generalizadas,
= 3N
siendo
K (h) = 3 (1)
(1.95)
2=1
= s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Figura (1.10): Coordenadas Cartesianas para el pédulo simple de la figura 1.9.
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: usando coordenadas Cartesianas la energía
cinética vendrá dada por,
2
2
2
1
T = m x +y +z
(1.96)
2
y la potencial por,
U = mgy
(1.97)
donde se ha tomado y < 0, razón por la cual se ha colocado un signo menos para
garantizar que las energías U sean negativas como es requerido debido a la posición
del origen del sistema de coordenadas escogido. Nótese que U = 0 en y = 0 estableciéndose así el origen de potenciales en y = 0 como se indica en la figura 1.10.
Entonces, el Lagrangiano se puede escribir como,
L=T
2
2
2
1
U = m x + y + z + mgy
2
(1.98)
que es el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras presentes.
Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se
pueden usar las ligaduras (1.93) para eliminar dos de las coordenadas en el anterior
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 23
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
(h)
Lagrangiano. De la ligadura f2
en (1.93) se tiene que,
q
y = `2 (x d)2
Entonces, al sustituir (1.99) en (1.98) resulta,
2 2
`2 x + (x d)2 d d
6
1
L = m6
2 4
`2 (x d)2
3
(1.99)
2x 7
q
7 + mg `2
5
(x
d)2
(1.100)
quedando x como coordenada generalizada del sistema y donde,
1
d = vo t + at2
2
(1.101)
debido a lo enunciado en el ejemplo.
Es posible cambiar la coordenada generalizada x por el ángulo variable , aquiriendo este último estatus de coordenada generalizada del sistema y lográndose así obtener un Lagrangiano más simple. A partir deltriángulo 4ABC en la figura 1.10 la relación
entre x y viene dada por,
x d
Sen =
`
o,
x = d + ` Sen
(1.102)
Ahora, al sustituir (1.102) en (1.100) resulta después de algunos arreglos,
"
#
2
2
1
L = m d + ` Cos
+ `2 Sen2
+ mg` Cos
2
(1.103)
que al sustituirle (1.101) se transforma en,
1
L= m
2
2
vo + at + ` Cos
+ `2
2
Sen2
+ mg` Cos
(1.104)
que es el Lagrangiano del sistema considerando las ligaduras (1.93) pero donde ahora
es la coordenada generalizada del sistema. Nótese que este Lagrangiano es más
simple que el (1.100).
Es de hacer notar que el resultado (1.104) pudo haber sido obtenido al sustituir
directamente (como se puede deducir de la figura 1.10),
(
x = d + ` Sen = vo t + 21 at2 + ` Sen
(1.105)
y = ` Cos
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 24
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
(h)
(h)
en (1.98) considerando sólo la ligadura f1 . No se consideraría la ligadura f2
está contenida en (1.105) debido a que estas ecuaciones la satisfacen.
ya que
Ecuaciones de Lagrange: de (1.104) se tiene que,
@L
=
@
m`
Sen + m`2
vo + at + ` Cos
2
Sen Cos
mg` Sen
@L
d
dt
@
@L
Cos + m`2 Sen2
= m` vo + at + ` Cos
=
m`
vo + at + ` Cos
@
+m` Cos
Sen
a + ` Cos
`
2
+ 2m`2
Sen
2
Sen Cos
+m`2 Sen2
U
= 0 (por no existir este
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (??) con QN
j
tipo de fuerzas) se obtiene,
@L
d @L
=0
dt @
@
=
1
`
(1.106)
(g Sen + a Cos )
que es la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema.
Cálculo de las cantidades pedidas: se puede determinar el ángulo de equilibrio
al hacer = 0 en (1.106),
0 = g Sen
a
Tg e =
g
e
+ a Cos
e
(1.107)
e
(1.108)
Por otro lado, debido a que las oscilaciones son pequeñas y se dan en torno al
ángulo de equilibrio se puede escribir,
=
donde
e
(1.109)
+
es un ángulo pequeño. Entonces, al sustituir (1.109) en (1.106) resulta,
=
g
Sen (
`
e
a
Cos (
`
+ )
e
(1.110)
+ )
Ahora, al usar las identidades para el seno y coseno de la suma de dos ángulos y
usar la aproximación para ángulo pequeño Sen
1 y Cos
se obtiene,
=
1
[(g Sen
`
e
+ a Cos
e)
+
(g Cos
e
a Sen
e )]
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.111)
Pág.: 25
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Pero el primer término entre paréntesis es nulo debido a (1.107) quedando,
=
`
y al usar (1.108) se reduce a,
(g Cos
e
a Sen
e)
p
a2 + g 2
=0
`
que es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico simple con,
p
a2 + g 2
2
!o =
`
+
(1.112)
(1.113)
(1.114)
de donde,
!o =
a2 +g 2
`2
1
4
(1.115)
siendo esta la frecuencia pedida. Este resultado tiene sentido ya que para a = 0 !
p
! o = g=`, es decir, justamente la frecuencia angular del péndulo simple cuando el
vagón está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.9 F
Una cuenta de masa m se desplaza a lo largo de un alambre
liso (de masa despreciable) que tiene la forma de la parábola z = c (x2 + y 2 ) = cr2 (ver
figura 1.11) que rota en torno a su eje vertical de simetría con una velocidad angular
variable. Encontrar: (a) las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema y (b)
el valor de c suponiendo ahora que la velocidad angular del alambre tiene un valor
constante !, haciendo que la cuenta rote en un círculo de radio constante R.
SOLUCION: este es un sistema con ligaduras.
Ligaduras: en el sistema dado existen K (h) = 1 ligadura holónoma,
(
(h)
z = c (x2 + y 2 ) ) f1 = z c (x2 + y 2 ) = 0, haciendo
, en coordenadas
que m se mueva sobre la parábola.
Cartesianas.
n
(h)
z = cr2 ) f1 = z
(1.116)
cr2 = 0 , en coordenadas cilíndricas.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existe
K = 1 ligadura holónoma entonces el número de grados de libertad es,
(h)
s = 3N
K (h) = 3 (1)
1=2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.117)
Pág.: 26
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
Figura (1.11): Cuenta de masa m se desplaza a lo largo de un alambre liso, de masa despreciable, que
tiene la forma de la parábola z = cr2 .
y el número mínimo de coordenadas generalizadas,
e = 3N
K (h) = 3 (1)
(1.118)
1=2
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: usando coordenadas Cartesianas, las energías
cinética y potencial totales vienen dadas por,
2
2
2
1
m x +y +z
2
U = mgz
(1.119)
T =
(1.120)
donde U = 0 en z = 0. Entonces, el Lagrangiano se puede escribir como,
L=T
2
2
2
1
U = m x +y +z
2
mgz
(1.121)
y en coordenadas cilíndricas,
2
2
2
1
L = m r + r2 ' + z
2
mgz
(1.122)
Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se
usará la ligadura (1.116) para eliminar una de las coordenadas. Si se escogen r y ' como coordenadas generalizadas, al sustituir (1.116) en (1.122) el Lagrangiano se puede
escribir como,
2
2
m 2
L=
r + 4c2 r2 r + r2 '
mgcr2
(1.123)
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 27
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Ecuaciones de Lagrange: de (1.123) se tiene que,
2
@L
@r
= m 4c2 rr + r'
@L
@r
d
dt
= m r + 4c2 r2 r
@L
@r
2
2gcr
2
= m r + 8c2 rr + 4c2 r2 r
@L
@'
=0
@L
@'
d
dt
= mr2 '
@L
@'
=
d
dt
mr2 '
U
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
= 0 (por no existir este
j
tipo de fuerzas) se obtiene,
8
@L
< d @L
=0
dt
:
o,
(
d
dt
@r
@r
@L
@'
@L
@'
=0
2
r (1 + 4c2 r2 ) + 4c2 rr + r 2gc
'
2
=0
mr2 ' = C, C = constante.
(1.124)
que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema dado.
Cálculo de las cantidades pedidas: como para ' = ! =constante se tiene que
r = R, la primera de las ecuaciones (1.124) se reduce a,
2gc
!2 = 0
(1.125)
a partir de la cual,
c=
!2
2g
(1.126)
que es la cantidad pedida.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.10 F
Máquina de Atwood doble. Considérese el sistema de doble
polea mostrado en la figura 1.12. Se supone que las cuerdas tienen masa y deformación despreciable y que los radios, las masas y la fricción de las poleas son también
despreciables. Encontrar las ecuaciones de Lagrange del sistema dado y la aceleración de cada masa.
SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Aquí d es la distancia de la polea 2 al
origen 0 y las coordenadas de las masas m1 , m2 y m3 son (x1 ; y1 ; z1 ), (x2 ; y2 ; z2 ) y (x3 ; y3 ; z3 )
respectivamente.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 28
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
Figura (1.12): Máquina de Atwood doble.
Ligaduras: en el sistema dado existen K (h) = 7 ligaduras holónomas,
8 (
(h)
>
x1 = 0 ) f1 = x1 = 0
>
>
, que fijan a m1 sobre el plano xy.
>
(h)
>
>
z
=
0
)
f
=
z
=
0
>
1
1
2
>
(
>
>
(h)
>
x2 = 0 ) f3 = x2 = 0
>
>
, que fijan a m2 sobre el plano xy.
>
(h)
<
z2 = 0 ) f4 = z2 = 0
(
(h)
>
x3 = 0 ) f5 = x3 = 0
>
>
, que fijan a m3 sobre el plano xy.
>
(h)
>
>
z
=
0
)
f
=
z
=
0
>
3
3
6
>
>
(h)
>
>
> 2y1 + y2 + y3 = 2`1 + `2 ) f7 = 2y1 + y2 + y3 2`1 `2 = 0, que acopla el
>
>
: movimiento de m , m y m entre sí.
1
2
(1.127)
3
(h)
que son todas esclerónomas. La ligadura f7 se obtiene al combinar,
(
y1 + d = `1
y2 + y3 2d = `2
que son fáciles de deducir a partir de la figura dada.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 7 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad es,
s = 3N
K (h) = 3 (3)
7=2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.128)
Pág.: 29
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
y el número mínimo de coordenadas generalizadas,
K (h) = 3 (3)
e = 3N
(1.129)
7=2
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: la energía cinética total del sistema viene dada
por,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
(1.130)
T = m1 x1 + y 1 + z 1 + m2 x2 + y 2 + z 2 + m3 x3 + y 3 + z 3
2
2
2
Por otro lado, la energía potencial total U viene dada por,
U=
m1 gy1
m2 gy2
(1.131)
m3 gy3
Entonces, a partir de (1.130) y (1.131), el Lagrangiano se puede escribir como,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
U = m1 x1 + y 1 + z 1 + m2 x2 + y 2 + z 2 + m3 x3 + y 3 + z 3
2
2
2
+m1 gy1 + m2 gy2 + m3 gy3
(1.132)
L = T
Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se
usarán las ligaduras (1.127) para eliminar siete de las coordenadas. Si se escogen y1
y y2 como coordenadas generalizadas, al sustituir (1.127) en (1.132) el Lagrangiano se
puede escribir como,
L =
2
2
1
1
m1 + 2m3 y 1 + (m2 + m3 ) y 2 + 2m3 y 1 y 2 + (m1
2
2
+ (m2 m3 ) gy2 + m3 g (2`1 + `2 )
2m3 ) gy1
(1.133)
ya que a partir de la última de las ligaduras (1.127),
y3 =
2y 1
y2
(1.134)
Ecuaciones de Lagrange: de (1.133) se tiene que,
@L
= (m1 2m3 ) g
@y1
@L
= (m1 + 4m3 ) y 1 + 2m3 y 2
@ y1
d
@L
= (m1 + 4m3 ) y 1 + 2m3 y 2
dt @ y
1
@L
= (m2 m3 ) g
@y2
@L
= (m2 + m3 ) y 2 + 2m3 y 1
@ y2
d
@L
= (m2 + m3 ) y 2 + 2m3 y 1
dt @ y
2
U
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
= 0 (por no existir este
j
tipo de fuerzas) se obtiene,
8
@L
< d @L
=0
dt
@y1
:
d
dt
@ y1
@L
@ y2
@L
@y2
=0
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 30
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
o,
(
(m1 + 4m3 ) y 1 + 2m3 y 2 (m1 2m3 ) g = 0
(m2 + m3 ) y 2 + 2m3 y 1 (m2 m3 ) g = 0
(1.135)
que son las ecuaciones de Lagrange del sistema dado.
Cálculo de las cantidades pedidas: al resolver (1.135) para y 1 y y 2 se obtiene,
y1 =
m1 m2 +m1 m3 4m2 m3
m1 m2 +m1 m3 +4m2 m3
y2 =
m1 m2 3m1 m3 +4m2 m3
m1 m2 +m1 m3 +4m2 m3
g
g
(1.136)
(1.137)
y como a partir de (1.134),
y3 =
2y 1
(1.138)
y2
entonces,
y3 =
3m1 m2 +m1 m3 +4m2 m3
m1 m2 +m1 m3 +4m2 m3
g
(1.139)
Los resultados (1.136), (1.137) y (1.139) son las aceleraciones pedidas, coincidiendo
con las obtenidas para el mismo sistema en los cursos de Física Elemental.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.11
Considérese un disco sólido homogéneo de masa M , centro 00 y
radio R1 que rueda sin resbalar dentro de la superficie semicircular fija y lisa con centro
0 y radio R2 > R1 (ver figura 1.13). Encuentre la ecuación de movimiento de Lagrange
para el sistema dado y el período para pequeñas oscilaciones ( pequeño) del disco
en torno a la posición de equilibrio.
SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Un cuerpo rígido (ver sección ?? en
lo referente a ligaduras holónomas en un cuerpo rígido) tiene 6 grados de libertad
cuando no hay presencia de ligaduras que los reduzcan. Para el estudio del movimiento del disco se considerará su centro de masa (que se encuentra posicionado en
el centro geométrico del disco por ser homogéneo), cuyas coordenadas de posición
son (R; 'cm ; zcm )1 en coordenadas cilíndricas. Se usó R en vez de r para posicionar el
centro de masa ya que esta es la notación que se usó en el capítulo ?? para tal fin.
1
Se usa R en vez de r para la coordenada radial para hacer incapié que R representa el módulo del
vector de posición del centro de masa del disco.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 31
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Figura (1.13): Disco sólido de centro O0 y radio R1 que rueda sin resbalar dentro de la superficie semicircular fija con centro O y radio R2 > R1 .
Ligaduras: en el presente caso se tienen las K (h) = 5 ligaduras holónomas,
8
(h)
>
zcm = 0 ) f1 = zcm = 0, que limita el movimiento del disco al plano xy
>
>
>
(h)
>
>
= 0 ) f2 = = 0, no hay rotación en torno al eje x.
>
>
>
(h)
>
>
< = 0 ) f3 = = 0, no hay rotación en torno al eje y.
(h)
(R2 R1 ) = R1 ) f4 = (R2 R1 )
R2 = 0, hay rotación en torno
>
>
>
al eje z.
>
>
>
(h)
>
>
R = R2 R1 ) f5 = R R2 + R1 = 0, que limita el movimiento del disco
>
>
>
: a la superficie semicircular.
(1.140)
que son esclerónomas. Aquí , y son los ángulos de rotación del disco en torno de
los ejes coordenados x, y y z respectivamente.
(h)
(h)
La ligadura f5 es muy fácil de deducir de la figura 1.14. La ligadura f4 proviene
del hecho de que la longitud de arco Se = R1 recorrida por el punto de contacto
P sobre el borde del disco es igual (ya que el disco no desliza) a la longitud de arco
S = (R2 R1 ) recorrida por el centro de masa. Por lo tanto,
(R2
R1 )
= R1
o,
(h)
f4
= (R2
R1 )
R1 = 0
(1.141)
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 5 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad del disco
es,
s = 6 K (h) = 6 5 = 1
(1.142)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 32
1.1. SISTEMAS SIN LIGADURAS Y CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA
IMPLÍCITA
Figura (1.14): Coordenadas del centro de masa del disco.
y el número mínimo de coordenadas generalizadas,
e=6
K (h) = 6
(1.143)
5=1
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo. Por lo tanto, de usarse
el método implícito, la descripción del sistema se podría hacer con una sola coordenada generalizada.
