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15vo CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA
ELECTROMECÁNICA Y DE SISTEMAS (CNIES 2015)
ARTÍCULO No. TEL13
ARTÍCULO ACEPTADO POR REFEREO
Cálculo de la matriz de transición para guías de
ondas cuánticas aplicando el método SPPS
V. Rabinovitch y F. Urbano Altamirano

La propagación de ondas electrónicas en dicha estructura es
descrita por el problema de Dirichlet para la ecuación de
Schrödinger
ℏ2
𝜕2
𝐻𝑢(𝑥, 𝑧) = −
((−∆𝑥 − 2 ) + 𝒱(𝑥) + 𝒲(𝑥, 𝑧)) 𝑢(𝑥, 𝑧)
2𝑚
𝜕𝑧
= 𝐸𝑢(𝑥, 𝑧), (𝑥, 𝑧) ∈,
𝑢|𝜕𝑧 = 0.
(1)
Resumen—Se obtuvieron expresiones generales para la matriz
de dispersión en guías de onda cuánticas con impurezas, así
como resultados numéricos de coeficientes de transmisión y
reflexión para potenciales simétricos por medio de las series de
potencia de parámetro espectral (SPPS).
Donde Π = 𝐷𝑥 × ℝ𝑧 , Π es un dominio acotado en ℝ3𝑥 que
representa al sistema, 𝐷𝑥 es un dominio acotado en ℝ2𝑥 , 𝑥 =
(𝑥1 , 𝑥2 ), ℏ es la constante de Planck entre 2𝜋, 𝐸 es la energía
total de la partícula, 𝒱(𝑥) es el potencial de confinamiento en
la sección transversal, y 𝒲(𝑥, 𝑧) es la energía potencial de
una impureza presente en la estructura.
La presencia de un defecto dentro de una guía de onda
cuántica y sus correspondiente efecto en la propagación de la
partícula es un problema que ha recibido mucha atención
[2],[10],[11],[9], [20], [19], [8], [22].
En el presente trabajo se obtienen expresiones analíticas
para las matrices de transición izquierda y derecha, así como
el cálculo numérico para el caso de un potencial simétrico. En
la sección II se presentan el desarrollo para obtener las
expresiones analíticas de las matrices de transición. En la
sección III se hace el análisis para el caso de los potenciales
con soporte compacto, mientras que en la sección IV se
presentan las expresiones para las matrices de transición para
el caso de potenciales simétricos. En las secciones V y VI se
muestran los resultados numéricos para tres potenciales
simétricos, y las conclusiones respectivamente.
Palabras Clave—guía de onda cuántica, matriz de dispersión,
ecuación de Schrödinger, potencial simétrico, método SPPS.
Abstract—We obtained general expressions for the dispersion
matrix in quantum waveguides with impurities, as well as
numerical results for transmission and reflection coefficients by
means of spectral parameter power series (SPPS).
Keywords—
quantum
waveguide,
dispersion
matrix,
Schrödinger equation, symmetrical potential, SPPS method.
I. INTRODUCCIÓN
E
N los últimos 30 años se ha desarrollado enormemente
el área de la nanociencia, las cuales se define como el
estudio y la manipulación de objetos con un tamaño
inferior a los 100 𝑛𝑚 (1 𝑛𝑚 = 1 × 10−9 𝑚). Uno de los
objetos de mayor interés en dicha área son las denominadas
guías de onda cuántica, las cuales tienen las siguientes
características:
-Pequeños tamaños, típicamente en el orden de decenas a
cientos de 𝑛𝑚.
-Alta pureza, la trayectoria media de electrón libre (electron
mean free path, en inglés) puede estar en el orden de 𝜇𝑚.
-Estructura cristalina.
La función de onda está usualmente suprimida en las
fronteras entre diferentes materiales.
II. EXPRESIONES ANALÍTICAS PARA MATRICES DE TRANSICIÓN
Sea
𝑉(𝑥) =
2𝑚
ℏ2
ℏ2
2𝑚
ℏ2
𝒱(𝑥), 𝑊(𝑥, 𝑧) =
𝐸
(2)
La ecuación (1) se puede reescribir de la forma
𝐻𝑢(𝑥, 𝑧) = −
Vladimir Rabinovitch es profesor-investigador adscrito al Instituto
Politécnico Nacional, Maestría en Telecomunicaciones de la SEPI ESIMEZacatenco del, D.F., MEX (e-mail:[email protected]).
Francisco Eduardo Urbano Altamirano es estudiante de Doctorado en el
Instituto Politécnico Nacional, Posgrado de Tecnología Avanzada de la SEPI
UPIITA del IPN, D.F., MEX (e-mail: [email protected]).
México D.F., 19 al 23 de octubre 2015
𝒲(𝑥, 𝑧), 𝜆 =
2𝑚
1
ℏ2
𝜕2
((−∆𝑥 − 2 ) + 𝑉(𝑥) + 𝑊(𝑥, 𝑧)) 𝑢(𝑥, 𝑧)
2𝑚
𝜕𝑧
= 𝐸𝑢(𝑥, 𝑧), (𝑥, 𝑧) ∈,
𝑢|𝜕𝑧 = 0.
