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CINEMATICA
La cinemática es la parte de la física que se encarga del estudio del movimiento sin importar
las causas que lo originan.
Lo primero que hacemos cuando decimos que un cuerpo se mueve es referirlo instintivamente
a un objeto que consideramos en reposo. Es decir, elegimos un sistema de referencia que
consideramos fijo. Si el cuerpo en estudio, a medida que pasa el tiempo, cambia de posición
respecto al SR decimos que se está moviendo. Sin embargo, en el universo nada está en
reposo y por tanto es imposible disponer de un sistema de referencia fijo, es por eso que todos
los movimientos son relativos.
VECTOR DE POSICIÓN
Una vez elegido el sistema de referencia (SR), lo primero que nos interesa es conocer la
posición del móvil en cada momento
respecto de él. Para ello utilizaremos el vector de
r
posición. El vector de posición ( r ) va a ser un vector que siempre está centrado en el origen
del SR y cuyo extremo esté allí donde lo está el móvil. Evidentemente si el extremo del
vector de posición está siempre donde el móvil debe ser un vector que varíe con el tiempo:
r
r
r
r
r ( t ) = rx ( t ) i + ry ( t ) j + rz ( t )k
Por ejemplo, en dos instantes determinados el móvil puede encontrarse en las posiciones que
indica la figura, el vector de posición en esos instantes será:
Puesto que el vector de posición tiene siempre su extremo donde está el móvil, es evidente
que la curva que describen los extremos de dicho vector coincidirá con la trayectoria del
móvil, es decir:
•
•
La trayectoria es la curva que describen los extremos del vector de posición
Las componentes del vector de posición nos dan las coordenadas de la posición del
móvil, por tanto son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria
Ejemplo:
Un móvil se desplaza obedeciendo a las ecuaciones paramétricas
x = t2 + 2
y = t2
a) ¿Qué representan dichas ecuaciones?
b) ¿Cual es la ecuación de la trayectoria en forma normal?
c) ¿Cuál es el vector de posición del móvil?
a) Las ecuaciones paramétricas nos dan las coordenadas del móvil, es como cuando se juega
a los barquitos y dándole valores al tiempo nos dan su posición en cada instante.
b) Para obtener la ecuación de la trayectoria en forma normal no hay más que eliminar el
parámetro, que en este caso es el tiempo, así que:
t2 = x − 2
y = x−2
t =y
2
como puedes ver la ecuación de la trayectoria corresponde a la ecuación de una recta, por lo
que el movimiento es rectilíneo.
c) Puesto que las componentes del vector de posición son las ecuaciones paramétricas de la
trayectoria, dicho vector será:
r
r
r
r = ( t 2 + 2) i + t 2 j
Si representas la ecuación de la trayectoria y el vector de posición, por ejemplo en los
instantes t=1 y t=2 podrás comprobar gráficamente que sus extremos están sobre la
trayectoria:
VELOCIDAD
La velocidad es una magnitud física que nos mide como cambia el vector de posición en
función del tiempo, lo que matemáticamente se expresa mediante la derivada del vector de
posición con respecto al tiempo:
r
r dr
v=
dt
Sabemos que la derivada de un vector es otro vector tangente a la curva que describen los
extremos del vector sin derivar. Puesto que el vector sin derivar es el vector de posición y la
curva que describen los extremos del vector de posición es la trayectoria, es evidente que el
vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en cualquier momento.
Las componentes del vector velocidad son las derivadas de las componentes del vector de
posición:
r
r
r dr r dry r
v= x i+
j = vx i + vy j
dt
dt
Si observas las figuras verás
que para desplazamientos
grandes el módulo del vector
desplazamiento no coincide
con el espacio recorrido sobre
la trayectoria, pero para un
desplazamiento infinitesimal sí
que son iguales:
r
∆ r ≠ ∆s
pero
r
d r = ds
La velocidad también puede obtenerse derivando la ecuación de la forma en que recorre el
espacio en función del tiempo, pero en este caso solo obtendríamos el módulo de la
velocidad:
ds
v=
dt
Puesto que en este caso solo obtenemos el módulo, si queremos escribirla en forma de vector
tendremos que añadirle un vector unitario en la dirección y sentido de la velocidad:
r ds r
v = ⋅uv
dt
Ejemplo
r
r
r
El vector de posición de un móvil viene dado por: r = (3t 2 + 2) i + 4 t 2 j
Sabiendo que parte del reposo y que el espacio inicial son 5 m. Calcular:
a) El vector velocidad
b) El módulo de la velocidad
c) La ecuación de la trayectoria
d) La ecuación del espacio
e) En el instante t=2 seg. Calcular su posición, su velocidad y el espacio que habrá recorrido.
a) El vector velocidad es la derivada del vector de posición, así que:
r
r
r
r dr
v=
= 6 t ⋅ i + 8t ⋅ j
dt
b) El módulo de la velocidad será:
v=
(6t )2 + (8t )2
= 10t
c) Como sabemos, las componentes del vector de posición son las ecuaciones paramétricas
de la trayectoria, de manera que no hay más que eliminar el tiempo entre ambas para
obtenerla en forma normal:
x = 3t 2 + 2
t 2 = (x − 2 ) / 3
y = 4t 2
t2 = y / 4
y=
4
8
x−
3
3
Corresponde a la ecuación de una recta, por lo que el movimiento es rectilíneo.
d) Puesto que el módulo de la velocidad es igual a la derivada del espacio respecto al
tiempo, despejando podemos obtener el espacio como integral de la velocidad:
v=
ds
dt
s = ∫ v ⋅ dt = ∫ 10 t ⋅ dt = 5t 2 + k
⇒
La k es la constante de integración y obviamente corresponde al espacio inicial, es decir es el
valor del espacio, cuando t=0, por tanto, según los datos k=5 y la ecuación final de espacio
será:
s = 5t 2 + 5
e) Esta es la parte más fácil, puesto que una vez que tenemos todas las ecuaciones,
simplemente se trata de sustituir el tiempo por el valor del instante que nos digan, así:
(
)
r
r
r
r
r
r t = 2 = 3 ⋅ 2 2 + 2 i + 4 ⋅ 2 2 j = 14 i + 16 j es decir estará en x=14 ; y=16
r
r
r
r
r
v t = 2 = 6 ⋅ 2 i + 8 ⋅ 2 j = 12 i + 16 j
Su módulo es:
v
t =2
= 10 ⋅ 2 = 20m / s
La dirección, el ángulo que forma con el eje X es α = arctg
El espacio recorrido será:
s
t =2
= 5 ⋅ 2 2 + 5 = 25m
vy
vx
= arctg
8
= 53,1º
6
ACELERACIÓN
La aceleración es una magnitud física que nos mide como cambia el vector velocidad en
función del tiempo, por tanto, se define como la derivada del vector velocidad respecto al
tiempo:
v
v
r
r
r dv dv x r dv y r
r dv
a=
a=
=
j = ax i + ay j
i+
dt
dt
dt
dt
La aceleración, según se deduce de su definición, es un vector tangente a la curva que
describen los extremos del vector velocidad.