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas cilíndricas se tiene que la
energía cinética total del sistema viene dada por,
1
T = M
2
|
2
2
2
1
R + R2 'cm + z cm + I
2
{z
} |
T del centro de masa
2
1
+ I
2 {z
2
2
1
+ I
2
}
(1.144)
T rotacional
donde los tres últimos términos representan las energías cinéticas rotacionales del disco, con I , I e I los momentos de inercia del mismo. La energía potencial (para el
origen de potencial escogido) viene dada por,
U = M gycm = M gR Sen ' = M gR Sen
|
3
2
=
{z
M gR Cos
(1.145)
}
=' (ver figura 1.14)
de manera que el Lagrangiano viene dado por,
L=T
1
U= M
2
|
2
2
2
1
R + R2 'cm + z cm + I
2
{z
} |
T del centro de masa
2
1
+ I
2 {z
2
2
1
+ I
+ M gR Cos
2
}
(1.146)
T rotacional
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 33
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
que es el Lagrangiano del sistema sin considerar las ligaduras (1.140).
Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, se
usarán lan ligaduras (1.140) para eliminar 5 de las coordenadas. Al sustituir (1.140) en
, el Lagrangiano se puede escribir como,
(1.146) y teniendo presente que ' = 32
1
L = M (R2
2
2
2
R1 )
R2
1
+ I
2
o,
R1
2
R1
2
+ M g (R2
2
I
1
(R2 R1 )2 M + 2
+ M g (R2
2
R1
Ecuaciones de Lagrange: de (1.147) se tiene que,
L=
@L
@
@L
@
d
dt
=
@L
@
2
R1 )
= (R2
R1 ) Cos
(1.147)
R1 ) Sen
M g (R2
= (R2
R1 ) Cos
M+
I
R21
R1 )2 M +
I
R21
U
= 0 (por no existir este
Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
j
tipo de fuerzas) se obtiene,
d @L
@L
=0
dt @
@
(R2
R1 ) M +
I
R21
+ M g Sen
=0
(1.148)
que es la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema para la coordenada generalizada .
Cálculo de las cantidades pedidas: para pequeño la ecuación (1.148) puede ser
escrita como,
2g
+
=0
(1.149)
3 (R2 R1 )
ya que Sen
e I = 21 M R21 (ver referencias [?], [?] [?] por ejemplo). Esta ecuación
es idéntica a la del oscilador armónico simple,
+ ! 2o = 0
con,
2g
! 2o =
Por lo tanto, el período de oscilación
=
2
!o
(1.150)
3 (R2 R1 )
del disco vendrá dado por,
=2
q
3
2g
(R2
R1 )
(1.151)
(1.152)
..............................................................................................
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 34
1.2. SISTEMAS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA EXPLÍCITA
1.2.
Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma
explícita
Los ejemplos siguientes representan sistemas holónomos donde las ligaduras
serán usadas en forma explícita. Recuérdese que en estos casos el número de coordenadas generalizadas a utilizar es = 3N , es decir, el total de las coordenadas:
dependientes + independientes.
Se dirá que las ligaduras holónomas son empleadas en Forma Explícita
cuando no se utilicen para eliminar las coordenadas dependientes, efectuándose la descripción del sistema de partículas dado con la totalidad
(dependientes + independientes) de sus coordenadas.
Pasos a seguir para estudiar el sistema mecánico dado cuando se usan ligaduras
holónomas en forma explícita:
1. Se identifican las ligaduras presentes en el sistema dado.
2. Se halla el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema.
3. Se construye el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras.
4. Se encuentran las ecuaciones de Lagrange (1.5).
5. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones formado por las Ecuaciones de Lagrange y las ecuaciones de ligadura. Las fuerzas
generalizadas de ligadura se calculan también a partir de (1.5).
Al igual que antes, los anteriores pasos son una simple guía para resolver los problemas no pretendiendo ser reglas de estricto cumplimiento.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.12 F
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.1.
SOLUCION:
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 35
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas:
todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.1 (1.6), (1.7) y (1.8) respectivamente,
(
(h)
z = 0 ) f1 = z = 0
(1.153)
(h)
y = x Tg + h ) f2 = y + x Tg
h=0
s = 1
(1.154)
e = 1
(1.155)
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Lagrangiano sin ligaduras incluidas y ligaduras: a partir de (1.11) el Lagrangiano sin
tomar en cuenta las ligaduras presentes viene dado por,
2
2
2
1
L= m x +y +z
2
(1.156)
mgy
Ecuaciones de Lagrange: de (1.153) y (1.156) se tiene que,
8
@L
@L
@L
>
=0
= mg
=0
>
@x
@y
@z
>
>
@L
@L
@L
>
>
= mx
= my
= mz
>
>
@y
@z
< @x
d
@L
= m x dtd @L = m y dtd @L = m z
dt
@x
@y
@z
>
(h)
(h)
(h)
>
>
@f1
@f1
@f1
>
=0
=0
=1
>
@x
@y
@z
>
>
(h)
(h)
(h)
>
@f
@f
@f
: 2 = Tg
2
2
=1
=0
@x
@y
@z
9
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
;
(1.157)
U
= 0 (por no
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
j
existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
ya que aquí K
(h)
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
@L
@x
@L
@x
=
2
X
(h)
@fl
l @x
(h)
=
@f1
1 @x
=
@f1
1 @y
=
@f1
1 @z
(h)
+
@f2
2 @x
+
@f2
2 @y
+
@f2
2 @z
l=1
d
dt
@L
@y
@L
@y
=
2
X
(h)
@fl
l @y
(h)
(h)
(1.158)
l=1
d
dt
@L
@z
@L
@z
=
2
X
(h)
@fl
l @z
(h)
(h)
l=1
= 2. Ahora, al sustituir los resultados (1.157) en (1.158) se obtiene,
8
>
< m x = 2 Tg
(1.159)
m y + mg = 2
>
:
mz = 1
que son las ecuaciones de Lagrange del sistema dado.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 36
1.2. SISTEMAS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA EXPLÍCITA
Cálculo de las cantidades pedidas: del sistema formado por las dos primeras ecuaciones (1.159) es fácil encontrar que,
2
= mg Cos2
(h)
y de la última en conjunto con la ligadura f1
1
(1.160)
en (1.153) se obtiene que,
(1.161)
=0
Por lo tanto, a partir de (1.5), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas
por,
8
2
X
(h)
>
@fl
>
lig
lig
>
Q
=
Q
=
= 2 Tg = mg Cos Sen
>
l
1
x
@x
>
>
>
l=1
>
>
2
<
X
(h)
@fl
lig
2
lig
(1.162)
Q2 = Qy =
l @y = 2 = mg Cos
>
>
l=1
>
>
2
>
X
>
(h)
>
@fl
lig
lig
>
>
Q
=
=
Q
l @z = 1 = 0
z
: 3
l=1
que representan las componentes en el referencial escogido.
Entonces, la magnitud de la resultante de las fuerzas generalizadas de ligadura
vendrá dada por,
r
Qlig =
Qlig
x
2
+ Qlig
y
2
+ Qlig
z
2
= mg Cos
(1.163)
que no es más que la fuerza normal ya calculada en cursos de Física Elemental para
el sistema dado.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.13 F
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.3.
SOLUCION:
Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas:
todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.3 (1.36), (1.38) y (1.38) respectivamente,
8
(h)
>
x1 = 0 ) f1 = x1 = 0
>
>
>
(h)
>
>
< z1 = 0 ) f2 = z1 = 0
(h)
(1.164)
x2 = 0 ) f3 = x2 = 0
>
>
(h)
>
z2 = 0 ) f4 = z2 = 0
>
>
>
: y + y = ` ) f (h) = y + y
`=0
1
2
1
2
5
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 37
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
s = 1
(1.165)
e = 1
(1.166)
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: a partir de (1.41) el Lagrangiano sin tomar en
cuenta las ligaduras presentes viene dado por,
L=
i
2
2
2
2
2
2
1h
M1 x1 + y 1 + z 1 + M2 x2 + y 2 + z 2 + g (M1 y1 + M2 y2 )
2
(1.167)
Ecuaciones de Lagrange: de (1.164) y (1.167) se tiene que,
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
@L
=0
@x1
@L
= M1 x 1
@ x1
d
@L
= M1 x 1
dt @ x1
(h)
@f1
=1
@x1
(h)
@f2
=0
@x1
(h)
@f3
=0
@x1
(h)
@f4
=0
@x1
(h)
@f5
=0
@x1
@L
= M1 g
@y1
@L
= M1 y 1
@ y1
@L
d
= M1 y 1
dt @ y
1
(h)
@f1
=0
@y1
(h)
@f2
=0
@y1
(h)
@f3
=0
@y1
(h)
@f4
=0
@y1
(h)
@f5
=1
@y1
@L
=0
@z1
@L
= M1 z 1
@ z1
@L
d
= M1 z 1
dt @ z 1
(h)
@f1
=0
@z1
(h)
@f2
=1
@z1
(h)
@f3
=0
@z1
(h)
@f4
=0
@z1
(h)
@f5
=0
@z1
@L
=0
@x2
@L
= M2 x 2
@ x2
d
@L
= M2 x 2
dt @ x2
(h)
@f1
=0
@x2
(h)
@f2
=0
@x2
(h)
@f3
=1
@x2
(h)
@f4
=0
@x2
(h)
@f5
=0
@x2
@L
= M2 g
@y2
@L
= M2 y 2
@ y2
d
@L
= M2 y 2
dt @ y
2
(h)
@f1
=0
@y2
(h)
@f2
=0
@y2
(h)
@f3
=0
@y2
(h)
@f4
=0
@y2
(h)
@f5
=1
@y2
@L
=0
@z2
@L
= M2 z 2
@ z2
d
@L
= M2 z 2
dt @ z 2
(h)
@f1
=0
@z2
(h)
@f2
=0
@z2
(h)
@f3
=0
@z2
(h)
@f4
=1
@z2
(h)
@f5
=0
@z2
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
(1.168)
(1.169)
U
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
= 0 (por no existir
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 38
1.2. SISTEMAS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA EXPLÍCITA
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
@L
@ x1
@L
@ y1
@L
@ z1
@L
@ x2
@L
@ y2
@L
@ z2
@L
@x1
=
5
X
(h)
@fl
l @x1
(h)
=
@f1
1 @x1
=
@f1
1 @y1
=
@f1
1 @z1
=
@f1
1 @x2
=
@f1
1 @y2
=
@f1
1 @z2
(h)
+
@f2
2 @x1
+
@f2
2 @y1
+
@f2
2 @z1
+
@f2
2 @x2
+
@f2
2 @y2
+
@f2
2 @z2
(h)
+
@f3
3 @x1
+
@f3
3 @y1
+
@f3
3 @z1
+
@f3
3 @x2
+
@f3
3 @y2
+
@f3
3 @z2
(h)
+
@f4
4 @x1
+
@f4
4 @y1
+
@f4
4 @z1
+
@f4
4 @x2
+
@f4
4 @y2
+
@f4
4 @z2
(h)
+
@f5
5 @x1
+
@f5
5 @y1
+
@f5
5 @z1
+
@f5
5 @x2
+
@f5
5 @y2
+
@f5
5 @z2
l=1
@L
@y1
=
5
X
(h)
@fl
l @y1
(h)
(h)
(h)
(h)
(h)
l=1
@L
@z1
=
5
X
(h)
@fl
l @z1
(h)
(h)
(h)
(h)
(h)
l=1
@L
@x2
=
5
X
(1.170)
(h)
@fl
l @x2
(h)
(h)
(h)
(h)
(h)
l=1
@L
@y2
=
5
X
(h)
@fl
l @y2
(h)
(h)
(h)
(h)
(h)
l=1
@L
@z2
=
5
X
(h)
@fl
l @z2
(h)
(h)
(h)
(h)
(h)
l=1
ya que aquí K (h) = 5. Ahora, al sustituir
obtiene,
8
>
M1 x 1
>
>
>
>
>
M1 y 1
>
>
>
< M z
1 1
>
M2 x 2
>
>
>
>
>
M2 y 2
>
>
>
: M z
2 2
los resultados (1.168) y (1.169) en (1.170) se
=
1
M1 g =
=
=
2
(1.171)
3
M2 g =
=
5
5
4
que son las ecuaciones de Lagrange del sistema dado.
(h)
Cálculo de las cantidades pedidas: del sistema formado por la ligadura f5
(1.164) más la segunda y quinta de las ecuaciones (1.171) es fácil encontrar que,
5
=
2M1 M2
g
M1 + M2
en
(1.172)
y del resto de las ecuaciones (1.171) junto con las ligaduras (1.164) resulta,
8
>
>
>
<
>
>
>
:
1
2
3
4
=0
=0
=0
=0
(1.173)
Por lo tanto, a partir de (1.5), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 39
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
por,
8
5
X
>
>
lig
>
Q
=
>
x1
>
>
>
l=1
>
>
5
>
X
>
>
lig
>
Qy1 =
>
>
>
>
l=1
>
>
5
>
X
>
>
lig
>
>
< Qz1 =
l=1
5
X
>
>
>
Qlig
>
x2 =
>
>
>
l=1
>
>
5
>
X
>
>
lig
>
>
Qy2 =
>
>
>
>
l=1
>
>
5
>
X
>
>
lig
>
: Qz2 =
(h)
@fl
l @x1
=
1
=0
=
5
=
=
2
=0
(h)
@fl
l @y1
2M1 M2
g
M1 +M2
(h)
@fl
l @z1
(1.174)
(h)
@fl
l @x2
=
3
=0
=
5
=
=
4
=0
(h)
@fl
l @y2
2M1 M2
g
M1 +M2
(h)
@fl
l @z2
l=1
lig
observándose que Qlig
y1 = Qy2 , las cuales representan la tensión de la cuerda. Este resultado coincide con la tensión de la cuerda que se calcula en cursos de Física Elemental. Las aceleraciones y 1 y y 2 se pueden encontrar al sustituir (1.172) en la segunda
y quinta ecuación (1.171), coincidiendo completamente con los resultados (1.44) y
(1.45).
..............................................................................................
EJEMPLO 5.14 F
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo 5.9.
SOLUCION:
Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas:
todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.9 (1.116), (1.117) y (1.118) respectivamente,
(h)
z = cr2 ) f1
=z
cr2 = 0
(1.175)
s = 2
(1.176)
e = 2
(1.177)
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 40
1.2. SISTEMAS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA EXPLÍCITA
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: a partir de (1.122) el Lagrangiano sin tomar en
cuenta las ligaduras presentes viene dado por,
2
2
2
1
mgz
L = m r + r2 ' + z
2
Ecuaciones de Lagrange: de (1.175) y (1.178) se tiene que,
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
@L
@r
@L
@r
d
dt
2
= mr
@L
@'
@L
@'
d
dt
2cr
@f1
@'
= rm'
= mr
@L
@r
(h)
@f1
@r
@L
@z
@L
@z
d
dt
=0
= mr2 '
@L
@'
=
d
dt
mr2 '
(h)
=
=
= mz
(h)
9
>
>
>
>
>
=
= mz >
>
>
>
>
;
=1
@L
@z
@f1
@z
=0
mg
(1.178)
(1.179)
U
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
= 0 (por no existir
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
@L
@r
@L
@r
=
1
X
(h)
@fl
l @r
(h)
=
@f1
1 @r
=
@f1
1 @'
=
@f1
1 @z
l=1
d
dt
d
dt
@L
@'
@L
@z
@L
@'
@L
@z
=
=
1
X
l=1
1
X
(h)
@fl
l @'
(h)
(h)
@fl
l @z
(1.180)
(h)
l=1
ya que aquí K (h) = 1. Ahora, al sustituir los resultados (1.179) en (1.180) se obtiene,
8
2
>
< m r rm' = 2 1 cr
mr2 ' = C, C = constante
>
:
m z + mg = 1
(1.181)
que son las ecuaciones de Lagrange o ecuaciones de movimiento del sistema dado.
