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Guía 10
Factorizaciones especiales
Nombre
Curso
1° Año Medio A – B – C – D
Capacidad
Resolver Problemas
Destreza
Analizar
Valor
Colaboración
Actitud
Constancia
Aprendizajes Esperados
Identificar patrones en multiplicaciones de expresiones algebraicas no
fraccionarias.
En esta guía abordaremos unos casos muy especiales de factorización, los cuales se presentan,
frecuentemente, en el desarrollo de expresiones algebraicas. Estudiaremos tres casos de factorización:
sacar factor común, factorización por agrupación y suma de dos términos con variables a la cuarta.
Recordando algunos conceptos importantes
¿Qué significa factorizar una expresión algebraica?
¿Cuál es la propiedad que permite factorizar una expresión algebraica?
¿Por qué se dice que ésta propiedad es “económica”?
Sacar factor común
1) Desarrolla las siguientes multiplicaciones:
4𝑥 ∙ (2𝑥 2 − 3)
= __________________________________________
b) 6 ∙ (3𝑥 3 − 4𝑥 + 5)
= __________________________________________
a)
c)
5𝑥 2 ∙ (8𝑥 2 + 4𝑥 − 7) = __________________________________________
2
2) Supongamos que un alumno hizo una tarea similar a las multiplicaciones anteriores, pero alguien
rompió la hoja de su cuaderno (ver figura). En el trozo de papel sólo aparecen los resultados, pero él
no recuerda cuáles eran los ejercicios. Ayúdalo rehacer su tarea.
Obteniendo conclusiones
Junto a tu profesor y compañeros sintetizar lo aprendido en la actividad anterior.
Hora de practicar lo aprendido
Sacar factor común en los siguientes polinomios:
a) 30𝑥 4 −54𝑥 2
d) 5𝑥 4 −7𝑥 3 − 30𝑥 2
b) 24𝑥 3 −36𝑥 2 + 48𝑥
e) 40𝑥 3 −16𝑦 2
c)
60𝑥 4 −45𝑥 3 + 30𝑥 2
f)
35𝑥 4 −49𝑥 3 +63𝑥 2
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Factorización por agrupación
A continuación estudiaremos una forma muy útil de multiplicar dos polinomios. Observa atentamente los
siguientes ejemplos:
a)
𝐴 = (𝑎 + 3𝑥)(𝑎 − 2𝑦)
𝐴 = 𝑎 ∙ (𝑎 − 2𝑦) + 3𝑥 ∙ (𝑎 − 2𝑦)
2
𝐴 = 𝑎 − 2𝑎𝑦 + 3𝑎𝑥 − 6𝑥𝑦
b) 𝐵 = (𝑥 − 4𝑦)(𝑎 − 5𝑏)
𝐵 = 𝑥 ∙ (𝑎 − 5𝑏) − 4𝑦 ∙ (𝑎 − 5𝑏)
𝐵 = 𝑎𝑥 − 5𝑏𝑥 − 4𝑎𝑦 + 20𝑏𝑦
1) Al igual que en los ejemplos anteriores, desarrolla las siguientes multiplicaciones:
a) 𝐶 = (3𝑥 − 5𝑦)(𝑎 + 2𝑦)
c)
𝐸 = (𝑎 − 6𝑦)(𝑎 − 5𝑥)
b) 𝐷 = (𝑎 + 5𝑦)(𝑎 − 3𝑥)
d) 𝐹 = (3𝑥 − 2𝑦)(𝑎 − 3𝑏 − 5𝑐)
2) Magdalena hizo una tarea similar a los ejercicios de la actividad 1, pero su hermano menor
derramó tinta sobre la hoja que debía presentar a su profesor (ver figura). Ayúdala a rehacer su
tarea.
Obteniendo conclusiones
Junto a tu profesor y compañeros sintetizar lo aprendido en la actividad anterior.
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Hora de practicar lo aprendido
En cada caso, factorizar por agrupación:
a) 2𝑎𝑥 − 8𝑎𝑦 + 3𝑏𝑥 − 12𝑏𝑦
d) 3𝑎𝑥 − 21𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 + 7𝑏𝑦
b) 3𝑎𝑏 + 15𝑎𝑦 − 2𝑏𝑥 − 10𝑥𝑦
e)
6𝑎𝑏 − 20𝑎𝑥 + 15𝑏𝑥 − 50𝑥 2
𝑎𝑏 + 2𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 − 2𝑥 2
f)
2𝑏 2 + 3𝑏𝑦 − 12𝑏𝑥 − 18𝑥𝑦
c)
Suma de dos términos con variables a la cuarta
Para finalizar el estudio de casos especiales de factorización en Primer Año Medio, buscaremos una
regularidad que nos permita factorizar en ciertas circunstancias, la suma de dos términos a la cuarta.