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN
Que la aceleración sea un vector tangente a la curva que describen los extremos del vector
velocidad no nos ayuda a dibujarlo, así que lo que vamos a hacer es decomponer al vector
aceleración en dos vectores: Uno en la dirección de la velocidad y otro en dirección
perpendicular, es decir normal, a la velocidad.
Lo primero que haremos es definir dos vectores unitarios:
r
τ va a ser un vector unitario en la dirección a la velocidad, es decir un vector
unitario tangente a la trayectoria en cada momento.
r
n va a ser un vector unitario normal a la velocidad
Como sabemos, un vector puede expresarse como producto de su módulo por un vector
unitario en la dirección y sentido del vector, así pues, la velocidad podemos expresarla
como:
r
r
v = v⋅τ
derivando al vector velocidad respecto al tiempo obtendríamos la aceleración:
r
r
r dv dv r
dτ
a=
=
⋅τ+ v⋅
dt dt
dt
r
El primer sumando es un vector en la dirección y sentido de τ es decir en la
dirección y sentido de la velocidad.
El segundo sumando se trata de la derivada de un vector unitario, y ya sabemos que
la derivada de un vector que no varía en módulo (sólo en dirección) y el vector son
perpendiculares, porque sus extremos describen una circunferencia, así que el
r
segundo sumando tiene la dirección perpendicular a τ o sea que tiene la dirección de
r
n . Puede demostrarse que su módulo es v2/r, así que:
r dv r v 2 r
a=
⋅τ+
⋅n
dt
r
r
Al primer sumando se le llama aceleración tangencial ( at ) porque es un vector tangente a la
trayectoria, es decir, en la dirección de la velocidad
r
El segundo sumando se llama aceleración normal ( a n ) porque es un vector normal a la
velocidad.
r
dv r
at =
⋅τ
dt
r
v2 r
an =
⋅n
r
Significado físico:
•
•
La aceleración tangencial nos mide las variaciones del MÓDULO del vector
velocidad. Por tanto, si at=0 eso quiere decir que el módulo de la velocidad no varía,
es decir que el movimiento es uniforme.
La aceleración normal nos mide las variaciones en DIRECCIÓN del vector
velocidad. Por tanto si an=0 eso quiere decir que el vector velocidad no varia en
dirección, es decir que se trata de un movimiento rectilíneo ( r = ∞ ).
Hay que darse cuenta de que al ser el vector aceleración suma de dos vectores, uno tangente
a la trayectoria y otro normal, en general la aceleración no tiene la dirección de la velocidad.
Solamente cuando an=0
A estas componentes de la aceleración se las llama intrínsecas porque no dependen del
sistema de referencia, sino de la propia trayectoria.
Relación entre las magnitudes cinemáticas
r
a
s
v
atang
integrando
v
v = v 2x + v 2y
derivando
derivando
r
rr
integrando
vector
Un cuerpo se mueve a lo largo del eje X de acuerdo con la ley: x = 2t3 + 5t2 + 5 Encontrar:
a) El vector de posición
b) El vector velocidad y el módulo de la velocidad
c) Ecuación del espacio
d) La aceleración tangencial, la aceleración normal y la aceleración total
a) El vector de posición tiene como componentes las coordenadas del móvil:.
r
r
r
r
r = x i + y j = (2 t 3 + 5t 2 + 5) i
r
r
r dr
b)
= (6 t 2 + 10 t ) i
v=
dt
v = v 2x + v 2y = (6 t 2 + 10 t ) 2 + (0) 2 = 6 t 2 + 10 t
c) La ecuación del espacio se obtiene integrando el “módulo” de la velocidad, así que:
s = ∫ v dt = ∫ (6 t 2 + 10 t )dt = 2 t 3 + 5t 2 + s o
donde so es la constante de integración que representa al espacio inicial, es decir lo que ya había
recorrido cuando t=0. Si tomamos un sistema de referencia centrado en (0,0) resulta que
x t =0 = 2t 3 + 5t 2 + 5 t =0 = 5 por tanto la ecuación del espacio recorrido por el móvil sería:
s = 2 t 3 + 5t 2 + 5
d) La aceleración tangencial es la derivada del módulo de la velocidad y por eso precisamente
mide las variaciones en módulo de la velocidad:
at =
r
r
dv d (6 t 2 + 10 t )
=
= 12 t + 10 en forma de vector a t = (12 t + 10) τ
dt
dt
La aceleración normal mide los cambios en dirección de la velocidad. Como el movimiento es
rectilíneo, porque se mueve a lo largo del eje X, la velocidad no cambia de dirección y su an=0
an =
r
r
v2
= 0 en forma de vector a n = 0 n
R
La aceleración total es la suma vectorial de la aceleración tangencial y de la aceleración normal.
El módulo de la aceleración total (como ambas aceleraciones son vectores perpendiculares
porque la at tiene la dirección de la velocidad y la an es normal a la velocidad), aplicando el
teorema de Pitágoras es:
r r r
r
a = a t + a n = (12 t + 10) τ
a = a 2t + a 2n = (12 t + 10) 2 + 0 2 = 12 t + 10
El vector aceleración total puede obtenerse también como derivada del vector velocidad, que
es precisamente su definición:
r
r
r
r
dv d (6 t 2 + 10 t ) i
a =
=
= (12 t + 10) i
dt
dt
CASOS PARTICULARES DE MOVIMIENTOS
1. Movimiento rectilíneo y uniforme (MRU)
Es aquel en el que la trayectoria es rectilínea y la velocidad constante, por tanto la
aceleración normal debe ser cero (para que no cambie en dirección) y la aceleración
tangencial nula (para que la velocidad no cambie en módulo)
an = 0 → rectilíneo
at = 0 → uniforme, ya que
dv
= 0 ⇒ v = cte
dt
Recordando que el módulo de la velocidad es igual a la derivada del espacio con respecto al
tiempo, tendremos que:
v=
ds
td
⇒
s = ∫ v ⋅ dt = vt + s o
so es la constante de integración, y como puede verse es el espacio cuando t=0, es decir el
espacio inicial.
2. Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado (MRUA)
Es aquel en el que la trayectoria es rectilínea y la velocidad varía uniformemente, por tanto
la aceleración normal debe ser cero (para que no cambie en dirección) y la aceleración
tangencial igual a una constante no nula (para que la velocidad varíe en módulo de manera
constante, es decir uniformemente)
an = 0 → rectilíneo
at ≠ 0 → acelerado uniformemente
Puesto que
at =
dv
dt
⇒
v = ∫ a t ⋅ dt = a t t + v o
y como:
s = ∫ v ⋅ dt = ∫ (a t t + v o ) ⋅ dt =
1 2
a t t + vo t + so
2
Que corresponden con las fórmulas que recordamos para el MRUA de los cursos
elementales:
a = cte
v = vo + a.t
1
s = s o + v o t + at 2
2
3. Movimiento circular y uniforme (MCU)
Es el que describe un móvil con velocidad constante sobre una trayectoria circular. Eso
quiere decir que la aceleración tangencial debe ser nula porque la velocidad no varía en
módulo, pero la aceleración normal debe ser una constante distinta de cero, ya que describe
una circunferencia y por tanto el vector velocidad varía constantemente en dirección:
v2
an =
→ circular
R
at = 0
→ uniforme
Hay que darse cuenta de que en el MCU aunque la velocidad es constante en módulo, no es
constante del todo, puesto que varía en dirección, de ahí que exista aceleración normal.
El espacio recorrido por el móvil será:
v=
ds
dt
⇒
s = ∫ v ⋅ dt = vt + s o
En un movimiento circular uniforme, piensa en un disco que está girando, cada punto tiene
una velocidad distinta dependiendo de su distancia al eje de giro, así el punto más alejado
tiene una velocidad mayor que otro más cercano porque en el mismo tiempo recorre un
espacio mayor. Sin embargo todos los puntos giran el mismo ángulo en el mismo tiempo,
por eso nos interesa definir otras magnitudes más apropiadas al tipo de movimiento.
De la misma manera que ds/dt nos mide la rapidez con que el móvil recorre el espacio dϕ/dt
nos mide la rapidez con que describe los ángulos y se llama velocidad angular.
ω=
dϕ
dt
de ahí puede deducirse fácilmente la expresión del ángulo girado en función del tiempo, ya
que:
ϕ = ∫ ω ⋅ dt = ωt + ϕ o
Recordando que, por definición el ángulo es la relación entre el arco y el radio, tenemos que:
s = ϕ .R
Si derivamos con respecto al tiempo y teniendo en cuenta que R es constante por tratarse de
una circunferencia y su derivada nula:
ds dϕ
dR dϕ
R+ϕ
=
=
R
dt dt
dt
dt
v = ωR
La velocidad angular es un vector que tiene de módulo dϕ/dt , su dirección es la
perpendicular al plano del movimiento y el sentido viene dado por la regla del sacacorchos
que gire como lo hace el móvil, por tanto:
r r r
v = ω∧ r
El movimiento circular uniforme es periódico, porque el móvil tarda siempre el mismo
tiempo en dar una vuelta, es decir, que a intervalos regulares de tiempo pasará por el mismo
sitio y tiene los mismos valores cinemáticos. Al tiempo que tarda en dar una vuelta se le
llama periodo (T) y puesto que una vuelta completa son 2π radianes, podemos poner que:
2π
ω=
= 2π ⋅ ν
T
donde se ha tenido en cuenta que la frecuencia (ν) que es el número de vueltas que da e 1
segundo es la inversa del periodo: ν=1/T
4. Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
Es el que describe un móvil con aceleración constante sobre una trayectoria circular. Eso
quiere decir que la aceleración tangencial es una constante al igual que la aceleración
normal, ya que describe una circunferencia y por tanto el vector velocidad varía
constantemente en módulo y en dirección:
v2
an =
→ circular
R
at ≠ 0
→ uniformemente acelerado
La expresión de la velocidad y del espacio recorrido se obtienen exactamente igual que si el
movimiento fuese rectilíneo:
dv
at =
⇒
v = ∫ a t ⋅ dt = a t t + v o
dt
ds
1
⇒ s = ∫ v ⋅ dt = ∫ (a t t + v o ) ⋅ dt = a t t 2 + v o t + s o
v=
dt
2
Y las magnitudes angulares de forma similar, pero antes vamos a definir la aceleración
angular, puesto que si la velocidad varía en módulo y como v=ω.R entonces ω también
debe variar, así que debemos definir una aceleración angular que mida los cambios e módulo
r
de ω
v = ω⋅ R
Derivando respecto al tiempo:
dv dω
dR
=
⋅ R + ω⋅
dt
dt
dt
0 porque R es constante
así que nos queda que:
at = α ⋅R
donde hemos llamado aceleración angular (α) a la variación de la velocidad angular respecto
al tiempo (por similitud con la at). Como el vector velocidad angular no cambia en dirección
y siempre tiene la perpendicular al plano del movimiento, la aceleración angular que es su
derivada tiene la misma dirección, ya que un vector que no varía en dirección y su derivada
son paralelos.
r
r r
at = α ∧ r
Para deducir las expresiones de las magnitudes angulares procedemos de la misma forma,
solo que teniendo en cuanta que en lugar de espacio, velocidad lineal y aceleración
tangencial tendremos respectivamente ángulo, velocidad angular y aceleración angular, por
tanto:
α=
ω=
dϕ
dt
⇒
dω
dt
⇒
ω = ∫ α ⋅ dt = α ⋅ t +ω 0
ϕ = ∫ ω ⋅dt = ∫ (α ⋅ t + ω0 ) ⋅ dt =
1
α ⋅ t 2 + ωo t + ϕ o
2
Ejemplo
Un niño tiene un tren con una pista circular de 1m de diámetro. Cuando pone en marcha el
tren, éste tarda medio segundo en adquirir su velocidad de régimen, que es de 4 m/s.