Cálculo de las cantidades pedidas: si se tienen presentes las simplificaciones introducidas al final del ejemplo 5.9 (r = R y ' = !), el sistema de ecuaciones (1.181) se
reduce a,
8
2
>
< m! = 2c 1
(1.182)
mR2 ! = C, C = constante.
>
:
m z + mg = 1
A partir de la segunda ecuación y teniendo presente la ligadura (1.175) resulta que,
1
= mg
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.183)
Pág.: 41
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
cantidad que al ser sustituida en la primera de las ecuaciones (1.182) conduce a que
el valor de c sea,
!2
(1.184)
c=
2g
observándose la completa concordancia con el resultado (1.126) obtenido en el ejemplo 5.9. Aquí 1 proporciona información adicional que no era posible de obtener mediante el método empleado en el mencionado ejemplo.
Finalmente, a partir de (1.5), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas
por,
8
1
X
>
>
lig
>
=
Q
>
r
>
>
>
l=1
>
>
1
<
X
=
Qlig
'
>
>
l=1
>
>
1
>
X
>
>
lig
>
>
: Qz =
(h)
@fl
l @r
(h)
=
@f1
1 @r
=
@f1
1 @'
=
@f1
1 @z
(h)
@fl
l @'
m! 2 R
(h)
(h)
@fl
l @z
=
=0
(1.185)
(h)
= mg
l=1
donde la primera y la última representan, respectivamente, la fuerza centrípeta y el
peso.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.15
Un disco sólido homogéneo, de masa M y radio R, rueda sin
resbalar hacia abajo en un plano inclinado (ver figura 1.15). Encontrar: (a) las ecuaciones de movimiento de Lagrange, (b) las fuerzas generalizadas de ligadura y (c) la
aceleración angular del disco.
SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Un cuerpo rígido tiene 6 grados de
libertad cuando no hay presencia de ligaduras que los reduzcan. Para el estudio del
movimiento del disco se considerará su centro de masa (que se encuentra en el centro geométrico del disco, por ser homogéneo) cuyas coordenadas de posición son
(xcm ; ycm ; zcm ).
Ligaduras: en el presente caso se tienen las K (h) = 5 ligaduras holónomas,
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 42
1.2. SISTEMAS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA EXPLÍCITA
Figura (1.15): Disco de masa M y radio R rueda, sin resbalar, hacia abajo en un plano inclinado.
8
(h)
>
zcm = 0 ) f1 = zcm = 0, que limita el movimiento del disco al plano xy
>
>
>
(h)
>
>
= 0 ) f2 = = 0, no hay rotación en torno al eje x.
>
>
>
(h)
>
>
< = 0 ) f3 = = 0, no hay rotación en torno al eje y.
(h)
(xcm R Sen ) Sec = R ) f4 = (xcm R Sen ) Sec
R = 0, hay
>
>
>
rotación en torno al eje z.
>
>
>
(h)
>
>
ycm = xcm Tg + R Sec + ` Sen ) f5 = ycm + xcm Tg
R Sec
` Sen
>
>
>
: que limita el movimiento del disco a la superficie del plano inclinado.
= 0,
(1.186)
que son esclerónomas. Aquí , y son los ángulos de rotación del disco en torno de
los ejes coordenados x, y y z respectivamente.
(h)
La ligadura f4 proviene del hecho de que la longitud de arco Se = R recorrida por
el punto de contacto P sobre el borde del disco es igual (ya que el disco no desliza) a
la distancia S recorrida por el mismo sobre la superficie del plano inclinado. En efecto,
de la figura 1.16 es fácil notar que,
pero,
xcm = x + x
e
(
x = S Cos
x
e = R Sen
(1.187)
(1.188)
entonces al sustituir (1.188) en (1.188) resulta,
S = (xcm
R Sen ) Sec
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.189)
Pág.: 43
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
(h)
Figura (1.16): Detalles para encontrar las ecuaciones de ligadura f4
la figura 1.15.
que debe ser igual a Se = R resultando,
(xcm
R Sen ) Sec
(h)
y f5
para el sistema mostrado en
=R
o,
(h)
f4
R Sen ) Sec
= (xcm
R =0
(1.190)
(h)
Por otro lado, la ligadura f5 se construye al escribir la ecuación de la trayectoria
del centro de masa, es decir, la ecuación de la recta que la representa. En efecto, a
partir de la figura 1.16 es fácil notar que el punto de corte b de la trayectoria del centro
de masa con el eje y viene dado por,
pero,
(
b = h+e
h
h = ` Sen
e
h = R Sec
(1.191)
(1.192)
entonces al sustituir (1.192) en (1.191) resulta,
b = ` Sen + R Sec
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.193)
Pág.: 44
1.2. SISTEMAS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA EXPLÍCITA
de aquí que la ecuación de la recta que representa la trayectoria del centro de masa
venga dada por,
ycm =
ya que su pendiente es
(1.194)
Tg xcm + ` Sen + R Sec
Tg . Entonces,
(h)
f5
= ycm + Tg xcm
(1.195)
R Sec
` Sen
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 5 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad del disco
es,
s=6
K (h) = 6
(1.196)
5=1
y el número mínimo de coordenadas generalizadas,
e=6
K (h) = 6
(1.197)
5=1
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo. Por lo tanto, de usarse
el método implícito, la descripción del sistema se podría hacer con una sola coordenada generalizada.
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas Cartesianas se tiene que la
energía cinética total del sistema viene dada por,
2
2
2
1
1
T = M xcm + y cm + z cm + I
|2
{z
} |2
2
T del centro de masa
1
+ I
2 {z
2
1
+ I
2
T rotacional
2
(1.198)
}
donde los tres últimos términos representan las energías cinéticas rotacionales del disco, con I , I e I los momentos de inercia del mismo. La energía potencial (para el
origen de potencial escogido) viene dada por,
(1.199)
U = M gycm
de manera que el Lagrangiano viene dado por,
L=T
2
2
2
1
1
U = M xcm + y cm + z cm +
2
2
I
2
2
+I
+I
2
M gycm
(1.200)
que es el Lagrangiano del sistema sin considerar las ligaduras (1.186).
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 45
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Ecuaciones de Lagrange: de (1.186) y (1.200) se tiene que,
8
@L
@L
@L
>
=0
= Mg
=0
>
@xcm
@ycm
@zcm
>
>
>
@L
@L
@L
>
= M xcm
= M y cm
= M z cm
>
>
@ xcm
@ y cm
@ z cm
>
>
>
@L
d
>
= M x cm dtd @L = M y cm dtd @L = M z cm
>
dt @ xcm
>
@ y cm
@ z cm
>
>
(h)
(h)
>
@f1
@f1
< @f1(h) = 0
=0
=1
@xcm
@ycm
@zcm
(h)
(h)
(h)
@f2
@f2
@f2
>
>
=0
=0
=0
>
@xcm
@ycm
@zcm
>
(h)
(h)
(h)
>
>
@f3
@f3
@f3
>
=0
=0
=0
>
@ycm
@zcm
> @x(h)
cm
>
(h)
(h)
>
@f4
@f4
@f4
>
>
= Sec
=0
=0
>
@xcm
@ycm
@zcm
>
>
(h)
(h)
(h)
>
@f
@f
@f
: 5 = Tg
5
5
=1
=0
@xcm
@ycm
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
=0
@L
@
=0
@L
@
=0
@L
@
=I
@L
=I
@L
@
=I
d
dt
@L
@
d
dt
@L
@
@
d
dt
(h)
@f1
@
(h)
@f2
@
(h)
@f3
@
(h)
@f4
@
(h)
@f5
@
@L
=I
@
(h)
@f1
@
(h)
@f2
@
(h)
@f3
@
(h)
@f4
@
(h)
@f5
@
=0
=1
=0
=0
=0
=I
(h)
@f1
@
(h)
@f2
@
(h)
@f3
@
(h)
@f4
@
(h)
@f5
@
=0
=0
=1
=0
=0
=0
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
(1.202)
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
=0
=0
R
=
(1.201)
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
@zcm
@L
@
=I
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
=0
U
= 0 (por no existir
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
@L
@ xcm
@L
@ y cm
@L
@ z cm
@L
@
@L
@
@L
@
@L
@xcm
5
X
=
(h)
@fl
l @xcm
(h)
=
@f1
1 @xcm
=
@f1
1 @ycm
=
@f1
1 @zcm
(h)
+
@f2
2 @xcm
+
@f2
2 @ycm
+
@f2
2 @zcm
(h)
+
@f3
3 @xcm
+
@f3
3 @ycm
+
@f3
3 @zcm
(h)
+
@f4
4 @xcm
+
@f4
4 @ycm
+
@f4
4 @zcm
(h)
+
@f5
5 @xcm
+
@f5
5 @ycm
+
@f5
5 @zcm
l=1
@L
@ycm
=
5
X
(h)
@fl
l @ycm
(h)
(h)
(h)
(h)
(h)
l=1
@L
@zcm
=
5
X
(h)
@fl
l @zcm
(h)
(h)
(h)
(h)
(h)
l=1
@L
@
@L
@
=
5
X
=
l=1
5
X
(1.203)
(h)
@fl
l @
(h)
=
(h)
@fl
l @
@f1
1 @
(h)
+
(h)
=
@f1
1 @
@f2
2 @
(h)
+
(h)
+
@f2
2 @
@f3
3 @
(h)
+
(h)
+
@f3
3 @
@f4
4 @
(h)
+
(h)
+
@f4
4 @
@f5
5 @
(h)
+
@f5
5 @
l=1
@L
@
=
5
X
(h)
@fl
l @
(h)
=
@f1
1 @
(h)
+
@f2
2 @
(h)
+
@f3
3 @
(h)
+
@f4
4 @
(h)
+
@f5
5 @
l=1
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 46
1.2. SISTEMAS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA EXPLÍCITA
ya que aquí K (h) = 5. Ahora, al sustituir los resultados (1.201) y (1.202) en (1.203) se
obtiene,
8
>
M x cm = 4 Sec + 5 Tg
>
>
>
>
>
M y cm + M g = 5
>
>
>
< M z cm = 1
(1.204)
>
I = 2
>
>
>
>
>
> I = 3
>
>
:
I =
4R
que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema dado.
Cálculo de las cantidades pedidas:
(a) Ecuaciones de movimiento: son las dadas por (1.204)
(b) Fuerzas generalizadas de ligadura: para hallarlas es necesario primero encontrar los multiplicadores de Lagrange 1 , 2 , 3 , 4 y 5 presentes en (1.204). Al sustituir las
(h)
(h)
(h)
ligaduras f1 , f2 y f3 en las mencionadas ecuaciones resulta,
8
>
< 1=0
(1.205)
2 = 0
>
:
3 = 0
reduciéndose el sistema de ecuaciones de movimiento a,
8
>
< M x cm = 4 Sec + 5 Tg
M y cm + M g = 5
>
:
I =
4R
(1.206)
(h)
Al hallar la segunda derivada total con respecto al tiempo t de las ligaduras f4 y
(h)
f5 se obtiene,
(
x cm Sec
R =0
(1.207)
y cm + x cm Tg = 0
a partir de las cuales,
(
x cm = R Cos
y cm = R Sen
que al ser sustituidas en (1.206) se obtiene,
(
1
M g Sen
4 =
3
2
Sen2
5 = Mg 1
3
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.208)
(1.209)
Pág.: 47
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Finalmente, a partir de (1.5), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas
por,
8
5
X
(h)
>
@fl
>
lig
>
=
= 32 M g Sen Cos
Q
l @xcm = 4 Sec + 5 Tg
>
x
cm
>
>
>
l=1
>
>
5
>
X
(h)
>
@fl
>
lig
>
=
Q
= 5 = M g 1 23 Sen2
>
l
y
cm
@ycm
>
>
>
l=1
>
>
5
>
X
(h)
>
@fl
>
lig
>
= 1=0
Q
=
>
l
z
cm
@zcm
<
l=1
5
X
>
>
lig
>
Q =
>
>
>
>
l=1
>
>
5
>
X
>
>
lig
>
>
Q =
>
>
>
>
l=1
>
>
5
>
X
>
>
lig
>
: Q =
l=1
(1.210)
(h)
@fl
l @
=
2
=0
=
3
=0
(h)
@fl
l @
(h)
@fl
l @
=
4R
= 13 M gR Sen
Estas son las fuerzas generalizadas de ligadura requeridas para mantener el disco rodando sobre el plano sin resbalar.
(c) La aceleración angular: a partir de la última de las ecuaciones (1.206) y del
primer resultado en (1.209) se obtiene que,
=
2
g
3R
Sen
(1.211)
ya que I = 21 M R2 (ver referencias [?], [?] [?] por ejemplo).
..............................................................................................
EJEMPLO 5.16
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo
5.11.
SOLUCION:
Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas:
todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.11 (1.140), (1.142) y (1.143) respectivamente,
8
(h)
>
zcm = 0 ) f1 = zcm = 0
>
>
>
(h)
>
>
< = 0 ) f2 = = 0
(h)
(1.212)
= 0 ) f3 = = 0
>
>
(h)
>
(R2 R1 ) = R1 ) f4 = (R2 R1 )
R1 = 0
>
>
>
(h)
: R=R
R1 ) f5 = R R2 + R1 = 0
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 48
1.2. SISTEMAS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA EXPLÍCITA
s = 1
(1.213)
e = 1
(1.214)
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: a partir de (1.146) el Lagrangiano sin tomar en
cuenta las ligaduras presentes viene dado por,
2
1
L= M
2
o,
ya que ' =
3
2
1
+ I
2
2
R + R 'cm + z cm
2
1
L= M
2
2
2
R + R2
2
2
+ z cm
1
+ I
2
2
2
2
1
+ I
2
1
+ I
2
2
1
+ I
2
2
+ M gR Cos
2
1
+ I
2
(1.215)
+ M gR Cos
.
Ecuaciones de Lagrange: de (1.212) y (1.215) se tiene que,
8
2
@L
@L
@L
>
=0
=
M
R
+ M g Cos
= M gR Sen
>
@R
@
@zcm
>
>
>
@L
@L
@L
>
>
= M R2
= MR
= M z cm
>
>
@
@
z cm
@R
>
>
>
d
@L
d
@L
>
= M z cm
= M R2 + 2M RR
> dtd @L = M R
>
dt @
dt @ z cm
>
>
(h)
(h)
< @f1(h)@ R
@f1
@f1
=1
=0
=0
@R
@
@zcm
(h)
(h)
(h)
>
@f2
@f2
@f2
>
>
=0
=0
=0
>
@R
@
@zcm
>
(h)
(h)
(h)
>
>
@f3
@f3
@f3
>
=0
=0
=0
>
@R
@
@zcm
>
> @f (h)
(h)
(h)
>
@f
@f
>
4
4
4
>
=0
= R2 R1
=0
>
@R
@
@zcm
>
>
(h)
(h)
(h)
: @f5
@f5
@f5
=1
=0
=0
@R
@
@zcm
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
@L
@
=0
@L
@
=0
@L
@
=0
@L
@
=I
@L
=I
@L
=I
d
dt
@L
@
@
=I
d
dt
@L
@
(h)
(h)
@f1
@
(h)
@f2
@
(h)
@f3
@
(h)
@f4
@
(h)
@f5
@
@
=0
=1
=0
=0
=0
@f1
@
(h)
@f2
@
(h)
@f3
@
(h)
@f4
@
(h)
@f5
@
=I
d
dt
@L
=I
@
(h)
=0
=0
=1
=0
=0
@f1
@
(h)
@f2
@
(h)
@f3
@
(h)
@f4
@
(h)
@f5
@
=0
=0
=0
=
=0
R1
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
(1.216)
(1.217)
U
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
= 0 (por no existir
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 49
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
d
dt
@L
@R
@L
@
@L
@R
5
X
=
(h)
@fl
l @R
(h)
=
@f1
1 @R
=
@f1
1 @
(h)
+
@f2
2 @R
+
@f2
2 @
(h)
+
@f3
3 @R
+
@f3
3 @
(h)
+
@f4
4 @R
+
@f4
4 @
(h)
+
@f5
5 @R
+
@f5
5 @
l=1
@L
@
=
5
X
(h)
@fl
l @
(h)
(h)
(h)
(h)
(h)
l=1
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
@L
@ z cm
@L
@
@L
@
@L
@
@L
@zcm
=
5
X
(h)
@fl
l @zcm
(h)
=
@f1
1 @zcm
(h)
+
(h)
@f2
2 @zcm
@f3
3 @zcm
+
(h)
+
@f4
4 @zcm
(h)
+
@f5
5 @zcm
l=1
@L
@
@L
@
=
5
X
=
l=1
5
X
(1.218)
(h)
@fl
l @
(h)
=
(h)
@fl
l @
@f1
1 @
(h)
+
(h)
=
@f1
1 @
=
@f1
1 @
@f2
2 @
(h)
+
(h)
+
@f2
2 @
+
@f2
2 @
(h)
@f3
3 @
+
@f4
4 @
(h)
+
@f3
3 @
+
@f3
3 @
(h)
+
(h)
+
@f4
4 @
+
@f4
4 @
@f5
5 @
(h)
+
@f5
5 @
+
@f5
5 @
l=1
@L
@
=
5
X
(h)
@fl
l @
(h)
(h)
(h)
(h)
(h)
l=1
ya que aquí K (h) = 5. Ahora, al sustituir los resultados (1.216) y (1.217) en (1.218) se
obtiene,
8
2
>
M
R
M
R
M g Cos = 5
>
>
>
>
>
>
M R2 + 2M RR + M gR Sen = 4 (R2 R1 )
>
>
>
< Mz =
cm
1
(1.219)
>
I
=
2
>
>
>
>
>
>
I = 3
>
>
>
:
I =
4 R1
que son las ecuaciones de Lagrange o ecuaciones de movimiento del sistema dado.
