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T
IGONOMETRÍA
TR
RIGONOMETRÍ
A
1.- Una correa conecta dos poleas de radios r=10cm y
R=25cm. Si la grande da un giro completo, ¿qué
ángulo expresado en grados habrá girado la pequeña?
2.- Un aspersor funciona con un mecanismo que le
produce un movimiento de giro, de ida y vuelta, de
45°. Si el chorro de agua alcanza 12m, halla el
área A de la superficie de césped regada.
3.- En un sprint los ciclistas alcanzan una velocidad de
20m/s(72km/h). ¿Cuál es la velocidad angular de
las ruedas, es decir, cuántos grados gira por segundo? (Radio de las ruedas = 35 cm)
11ºBACHIL
ºBACHILLLEERATO
RATO
15.- Calcula el ángulo central y el interior de un pentágono regular.
16.- Desde un punto a ras de suelo, los ángulos de elevación que presentan la base y la punta de un mástil de 6m de altura, colocado sobre un acantilado,
son 38° y 46°. Estima la altura del acantilado.
17.- Halla el perímetro de un decágono regular inscrito
en un círculo de radio 1 m.
18.- Si α está en el segundo cuadrante y sen α=1/4, calcula cos α y tg α.
19.- Si α está en el tercer cuadrante y tg α=5, calcula
las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
4.- ¿A qué distancia hay que colocarse para ver el extremo de una chimenea de 40m de altura con un
ángulo de elevación de 30°?
20.- Demostrar la identidad:
5.- Dos casas A y B están separadas por una charca.
Un topógrafo camina 180m desde A formando un
ángulo de 40°, hasta un punto C desde el que ve la
casa B con un ángulo de 90°. Se detiene, saca su
calculadora y halla la distancia AB ¿sabes cómo?
21.- Resuelve la ecuación 2sen(β/2)+1=0
6.- Un excursionista descubre un puente derruido.
Desde sus restos camina 10m paralelamente al río.
Mira desde ahí al otro extremo del puente y lo ve
con un ángulo de inclinación de 70°. Halla la longitud del puente.
7.- Una montaña de 650 m de altura separa dos pueblos A y B. Desde A se la cima C de la montaña
con un ángulo de elevación de 24°, y desde B con
36°. ¿Cuál es la distancia d entre los dos pueblos?
8.- Un ángulo agudo α tiene cos α=0,2. Halla sus restantes razones trigonométricas.
9.- Estima el radio R de la Luna sabiendo que para un
observador en la Tierra abarca un ángulo aproximado de 32’. (Distancia Tierra- Luna = 384.400 km)
10.- Calcula la altura de una montaña sabiendo que
desde un punto A del suelo horizontal se observa la
cima con un ángulo de 25°, y si nos acercamos
500m, se observa con un ángulo de 42°.
11.- Calcula la longitud del círculo terrestre de latitud
43° (sería la longitud de una “vuelta al mundo” paralela al Ecuador con salida y llegada en Lugo).
Radio de la Tierra=6.370 km.
12.- Jaén y Totana(Murcia) están situadas a la misma
latitud: 37°47’. Sus ángulos de longitud, respecto
del meridiano de Greenwich, son 3°48’ y 1°30’,
respectivamente. Halla la distancia entre las dos
poblaciones citadas, medida sobre el paralelo que
las une.
13.- Una milla náutica es la longitud del arco de un meridiano correspondiente a un ángulo de 1’ sobre la
superficie de la Tierra. ¿A cuántos kilómetros
equivale una milla náutica?
14.- Sabiendo que un ángulo agudo satisface tgα=4,
calcula sus restantes razones trigonométricas.
1  1 + cos α
sen α 
α
+
 = cot ag

2  sen α
1 − cos α 
2
22.- Idem: a) 2sen2α-senα =1
b) cosα+sen2α=(senα+cosα)2
23.- Halla las razones trigonométricas de 22°30’.
24.- Halla el valor exacto de
x=cos(37°30’)cos(7°30’)
25.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas
a. sen 2x = cos 60°
b. sen2x cosx = 6 sen3x
c. tg2x = -tgx
d. cos x = 2tgx
1 + tg2 x
e. sen2x-cos2x=1/2
f. 3cosx=2secx-5
g. senx=sen(45°-x)
h. cos8x+cos6x=2cos210°cosx
i.
sen( x + 45º ) =
j.
sen x + 30o
=1
cos x + 60 o
(
(
)
)
3
2
k. senx + 3 cos x = 2
l. 4sen(x/2)+2cosx=3
m. tgx ⋅ sec x = 2
n. 4sen( x − 30 º ) ⋅ cos( x − 30 º ) = 3
2
o. sen x = tgx
2
4
26.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a. 4tgx =
3
cos2 x
b. tg x = tgx − 2
2 tgx + 2
c. cos2x-cos6x=sen5x+sen3x
d. 3sen2x-5senx + 2=0
π

sen( π + x ) ⋅ tg + x  ⋅ cos( π − x )
2

c.