Calcular:
a) La aceleración tangencial, normal y angular del tren en todo momento
b) La aceleración total del tren en el momento t=0,2 seg.
c) La velocidad angular de régimen
d) El periodo y la frecuencia
e) Espacio que recorre en 10 segundos y el ángulo que habrá girado
f) Si, después de jugar un rato, el niño desconecta el tren y se para en 1 segundo, ¿cuál es la
aceleración de frenado?
a) En la primera fase, de 0,5 seg de duración, el movimiento es acelerado y por tanto habrá
aceleración normal, tangencial y angular no nulas. La velocidad en esta fase viene dada por:
v = vo + a t t
Teniendo en cuenta que parte del reposo (vo=0) y que a los 0,5 seg la velocidad es de 4 m/s,
sustituyendo tenemos que:
4 = a t ⋅ 0,5 ⇒ at = 8 m/s2
La aceleración normal durante la primera fase no es constante, ya que depende de la
velocidad y esta varía:
v = 8⋅ t
v 2 (8 t )
=
= 128 t 2
R
0,5
2
an =
La aceleración angular:
at = α ⋅R
⇒
α=
at
8
=
= 16rad / seg 2
R 0,5
Pasados los 0,5 seg de la primera fase el tren se mueve con movimiento uniforme de 4 m/s, por
tanto at =0 y α=0 la única aceleración que no es nula es la an porque es la que mide los cambios
en dirección del la velocidad, que valdrá:
an =
v2 42
=
= 32m / seg 2
R 0,5
Resumiendo tenemos que: (Observa que los valores de la velocidad y de la an dependen del
tiempo)
1ª fase MCUA
v=8t
an = 128 t2
at = 8 m/s2
ω = 16 t
α = 16 rad/s2
2ª fase MCU
v = 4 m/s
an = 23 m/s2
at = 0 m/s2
ω = 8 rad/s
α = 0 rad/s2
b) En el instante t=0,2 seg la aceleración total será la suma vectorial de la at y an
para t=0,2 seg ⇒
at = 8 m/s2
an = 128.0,22 = 5,12 m/s2
r r r
a = at + an
a = a t + a n = 8 2 + 5,12 2 = 9,50m / s 2
2
2
c) La velocidad lineal de régimen es 4 m/s, así que la angular será:
v = ω⋅ R
⇒
ω=
v
4
=
= 8rad / seg
R 0,5
d) Como en un MCU ω = ϕ / t y el periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta, o sea 2π
radianes:
2π
2π 2π π
ω=
⇒
T=
=
= seg.
T
ω
8
4
y la frecuencia, que mide el número de vueltas que el tren da en un segundo, que es la inversa
del periodo sería:
1 4
ν = = seg.
T π
e) Para calcular el espacio recorrido en 10 segundos habrá que tener en cuenta que los primeros
0,5 los recorre con movimiento acelerado y los 9,5 restantes con movimiento uniforme:
1
1
Fase acelerada
⇒
s = s o + v o t + a t t 2 = 8 ⋅ 0,5 2 = 1m
2
2
Fase uniforme
⇒
s = s o + vt = 4 ⋅ 9,5 = 38m
El espacio total será la suma, es decir 39 m.
El ángulo girado, teniendo en cuenta la relación entre el espacio y el ángulo:
s = ϕ⋅R
⇒
ϕ=
s
39
=
= 78 radianes
R 0,5
Al mismo resultado se habría llegado si hubiésemos calculado el ángulo girado en cada uno de
los dos tramos con las expresiones correspondientes:
1
ϕ = ϕ o +ωo t + α ⋅ t 2
2
ϕ = ϕo + ω ⋅ t
(1ª fase )
(2ª fase)
Por cierto, que como sabemos una vuelta son 2π radianes, pues entonces el número de vueltas
que da el tren en esos 10 segundos es:
78rad
= 12,41vueltas
2π
La parte entera son vueltas completas y el resto es la fracción de vuelta, es decir que el tren ha
dado 12 vueltas completas y 0,41*2π=2,6 radianes.
f) Ahora tenemos un movimiento circular uniformemente retardado, es decir que tanto la
aceleración tangencial tiene sentido contrario a la velocidad, como la aceleración angular tiene
sentido contrario a la velocidad angular:
v = vo + a t t
⇒
0 = 4 + a t ⋅1
⇒
a t = −4 m / s 2
El signo menos nos indica que at tiene sentido contrario a la velocidad lineal
at = α ⋅R
α=
⇒
at − 4
=
= −8rad / s 2
R 0,5
El signo menos nos indica que α tiene sentido contrario a la velocidad angular.
El espacio que recorre en 1 seg. Que tarda en pararse será:
1
1
s = s 0 + v o t + a t t 2 = 4 ⋅ 1 − 4 ⋅ 12 = 2m
2
2
y el ángulo girado:
ϕ=
s
2
=
= 4 rad
R 0,5
o bien mediante
1
1
ϕ = ϕ o + ω o t + α ⋅ t 2 = 8 ⋅ 1 − 8 ⋅ 12 = 4 rad
2
2
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
Ejemplo
Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s.
a) ¿Cuál será su velocidad después de 3 s de haberlo lanzado?.
b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 s?.
c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?.
d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?.
e) ¿Con qué velocidad lo hará?.
Siempre que en un movimiento exista aceleración constante se trata de movimiento
uniformemente acelerado (MUA). No importa si se mueve sobre una trayectoria recta o una
trayectoria circular o de cualquier otra forma.
En este caso, se trata de un movimiento rectilíneo (porque cae en línea recta y su trayectoria
es rectilínea) y uniformemente acelerado porque la aceleración es constante. La de la
gravedad, que vale 10 m/s2.