Cálculo de las cantidades pedidas: para calcular las fuerzas generalizadas de ligadura es necesario encontrar primero el valor de los Multiplicadores de Lagrange 1 ,
(h)
(h)
(h)
y f3 de (1.212) en (1.219) se
2 , 3 , 4 , y 5 en (1.219). Al sustituir las ligaduras f1 , f2
encuentra que,
8
>
< 1=0
(1.220)
2 = 0
>
:
3 = 0
reduciéndose el sistema de ecuaciones (1.219) a,
8
>
>
< MR
MR
2
2
M g Cos
=
M R + 2M RR + M gR Sen
>
>
:
I =
4 R1
5
=
4
(R2
R1 )
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.221)
Pág.: 50
1.2. SISTEMAS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA EXPLÍCITA
(h)
(h)
Ahora, al sustituir las ligaduras f4
(para sustituir ) y f5
8
>
<
que para
pequeño (Sen
de (1.212) en (1.221) resulta,
2
M (R2 R1 )
M g Cos =
M (R2 R1 ) + M g Sen = 4
>
:
I R2R1R1
=
4 R1
, Cos
5
(1.222)
1) se transforma en,
8
>
<
2
M (R2 R1 )
Mg =
M (R2 R1 ) + M g =
>
:
I R2R1R1
=
4 R1
5
4
(1.223)
entonces a partir de la segunda y cuarta ecuación se obtiene,
4
1
= Mg
3
(1.224)
Al sustituir este resultado en la segunda de las ecuaciones (1.223) resulta,
+
2g
3 (R2
(1.225)
=0
R1 )
que es idéntica a la ecuación (1.149) del ejemplo 5.11. De esta ecuación al hacer,
=
d
d d
d
=
=
dt
d dt
d
(1.226)
se obtiene,
2
=
donde se ha tomado = 0 para
las ecuaciones (1.223) resulta,
5
=
2g
=
o.
Mg
2
R1 )
3 (R2
2
o
(1.227)
Si ahora se sustituye (1.227) en la primera de
2
3
2
2
o
+1
(1.228)
Finalmente, a partir de (1.5), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 51
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
por,
8
5
X
>
lig
>
>
QR =
>
>
>
>
l=1
>
>
5
>
X
>
>
lig
>
=
Q
>
>
>
>
l=1
>
>
5
>
X
>
>
lig
>
Q
=
>
< zcm
(h)
@fl
l @R
=
5
=
=
4
(R2
Mg
(h)
@fl
l @ycm
2
3
(
2
2
o)
+1
R1 ) = 13 M g (R2
R1 )
(h)
@fl
l @zcm
=
1
=0
l=1
5
X
>
>
lig
>
Q =
>
>
>
>
l=1
>
>
5
>
X
>
>
lig
>
>
Q =
>
>
>
>
l=1
>
>
5
>
X
>
lig
>
>
: Q =
l=1
(1.229)
(h)
@fl
l @
=
2
=0
=
3
=0
(h)
@fl
l @
(h)
@fl
l @
=
4 R1
=
1
M gR1
3
Aquí Qlig y Qlig son dos torques que representan las fuerzas generalizadas de ligadura requeridas para mantener el disco sólido de radio R1 rodando, sin resbalar, sobre la
superficie semicircular de radio R2 .
..............................................................................................
EJEMPLO 5.17 F
Una partícula de masa m comienza a moverse desde el reposo, partiendo de la parte más alta de un hemisferio fijo y liso de radio a. (a) En coordenadas Cartesianas encuentre las ecuaciones de Lagrange y (b) en coordenadas
cilíndricas ecuentre las ecuaciones de Lagrange, las fuerzas generalizadas de ligadura y el ángulo en el cual la partícula abandona la superficie del hemisferio. Este es un
problema clásico que se suele resolver en los cursos básicos de Física General.
SOLUCION: este es un sistema con ligaduras.
Ligaduras: existen K (h) = 2 ligaduras holónomas que en coordenadas Cartesianas
se expresan como,
8
(h)
>
< z = 0 ) f1 = z = 0, limita el movimiento de m al plano xy
(h)
(1.230)
x2 + y 2 = a2 ) f2 = x2 + y 2 a2 = 0, limita el movimiento
>
:
de m a la superficie del hemisferio plano.
que son esclerónomas. En coordenadas cilíndricas se puede escribir,
(
(h)
z = 0 ) f1 = z = 0
(h)
r = a ) f2 = r a = 0
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.231)
Pág.: 52
1.2. SISTEMAS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA EXPLÍCITA
Figura (1.17): Partícula de masa m que comienza a moverse desde el reposo, partiendo de la parte más
alta de un hemisferio fijo y liso.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad es,
s = 3N
K (h) = 3 (1)
(1.232)
2=1
y el número mínimo de coordenadas generalizadas,
e = 3N
K (h) = 3 (1)
(1.233)
2=1
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
(a) En coordenadas Cartesianas:
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas Cartesianas se tiene que la
energía cinética viene dada por,
2
2
2
1
T = m x +y +z
2
(1.234)
y la energía potencial (para el origen de potencial escogido) por,
(1.235)
U = mgy
de manera que el Lagrangiano es dado por,
L=T
2
2
2
1
U = m x +y +z
2
mgy
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.236)
Pág.: 53
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Ecuaciones de Lagrange: de (1.230) y (1.236) se tiene que,
8
@L
@L
@L
>
=0
= mg
=0
>
@x
@y
@z
>
>
@L
@L
@L
>
>
= mx
= my
= mz
>
>
@y
@z
< @x
d
@L
= m x dtd @L = m y dtd @L = m z
dt
@
x
@y
@z
>
(h)
(h)
(h)
>
>
@f
@f
@f
1
1
1
>
=0
=0
=1
>
@x
@y
@z
>
>
(h)
(h)
(h)
>
@f2
@f2
: @f2 = 2x
= 2y
=0
@x
@y
@z
9
>
>
>
>
>
>
>
>
=
(1.237)
>
>
>
>
>
>
>
>
;
U
= 0 (por no
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
j
existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
@L
@x
@L
@x
=
2
X
(h)
@fl
l @x
(h)
=
@f1
1 @x
=
@f1
1 @y
=
@f1
1 @z
(h)
+
@f2
2 @x
+
@f2
2 @y
+
@f2
2 @z
l=1
d
dt
d
dt
@L
@y
@L
@z
@L
@y
@L
@z
=
=
2
X
l=1
2
X
(h)
@fl
l @y
(h)
(h)
@fl
l @z
(h)
(h)
(1.238)
(h)
l=1
ya que aquí K (h) = 2. Ahora, al sustituir los resultados (1.237) en (1.238) se obtiene,
8
>
< m x = 2x 2
m y + mg = 2y
>
:
mz = 1
(1.239)
2
que son las ecuaciones de Lagrange o ecuaciones de movimiento del sistema dado
en coordenadas Cartesianas.
(b) En coordenadas cilíndricas:
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas cilíndricas es fácil encontrar
que el Lagrangiano del sistema sin considerar las ligaduras viene dado por,
2
2
2
1
L = m r + r2 ' + z
mgr Sen '
2
Ecuaciones de Lagrange: de (1.231) y (1.240) se tiene que,
8
2
@L
@L
>
=
mr
'
mg Sen ' @L
= mgr Cos '
=0
>
@r
@'
@z
>
>
>
@L
@L
@L
2
>
= mr
= mr '
= mz
>
>
@'
@z
< @r
d
@L
d
@L
= mr
= 2mrr' + mr2 ' dtd @L = m z
dt
dt @ '
@
r
@z
>
>
(h)
(h)
(h)
>
@f1
@f1
@f1
>
>
=0
=0
=1
>
@r
@'
@z
>
(h)
(h)
(h)
>
: @f2
@f2
@f2
=1
=0
=0
@r
@'
@z
(1.240)
9
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
;
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.241)
Pág.: 54
1.2. SISTEMAS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA EXPLÍCITA
U
= 0 (por no existir
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
ya que aquí K
(h)
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
@L
@r
@L
@r
=
2
X
(h)
@fl
l @r
(h)
=
@f1
1 @r
=
@f1
1 @'
=
@f1
1 @z
(h)
+
@f2
2 @r
+
@f2
2 @'
+
@f2
2 @z
l=1
d
dt
@L
@'
@L
@'
=
2
X
(h)
@fl
l @'
(h)
(h)
(1.242)
l=1
d
dt
@L
@z
@L
@z
=
2
X
(h)
@fl
l @z
(h)
(h)
l=1
= 2. Ahora, al sustituir los resultados (1.241) en (1.242) se obtiene,
8
2
>
< m r mr' + mg Sen ' =
2'r + r ' + g Cos ' = 0
>
:
mz = 1
2
(1.243)
que son las ecuaciones de Lagrange o ecuaciones de movimiento del sistema dado.
Cálculo de las cantidades pedidas: al sustituir las ligaduras (1.231) en las ecuaciones
de movimiento (1.243) resulta,
8
2
>
< ma' + mg Sen ' = 2
(1.244)
a ' + g Cos ' = 0
>
:
0= 1
De la segunda ecuación se tiene que,
g
Cos '
a
'=
(1.245)
2
que se puede integrar para determinar ' . Nótese primero que,
'=
d'
d' d'
d'
=
='
dt
d' dt
d'
(1.246)
entonces, al sustituir (1.246) en (1.245) e integrar,
Z
0
'
'
e d'
e=
g
a
Z
'
2
Cos '
e de
'
(1.247)
ya que ' = 0 en t = 0 cuando ' = 2 y la tilde s se usó para distinguir entre las variables
de integración y los límites de integración. De (1.247) resulta,
2
' =
2g
(1
a
Sen ')
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.248)
Pág.: 55
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
2
Sustituyendo ' de (1.248) en la primera de las ecuaciones (1.244) se obtiene,
2
= mg (3 Sen '
(1.249)
2)
por lo tanto, a partir de (1.5), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas por,
8
2
X
>
>
lig
>
Qr =
>
>
>
>
l=1
>
>
2
<
X
lig
Q' =
>
>
l=1
>
>
2
>
X
>
>
lig
>
>
: Qz =
(h)
@fl
l @r
=
2
= mg (3 Sen '
2)
(h)
@fl
l @'
(1.250)
=0
(h)
@fl
l @z
=
1
=0
l=1
La partícula se desprenderá de la superficie del hemisferio en el ángulo 'd (el subíndice d significa desprendimiento) cuando Qlig
r = 0. Entonces,
Qlig
r = 0 = mg (3 Sen 'd
2)
(1.251)
de manera que,
'd = Sen
1
2
3
= 41; 8o
(1.252)
con respecto al eje x o 48; 2o con respecto al eje y.
Nótese que la fuerza generalizada de ligadura es Qlig
= mg (peso) en ' =
r
decir, cuando la partícula se encuentra en la parte más alta del hemisferio2 .
2
, es
..............................................................................................
EJEMPLO 5.18 F
2
La figura 1.18 muestra una partícula de masa m sobre un plano
inclinado que se mueve con constante. Encuéntrese la aceleración de m a lo largo
del plano inclinado y las fuerzas generalizadas de ligadura.
SOLUCION: este es un sistema con ligaduras.
Ligaduras: existen K (h) = 2 ligaduras holónomas,
8
(h)
>
< z = 0 ) f1 = z = 0, limita el movimiento de m al plano xy
(h)
(1.253)
y = x Tg + h (t) ) f2 = y x Tg
h (t) = 0, limita el movimiento
>
:
de m a la superficie del plano inclinado móvil.
Comparar el resultado aquí obtenido con el problema 8.39, página 236, de la referencia [?].
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 56
1.2. SISTEMAS CON LIGADURAS HOLÓNOMAS USADAS EN FORMA EXPLÍCITA
Figura (1.18): Partícula de masa m que se mueve sobre un plano inclinado móvil.
(h)
donde f1
(h)
es esclerónoma y f2
es reónoma.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existen K (h) = 2 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad es,
s = 3N
K (h) = 3 (1)
(1.254)
2=1
y el número mínimo de coordenadas generalizadas,
e = 3N
K (h) = 3 (1)
(1.255)
2=1
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas Cartesianas se tiene que la
energía cinética viene dada por,
2
2
2
1
T = m x +y +z
2
(1.256)
y la energía potencial (para el origen de potencial escogido) por,
(1.257)
U = mgy
de manera que el Lagrangiano viene dado por,
L=T
2
2
2
1
U = m x +y +z
2
mgy
(1.258)
que es el Lagrangiano del sistema sin considerar las ligaduras (1.253).
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 57
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Ecuaciones de Lagrange: de (1.253) y (1.258) se tiene que,
8
@L
@L
@L
>
=0
= mg
=0
>
@x
@y
@z
>
>
@L
@L
@L
>
>
= mx
= my
= mz
>
>
@y
@z
< @x
d
@L
= m x dtd @L = m y dtd @L = m z
dt
@x
@y
@z
>
(h)
(h)
(h)
>
>
@f1
@f1
@f1
>
=0
=0
=1
>
@x
@y
@z
>
>
(h)
(h)
(h)
>
@f
@f
@f
: 2 = Tg
2
2
=1
=0
@x
@y
@z
9
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
;
(1.259)
U
= 0 (por no existir
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
d
dt
@L
@x
@L
@y
@L
@x
@L
@y
=
2
X
=
l=1
2
X
(h)
@fl
l @x
(h)
=
(h)
@fl
l @y
@f1
1 @x
(h)
+
(h)
=
@f1
1 @y
=
@f1
1 @z
@f2
2 @x
(h)
+
@f2
2 @y
+
@f2
2 @z
(1.260)
l=1
d
dt
@L
@z
@L
@z
=
2
X
(h)
@fl
l @z
(h)
(h)
l=1
ya que aquí K (h) = 2. Ahora, al sustituir los resultados (1.259) en (1.260) se obtiene,
8
>
2 Tg
< mx =
m y + mg = 2
>
:
mz = 1
(1.261)
que son las ecuaciones de Lagrange o ecuaciones de movimiento del sistema dado.
