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1
Parcial de Ecuaciones Diferenciales
1. Para cada uno de los siguientes enunciados determinar si es falso o verdadero y dar la justificación
correspondiente.
ax+by
cx+ey ,
(a)
La ecuación y ′ =
b + c = 0.
(b)
La ecuación diferencial
diferencial lineal.
con a, b, c, e constantes y ae − bc 6= 0, es exacta si y sólo si
df (y) dy
dy dx
+ p (x) f (y) = q (x) , se puede convertir en una ecuación
Si el conjunto
(c)
2x
e cos 3x, e2x sin 3x, e2x
son las raices de una ecuación diferencial, entonces la ecuación es de orden 2
2. Resolver la ecuación diferencial
2y 2 − 6xy dx + 3xy − 4x2 dy = 0
3. Solucionar la ecuación diferencial
yy ′′ = y 2 y ′ + y ′
2
4. Determinar una solución continua del siguiente problema de valor inicial
201
5
dy
+ 2xy = f (x) , y (0) = 0
dx
donde
x si 0 ≤ x < 1
−x si
x≥1
rch
f (x) =
19,
1 + x2
deM
Ma
5. El Pb-209, isótopo radiactivo del plomo, se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad
presente en cualquier tiempo t y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al principio habı́a un gramo
de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre 90%?
Ecu
dife
acio
nes
7. Solucionar la ecuación diferencial
ren
cial
es U
6. La ley logı́stica para crecimiento de poblaciones limitada por espacio y recursos naturales propuesta
por Verhulst es:
dQ
= k1 Q − k2 Q2
dt
Para la población humana se ha determinado que k1 = .029. Si en el 2002 la población era de
5.5 × 109 personas y la tasa de crecimiento anual es del 1.8%, encuentre k2 y prediga un valor
limite para la población de la tierra.
y ′′ + 6y ′ + 8y = 0
2
Parcial
1. Resolver el problema con condición inicial
x
p
dy
= y + x2 − y 2 ;
dx
2. Solucionar la ecuación diferencial
y (x0 ) = 0
dy
= 3x4 + e2y
dx
2xe2y
Ayuda: Hacer u = e2y
3. Solucionar un literal
1
(a) Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1000
de la cantidad original de C14 . Determinar la edad del fósil, sabiendo que el tiempo de vida media del C14 es de 5600 años.
(b) A un circuito RC en serie, en el que la resistencia es de 200Ω y la capacitancia es de 10−4 F,
se le aplica una tensión de 100V . Calcular la carga q(t) en el capacitor si q(0) = 0 y obtener
la corriente i(t).
201
5
4. Verificar que la ecuación diferencial es exacta y solucionarla
y
dx + y 2 + ln x dy = 0
x3 +
x
5. Solucionar la ecuación diferencial
19,
ydx + x2 y − x dy = 0
rch
6. Solucionar la ecuación diferencial
Ma
xy ′′ − y ′ = 3x2
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
7. Solucionar la ecuación diferencial y ′′ − 2y ′ + 2y = 0
3
Parcial
1. Dada la ecuación diferencial
y y 2 + 1 dx + x y 2 − 1 ln xdy = 0
hallar un factor integrante de la forma xm y n y solucionar la ecuación.
2. Solucionar la ecuación diferencial
xy
3. Dada la ecuación diferencial
dy
dx
dy
= − x2 + y 2
dx
= 2x2 + x1 y − 2y 2 y la función yp = x
(a) Probar que yp es una solución particular de la ecuación diferencial dada
(b) Mostrar que al hacer la sustitución y = yp + u−1 la ecuación diferencial se transforma en
1
du
dx + x − 4x u = 2
(c) Resolver la ecuación diferencial obtenida en el literal anterior
(d) Escribir la solución general de la ecuación diferencial original.
4. Obtener las trayectorias ortogonales a la familia y + x ln y = x ln x + cx
2
d3 y
2d y
+
x
=x
dx3
dx2
5
x3
201
5. Solucionar la ecuación diferencial
19,
6. La vida media de uranio 238 es aproximadamente de 4.5 × 109 años. ¿Que cantidad de un bloque
de 10 kilogramos de U − 238 estará presente dentro de 1000 millones de años?
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
Ma
rch
7. Solucionar la ecuación diferencial y ′′ − 3y ′ + 2y = 0
4
Parcial
1. Solucionar un literal
(a) Cuando y = 0 habı́a 100 miligramos de una sustancia radiactiva, al cabo de 6 horas esa cantidad disminuyó el 3%. Si la razón de desintegración, en cualquier momento, es proporcional
a la cantidad de la sustancia presente, calcular la cantidad que queda después de dos horas.
(b) A un circuito RC en serie, en el que la resistencia es de 200Ω y la capacitancia es de 10−4 F,
se le aplica una tensión de 100V . Calcular la carga q(t) en el capacitor si q(0) = 0 y obtener
la corriente i(t).
2. Solucionar la ecuación diferencial
(z +
√
wz)dw − wdz = 0
3. Dada la ecuación diferencial
y y 2 + 1 dx + x y 2 − 1 ln xdy = 0
hallar un factor integrante y solucionar la ecuación.