COMO LO RESOLVÍAMOS EN CURSOS ANTERIORES: Identificando el tipo de
movimiento (Rectilíneo Uniformemente Acelerado) y aplicando las fórmulas del tipo de
movimiento. Siempre las fórmulas son las mismas y solo hay dos, únicamente 2, que son:
v = vo + a.t
1
s = vo t + a ⋅ t 2
2
Con esas dos se pueden resolver todos los ejercicios que se pueden presentar, por muy
difíciles que sean. Sin embargo, dependiendo de los datos, algunas veces es más sencillo
utilizar otra ecuación, que no es una ecuación nueva, sino que es una combinación lineal de
estas que se obtiene eliminando el tiempo entre ellas.:
v = v o2 + 2 ⋅ a ⋅ s
Esta tercera ecuación, como ya hemos dicho, no es necesaria pero a veces ayuda a que las
operaciones sean más sencillas.
El siguiente paso, muy importante, elegir un sistema de referencia (el que quieras). Lo más
sencillo siempre es tomar el centro del sistema de referencia en el lugar donde comienza el
movimiento y con uno de los ejes en la dirección del movimiento. En ese caso el centro del
sistema de referencia será arriba de esa torre o de ese acantilado desde donde se tiró la piedra:
Fíjate en dos cosas muy importantes, y en las que a menudo nunca reparas:
• Hemos creado un sistema de referencia centrado en el lugar del disparo.
• Hemos asignado sentido positivo al sentido en que se va a mover la piedra. (tanto
una cosa como otra podría haberse elegido de otra forma y eso no cambia las
soluciones del problema.)
En ese sistema de referencia lo que va hacia abajo lo tomaremos como positivo y lo que va hacia
arriba negativo, así que la velocidad inicial será +7 m/s y la aceleración +10 m/s2.
Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son:
v = vo + a.t
v = 7 + 10*t
v = 7 +10*t
1
s = vo t + a ⋅ t 2
2
1
s = 7 ⋅ t + 10 ⋅ t 2
2
s = 7 ⋅ t + 5⋅ t2
Estas son las ecuaciones
de “este movimiento” en
concreto.
Fíjate, si le das un valor al
tiempo obtienes lo que
vale la velocidad y el
espacio en ese instante.
Y al contrario, si le damos
un valor a la velocidad o al
espacio podremos despejar
el tiempo que necesita para
tener esa velocidad o
recorrer ese espacio.
Estas son las ecuaciones
de todos los movimientos
uniformemente acelerados
• Fíjate que tanto la ecuación de la velocidad como la del espacio nos dicen lo que
valen en cada momento. No hay más que darle un valor a t para saber su velocidad
en ese momento y el espacio recorrido en ese tiempo.
• Y al contrario, si le damos un valor a la velocidad o al espacio podremos deducir el
tiempo que tarda en alcanzar esa velocidad o el que tarda en estar en esa posición.
a) Si se lanza una piedra con una velocidad inicial de 7 m/s, ¿Cuál será su velocidad luego
de haber descendido 3 s?. Como ya hemos dicho, una vez que sabemos la ecuación de la
velocidad basta con dar un valor al tiempo para conocer la velocidad en ese instante:
v = 7 +10*t
→
v = 7 +10*3 = 37 m/s
b) Y lo mismo para conocer el espacio recorrido en un tiempo dado:
s = 7 ⋅ t + 5⋅ t2
→
s = 7 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 2 = 66 m
Vamos a resolver el mismo ejercicio pero desde otro sistema de referencia y verás como
los resultados son los mismos. Ahora vamos a elegir un SR centrado en el lugar del
disparo (que es lo normal) pero el valor positivo va a ser hacia arriba, como es normal en
los ejes cartesianos:
de acuerdo a ese sistema de referencia la velocidad inicial será –7 m/s y la aceleración –
10 m/s2.
Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son:
v = vo + a.t
v = –7 – 10*t
1
s = vo t + a ⋅ t 2
2
s = −7 ⋅ t +
v = –7 –10*t
1
( −10) ⋅ t 2
2
s = −7 ⋅ t − 5 ⋅ t 2
y la velocidad y el espacio a los 3 segundos sería:
v = –7 –10*t
→
v = –7 –10*3 = –37 m/s
s = −7 ⋅ t − 5 ⋅ t 2
→
s = −7 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 2 = –66 m
Quiere decir que la velocidad vale 37 m/s y el signo menos nos indica que de acuerdo al
SR elegido va hacia abajo. Que el espacio resulta –66m quiere decir que transcurridos 3
segundos el móvil ha recorrido 66m, y está en la posición (0,–66) del SR
c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?. Es casi igual. Simplemente
ahora primero calculamos el tiempo que tarda en recorrer 14m y luego, igual que antes,
calculamos el valor de la velocidad en ese instante:
s = 7 ⋅ t + 5⋅ t2
→
14 = 7 ⋅ t + 5 ⋅ t 2
→
t = 1,114 seg
El otro valor del tiempo no vale porque es negativo. Ahora que sabes lo que tarda en recorrer
esos 3 metros, podemos calcular la velocidad que tendrá sustituyendo en la primera
ecuación:
v = 7 + 10*t
→
v = 7 + 10*1,114 = 18,14 m/s
Fíjate como hemos resuelto el apartado con las dos única fórmulas de siempre, pero para
eso ha sido necesario resolver un sistema de ecuaciones. Cuando te ocurra eso, si no
quieres hacerlo acuérdate entonces de esa tercera fórmula que te dije, que aunque como
ves no es imprescindible, pero sí que te ayuda a hacerlo más fácil. Verás:
v = v o2 + 2 ⋅ a ⋅ s = 7 2 + 2 ⋅ 10 ⋅ 14 = 18,14 m/s
d) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s desde
una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?. Pues exactamente igual, porque
se trata de saber qué tiempo tarda en recorrer 200m:
s = 7 ⋅ t + 5⋅ t2
→
200 = 7 ⋅ t + 5 ⋅ t 2
→
t = 5,663 seg
e) Con que velocidad llega al suelo?. Es como decir que velocidad tiene después de recorrer
200m , que ya sabemos que para ello tarda 5,663 seg, así que de la primera ecuación:
v = 7 + 10.t
→
v = 7 + 10.5,663 = 63,63 m/s
También podía haberlo hecho con esa tercera fórmula:
v = v o2 + 2 ⋅ a ⋅ s = 7 2 + 2 ⋅ 10 ⋅ 200 = 63,63 m/s
y ahora que sabes la velocidad con que llega al suelo podrías calcular el tiempo que tarda en
caer aplicando la primera ecuación:
v = 7 + 10.t
→
63,63 = 7 + 10.t
→
t=
63,63 − 7
= 5,663 seg
10
COMO LO DEBEMOS RESOLVER SIGUIENDO UN MÉTODO GENERAL: Elegimos
un SR centrado en el lugar del disparo y dibujamos todas las magnitudes que intervienen
(por ejemplo todas las velocidades que intervienen).