(3)
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ARTÍCULO No. TEL13
ARTÍCULO ACEPTADO POR REFEREO
𝐸+ (𝑧, 𝜆) = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑒 𝑖𝜈1 (𝜆)𝑧 , … , 𝑒 𝑖𝜈𝑁 (𝜆)𝑧 )
𝐸− (𝑧, 𝜆) = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑒 −𝑖𝜈1 (𝜆)𝑧 , … , 𝑒 −𝑖𝜈𝑁 (𝜆)𝑧 )
se puede reescribir (10) como
Suponemos que los potenciales 𝑉(𝑥) y 𝑊(𝑥, 𝑧) son
funciones real valuadas donde 𝑉(𝑥) ∈ 𝐿2 (𝐷) donde 𝐿2 (𝐷) es
el espacio de Hilbert de las funciones cuadrado integrables.
Se denota por 𝒜 el operador no acotado en el espacio
𝐿2 (𝐷) definido por el operador diferencial −∆𝑥 + 𝑉(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷
con dominio 𝐷𝒜 = {𝜑 ∈ 𝐻2 (𝐷): 𝜑|𝜕D = 0} donde 𝐻 2 (𝐷) es
el espacio de Sobolev de segundo orden. Notar que 𝒜 es un
operador autoadjunto con espectro discreto {𝜇1 ≤ 𝜇2 ≤
∞
𝜇3 … ≤ 𝜇𝑚 ≤ ⋯ } donde 𝜇𝑚 → ∞. Se denota por {𝜑𝑗 }𝑗=1 al
−
𝑑 2 𝑦(𝑧,𝜆)
𝑑𝑧 2
(12)
(13)
+ Λ𝑁 (𝜆)𝑦(𝑧, 𝜆) + 𝐿𝑁 (𝑧)𝑦(𝑧, 𝜆) = 0 (14)
𝑁
𝐿𝑁 (𝑧) = (𝐿𝑗,𝑘 (𝑧))𝑗,𝑘=1
Las soluciones de (14) tienen las siguientes asíntotas
sistema ortonormal de eigenfunciones de 𝒜 en 𝐿2 (𝐷).
El operador de Schrödinger 𝐻
con dominio 𝐷𝐻 =
{𝑢 ∈ 𝐻 2 (𝐷): 𝑢|𝜕D×ℝ = 0} es autoadjunto en 𝐿2 (𝐷), y 𝐻 tiene
un espectro esencial 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠 𝐻 = [𝜇1 , ∞). El operador 𝐻 también
tiene
un
espectro
discreto
localizado
en
[𝑖𝑛𝑓𝐷×ℝ 𝑊(𝑥, 𝑧), 𝜇1 ). Por otra parte, si el operador tiene la
condición 𝑖𝑛𝑓𝐷×[0,𝐻] 𝑊(𝑥, 𝑧) ≥ 𝜇1 el operador 𝐻 solo tiene
espectro esencial.
Se busca una solución para el problema espectral (3) en la
forma de series
𝑦+ (𝑧, 𝜆)~𝐸+ (𝑧, 𝜆), 𝑧 → +∞ (15)
𝑦− (𝑧, 𝜆)~𝐸− (𝑧, 𝜆), 𝑧 → −∞ (16)
y de acuerdo a [21]se pueden expresar en los siguientes
términos
∞
𝑦+ (𝑧, 𝜆) = 𝐸+ (𝑧, 𝜆) + ∫𝑧 𝒮(𝜆, 𝑡 − 𝑧)𝐿𝑁 (𝑡)𝑦+ (𝑡, 𝜆)𝑑𝑡 (17)
𝑧
𝑦− (𝑧, 𝜆) = 𝐸− (𝑧, 𝜆) + ∫−∞ 𝒮(𝜆, 𝑡 − 𝑧)𝐿𝑁 (𝑡)𝑦− (𝑡, 𝜆)𝑑𝑡 . (18)
∞
En ambos casos 𝑧 ∈ ℝ. Por su parte 𝒮(𝜆, 𝑡) es una matriz
diagonal
𝑢(𝑥, 𝑧) = ∑ 𝑦𝑗 (𝑧, 𝜆)𝜑𝑗 (𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷, 𝑧 ∈ ℝ. (4)
𝑗=1
𝒮(𝜆, 𝑡) = 𝑑𝑖𝑎𝑔 (
Al sustituir en (3) se obtiene un sistema infinito de ecuaciones
diferenciales ordinarias para 𝑦𝑗 (𝑧, 𝜆)
−
𝑑 𝑦𝑗 (𝑧, 𝜆)
+ (𝜇𝑗 − 𝜆)𝑦𝑗 (𝑧) + ∑ 𝐿𝑗𝑘 (𝑧)𝑦𝑘 (𝑧) = 0 (5)
𝑑𝑧
𝑘=1
𝑧 ∈ ℝ, 𝑗 = 1, … , ∞
donde
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐿𝑗𝑘 (𝑧) = ∫𝐷 𝑊(𝑥, 𝑧)𝜑𝑗 (𝑥)𝜑
𝑘 (𝑥)𝑑𝑥 (6)
𝑗, 𝑘 = 1, … , ∞
Se considera la propagación
Φ𝑘± (𝑥, 𝑧, 𝜆)con asintóticas
de
modos
𝜈1 (𝜆)
cuánticos
𝑁
Φ𝑘± (𝑥, 𝑧, 𝜆)~𝑒 ±𝑖𝜈𝑘 (𝜆)𝑧 𝜑𝑘 (𝑥), 𝑘
,…,
sin 𝜈𝑁 (𝜆)𝑧
𝜈𝑁 (𝜆)
)
(19)
Las ecuaciones (17), (18) tiene soluciones únicas como
ecuaciones de Volterra y pueden ser obtenidas por el método
de aproximaciones sucesivas.