Cálculo de las cantidades pedidas: al tener presentes las ligaduras (1.253) en las
ecuaciones de movimiento (1.261) resulta,
8
>
2
>
>
2 = m g + h Cos
>
>
>
>
<
x=
g + h Cos Sen
(1.262)
>
>
>
>
>
y = h Cos2
g Sen2
>
>
:
1 = 0
Por lo tanto, de las ecuaciones segunda y tercera de (1.262) la aceleración a a lo
largo del plano inclinado viene dada por,
q
2
2
a= x +y
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 58
1.3. SISTEMAS CON LIGADURAS SEMI-HOLÓNOMAS Y LIGADURAS HOLÓNOMAS
ESCRITAS EN FORMA SEMI-HOLÓNOMA, USADAS EN FORMA EXPLÍCITA.
a=
q
2
g 2 Sen2
+ h Cos2
(1.263)
que es una de las cantidades pedidas. Nótese que si h = 0 este resultado se reduce al
dado por (1.16), que es el correspondiente al plano inclinado en reposo.
Por último, a partir
por,
8
>
>
>
Qlig
>
x
>
>
>
>
>
<
Qlig
y
>
>
>
>
>
>
>
lig
>
>
: Qz
de (1.5), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas
=
=
2
X
l=1
2
X
(h)
@fl
l @x
=
2
(h)
@fl
l @y
Tg
=
m g + h Cos Sen
=
2
= m g + h Cos2
=
1
=0
(1.264)
l=1
=
2
X
(h)
@fl
l @z
l=1
que son las requeridas para mantener a m sobre la superficie del plano inclinado y, en
este caso, corresponden a dos fuerzas. El módulo de la resultante de las fuerzas (1.264)
viene dada por,
r
Qlig =
Qlig
x
2
+ Qlig
y
2
+ Qlig
z
2
= m g + h Cos
(1.265)
que es la fuerza de reacción normal al plano inclinado. Nótese que si h = 0 este resultado se reduce al dado por (1.159), que es el correspondiente al plano inclinado en
reposo.
..............................................................................................
1.3.
Sistemas con ligaduras semi-holónomas y ligaduras holónomas escritas en forma semi-holónoma, usadas en
forma explícita.
La idea en los siguientes ejemplos es hacer el estudio del sistema mecánico
dado usando las ecuaciones de Lagrage para el último caso mostrado en (1.5), es
decir,
!
d @L
@L
(lig)
U
= Qj + QN
j , j = 1; 2; 3; : : : ; = 3N
dt @ q j
@qj
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 59
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
con,
(lig)
Qj
=
(h)
K
X
l Alj
l=1
para lo cual todas las ligaduras del sistema mecánico tienen que estar necesariamente expresadas en alguna de las dos formas dadas en (1.4),
8
P
>
> fl(shd) qk ; q k ; t =
Alj (qk ; t) dqj + Bl (qk ; t) dt = 0
>
>
>
j=1
>
>
>
Forma de diferencial
>
>
>
>
<
P
(shD)
fl
qk ; q k ; t =
Alj (qk ; t) q j + Bl (qk ; t) = 0
>
>
>
j=1
>
>
>
Forma de derivada
>
>
>
donde, en ambos casos,
>
>
>
: l = 1; 2; 3; :::; K (h) , semi-holónomas.
Para el alcance del contenido del presente texto, pueden presentarse 3 casos de
sistemas holónomos:
1. Sistemas donde todas sus ligaduras son semi-holónomas: en este caso se procede
a estudiar el sistema mecánico sin modificar las ligaduras.
2. Sistemas donde algunas ligaduras son holónomas y el resto son semi-holónomas:
en este caso no se integran las ligaduras semi-holónomas y se procede a escribir las
ligaduras holónomas en forma semi-holónoma, de esta manera todas las ligaduras
presentes quedan escritas en forma semi-holónoma. Para escribir las ligaduras holónomas en forma semi-holónoma, se procede a derivarlas con respecto al tiempo t
o se diferencian, dependiendo de si se quieren expresar en la forma de derivadas
o en la forma de diferenciales.
3. Sistemas donde todas sus ligaduras son holónomas: en este caso se procede a escribir en forma semiholónoma todas las ligaduras presentes, expresándose en forma
de derivadas o en forma de diferenciales según se desee.
Como las ligaduras serán usadas en forma explícita, el número de coordenadas
generalizadas a utilizar es = 3N , es decir, todas las presentes: dependientes + independientes.
Pasos a seguir para estudiar el sistema mecánico dado:
1. Se identifican las ligaduras presentes en el sistema. No se integran.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 60
1.3. SISTEMAS CON LIGADURAS SEMI-HOLÓNOMAS Y LIGADURAS HOLÓNOMAS
ESCRITAS EN FORMA SEMI-HOLÓNOMA, USADAS EN FORMA EXPLÍCITA.
2. Se halla el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema.
3. Se hallan los coeficientes Alj al comparar las ligaduras identificadas en 1 mediante
su comparación con la forma que corresponda en (1.4),
Ligaduras
no-holónomas y
semi-holónomas
8 P
>
Alj (qk ; t) dqj + Bl (qk ; t) dt = 0
>
>
>
j=1
>
>
>
Forma de diferencial
>
>
>
>
>
>
>
< P
Alj (qk ; t) q j + Bl (qk ; t) = 0
!
j=1
>
>
>
Forma de derivada
>
>
>
>
donde, en ambos
casos,
>
(
>
>
(nh)
>
>
K
, no-holónomas.
>
>
: l = 1; 2; 3; :::;
(h)
K , semi-holónomas.
4. Se construye el Lagrangiano del sistema.
5. Se encuentran las ecuaciones de Lagrange (1.5).
6. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones formado por las Ecuaciones de Lagrange y las ecuaciones de ligadura. Las fuerzas
generalizadas de ligadura se calculan también a partir de (1.5).
Al igual que antes, los anteriores pasos son una simple guía para resolver los problemas no pretendiendo ser reglas de estricto cumplimiento.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.19 F
Resolver el ejemplo 5.12 pero expresando la ligaduras holónomas presentes en forma de derivada, es decir, en forma semi-holónoma.
SOLUCION:
Ligaduras: para poder usar las ecuaciones de Lagrange (1.5) para ligaduras noholónomas y semi-holónomas es necesario que todas las ligaduras estén expresadas
en forma de diferencial o en la forma de velocidades. Si se escoge la representación
en forma de velocidades entonces las ligaduras vienen dadas al derivar con respecto
al tiempo t las mostradas en (1.153) resultando,
(
(shD)
z = 0 ) f1
= z = 0.
(1.266)
(shD)
y = x Tg ) f2
= y + x Tg = 0
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 61
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
que son las ligaduras (1.153) escritas en forma semi-holónoma (en velocidades). Su
número total es K (h) = 2.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: estas cantidades fueron encontradas en el ejemplo 5.12,
s = 1
(1.267)
e = 1
(1.268)
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Coeficientes Alj : estos coeficientes se encuentran al comparar cada una de las
ligaduras (1.266) con (1.4) por estar en forma de velocidades. En efecto, escogiendo
q1 = x, q2 = y y q3 = z, a partir de (1.4) resulta,
(shD)
f1
=
3
X
A1j q j + B1 = 0
j=1
) A11 q 1 + A12 q 2 + A13 q 3 + B1 = 0
) A11 x + A12 y + A13 z + B1 = 0
(shD)
que al ser comparada con f1
n
(shD)
Para f2
en (1.266) resulta,
A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1
o
(1.269)
se tiene que,
n
A21 = Tg
A22 = 1 A23 = 0
o
(1.270)
Lagrangiano: el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes ya fue
encontrado en el ejemplo 5.12 resultando,
2
2
2
1
L= m x +y +z
2
Ecuaciones de Lagrange: de (1.271) se tiene que,
8
@L
@L
@L
=0
= Mg
=0
>
>
@y
@z
< @x
@L
@L
@L
= Mx
= My
= Mz
@x
@y
@z
>
>
: d @L = M x d @L = M y d @L = M z
dt
dt
dt
@x
@y
(1.271)
mgy
@z
9
>
>
=
>
>
;
(1.272)
U
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
= 0 (por no existir
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 62
1.3. SISTEMAS CON LIGADURAS SEMI-HOLÓNOMAS Y LIGADURAS HOLÓNOMAS
ESCRITAS EN FORMA SEMI-HOLÓNOMA, USADAS EN FORMA EXPLÍCITA.
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
@L
@x
@L
@x
=
d
dt
@L
@y
@L
@y
=
d
dt
@L
@z
@L
@z
=
2
P
l=1
2
P
l=1
2
P
l Al1
=
1 A11
+
2 A21
l Al2
=
1 A12
+
2 A22
l Al3
=
1 A13
+
2 A23
(1.273)
l=1
ya que aquí K (h) = 2. Ahora, al sustituir los resultados (1.269), (1.270) y (1.272) en (1.273)
se obtiene,
8
>
< m x = 2 Tg
(1.274)
m y + mg = 2
>
:
mz = 1
que son las mismas ecuaciones de Lagrange (1.159) obtenidas en el ejemplo 5.12.
Cálculo de las cantidades pedidas: por ser las ecuaciones (1.274) idénticas a las
ecuaciones (1.159) los resultados son idénticos a los del ejemplo 5.12.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.20 F
Resolver el ejemplo 5.13 pero expresando la ligaduras holónomas presentes en forma diferencial, es decir, en forma semi-holónoma.
SOLUCION:
Ligaduras: de forma similar al anterior ejemplo, al diferenciar (por ser esta la representación pedida) las ligaduras dadas por (1.164) resulta,
8
(shd)
>
dx1 = 0 ) f1
= dx1 = 0
>
>
>
(shd)
>
> dz1 = 0 ) f2
= dz1 = 0
<
(shd)
(1.275)
dx2 = 0 ) f3
= dx2 = 0
>
>
(shd)
>
= dz2 = 0
dz2 = 0 ) f4
>
>
>
: dy + dy = 0 ) f (shd) = dy + dy = 0
1
2
1
2
5
que son las ligaduras (1.164) escritas en forma semi-holónoma (en diferenciales). Su
número total es K (h) = 5.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: estas cantidades fueron encontradas en el ejemplo 5.13,
s = 1
(1.276)
e = 1
(1.277)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 63
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Coeficientes Alj : estos coeficientes se encuentran al comparar cada una de las
ligaduras (1.275) con (1.4) por estar en forma diferencial. En efecto, escogiendo q1 = x1 ,
q2 = y1 , q3 = z1 , q4 = x2 , q5 = y2 y q6 = z2 , a partir de (1.4) resulta,
(shd)
f1
=
6
X
A1j dqj + B1 dt = 0
j=1
) A11 dq1 + A12 dq2 + A13 dq3 + A14 dq4 + A15 dq5 + A16 dq6 + B1 dt = 0
) A11 dx1 + A12 dy1 + A13 dz1 + A14 dx2 + A15 dy2 + A16 dz2 + B1 dt = 0
(shd)
que al ser comparada con f1
(
en (1.275) resulta,
A11 = 1 A12 = 0 A13 = 0
A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0
)
(1.278)
Si se realiza un procedimiento análogo para las restantes ligaduras resulta,
9
8
>
>
A
=
0
A
=
0
A
=
1
21
22
23
>
>
>
>
>
>
>
>
A
=
0
A
=
0
A
=
0
>
>
24
25
26
>
>
>
>
>
>
>
>
A
=
0
A
=
0
A
=
0
>
>
31
32
33
>
>
>
=
< A =1 A =0 A =0 >
34
35
36
>
A41 = 0 A42 = 0 A43 = 0 >
>
>
>
>
>
>
>
>
>
A44 = 0 A45 = 0 A46 = 1 >
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
A
=
0
A
=
1
A
=
0
51
52
53
>
>
>
>
;
:
A54 = 0 A55 = 1 A56 = 0
(1.279)
Lagrangiano: el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes ya fue
encontrado en el ejemplo 5.13 resultando,
i
2
2
2
2
2
2
1h
L=
M1 x1 + y 1 + z 1 + M2 x2 + y 2 + z 2 + g (M1 y1 + M2 y2 )
(1.280)
2
Ecuaciones de Lagrange: de (1.280) se tiene que,
8
@L
@L
@L
>
=0
= gM1
=0
>
@x1
@y1
@z1
>
>
>
@L
@L
@L
>
= M1 x 1
= M1 y 1
= M1 z 1
>
>
@ x1
@ y1
@ z1
>
>
>
< d @L = M1 x 1 d @L = M1 y 1 d @L = M1 z 1
dt
dt
dt
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
@ x1
@L
=0
@x2
@L
= M2 x 2
@ x2
d
@L
= M2 x 2
dt @ x2
@ y1
@L
= gM2
@y2
@L
= M2 y 2
@ y2
d
@L
= M2 y 2
dt @ y
2
@ z1
@L
=0
@z2
@L
= M2 z 2
@ z2
d
@L
= M2 z 2
dt @ z 2
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.281)
Pág.: 64
1.3. SISTEMAS CON LIGADURAS SEMI-HOLÓNOMAS Y LIGADURAS HOLÓNOMAS
ESCRITAS EN FORMA SEMI-HOLÓNOMA, USADAS EN FORMA EXPLÍCITA.
U
= 0 (por no existir
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
@L
@ x1
@L
@x1
=
d
dt
@L
@ y1
@L
@y1
=
d
dt
@L
@ z1
@L
@z1
=
d
dt
@L
@ x2
@L
@x2
=
5
P
l=1
5
P
l=1
5
P
l=1
5
P
l Al1
=
1 A11
+
2 A21
+
3 A31
+
4 A41
+
5 A51
l Al2
=
1 A12
+
2 A22
+
3 A32
+
4 A42
+
5 A52
l Al3
=
1 A13
+
2 A23
+
3 A33
+
4 A43
+
5 A53
(1.282)
l Al4 =
1 A14 +
2 A24 +
3 A34 +
4 A44 +
5 A54
l Al5
=
1 A15
+
2 A25
+
3 A35
+
4 A45
+
5 A55
l Al6
=
1 A16
+
2 A26
+
3 A36
+
4 A46
+
5 A56
l=1
d
dt
@L
@ y2
@L
@y2
=
d
dt
@L
@ z2
@L
@z2
=
5
P
l=1
5
P
l=1
ya que aquí K (h) = 5. Ahora, al sustituir los resultados (1.278), (1.279) y (1.281) en (1.282)
se obtiene,
8
>
M1 x 1 = 1
>
>
>
>
> M1 y 1 gM1 = 5
>
>
>
< M z =
1 1
2
(1.283)
> M2 x 2 = 3
>
>
>
>
>
M2 y 2 gM2 = 5
>
>
>
: M z =
2 2
4
que son las mismas ecuaciones de Lagrange (1.171) obtenidas en el ejemplo 5.13.
Cálculo de las cantidades pedidas: por ser las ecuaciones (1.283) idénticas a las
ecuaciones (1.171) los resultados son idénticos a los del ejemplo 5.13
. ..........................................................................................
EJEMPLO 5.21 F
Resolver el ejemplo 5.14 pero expresando la ligaduras holónomas presentes en forma de derivada, es decir, en forma semi-holónoma (en velocidades).
SOLUCION:
Ligaduras: para poder usar las ecuaciones de Lagrange (1.5) para ligaduras noholónomas y semi-holónomas es necesario que todas las ligaduras estén expresadas
en forma de diferencial o en la forma de velocidades. Si se escoge la representación
en forma de velocidades entonces las ligaduras vienen dadas al derivar las dadas por
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 65
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
(1.175) con respecto al tiempo t resultando,
(h)
z = 2crr ) f1
=z
(1.284)
2crr = 0
que es la ligadura (1.175) escrita en forma semi-holónoma (en velocidades). Su número
total es K (h) = 1.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: estas cantidades fueron encontradas en el ejemplo 5.14,
s = 2
(1.285)
e = 2
(1.286)
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Coeficientes Alj : estos coeficientes se encuentran al comparar la ligadura (1.284)
con (1.4) por estar en forma de velocidades. En efecto, escogiendo q1 = r, q2 = ' y
q2 = z, a partir de (1.4) resulta,
(shD)
f1
=
3
X
A1j q j + B1 = 0
j=1
) A11 q 1 + A12 q 2 + A13 q 3 + B1 = 0
) A11 r + A12 ' + A13 z + B1 = 0
(shD)
que al ser comparada con f1
n
en (1.284) resulta,
A11 =
o
2cr A12 = 0 A13 = 1
(1.287)
Lagrangiano: el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes ya fue
encontrado en el ejemplo 5.14 resultando,
2
2
2
1
L = m r + r2 ' + z
2
Ecuaciones de Lagrange: de (1.288) se tiene que,
8
2
@L
@L
>
>
= mr'
=0
>
@r
@'
<
@L
@L
= mr
= mr2 '
@r
@'
>
>
>
: d @L = m r d @L = d mr2 '
dt
@r
dt
@'
dt
(1.288)
mgz
@L
@z
@L
@z
d
dt
=
mg
= mz
@L
@z
9
>
>
>
=
>
>
;
= mz >
(1.289)
U
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
= 0 (por no existir
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 66
1.3. SISTEMAS CON LIGADURAS SEMI-HOLÓNOMAS Y LIGADURAS HOLÓNOMAS
ESCRITAS EN FORMA SEMI-HOLÓNOMA, USADAS EN FORMA EXPLÍCITA.