• Una vez que hayamos dibujado todas las velocidades las sumamos para obtener la
velocidad resultante y esa será la fórmula de la velocidad para ese movimiento.
• Integrando el vector velocidad obtendremos el vector de posición
• Derivando el vector velocidad obtendremos el vector aceleración
Cualquiera de los dos esquemas es perfecto, pero debes tener en cuenta que o bien etiquetas
los vectores que dibujes con sus módulos o con en su forma vectorial, pero procura no
r
mezclar y mucho menos disparates como escribir v o = −7 j .
Sobre el cuerpo hay dos velocidades: La velocidad inicial que le comunicamos y la
velocidad debida a la aceleración de la gravedad (gt). (Recuerda que la gravedad es una
aceleración y no una velocidad)
Una vez identificadas las velocidades sobre el cuerpo obtenemos la velocidad total
sumándolas (teniendo en cuenta de que sumamos vectores). En este caso como todos los
vectores tienen la misma dirección simplemente hay que sumar sus módulos (o restarlos si
tuviesen sentidos opuestos).
r
r
v o = −7 j
r
r
v grav = −10 t j
−−−−−−−−−−−−−−−−−
r
r
v = (−7 − 10 t ) j
Una vez que conocemos el vector velocidad podemos obtener:
* el vector de posición, integrando el vector velocidad
* el vector aceleración, derivando el vector velocidad
r
r
r
r = ∫ v dt = (−7 t − 5t 2 ) j
r
r
r dv
a=
= −10 j
dt
Esas son las ecuaciones de éste movimiento y con ellas podremos contestar a cualquiera de
las preguntas. Conviene que observes algunas cosas que te pueden resultar bastante obvias,
pero que se deducen de las expresiones:
r
• La velocidad, valga el tiempo lo que valga, siempre tiene la dirección − j o lo que es
igual siempre hacia abajo.
• El vector de posición (como sabes sus componentes son las coordenadas del móvil en
función del tiempo) solamente tiene componente jota, así que se mueve sobre el eje Y.
r
r
• Fíjate bien que tanto v como r son dos funciones del tiempo. Claro, la velocidad y la
posición van variando continuamente y solo se convierten en números concretos
cuando le damos al tiempo un valor concreto. Acostúmbrate a que a la pregunta
r
r
¿Cuánto vale la velocidad? la respuesta sería v = (−7 − 10 t ) j y no un número.
a) La velocidad a los 3seg, se obtiene simplemente sustituyendo ese valor del tiempo en la
ecuación de la velocidad:
r
r
r
v t =3 = (−7 − 10 ⋅ 3) j = −37 j
quiere decir que la velocidad vale 37m/s y que tiene la dirección del vector jota y el menos
indica que es hacia abajo, como era de suponer.
b) La posición que tendrá el móvil al cabo de t=3seg nos la da el vector de posición sin más
que particularizar para ese valor del tiempo:
r
r
r
r t =3 = (−7 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 2 ) j = −66 j
Quiere decir que en el momento t=3 el cuerpo tiene de coordenadas , respecto al SR
elegido), (0,–66) o lo que es igual, que se encuentras sobre el eje Y y que ha descendido 66
metros.
c) La velocidad cuando ha descendido 14 metros. Como ya hemos dicho en las
observaciones la velocidad es una función del tiempo y no del espacio, pero la posición es
también una función del tiempo y eso nos permite calcular el tiempo para el que la posición
es (0,–14) y luego poder calcular la velocidad en ese instante.
Teniendo en cuenta que las componentes del vector de posición son las coordenadas
tenemos que:
x=0
y = −7 t − 5t 2 Cuando esté en la posición (0,–14) →
r
Y la velocidad en ese momento será: v t =1,114
− 14 = −7 t − 5t 2
→ t=1,114 seg
r
r
= (−7 − 10 ⋅ 1,114) j = −18,14 j
d) En llegar al suelo, es decir en estar en la posición (0,–200) el tiempo que tarda es:
x=0
y = −7 t − 5t 2 Cuando esté en la posición (0,–200) →
− 200 = −7 t − 5t 2
→ t=5,663 seg
e) La velocidad cuando llegue al suelo, es decir cuando esté en la posición (0–200) será la
velocidad que tiene en el momento t=5,663 seg:
r
r
r
v t =5, 663 = (−7 − 10 ⋅ 5,663) j = −63,63 j
Ejemplo
Se lanza una pelota desde lo alto de una torre de 20 m de altura con una velocidad hacia
arriba de 15 m/s. Calcular:
a) La altura máxima que alcanza y el instante en que ocurre
b) La velocidad con que llega al suelo y el tiempo que tarda en llegar.
La pelota está sometida a la velocidad que le damos, vo, y además a la que le propina la
gravedad, que vale gt. Vamos a elegir un SR centrado en el lugar del disparo y referido a él
tendríamos:
En primer lugar observa bien los dibujos. En el de la izquierda hemos reflejado las
velocidades como vectores. En el de la derecha hemos dibujado su sentido y simplemente el
módulo. Ambos esquemas son absolutamente correctos y equivalentes. Lo que no debes
r
hacer es escribir las expresiones mezcladas, por ejemplo v o = 15 sería un disparate ya que si
a un lado de la expresión hay vector al otro lado también debe haberlo.
Otra cuestión a la que el alumno no presta la debida atención es a la elección del SR. No
obstante la elección del SR es lo primero que hay que hacer y tenerlo muy en cuenta para
hacer el dibujo y para hacer el planteamiento. Al final vamos a resolver este mismo ejercicio
para otro SR, pero ahora lo vamos a elegir, como casi siempre, centrado en el lugar del
disparo, es decir, que para nuestro SR en el momento t=0 las coordenadas son (0,0), el suelo
tiene de coordenadas (0,−20) y la altura máxima alcanzada (0,ymáx) estará medida desde
donde disparamos.