 3π

 3π
+ x
− x  ⋅ sen
tg( π − x ) ⋅ sen

 2

 2
e. tg(x-45°)+tg(x+45°)=2cotgx
ssoluciones
oluciones
f. cos2x=5-6cos2x
g. cosx cos2x+2cos2x=0
h. cos2x+5cosx+3=0
i.
1-7: 900º // 18π // 9v. 34º2’42” // 40 3 // 234’97
// 27’47 // 2354’57 //
cos x 3
=
tgx
2
8-13: 2 6 5 ,1 5, 2 6, 6 12 ,5, 5 6 12 // 1797.44
2
j. cos2x+senx=4sen x
// 483’61 // 4658’72 // 202’09 // 1’853 //
k. 2tgx-3cotgx-1=0
14-17: 4 17 17 , 17 17,4,1 4, 17, 17 4 //
1
π
l. cos 3 x −  =
4 2

72º,108º // 18’44 // 6.18//
18: − 15 4 , − 15 15 //
m. tg 4 x − π  = −1
4

27.- Demuestra las siguientes identidades:
a. cos4a-sen4a=2cos2a-1
b. cos4a-sen4a=cos2a-sen2a
c. sen2a-cos2b=sen2b-cos2a
19: − 5 26 26 ,− 26 26,5,1 5, − 26, − 26 5 //
20-22: demost. // -60º+720ºk , 420º+720ºk //
90º+360ºk, 210º+360ºk, 330º+360ºk, / 2kπ
23-24: 2 − 2 2 , 2 + 2 2 , 2 − 1 //
(
)
3+ 2 4
2
d. (cosa+sena) =sen2a+1
25: 15º+180ºk,75º+180ºk // kπ, ±π/6+2kπ, ±5π/6+
e. (sena-cosa)2+(sena+cosa)2=2
+2kπ // 60º+180ºk,120º+180ºk // π/2+kπ ,
f. (coseca+cotga)(coseca-cotga)=1
π/6+2kπ, 5π/6+2kπ // ±60º+180ºk
g. (tga+cotga)senacosa=1
//±70º31’42”+360ºk
h.
sen(a + b) tga cot gb + 1
=
sen(a − b) tga cot gb − 1
i. tg(45°+a)-tg(45°-a)=2tg2a
j. tgA.tgB+tgB.tgC+tgA.tgC=1, si A+B+C=90°
.
.
k. tgA+tgB+tgC=tgA tgB tgC, si A+B+C=180°
l.
sen( x − y )
= tgx − tgy
cos x cos y
m. sen  3 π + x  − cos  3 π + x  = 2 cos x
 4

 4

28.- Simplifica las siguientes expresiones:
2
2
a. sec a − cos a
2
tg a
sena + sen3a
b.
cos a − cos 3a
//
π/8+kπ, π/2+kπ
//
15º+360ºk, 75º+360ºk // 180ºk // ±π/6+2kπ //
±60º+360ºk
//
π/4+2kπ,
3π/4+2kπ//
90º+180ºk , 60º+180ºk // π/4+kπ, kπ
26: π/6+kπ, π/3+kπ // 90º+360ºk // kπ/4, π/2+kπ,
π /6+2kπ,5π/6+2kπ // π/2+2kπ, 0’7297+2kπ,
2’4119+2kπ // ±30º+180ºk // ±30º+180ºk //
π/2+kπ, ±1’196+2kπ
//
±120º+360ºk
//
π/6+2kπ, 5π/6+2kπ
//π/6+2kπ, 5π/6+2kπ, −0'34+2kπ, 3'48+2kπ
//
56º18’36”+180ºk, -45º+180ºk// 7π/36+2kπ/3,
-π/36+2kπ/3// kπ/4.
27: Demostraciones
28: 1+cos2a // cotag a // cotag x