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
@L
@r
@L
@r
=
d
dt
@L
@'
@L
@'
=
d
dt
@L
@z
@L
@z
=
1
P
l=1
1
P
l=1
1
P
l Al1
=
1 A11
l Al2
=
1 A12
l Al3
=
1 A13
(1.290)
l=1
ya que aquí K (h) = 1. Ahora, al sustituir los resultados (1.287) y (1.289) en (1.290) se
obtiene,
8
2
>
< m r mr' = 2cr 1
(1.291)
mr2 ' = C, C = constante.
>
:
m z + mg = 1
que son las mismas ecuaciones de Lagrange (1.181) obtenidas en el ejemplo 5.14.
Cálculo de las cantidades pedidas: por ser las ecuaciones (1.291) idénticas a las
ecuaciones (1.181) los resultados son idénticos a los del ejemplo 5.14.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.22
Resolver el ejemplo 5.15 pero expresando la ligaduras holónomas
presentes en forma diferencial, es decir, en forma semi-holónoma.
SOLUCION:
Ligaduras: procediendo como antes entonces las ligaduras vienen dadas al diferenciar las dadas por (1.186) resultando,
8
(shd)
>
dzcm = 0 ) f1
= dzcm = 0
>
>
>
(shd)
>
> d = 0 ) f2
=d =0
<
(shd)
(1.292)
d = 0 ) f3
=d =0
>
>
(shd)
> dxcm Sec = Rd ) f4
= dxcm Sec
Rd = 0
>
>
>
: dy = dx Tg ) f (shd) = dy + dx Tg = 0
cm
cm
cm
cm
5
que son las ligaduras (1.186) escritas en forma semi-holónoma (en diferenciales). Su
número total es K (h) = 5.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: estas cantidades fueron encontradas en el ejemplo 5.15,
s = 1
(1.293)
e = 1
(1.294)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 67
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Coeficientes Alj : estos coeficientes se encuentran al comparar cada una de las
ligaduras (1.292) con (1.4) por estar en forma de diferenciales. En efecto, escogiendo
q1 = xcm , q2 = ycm , q3 = zcm , q4 = , q5 = y q6 = , a partir de (1.4) resulta,
(shd)
f1
6
X
=
A1j dqj + B1 dt = 0
j=1
) A11 dq1 + A12 dq2 + A13 dq3 + A14 dq4 + A15 dq5 + A16 dq6 + B1 dt = 0
) A11 dxcm + A12 dycm + A13 dzcm + A14 d + A15 d + A16 d + B1 dt = 0
(shd)
que al ser comparada con f1
(
en (1.292) resulta,
A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1
A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0
)
(1.295)
Si se realiza un procedimiento análogo para las restantes ligaduras resulta,
9
8
>
>
A21 = 0
A22 = 0 A23 = 0
>
>
>
>
>
>
>
>
A
=
1
A
=
0
A
=
0
>
>
24
25
26
>
>
>
>
>
>
>
>
A
=
0
A
=
0
A
=
0
>
>
31
32
33
>
>
>
>
=
< A =0
A
=
1
A
=
0
34
35
36
>
>
A41 = Sec
A42 = 0 A43 = 0
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
A
=
0
A
=
0
A
=
R
44
45
46
>
>
>
>
>
>
>
> A51 = Tg
>
>
A
=
1
A
=
0
52
53
>
>
>
>
;
:
A54 = 0
A55 = 0 A56 = 0
(1.296)
Lagrangiano: el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes ya fue
encontrado en el ejemplo 5.15 resultando,
2
2
2
1
1
L = M xcm + y cm + z cm +
2
2
I
2
2
+I
Ecuaciones de Lagrange: de (1.297) se tiene que,
8 @L
@L
=0
= Mg
>
@x
@y
>
cm
cm
>
>
@L
@L
>
= M xcm
= M y cm
>
>
@ xcm
@ y cm
>
>
>
d
@L
>
>
= M x cm dtd @L = M y cm
< dt
@ xcm
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
@ y cm
@L
@
=0
@L
@
=0
@L
@
=I
@L
=I
d
dt
@L
@
@
=I
d
dt
@L
@
=I
+I
2
M gycm
@L
=0
@zcm
@L
= M z cm
@ z cm
d
@L
=M
dt @ z cm
@L
=0
@
@L
@
=I
d
dt
@L
@
z cm
=I
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
(1.297)
(1.298)
Pág.: 68
1.3. SISTEMAS CON LIGADURAS SEMI-HOLÓNOMAS Y LIGADURAS HOLÓNOMAS
ESCRITAS EN FORMA SEMI-HOLÓNOMA, USADAS EN FORMA EXPLÍCITA.
U
= 0 (por no existir
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
@L
@ xcm
@L
@xcm
=
d
dt
@L
@ y cm
@L
@ycm
=
d
dt
@L
@ z cm
@L
@zcm
=
d
dt
@L
@
d
dt
@L
d
dt
@L
@
@
@L
@
@L
@
@L
@
=
l=1
5
P
=
=
5
P
l=1
5
P
5
P
l=1
5
P
l=1
5
P
l Al1
=
1 A11
+
2 A21
+
3 A31
+
4 A41
+
5 A51
l Al2
=
1 A12
+
2 A22
+
3 A32
+
4 A42
+
5 A52
l Al3
=
1 A13
+
2 A23
+
3 A33
+
4 A43
+
5 A53
l=1
l Al4
l Al5
l Al6
(1.299)
=
=
=
1 A14
+
1 A15
1 A16
+
+
2 A24
+
2 A25
2 A26
+
+
3 A34
+
3 A35
3 A36
+
+
4 A44
+
4 A45
4 A46
+
+
5 A54
5 A55
5 A56
l=1
ya que aquí K (h) = 5. Ahora, al sustituir los resultados (1.295), (1.296) y (1.298) en (1.299)
se obtiene,
8
>
M x cm = 4 Sec + 5 Tg
>
>
>
>
>
> M y cm + M g = 5
>
>
< M z cm = 1
(1.300)
> I = 2
>
>
>
>
>
I = 3
>
>
>
:
I =
4R
que son las mismas ecuaciones de Lagrange (1.204) obtenidas en el ejemplo 5.15.
Cálculo de las cantidades pedidas: por ser las ecuaciones (1.300) idénticas a las
ecuaciones (1.204) los resultados son idénticos a los del ejemplo 5.15.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.23 F
Resolver el ejemplo 5.17 pero expresando la ligaduras holónomas presentes en forma de derivada, es decir, en forma semi-holónoma.
SOLUCION:
Ligaduras: procediendo como antes entonces las ligaduras en coordenadas Cartesianas vienen dadas al derivar con respecto al tiempo t las dadas por (1.230) resultando,
(
(shD)
z = 0 ) f1
=z=0
(1.301)
(shD)
2xx + 2y y = 0 ) f2
= 2xx + 2y y = 0
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 69
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
que son las ligaduras (1.230) escritas en forma semi-holónoma (en velocidades). Su
número total es K (h) = 2. En coordenadas cilíndricas vienen dadas al derivar las ligaduras (1.231),
(
(shD)
z = 0 ) f1
=z=0
(1.302)
(shD)
r = 0 ) f2
=r=0
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: estas cantidades fueron encontradas en el ejemplo 5.17,
s = 1
(1.303)
e = 1
(1.304)
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
(a) En coordenadas Cartesianas:
Coeficientes Alj : estos coeficientes se encuentran al comparar cada una de las
ligaduras (1.301) con (1.4) por estar en forma de velocidades. En efecto, escogiendo
q1 = x, q2 = y y q3 = z, a partir de (1.4) resulta,
(shD)
f1
=
3
X
A1j q j + B1 = 0
j=1
) A11 q 1 + A12 q 2 + A13 q 3 + B1 = 0
) A11 x + A12 y + A13 z + B1 = 0
(shD)
que al ser comparada con f1
n
en (1.301) resulta,
A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1
(shD)
o
(1.305)
Si se realiza un procedimiento análogo para f2
resulta,
n
o
A21 = 2x A22 = 2y A23 = 0
(1.306)
Lagrangiano: el Lagrangiano en coordenadas Cartesianas sin tomar en cuenta las
ligaduras presentes ya fue encontrado en el ejemplo 5.17 resultando,
2
2
2
1
L= m x +y +z
2
(1.307)
mgy
dado por (1.236).
Ecuaciones de Lagrange: de (1.307) se tiene que,
8
@L
@L
@L
=0
= mg
=0
>
>
@y
@z
< @x
@L
@L
@L
= mx
= my
= mz
@x
@y
@z
>
>
: d @L = m x d @L = m y d @L = m z
dt
dt
dt
@x
@y
@z
9
>
>
=
>
>
;
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.308)
Pág.: 70
1.3. SISTEMAS CON LIGADURAS SEMI-HOLÓNOMAS Y LIGADURAS HOLÓNOMAS
ESCRITAS EN FORMA SEMI-HOLÓNOMA, USADAS EN FORMA EXPLÍCITA.
U
= 0 (por no existir
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
@L
@x
@L
@x
=
d
dt
@L
@y
@L
@y
=
d
dt
@L
@z
@L
@z
=
2
P
l=1
2
P
l=1
2
P
l Al1
=
1 A11
+
2 A21
l Al2
=
1 A12
+
2 A22
l Al3
=
1 A13
+
2 A23
(1.309)
l=1
ya que aquí K (h) = 2. Ahora, al sustituir los resultados (1.305), (1.306) y (1.308) en (1.309)
se obtiene,
8
>
< m x = 2x 2
(1.310)
m y + mg = 2y 2
>
:
mz = 1
que son las mismas ecuaciones de Lagrange (1.239) obtenidas en el ejemplo 5.17.
(b) En coordenadas cilíndricas:
Coeficientes Alj : estos coeficientes se encuentran al comparar cada una de las
ligaduras (1.302) con (1.4) por estar en forma de velocidades. En efecto, escogiendo
q1 = r, q2 = ' y q3 = z, a partir de (1.4) resulta,
(shD)
f1
=
3
X
A1j q j + B1 = 0
j=1
) A11 q 1 + A12 q 2 + A13 q 3 + B1 = 0
) A11 r + A12 ' + A13 z + B1 = 0
(shD)
que al ser comparada con f1
n
en (1.302) resulta,
o
(1.311)
Si se realiza un procedimiento análogo para f2
resulta,
n
o
A21 = 1 A22 = 0 A23 = 0
(1.312)
A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1
(shD)
Lagrangiano: el Lagrangiano en coordenadas cilíndricas sin tomar en cuenta las
ligaduras presentes ya fue encontrado en el ejemplo 5.17 resultando,
2
2
2
1
L = m r + r2 ' + z
2
mgr Sen '
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.313)
Pág.: 71
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
dado por (1.240).
Ecuaciones de Lagrange: de (1.313) se tiene que,
8
2
@L
>
>
= mr'
mg Sen ' @L
= mgr Cos '
>
@r
@'
<
@L
@L
= mr
= mr2 '
@
r
@
'
>
>
>
d
@L
: d @L = m r
= 2mrr' + mr2 '
dt
dt
@r
@L
@z
@L
@z
d
dt
@'
=0
= mz
@L
@z
9
>
>
>
=
>
>
;
= mz >
(1.314)
U
= 0 (por no existir
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
@L
@r
@L
@r
=
d
dt
@L
@'
@L
@'
=
d
dt
@L
@z
@L
@z
=
2
P
l=1
2
P
l=1
2
P
l Al1
=
1 A11
+
2 A21
l Al2
=
1 A12
+
2 A22
l Al3
=
1 A13
+
2 A23
(1.315)
l=1
ya que aquí K (h) = 2. Ahora, al sustituir los resultados (1.311), (1.312) y (1.314) en (1.315)
se obtiene,
8
2
>
< m r mr' + mg Sen ' = 2
(1.316)
2r' + r ' + g Cos ' = 0
>
:
mz = 1
que son las mismas ecuaciones de Lagrange (1.243) obtenidas en el ejemplo 5.17.
Cálculo de las cantidades pedidas: por ser las ecuaciones (1.316) idénticas a las
ecuaciones (1.243) los resultados son idénticos a los del ejemplo 5.17.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.24 F
Resolver el ejemplo 5.18 pero expresando la ligaduras holónomas presentes en forma de diferenciales, es decir, en forma semi-holónoma.
SOLUCION:
Ligaduras: para poder usar las ecuaciones de Lagrange (1.5) para ligaduras noholónomas y semi-holónomas es necesario que todas las ligaduras estén expresadas
en forma de diferencial o en la forma de velocidades. Si se escoge la representación
en forma de diferenciales entonces las ligaduras vienen dadas al diferenciar las mostradas
en (1.253) resultando,
(
(shd)
dz = 0 ) f1
= dz = 0
(1.317)
(shd)
dy = Tg dx + dh ) f2
= dy Tg dx dh = 0
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 72
1.3. SISTEMAS CON LIGADURAS SEMI-HOLÓNOMAS Y LIGADURAS HOLÓNOMAS
ESCRITAS EN FORMA SEMI-HOLÓNOMA, USADAS EN FORMA EXPLÍCITA.
que son las ligaduras (1.253) escritas en forma semi-holónoma (en diferenciales). Su
número total es K (h) = 2.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: estas cantidades fueron encontradas en el ejemplo 5.18,
s = 1
(1.318)
e = 1
(1.319)
siendo e = s como era de esperarse para un sistema holónomo.
Coeficientes Alj : estos coeficientes se encuentran al comparar cada una de las
ligaduras (1.317) con (1.4) por estar en forma de diferenciales. En efecto, escogiendo
q1 = x, q2 = y y q3 = z, a partir de (1.4) resulta,
(shd)
f1
=
3
X
A1j dqj + B1 dt = 0
j=1
) A11 dq1 + A12 dq2 + A13 dq3 + B1 dt = 0
) A11 dx + A12 dy + A13 dz + B1 dt = 0
(shd)
que al ser comparada con f1
n
(shD)
Para f2
en (1.317) resulta,
A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1
o
(1.320)
se tiene que,
n
A21 =
Tg
A22 = 1 A23 = 0
o
(1.321)
Lagrangiano: el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes ya fue
encontrado en el ejemplo 5.18 resultando,
2
2
2
1
L= m x +y +z
2
Ecuaciones de Lagrange: de (1.322) se tiene que,
8
@L
@L
@L
=0
= mg
=0
>
>
@y
@z
< @x
@L
@L
@L
= mx
= my
= mz
@x
@y
@z
>
>
: d @L = m x d @L = m y d @L = m z
dt
dt
dt
@x
@y
(1.322)
mgy
@z
9
>
>
=
>
>
;
(1.323)
U
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
= 0 (por no existir
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 73
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
@L
@x
@L
@x
=
d
dt
@L
@y
@L
@y
=
d
dt
@L
@z
@L
@z
=
2
P
l=1
2
P
l=1
2
P
l Al1
=
1 A11
+
2 A21
l Al2
=
1 A12
+
2 A22
l Al3
=
1 A13
+
2 A23
(1.324)
l=1
ya que aquí K (h) = 2. Ahora, al sustituir los resultados (1.320), (1.321) y (1.323) en (1.324)
se obtiene,
8
>
2 Tg
< mx =
(1.325)
m y + mg = 2
>
:
mz = 1
que son las mismas ecuaciones de Lagrange (1.261) obtenidas en el ejemplo 5.18.