La velocidad resultante sobre la pelota es la suma vectorial de todas las velocidades sobre la
pelota, es decir, la suma vectorial de la velocidad inicial y la debida a la gravedad:
r
r
v = (15 − 10 t ) j
y la posición de la pelota en cada instante, que viene dada por su vector de posición, se
obtiene integrando:
r
r
r
r = ∫ v ⋅ dt = (15t − 5t 2 ) j
El movimiento, obviamente, es en una dimensión, como indica que el vector velocidad y de
posición tengan una sola componente. Observa en la expresión de la velocidad que:
•
para valores del tiempo pequeños, la velocidad es positiva, tiene la dirección y
r
sentido de + j lo que indica que sube.
•
•
hay un valor del tiempo para el que deja de subir y la velocidad se hace nula, es
cuando alcanza su altura máxima.
para valores del tiempo más grandes la velocidad ya se hace negativa, es decir, baja y
r
tiene la dirección y sentido de − j
Sobre los vectores: Muy a menudo los alumnos preguntan si un ejercicio hay que resolverlo
con vectores o sin ellos. Cuando realmente empiezan a comprender la cinemática se dan
cuenta de que tal pregunta es un absurdo porque un ejercicio donde intervienen magnitudes
vectoriales siempre hay que resolverlo con vectores. No hay otra forma. Lo que pasa es que
en los movimientos que transcurren en una sola dimensión, como es el caso, en lugar de
r
r
r
r
indicar si va hacia arriba mediante v o = 15 j y cuando va hacia abajo v gravedad = 10 t (− j )
r
podríamos simplemente dejar de escribir el vector j , y nos quedaría como vo=15 y
v gravedad = −10 t . ¿No te das cuenta de que es lo mismo? Simplemente estás dando valor
r
positivo a lo que va hacia arriba (en sentido + j ) y le estás dando signo negativo a lo que ha
r
hacia abajo (en el sentido − j ). Así que simplemente en un movimiento en una sola
dimensión se trata de literalmente escribir el vector o de sustituirlo por + o – para indicar su
sentido.
No obstante, cuando el movimiento tenga lugar en dos o más dimensiones no habrá más
remedio que utilizar los vectores para facilitar la resolución.
a) La altura máxima la alcanza cuando vy=0, por tanto
⇒
vy = 0
0 = 15 –10t
⇒
t = 1,5 seg
en ese momento, la coordenada Y, que es precisamente la altura máxima (ymáx) vale:
y máx = y
t =1, 5
(
= 15t − 5t 2
)
t =1, 5
= 15 ⋅ 1,5 − 5 ⋅ 1,5 2 = 11,25m
b) El momento en que la pelota toca el suelo es el momento en el que, en nuestro SR, ocupa
la posición (0,−20) es decir que la coordenada Y vale –20, por tanto:
− 20 = 15t − 5t 2
⇒
t = 4 seg
la velocidad en ese instante es:
r
v
t =4
r
r
= (15 − 10 ⋅ 4) j = −25 j
⇒
v = 25 m/s
r
Su dirección − j indica que va hacia abajo como era de suponer. Observa como el módulo
siempre es positivo (se obtiene elevando al cuadrado las componentes y extrayendo la raíz
cuadrada), por tanto el módulo no nos da toda la información, el vector sí.
Ahora vamos a plantear el mismo ejercicio pero vamos a elegir otro SR. Ahora lo vamos a
centrar en el suelo. Para este SR el suelo tiene de coordenadas (0,0) y en el momento t=0, es
decir cuando disparamos, las coordenadas son (0,20) y la altura máxima será (0,ymáx)
medida desde el suelo:
La velocidad será
r
r
v = (15 − 10 t ) j
y la posición de la pelota en cada instante, que viene dada por su vector de posición, se
obtiene integrando:
r
r
r
r = ∫ v ⋅ dt = ( 20 + 15 t − 5t 2 ) j
Observa que hemos debido tener en cuenta que para este SR la constante de integración vale
20 (valor de la coordenada Y cuando t=0). En el SR anterior era nula porque estaba
centrado en el lugar del disparo y en el momento t=0, x=0 e y=0.
Ya ves que el simple cambio de RS nos ha llevado a ecuaciones algo diferentes. Eso quiere
decir que no se puede empezar a plantear un ejercicio sin antes concretar el SR, y mucho menos
mezclar: hacer un dibujo a lo loco y escribir unas ecuaciones incongruentes con el mismo.
a) La altura máxima la alcanza cuando vy=0, por tanto
vy = 0
⇒
0 = 15 – 10t ⇒
t = 1,5 seg
en ese momento, la coordenada Y, que es precisamente la altura máxima (ymáx) vale:
y máx = y t =1,5 = (20 + 15 t − 5 t 2 ) t =1,5 = 20 + 15 ⋅ 1,5 − 5 ⋅ 1,5 2 = 31,25m
b) El momento en que la pelota toca el suelo es el momento en el que, en nuestro SR, ocupa
la posición (0,0) es decir que la coordenada Y vale –20, por tanto:
0 = 20 + 15 t − 5t 2
⇒ t = 4 seg
la velocidad en ese instante es:
r
r
r
v t =4 = (15 − 10 ⋅ 4) j = −25 j
⇒ v = 25 m/s
Observa que todos los resultados son idénticos salvo la altura máxima, lo que es lógico dado
que ahora está referida al suelo y por tanto serían 20 metros más.
Ejemplo
Una persona desea cruzar un río con una motora que desarrolla una velocidad de 4 m/s. Si la
velocidad de la corriente es de 2 m/s ¿En qué dirección debe apuntar la motora para llegar al
punto directamente opuesto? ¿Cuándo tardará en cruzar el río sabiendo que tiene 20 m de ancho?
La velocidad total del barco será la suma vectorial de la que desarrolla el motor más la de la
corriente:
r r
r
v = v mot + v rio
La expresión anterior de no escribirla vectorialmente no sería correcta. Para sumar los
vectores lo primero es elegir un sistema de referencia, que normalmente lo centraremos
siempre en el lugar del disparo. Después se descomponen los vectores en ese sistema y se
suman:
r r
v
r
v mot = − v mot cos α ⋅ i + v mot senα ⋅ j
r
r
v rio = v rio ⋅ i
r
r
r
v = (v rio − v mot cos α ) ⋅ i + v mot senα ⋅ j
vx
vy
este es el vector velocidad del barco en todo momento. El que resulta de los dos
movimientos a que está sometido.