Por ejemplo, ¿cómo podemos factorizar la expresión 81𝑎4 + 64𝑏 4 ?
Antes de iniciar la búsqueda de un procedimiento, recordemos dos fórmulas:
Cuadrado de un binomio
(𝑎 + 𝑏)2 = __________________________________________________
Suma por diferencia (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = __________________________________________________
Observa el desarrollo de los siguientes productos:
1) 𝐴 = (𝑥 2 + 2𝑦 2 + 2𝑥𝑦)(𝑥 2 + 2𝑦 2 − 2𝑥𝑦)
𝐴 = (𝑥 2 + 2𝑦 2 )2 − (2𝑥𝑦)2
𝐴 = 𝑥 4 + 4𝑥 2 𝑦 2 + 4𝑦 4 − 4𝑥 2 𝑦 2
𝑨 = 𝒙𝟒 + 𝟒𝒚𝟒
2) 𝐵 = (7𝑎2 + 14𝑏 2 − 14𝑎𝑏)(7𝑎2 + 14𝑏 2 + 14𝑎𝑏)
𝐵 = (7𝑎2 + 14𝑏 2 )2 − (14𝑎𝑏)2
𝐵 = 49𝑎4 + 196𝑎2 𝑏 2 + 196𝑏 4 − 196𝑎2 𝑏 2
𝑩 = 𝟒𝟗𝒂𝟒 + 𝟏𝟗𝟔𝒃𝟒
Imagina que el profesor la da Loreto dos ejercicios de tarea, similares a los ejemplos anteriores. Los
resuelve en una hoja y alguien se la rompe. Después de mucho buscar encuentra un trozo de la hoja con el
resultado de cada ejercicio. Ayúdalo a rehacer su tarea.
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Obteniendo conclusiones
Junto a tu profesor y compañeros sintetizar lo aprendido en la actividad anterior.
Hora de practicar lo aprendido
Factorizar las siguientes expresiones:
a) 4𝑎4 + 𝑏 4
c)
64𝑎4 + 𝑏 4
b) 4𝑥 4 + 144𝑦 4
d) 9𝑥 4 + 36𝑦 4
Más ejercicios para practicar
1) Sacar factor común en los siguientes polinomios:
a) 80𝑥 4 −32𝑥 2
d) 3𝑥 4 −5𝑥 3 − 8𝑥 2
b) 72𝑥 3 −32𝑥 2 + 24𝑥
e) 12𝑥 2 −28𝑦 4
f)
21𝑥 4 −56𝑥 3 +35𝑥 2
a) 𝑎𝑥 − 𝑥 2 − 3𝑎𝑦 + 3𝑥𝑦
f)
5𝑎𝑥 − 10𝑏𝑥 − 𝑎 + 2𝑏
b) 3𝑎2 − 3𝑎 + 5𝑎𝑏 − 5𝑏
g)
6𝑎𝑏 − 20𝑎𝑥 + 15𝑏𝑥 − 50𝑥 2
c)
90𝑥 4 −45𝑥 3 + 75𝑥 2
2) Sacar factor común en los siguientes polinomios:
c)
5𝑏𝑥 − 5𝑥𝑦 + 2𝑏𝑦 − 2𝑦 2
h) 15𝑎𝑥 − 3𝑏𝑥 − 10𝑎𝑦 + 2𝑏𝑦
d) 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 − 𝑥 + 2𝑦
i)
8𝑎𝑥 − 4𝑏𝑥 + 6𝑎𝑦 − 3𝑏𝑦
e) 3𝑥 2 + 2𝑏𝑥 + 15𝑥𝑦 + 10𝑏𝑦
j)
2𝑥 2 − 2𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦
3) Sacar factor común en los siguientes polinomios:
a) 16𝑎4 + 4
e) 324𝑎4 + 𝑏 4
b) 81𝑥 4 + 4𝑦 4
f)
64𝑥 4 + 16𝑦 4
g)
100𝑎4 + 25𝑏 4
c)
256𝑎4 + 4𝑏 4
d) 4𝑥 4 + 625𝑦 4
h) 2500𝑥 4 + 𝑦 4