Cálculo de las cantidades pedidas: por ser las ecuaciones (1.325) idénticas a las
ecuaciones (1.261) los resultados son idénticos a los del ejemplo 5.18.
..............................................................................................
1.4.
Sistemas con ligaduras no-holónomas
Para el alcance del contenido del presente texto, pueden presentarse 4 casos
de sistemas holónomos:
1. Sistemas donde todas sus ligaduras son no-holónomas: en este caso se procede
directamente a estudiar el sistema mecánico.
2. Sistemas donde algunas ligaduras son no-holónomas y el resto son semi-holónomas:
en este caso no se integran las ligaduras semi-holónomas, procediéndose directamente a estudiar el sistema mecánico.
3. Sistemas donde algunas ligaduras son no-holónomas y el resto son holónomas: en
este caso, antes de comenzar el estudio del sistema, se procede a escribir las ligaduras holónomas presentes en forma semi-holónoma, ya sea en forma de derivadas
o en forma de diferenciales.
4. Sistemas donde algunas ligaduras son no-holónomas, otras son semi-holónomas y
el resto son holónomas: en este caso, antes de comenzar el estudio del sistema,
se procede a escribir las ligaduras holónomas presentes en forma semi-holónoma,
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 74
1.4. SISTEMAS CON LIGADURAS NO-HOLÓNOMAS
ya sea en forma de derivadas o en forma de diferenciales. Las ligaduras semiholónomas no se modifican, es decir, no se integran.
Recuérdese que en estos casos, al gual el número de coordenadas generalizadas
a utilizar es = 3N .
Pasos a seguir para estudiar el sistema mecánico dado: son los mismos vistos en la
sección anterior.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.25
Un disco homogéneo de radio R y masa M rueda sin resbalar
sobre el plano horizontal xy (ver figura 1.19a), obligado a moverse de modo que su
plano permanezca siempre vertical (el disco puede ser una de las dos ruedas de un
eje). Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura.
Figura (1.19): (a) Movimiento de un disco homogéneo de radio R y masa M rodando sin resbalar sobre
el plano xy. (b) Proyección del movimiento sobre el plano xy. La velocidad del centro de masa del disco
tiene las componentes
R Sen ; R Cos
sobre las direcciones x y y.
SOLUCION: este es un sistema con ligaduras que ya fue estudiado, en parte, en los
capítulos ?? y ??. Se pueden escoger como coordenadas de la posición del disco las
de su centro de masa xcm , ycm y zcm (que coinciden con las de su centro geométrico C
por ser homogéneo), el ángulo que forma el eje del disco (perpendicular al mismo y
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 75
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
que pasa por C) con el plano xy, al ángulo que forma este mismo eje con la dirección
0x del plano horizontal que es variable respecto al tiempo t y al ángulo girado por
el disco alrededor de su propio eje. Las anteriores coordenadas son las coordenadas
generalizadas requeridas para el presente caso.
Ligaduras: existen K (h) = 2 ligaduras holónomas y K (nh) = 2 ligaduras no-holónomas
respectivamente,
8
(h)
zcm = R ) f1 = zcm R = 0, posición constante del centro de masa
>
>
>
>
>
del disco respecto al plano xy.
>
>
>
>
< = 0 ) f2(h) = = 0, disco perpendicular al plano xy.
8
(1.326)
(nhD)
< v
>
v
=
R
Sen
)
f
=
x
=
0
cm Sen
cm + R Sen
cmx = xcm =
>
3
>
,
>
>
(nhD)
: v
>
>
=
y
=
v
Cos
=
R
Cos
)
f
=
y
R
Cos
=
0
cm
cm
y
cm
cm
4
>
>
:
consecuencia de que el disco no resbala.
(nhD)
Es fácil encontrar f3
(nhD)
y f4
con la ayuda de la figura 1.19b y sabiendo que la
velocidad del disco v = R = vcm (velocidadad del centro de masa). Para poder usar
las ecuaciones de Lagrange (1.5) para ligaduras no-holónomas y semi-holónomas es
necesario que todas las ligaduras estén expresadas en forma de diferencial o en la
(nhD)
(nhD)
forma de velocidades. Como f3
y f4
están en forma de velocidades, es conve(h)
(h)
niente escribir f1 y f2 en la misma forma. Al hallar la derivada total con respecto al
(h)
(h)
tiempo t de f1 y f2 resulta,
8
(shD)
= z cm = 0
z cm = 0 ) f1
>
>
>
>
< = 0 ) f2(shD) = = 0
(1.327)
(nhD)
>
x
=
R
Sen
)
f
=
x
+
R
Sen
=
0
cm
cm
>
3
>
>
:
(nhD)
y cm = R Cos ) f4
= y cm R Cos
=0
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: el número
de grados de libertad es,
s=6
K (h) + K (nh) = 6
4=2
(1.328)
y el número mínimo de coordenadas generalizadas,
e=6
K (h) = 6
2=4
(1.329)
siendo e > s como era de esperarse para un sistema no-holónomo.
Coeficientes Alj : estos coeficientes se encuentran al comparar cada una de las
ligaduras (1.327) con (1.4) por estar en forma de velocidades. En efecto, escogiendo
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 76
1.4. SISTEMAS CON LIGADURAS NO-HOLÓNOMAS
q1 = xcm , q2 = ycm , q3 = zcm , q4 = , q5 =
(shD)
f1
=
6
X
y q6 = , a partir de (1.4) resulta,
A1j q j + B1 = 0
j=1
) A11 q 1 + A12 q 2 + A13 q 3 + A14 q 4 + A15 q 5 + A16 q 6 + B1 = 0
) A11 xcm + A12 y cm + A13 z cm + A14 + A15 + A16 + B1 = 0
(shD)
que al ser comparada con f1
(
en (1.326) resulta,
)
A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1
A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0
(1.330)
Si se realiza un procedimiento análogo para las restantes ligaduras resulta,
9
8
A
=
0
A
=
0
A
=
0
>
>
21
22
23
>
>
>
>
>
>
>
>
A
=
1
A
=
0
A
=
0
>
>
24
25
26
>
>
>
>
< A =1 A =0
A33 = 0 =
31
32
>
> A34 = 0 A35 = R Sen
A36 = 0 >
>
>
>
>
>
>
>
>
>
A
=
0
A
=
1
A
=
0
41
42
43
>
>
>
>
;
:
A44 = 0 A45 = R Cos
A46 = 0
(1.331)
Lagrangiano: la energía cinética total T del sistema viene dada por,
2
2
2
1
1
T = M xcm + y cm + z cm + I
2
2
2
1
+ I
2
2
1
+ I
2
2
(1.332)
y la energía potencial U viene dada por,
(1.333)
U = M gzcm
por lo tanto el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes viene dado
por,
L=T
2
2
2
1
1
U = M xcm + y cm + z cm +
2
2
I
2
2
+I
Ecuaciones de Lagrange: de (1.334) se tiene que,
8 @L
@L
=0
=0
>
@x
@y
>
cm
cm
>
>
@L
@L
>
= M xcm
= M y cm
>
>
@ xcm
@ y cm
>
>
>
d
@L
>
>
= M x cm dtd @L = M y cm
< dt
@ xcm
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
@ y cm
@L
@
=0
@L
@
=0
@L
@
=I
@L
=I
d
dt
@L
@
@
=I
d
dt
@L
@
=I
+I
2
@L
= Mg
@zcm
@L
= M z cm
@ z cm
d
@L
=M
dt @ z cm
@L
=0
@
@L
@
=I
d
dt
@L
@
M gzcm
z cm
=I
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
(1.334)
(1.335)
Pág.: 77
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
U
= 0 (por no existir
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
@L
@ xcm
@L
@xcm
=
d
dt
@L
@ y cm
@L
@ycm
=
d
dt
@L
@ z cm
@L
@zcm
=
d
dt
@L
@
d
dt
@L
d
dt
@L
@
@
@L
@
=
@L
@
@L
@
l=1
4
P
=
=
4
P
l=1
4
P
4
P
l=1
4
P
l=1
4
P
l Al1
=
1 A11
+
2 A21
+
3 A31
+
4 A41
l Al2
=
1 A12
+
2 A22
+
3 A32
+
4 A42
l Al3
=
1 A13
+
2 A23
+
3 A33
+
4 A43
l=1
l Al4
l Al5
l Al6
(1.336)
=
=
=
1 A14
+
1 A15
1 A16
2 A24
+
+
+
2 A25
2 A26
+
+
3 A34
+
3 A35
3 A36
+
+
4 A44
4 A45
4 A46
l=1
ya que aquí K = K (h) + K (nhD) = 4. Ahora, al sustituir los resultados (1.335), (1.330) y
(1.331) en (1.336) se obtiene,
8
>
M x cm = 3
>
>
>
>
>
M y cm = 4
>
>
>
< M z cm + M g =
>
I = 2
>
>
>
>
>
I = 3 R Sen
>
>
>
:
I =0
1
(1.337)
4 R Cos
que son las ecuaciones de movimiento del sistema dado.
Cálculo de las cantidades pedidas: para encontrar las fuerzas generalizadas de
ligadura es necesario encontrar primeramente los multiplicadores de Lagrange 1 , 2 ,
(shD)
(shD)
y f2
de (1.327) en las ecuaciones de
3 y 4 . Al tener presentes las ligaduras f1
movimiento (1.337) resulta,
(
1 = Mg
(1.338)
2 = 0
reduciéndose el sistema de ecuaciones (1.337) a,
8
>
M x cm = 3
>
>
>
< My = 4
cm
>
I = 3 R Sen
>
>
>
:
I =0
(1.339)
4 R Cos
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 78
1.4. SISTEMAS CON LIGADURAS NO-HOLÓNOMAS
(shD)
(shD)
Ahora bien, al sustituir las ligaduras f3
y f4
de (1.327) en la primera y segunda
ecuaciones de (1.339) respectivamente se obtiene,
8
>
>
Sen +
Cos
< 3 = M x = MR
(1.340)
>
>
Cos
Sen
: 4 = M y = MR
que al sustituidos en la tercera de las ecuaciones (1.339) resulta,
I
= M R2
=
Sen +
Cos
Sen + M R2
Cos
Sen
Cos
M R2
o,
|
de aquí que,
I + M R2 = 0
{z
}
=0!
(1.341)
6=0
= ! = constante
(1.342)
Además, de la última de las ecuaciones (1.339) se obtiene,
=0!
=
= constante
(1.343)
Entonces, al sustituir los resultados (1.342) y (1.343) en (1.340) se encuentra que,
(
M R! Cos
3 =
(1.344)
M R! Sen
4 =
Por último, a partir de (1.5), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas
por,
8
4
X
>
>
lig
>
Qxcm =
M R! Cos
l Al1 = 3 =
>
>
>
>
l=1
>
>
4
>
X
>
>
lig
>
M R! Sen
>
l Al2 = 4 =
> Qycm =
>
>
l=1
>
>
4
>
X
>
>
lig
>
Q
=
>
l Al3 = 1 = M g
< zcm
l=1
4
X
>
>
lig
>
Q
=
>
l Al4 = 2 = 0
>
>
>
l=1
>
>
4
>
X
>
>
lig
>
>
Q =
l Al5 = 3 R Sen
>
>
>
>
l=1
>
>
4
>
X
>
>
lig
>
l Al5 = 0
: Q =
(1.345)
4 R Cos
=0
l=1
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 79
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
lig
La resultante de las fuerzas Qlig
xcm y Qycm es,
Qlig = Qlig
bx + Qlig
by =
xcm e
ycm e
M R! (Cos ebx + Sen eby )
(1.346)
que es perpendicular a la velocidad !
v del disco, es decir, está dirigida a lo largo de
su eje.
..............................................................................................
EJEMPLO 5.26
3
La figura 1.20 muestra un carrito que consiste en un bloque rectangular homogéneo plano de masa M , sobre una superficie horizontal (plano xy).
El carrito posee dos ruedas de masa despreciable a la mitad de cada lado y que
pueden girar sin resbalar independientemente en torno al eje L2 , de manera que el
centro de masa está a la mitad de la distancia entre ambas. Además, el carrito tiene
una carga puntual +Q en su centro y cargas puntuales q1 = +q y q2 = q a la mitad
de su parte frontal y trasera, cada una a una distancia b del centro del rectángulo.
!
El carrito está inmerso en un campo eléctrico uniforme E que apunta en la dirección
+x. (a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de Lagrange y (b) las fuerzas generalizadas de ligadura. Las ruedas no resbalan y no se consideran los efectos del campo
gravitacional.
SOLUCION: este es un sistema con ligaduras.
Ligaduras: existen K (h) = 3 ligaduras holónomas y K (nh) = 1 ligadura no-holónoma,
8
(h)
zcm = 0 ) f1 = zcm = 0, limita el movimiento del carrito al plano xy.
>
>
>
(h)
>
>
= 0 ) f2 = = 0, no hay rotación en torno al eje x.
>
>
>
< = 0 ) f (h) = = 0, no hay rotación en torno al eje y.
3
!
!
!
!
> v cm N = 0 ) f4(nh) = !
v cm N = 0, con N un versor normal al eje L1 del.
>
>
>
>
>
carrito. Esta obliga a que la velocidad !
v cm del centro de masa del carrito
>
>
:
esté a lo largo del eje L1 .
(1.347)
por lo que el sistema dado es no-holónomo esclerónomo.
(nh)
Póngase atención en la ligadura f4 . Las ruedas no resbalan, así la fuerza de fric!
!
ción estática entre ellas y la superficie proporcionan fuerzas F a y F b (ver figura 1.20)
que son paralelas al eje L2 y, por ende, perpendiculares al eje L1 . Estas fuerzas aseguran que la velocidad !
v cm del centro de masa esté a lo largo de L1 , por lo tanto,
3
Ver referencia [?].
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 80
1.4. SISTEMAS CON LIGADURAS NO-HOLÓNOMAS
!
Figura (1.20): Carrito rectangular homogéneo de masa M inmerso en un campo eléctrico uniforme E
dirigido a lo largo del eje x. Las ruedas no resbalan, así la fuerza de fricción estática entre ellas y la
!
!
superficie proporcionan fuerzas F a y F b .
un vector perpendicular a !
v cm también lo será a la recta que contiene al eje L1 . La
ecuación de dicha recta viene dada por,
|
(1.348)
(y2 y1 )x + (x2 x1 )y + x1 y2 x2 y1 = 0
|
{z
}
{z }
| {z }
A
C
B
donde (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ) son las posiciones de las cargas +q y q respectivamente. Se
sabe, a partir de la Geometría Analítica, que un vector perpendicular a la recta Ax +
!
By + C = 0 viene dado por N = Ab
ex + Bb
ey . En este caso se tiene que,
!
N = (y2 y1 ) ebx + (x2 x1 ) eby
(1.349)
por lo tanto,
(nh)
f4
o,
=!
v cm
!
N = xcm ebx + y cm eby
(nh)
f4
=
xcm (y2
[ (y2
y1 ) + y cm (x2
y1 ) ebx + (x2
x1 ) = 0
x1 ) eby ] = 0
(1.350)
que es una ligadura no-holónoma ya que no es integrable. Esta ligadura puede ser
expresada en una forma diferente como se verá más adelante.
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: el número
de grados de libertad del sistema es,
s = 3N
K (h)
K (nh) = 3 (2)
3
1=2
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.351)
Pág.: 81
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para describir el sistema es,
e = 3N
K (h) = 3 (2)
3=3
(1.352)
siendo e > s como era de esperarse para un sistema no-holónomo. De este resultado
se deduce que deben existir 3 coordenadas generalizadas capaces de describir por
(nh)
completo la configuración del sistema, debido a que la ligadura no-holónoma f4
presente no reduce el número de coordenadas mínimas necesarias.
Podrían escogerse coordenadas generalizadas que eliminen las ligaduras holónomas pero no las no-holónomas. Es posible escoger como coordenadas generalizadas
las del centro de masa q1 = xcm , q2 = ycm y el ángulo q3 = formado por L1 respecto al
eje x, un total de tres coordenadas generalizadas.