•
Si queremos que llegue al punto opuesto al de partida será necesario que la
componente X de la velocidad sea nula, por tanto:
v rio
2
⇒
α = arccos = 60 o
v mot
4
El vector velocidad, puesto que su componente X es nula, es:
v rio − v mot cos α = 0
cos α =
⇒
r
r
v = v mot sen 60 ⋅ j
integrando al vector velocidad obtenemos el vector de posición:
r
r
r
r = ∫ v ⋅ dt = v mot t ⋅ sen 60 ⋅ j
y
Como vemos solo tiene componente Y, que como sabemos no es más que la coordenada Y
en función del tiempo. Así que para y=20, tenemos:
20 = v mot t ⋅ sen 60
⇒
t=
20
= 5,77seg
4 ⋅ sen 60
Ejemplo
Desde lo alto de una torre de 50 m se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 100
m/s y una inclinación de 30º sobre la horizontal. Calcular:
a) La altura máxima que alcanza
b) La velocidad y sus coordenadas a los 2 segundos de lanzarlo
c) El tiempo que estará en el aire
d) Alcance
e) Ángulo que forma con el suelo en el momento del impacto
f) tiempo que tardaremos en oír la explosión, sabiendo que la velocidad del sonido son 340 m/s
g) Ecuación de la trayectoria
Como en todos los problemas de proyectiles elegimos un SR centrado en el lugar del
disparo, luego dibujamos las velocidades que actúan y las sumamos vectorialmente y por
último integrando calculamos el vector de posición y ya está lo demás es muy sencillo.
La velocidad total será la suma de la inicial del proyectil más la que le propina la gravedad:
r
r
r
v o = v o cos α ⋅ i + v o senα ⋅ j
r
r
vg =
− gt ⋅ j
r
r
r
v = v o cos α ⋅ i + (v o senα − gt ) j
el vector de posición, integrando:
(
)
r
r
r
r
r = ∫ v dt = v o t ⋅ cos α ⋅ i + v o t ⋅ senα − 5t 2 j
Y ya está. Solamente hay que tener claro el significado de las componentes del vector
velocidad y del de posición:
r
• La componente i de la velocidad es la que le hace desplazarse horizontalmente y la
r
componente j es la que le hace desplazarse sobre el eje Y, es decir subir o bajar.
r
• La componente i de la del vector de posición es la coordenada X en cada instante y
r
la componente j es la coordenada Y.
a) La altura máxima es la que alcanza cuando la componente Y de la velocidad es nula (de
ser positiva seguiría subiendo y de ser negativa bajaría), así que el tiempo en pararse es:
v o senα − gt = 0
100sen 30 − 10 t = 0
⇒
⇒
t =5 seg
y la altura máxima es la coordenada Y en ese instante, es decir:
y max = v o t ⋅ senα − 5t 2
t = 5seg
= 100 ⋅ 5 ⋅ sen 30 − 5 ⋅ 5 2 = 125m
La altura, obviamente, está referida al SR, así que respecto al suelo sería de 175 m
b) La velocidad y coordenadas a los 2 segundos del lanzamiento se obtienen sustituyendo
t=2 en las expresiones de la velocidad y del vector de posición.
r
r
r
r
r
v = 100 cos 30 ⋅ i + (100sen 30 − 10 ⋅ 2 ) j = 86,6 i + 30 j
r 
r
r
r
1
r
r = 100 ⋅ 2 cos 30 ⋅ i + 100 ⋅ 2sen 30 − 10 ⋅ 2 2  j = 173,2 i + 80 j
2


las coordenadas son x=173,2m ; y=80m
c) El tiempo que está en el aire, que también se llama tiempo de vuelo lo calculamos
teniendo en cuenta que en el momento en que toca tierra la coordenada y=–50m, es decir
que la componente j del vector de posición es –50
1
− 50 = 100 ⋅ t ⋅ sen 30 − 10 t 2
2
⇒
Resolviendo: t = 10,92 y t = − 0,92 s
La última solución, que es absurda porque el tiempo no puede ser negativo, corresponde al
tiempo que el proyectil tardaría en tocar tierra si saliera por la culata. (Matemáticamente
corresponde al otro punto de corte de la parábola con la recta y=–50)
d) El alcance no es más que la coordenada X cuando el proyectil toca tierra, o sea la X
máxima. Por tanto es la coordenada X cuando el tiempo vale 10,92 seg.
x max = 100 ⋅ t ⋅ cos 30
t =19 , 92
= 100 ⋅ 10,92 ⋅ cos 30 = 945,70m
e) El ángulo que forma con el suelo nos viene dado por el
ángulo que forma el vector velocidad en el momento del
impacto, así que si calculamos la velocidad en el momento
t=10,92 seg:
r
v
t =10 , 92
tgβ =
(
)
r
r
r
v
= 100 cos 30 i + 100sen 30 − 10 ⋅ 10,92) j = 86,6 i − 59,2 j
vy
vx
=
− 59,2
= −0,68 ⇒ β = arctg(− 0,68) = −34,21o
86,6
f) El tiempo que tardaremos en oír la explosión será el que tarda el proyectil en tocar tierra
más el que tarda el sonido en volver a nosotros. Teniendo en cuenta que el sonido viaja a
una velocidad uniforme de 340 m/s y que podemos calcular el espacio que recorre aplicando
el teorema de Pitágoras:
s = 945,7 2 + 50 2 = 947 m
t=
s 947
=
= 2,79seg
v 340
t total = 10,92 + 2,92 = 13,71seg
g) La ecuación normal de la trayectoria se obtiene eliminando el tiempo de las componentes
del vector de posición, que como sabemos son las ecuaciones param´ñetricas de la
trayectoria, así que:
x = v o t ⋅ cos α
1
y = v o t ⋅ senα − gt 2
2
Despejando el tiempo en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda se obtiene:
y=
v senα
v o cos α
x−
g
2 v o cos α
2
2
x2
⇒
y = 0,58x − 6,67 ⋅ 10 −4 x 2
Que como era de esperar corresponde a la ecuación de una parábola.