4. Solucionar la ecuación diferencial
dy
dx
2
5
201
dy
+
y = 5x + 5x
dx
2
Ma
rch
19,
5. Hallar el valor de M para que la ecuación diferencial sea exacta
1
xy
M (x, y) dx + xe + 2xy +
dy = 0
x
6. Encontrar las trayectorias ortogonales para la familia
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
4y + x2 + 1 + c
e2y = 0
5
Parcial
1. Encontrar un factor de la forma µ = xm y n y solucionar la ecuación diferencial
(3xy 3 + 4y)dx + (3x2 y 2 + 2x)dy = 0
solución:
2. Solucionar la ecuación diferencial
dy − (y 2 cos x − y 2 sin x − y)dx = 0
solución:
3. Solucionar la ecuación diferencial
yy ′′ = y 2 y ′ + (y ′ )2
4. Encontrar la familia de trayectorias ortogonales a la familia
y = x − 1 + ce−x
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
Ma
rch
19,
201
5
5. Si la población de una comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad de personas
que tiene en cualquier momento t y si la población se duplica en un año, ¿en cuanto tiempo de
triplicará?
6
Parcial
1. Solucionar la ecuación diferencial y 4 ln y − 2x3 y dy + 3x2 y 2 dx = 0
−2
d2 y
dy
1 dy
2. Solucionar la ecuación diferencial dx
=0
2 − x dx +
dx
3. Solucionar la ecuación diferencial (x + 2y + 4) dx − (2x + 4y + 1) dy = 0 con condición inicial
y (0) = 1
4. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia y = cex + x
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
Ma
rch
19,
201
5
5. Cuando t = 0, habı́a 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo de 6 horas, esa cantidad
disminuyó el 3%. Si la razón de desintegración, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad
de la sustancia presente, calcular la cantidad que queda después de 2 horas
6. Solucionar la ecuación diferencial y ′′ − 2y ′ + 2y = 0 con condiciones y π2 = 0 y y (π) = 1
7
Parcial
1. Solucionar la ecuación diferencial
dy
dx
3
+ 2x
dy
dx
2
= 3x
2
dy
dx
2. Resolver la ecuación diferencial
dα
+
dφ
2
α = −φ9 α5
φ
α (−1) = 2
3. Hallar la familia ortogonal a la familia
y 2 = cx3
4. Hallar el valor de M para que la ecuación diferencial sea exacta
1
xy
M (x, y) dx + xe + 2xy +
dy = 0
x
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
Ma
rch
19,
201
5
5. La población de una comunidad crece con una tasa proporcional en cualquier momento. su
población inicial es de 500 y aumenta el 15% en 10 años ¿Cuál será la población pasados 30
años?
8
Parcial
1. Solucionar la ecuación diferencial
x2 + y 2 − 5 dx = (y + xy) dy
2. Solucionar la ecuación diferencial
yy ′′ − y ′
2
y (0) = 1
=0
3. Muestre que bajo la sustitución u = x + y la ecuación diferencial
dy
+ x + y + 1 = (x + y)2 e3x
dx
se transforma en una ecuación diferencial de Bernoulli. Solucionar la ecuación diferencial.
4. Encontrar las trayectorias ortogonales para la familia
y=
1
x+k
6. Dada la ecuación
201
y ′′ − 3y ′ + 2y = 0
5
1
de la cantidad original de C14 . Determinar
5. Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1000
la edad del fósil, sabiendo que el tiempo de vida media del C14 es 5600 años.
19,
(a) Hallar los valores de m para que y = emx sea solución de la ecuación diferencial
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
Ma
rch
(b) Hallar la solución particular con y (0) = −1 y y ′ (0) = 1
9
Parcial
1. Solucionar la ecuación diferencial
3 + 4xy −1 dx − 2xy −1 − 3x2 y −2 dy = 0
2. Solucionar la ecuación diferencial (α + β + 4) dα − (1 + 2α + 4β) dβ = 0
3. Solucionar uno y solo uno de los literales
−2
dy
dy
d2 y
(a) x1 dx
= (2x + 1) dx
− dx
2
2
dy
dy
(b) y = 5x2 + 5x
+
dx
dx
4. Resolver la ecuación diferencial
h
i
y
y
x + y e( x ) dx − x e( x ) dy = 0
5. Solucionar uno solo de los siguientes literales
5
(a) Se aplica una fuerza electromotriz de 10V a un circuito en serie LR, con una resistencia
de 10kΩ y una inductancia de 10µH. Si i (0) = 0, determinar la corriente i (t) . Hallar la
corriente cuando t → ∞
201
(b) Un isótopo radiactivo tiene una vida media de 15 dı́as. Se desea tener 30 gramos al final de
los 30 dı́as. ¿qué cantidad de radioisótopo se debe tener al inicio?
Ecu
acio
nes
dife
ren
cial
es U
deM
Ma
rch
19,
6. Encontrar la familia ortogonal a la familia c1 x2 + y 2 = 1