Es fácil mostrar, a partir de la figura 1.20, que las coordenadas de la posición de las
cargas puntuales q1 y q2 vienen dadas por,
8
x1 = xcm + b Cos
>
>
>
>
>
y1 = ycm + b Sen
>
>
>
< z =0
1
>
x2 = xcm b Cos
>
>
>
>
>
y2 = ycm b Sen
>
>
:
z2 = 0
(1.353)
y al sustituir estas transformaciones en (1.350) resulta finalmente,
(nhD)
f4
= Sen xcm
Cos y cm = 0
(1.354)
que está en la forma de velocidades y en la cual se evidencia su no-integrabilidad.
Para poder usar las ecuaciones de Lagrange (1.5) para ligaduras no-holónomas y
semi-holónomas es necesario que todas las ligaduras estén expresadas en forma de
(nhD)
está en forma de velocidad, es
diferencial o en la forma de velocidades. Como f4
(h)
(h)
(h)
conveniente escribir f1 , f2 y f3 en la misma forma. Al hallar la derivada total con
respecto al tiempo t de las mencionadas ligaduras resulta,
8
(shD)
>
z cm = 0 ) f1
= z cm = 0
>
>
>
< = 0 ) f (shD) = = 0
2
(1.355)
(shD)
>
=
0
)
f
=
=
0
>
3
>
>
:
(nhD)
Sen xcm Cos y cm = 0 ) f4
= Sen xcm Cos y cm = 0
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 82
1.4. SISTEMAS CON LIGADURAS NO-HOLÓNOMAS
Coeficientes Alj : estos coeficientes se encuentran al comparar cada una de las
ligaduras (1.355) con (1.4) por estar en forma de velocidades. En efecto, escogiendo
q1 = xcm , q2 = ycm , q3 = zcm , q4 = , q5 = y q6 = , a partir de (1.4) resulta,
(shD)
f1
=
6
X
A1j q j + B1 = 0
j=1
) A11 q 1 + A12 q 2 + A13 q 3 + A14 q 4 + A15 q 5 + A16 q 6 + B1 = 0
) A11 xcm + A12 y cm + A13 z cm + A14 + A15 + A16 + B1 = 0
(shD)
que al ser comparada con f1
(
en (1.325) resulta,
A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1
A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0
)
(1.356)
Si se realiza un procedimiento análogo para las restantes ligaduras resulta,
9
8
A
=
0
A
=
0
A
=
0
>
>
21
22
23
>
>
>
>
>
>
>
>
A
=
1
A
=
0
A
=
0
>
> 24
25
26
>
>
>
>
< A =0
A32 = 0
A33 = 0 =
31
>
A35 = 1
A36 = 0 >
>
> A34 = 0
>
>
>
>
>
>
>
>
A
=
Sen
A
=
Cos
A
=
0
41
42
43
>
>
>
>
;
:
A44 = 0
A45 = 0
A46 = 0
(1.357)
Lagrangiano: la energía cinética total T del sistema viene dada por,
2
2
2
1
1
1
1
2
M vcm
+ I
+ I
+ I
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
=
M xcm + y cm + z cm + I
+ I
2
2
2
T =
2
1
+ I
2
2
2
(1.358)
2
2
2
= xcm + y cm + z cm .
ya que la velocidad vcm del centro de masa es dada por vcm
La energía potencial U viene dada por la energía potencial eléctrica de las cargas
involucradas,
U = QExcm q1 Ex1 q2 Ex2
(1.359)
o al sustituir x1 y x2 de (1.353),
U=
QExcm
(1.360)
2qEb Cos
tomándose U = 0 (origen de potencial) el origen del sistema de coordenadas. Por lo
tanto, el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes viene dado por,
L = T U
2
2
2
1
1
=
M xcm + y cm + z cm + I
2
2
2
1
+ I
2
2
1
+ I
2
2
( QExcm
2qEb Cos )
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 83
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
o,
2
2
2
1
1
L = M xcm + y cm + z cm +
2
2
2
I
2
+I
2
+I
+ QExcm + 2qEb Cos
Ecuaciones de Lagrange: de (1.361) se tiene que,
8 @L
@L
= QE
=0
>
@xcm
@ycm
>
>
>
@L
@L
>
= M xcm
= M y cm
>
>
@ xcm
@ y cm
>
>
>
d
d
@L
@L
>
>
< dt @ xcm = M x cm dt @ ycm = M y cm
@L
@L
=0
=0
@
@
>
>
>
>
@L
@L
>
=I
=I
>
>
@
>
@
>
>
>
>
d
@L
: d @L = I
=I
dt
dt
@
@
@L
=0
@zcm
@L
= M z cm
@ z cm
d
@L
= M z cm
dt @ z cm
@L
= 2qEb Sen
@
@L
@
=I
d
dt
@L
@
=I
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
(1.361)
(1.362)
U
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
= 0 (por no existir
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
d
dt
@L
@ xcm
@L
@xcm
=
d
dt
@L
@ y cm
@L
@ycm
=
d
dt
@L
@ z cm
@L
@zcm
=
d
dt
@L
@
d
dt
@L
d
dt
@L
@
@
@L
@
@L
@
@L
@
=
l=1
4
P
=
=
4
P
l=1
4
P
4
P
l=1
4
P
l=1
4
P
l Al1
=
1 A11
+
2 A21
+
3 A31
+
4 A41
l Al2
=
1 A12
+
2 A22
+
3 A32
+
4 A42
l Al3
=
1 A13
+
2 A23
+
3 A33
+
4 A43
l=1
l Al4
l Al5
l Al6
(1.363)
=
=
=
1 A14
+
1 A15
1 A16
+
+
2 A24
+
2 A25
2 A26
+
+
3 A34
+
3 A35
3 A36
+
+
4 A44
4 A45
4 A46
l=1
ya que aquí K = K (h) + K (nhD) = 4. Ahora, al sustituir los resultados (1.356), (1.357) y
(1.362) en (1.363) se obtiene,
8
>
M x cm QE = 4 Sen
>
>
>
>
>
M y cm =
4 Cos
>
>
>
< M z cm = 1
>
I = 2
>
>
>
>
>
I = 3
>
>
>
:
I + 2qEb Sen = 0
(1.364)
que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema dado. Nótese que la
última es, formalmente, la misma que la del péndulo simple.
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 84
1.4. SISTEMAS CON LIGADURAS NO-HOLÓNOMAS
Cálculo de las cantidades pedidas:
(a) Las ecuaciones de movimiento ya fueron dadas por (1.364).
(b) Para encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura es necesario encontrar
primeramente los multiplicadores de Lagrange 1 , 2 , 3 y 4 . Al tener presentes las
(shD)
(shD)
(shD)
ligaduras f1
, f2
y f3
de (1.355) en las ecuaciones de movimiento (1.364) resulta,
8
>
< 1=0
(1.365)
2 = 0
>
:
3 = 0
reduciéndose el sistema de ecuaciones (1.364) a,
8
>
< M x cm QE = 4 Sen
M y cm =
4 Cos
>
:
I + 2qEb Sen = 0
Queda ahora por encontrar
respecto al tiempo t resulta,
4.
(1.366)
(nhD)
Al derivar la ligadura f4
xcm Cos + x cm Sen + y cm Sen
y cm Cos
dada en (1.355) con
= 0
= 0
xcm Cos + y cm Sen + x cm Sen
y cm Cos
{z
}
|
(1.367)
=0
(nhD)
y al usar nuevamente la ligadura f4
expresión se obtiene,
y cm
Cos2
Sen
dada en (1.355) para sustituir xcm en la anterior
+ xcm Sen
= 0
y cm = 0
(1.368)
de la cual,
y cm = 0
(1.369)
ya que 6= 0. Entonces, al sustituir el anterior resultado en el sistema de ecuaciones
(1.366) resulta,
4
=0
reduciéndose así el mencionado sistema de ecuaciones a,
(
M x cm QE = 0
I + 2qEb Sen = 0
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.370)
(1.371)
Pág.: 85
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Por último, a partir de (1.5), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas
por,
8
4
X
>
>
lig
>
=
Q
=0
l Al1 = 4 Sen
>
xcm
>
>
>
l=1
>
>
4
>
X
>
>
lig
>
Qycm =
=0
>
l Al2 =
4 Cos
>
>
>
l=1
>
>
4
>
X
>
>
lig
>
>
l Al3 = 1 = 0
< Qzcm =
l=1
(1.372)
4
X
>
>
>
Qlig =
>
l Al4 = 2 = 0
>
>
>
l=1
>
>
4
>
X
>
>
lig
>
>
Q =
l Al5 = 3 = 0
>
>
>
>
l=1
>
>
4
>
X
>
>
lig
>
l Al5 = 0
: Q =
l=1
..............................................................................................
EJEMPLO 5.27
4
Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura en el ejemplo
5.26 pero usando como una de las coordenadas generalizadas la distancia S recorrida
por el carrito a lo largo de su trayectoria (ver figura 1.21).
SOLUCION:
Ligaduras: existen K (h) = 3 ligaduras holónomas y K (nh) = 1 ligadura no-holónoma,
8
(h)
zcm = 0 ) f1 = zcm = 0, limita el movimiento del carrito al plano xy.
>
>
>
(h)
>
>
>
< = 0 ) f2 = = 0, no hay rotación en torno al eje x.
(h)
= 0 ) f3 = = 0, no hay rotación en torno al eje y.
(1.373)
>
>
(nh)
>
>
xcm = S Cos ) f4 = xcm S Cos = 0, que relaciona la coordenada
>
>
:
xcm con la nueva coordenada S.
4
donde s es la velocidad del centro de masa del carrito en el plano xy. Al escribirlas
todas en forma de velocidades,
8
(shD)
z cm = 0 ) f1
= z cm = 0
>
>
>
>
< = 0 ) f2(shD) = = 0
(1.374)
(shD)
>
= 0 ) f3
= =0
>
>
>
:
(nhD)
xcm = S Cos ) f4
= Cos S xcm = 0.
Ver referencia [?].
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 86
1.4. SISTEMAS CON LIGADURAS NO-HOLÓNOMAS
! !
!
!
Figura (1.21): F 1 , F 2 y F Q son las fuerzas eléctricas ejercidas por el campo eléctrico E sobre las cargas
q1 , q1 y Q respectivamente. La fuerza de fricción estática entrelas ruedas y la superficie proporcionan
!
!
fuerzas F a y F b
Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: estas cantidades ya fueron calculadas en el ejemplo 5.26,
s = 2
(1.375)
e = 3
(1.376)
siendo e > s como era de esperarse para un sistema no-holónomo.
Coeficientes Alj : estos coeficientes se encuentran al comparar cada una de las
ligaduras (1.374) con (1.4) por estar en forma de velocidades. En efecto, escogiendo
q1 = S, q2 = xcm , q3 = zcm , q4 = , q5 = , q6 = , a partir de (1.4) resulta,
(shD)
f1
=
6
X
A1j q j + B1 = 0
j=1
) A11 q 1 + A12 q 2 + A13 q 3 + A14 q 4 + A15 q 5 + A16 q 6 + B1 = 0
) A11 S + A12 xcm + A13 z cm + A14 + A15 + A16 + B1 = 0
(shD)
que al ser comparada con f1
(
en (1.374) resulta,
A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1
A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0
)
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
(1.377)
Pág.: 87
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Si se realiza un procedimiento análogo para las restantes ligaduras resulta,
8
9
A
=
0
A
=
0
A
=
0
>
>
21
22
23
>
>
>
>
>
>
>
>
A
=
1
A
=
0
A
=
0
>
>
24
25
26
>
>
>
>
< A =0
A32 = 0
A33 = 0 =
31
>
A34 = 0
A35 = 1
A36 = 0 >
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
A
=
Cos
A
=
1
A
=
0
41
42
43
>
>
>
>
:
;
A44 = 0
A45 = 0
A46 = 0
(1.378)
Lagrangiano: como s es la velocidad del centro de masa del carrito en el plano xy
entonces,
2
2
2
vcm
= S + z cm
(1.379)
por lo tanto el Lagrangiano (1.361) queda ahora escrito como,
1
L= M
2
2
2
S + z cm +
1
2
I
2
2
+I
2
+I
+ QExcm + 2qEb Cos
Ecuaciones de Lagrange: de (1.380) se tiene que,
8
@L
@L
@L
>
=0
= QE
=0
>
@S
@xcm
@zcm
>
>
>
@L
@L
@L
>
= MS
=0
= M z cm
>
>
@
x
@
z cm
>
cm
@S
>
>
>
@L
@L
d
d
>
= M S dtd @L = 0
= M z cm
< dt
dt
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
@L
@
@ xcm
@S
=0
@L
@
@L
@
=I
@L
d
dt
@L
@
@ z cm
=0
@L
@
=
=I
@L
@
=I
d
dt
@L
@
@
@L
d
dt
=I
=I
@
2qEb Sen
=I
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
(1.380)
(1.381)
U
Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (1.5) con QN
= 0 (por no existir
j
este tipo de fuerzas) se puede escribir,
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
4
P
d
dt
@L
d
dt
@L
@ xcm
@L
@xcm
=
d
dt
@L
@ z cm
@L
@zcm
=
d
dt
@L
@
d
dt
@L
d
dt
@L
@
@S
@
@L
@S
@L
@
@L
@
@L
@
=
l=1
=
l=1
4
P
=
=
4
P
l=1
4
P
l Al1
4
P
l=1
4
P
=
1 A11
+
2 A21
+
3 A31
+
4 A41
l Al2
=
1 A12
+
2 A22
+
3 A32
+
4 A42
l Al3
=
1 A13
+
2 A23
+
3 A33
+
4 A43
l=1
(1.382)
l Al4 =
l Al5
l Al6
=
=
1 A14 +
1 A15
1 A16
+
+
2 A24 +
2 A25
2 A26
+
+
3 A34 +
3 A35
3 A36
+
+
4 A44
4 A45
4 A46
l=1
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 88
1.4. SISTEMAS CON LIGADURAS NO-HOLÓNOMAS
ya que aquí K = K (h) + K (nhD) = 4. Ahora, al sustituir los resultados (1.377), (1.378) y
(1.381) en (1.382) se obtiene,
8
>
M S = 4 Cos
>
>
>
>
>
QE = 4
>
>
>
< Mz =
cm
1
> I = 2
>
>
>
>
>
>
I = 3
>
>
:
I + 2qEb Sen
(1.383)
=0
que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema dado.
Cálculo de las cantidades pedidas: para encontrar las fuerzas generalizadas de
ligadura es necesario encontrar primeramente los multiplicadores de Lagrange 1 , 2 ,
(shD)
(shD)
(shD)
, f2
y f3
de (1.374) en las ecuaciones
3 y 4 . Al tener presentes las ligaduras f1
de movimiento (1.383) resulta,
8
>
>
>
<
>
>
>
:
1
2
3
4
=0
=0
=0
= QE
(1.384)
reduciéndose este sistema de ecuaciones a,
(
M S = QE Cos
I + 2qEb Sen
(1.385)
=0
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 89
CAPÍTULO 1. EJEMPLOS DE MECANICA LAGRANGIANA
Por último, a partir de (1.5), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas
por,
8
4
X
>
lig
>
>
Q
=
= QE Cos
l Al1 = 4 Cos
>
S
>
>
>
l=1
>
>
4
>
X
>
>
lig
>
Qxcm =
QE
>
l Al2 =
4 =
>
>
>
l=1
>
>
4
>
X
>
>
lig
>
>
l Al3 = 1 = 0
< Qzcm =
l=1
4
X
>
>
lig
>
Q =
>
l Al4 = 2 = 0
>
>
>
l=1
>
>
4
>
X
>
>
lig
>
>
Q =
l Al5 = 3 = 0
>
>
>
>
l=1
>
>
4
>
X
>
>
lig
>
l Al5 = 0
: Q =
(1.386)
l=1
Aquí Qlig
S es la fuerza eléctrica resultante a lo largo del eje L1 , que es la que controla
el movimiento del carrito.
..............................................................................................
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2015.
Pág.: 90