𝑗
Notar que la columnas 𝑦−𝑗 (𝑧, 𝜆) e 𝑦+ (𝑧, 𝜆) corresponden a los
modos cuánticos 𝑒 𝑖𝜈𝑗 (𝜆)𝑧 𝜑𝑗 (𝑥) y 𝑒 −𝑖𝜈𝑗 (𝜆)𝑧 𝜑𝑗 (𝑥)de la partícula
libre para z→ ∞ y 𝑧 → −∞ respectivamente. La acción del
potencial barrera 𝑊 genera una función de onda que para el
caso de 𝑦−𝑗 (𝑧, 𝜆)es combinación lineal de ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑦+𝑘 (𝑧, 𝜆) 𝜑𝑘 (𝑥)
𝑘
reflejada desde la barrera y 𝑦+ (𝑧, 𝜆) 𝜑𝑘 (𝑥) que se propaga a
través de la barrera. De manera matemática se expresa como
∞
2
sin 𝜈1 (𝜆)𝑧
𝑦−𝑗 (𝑧, 𝜆)
∈ ℕ, 𝑧 → ±∞ (7)
=
𝑁
𝑟
𝑘
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
∑ 𝑎𝑗,𝑘
(𝜆)𝑦
+ (𝑧, 𝜆)
𝑘=1
𝑟
(𝜆)𝑦+𝑘 (𝑧, 𝜆). (20)
+ ∑ 𝑏𝑗,𝑘
𝑘=1
donde
𝜈𝑘 = √𝜆 − 𝜇𝑘 > 0 .
En la ecuación anterior las matrices 𝑁 × 𝑁 𝑎𝑟 (𝜆) =
𝑁
𝑁
𝑟
𝑟
(𝑎𝑗,𝑘
(𝜆))
, 𝑏𝑟 (𝜆) = (𝑏𝑗,𝑘
(𝜆))
, son las matrices de
(9)
𝑗,𝑘=1
Notar que 𝜇𝑘 → ∞ para cada 𝜆 > 𝜇1 por lo cual existe un
conjunto finito 𝑘 = 1, … , 𝑁 de modos de propagación
cuánticos Φ𝑘± (𝑥, 𝑧, 𝜆). Entonces, la ecuación (5) se transforma
en un sistema finito
𝑎𝑟 (𝜆)
𝑇𝑟 (𝜆) = ( ̅̅̅̅̅̅̅
𝑏𝑟 (𝜆)
𝑁
𝑑 2 𝑦𝑗 (𝑧, 𝜆)
−
+ (𝜇𝑗 − 𝜆)𝑦𝑗 (𝑧) + ∑ 𝐿𝑗𝑘 (𝑧)𝑦𝑘 (𝑧) = 0 (10)
𝑑𝑧
𝜇𝑗 < 𝜆, 𝑗 = 1, … 𝑁
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𝑏𝑟 (𝜆)
) (21)
̅̅̅̅̅̅̅
𝑎
𝑟 (𝜆)
y la matriz de transición a la izquierda
𝑘=1
Introduciendo las matrices diagonales
Λ𝑁 (𝜆) = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜈1 (𝜆), … , 𝜈𝑁 (𝜆))
𝑗,𝑘=1
transmisión y reflexión respectivamente.
Se introduce la matriz de transición a la derecha 𝑇𝑟 (𝜆)
̅̅̅̅̅̅̅
𝑎 (𝜆)
𝑇𝑙 (𝜆) = ( 𝑙
𝑏𝑙 (𝜆)
(11)
2
̅̅̅̅̅̅̅
𝑏𝑙 (𝜆)
) . (22)
𝑎𝑙 (𝜆)
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Tanto
las
soluciones
{𝑦+ (𝑧, 𝜆), ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑦+ (𝑧, 𝜆)}
como
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑧,
(𝑧,
{𝑦− 𝜆), 𝑦− 𝜆)} son soluciones linealmente independientes
pues su Wronskiano es diferente de cero. Para el cálculo de las
matrices 𝑎𝑟 (𝜆), 𝑏𝑟 (𝜆) se considera el sistema de ecuaciones
𝑦+ (𝑧, 𝜆) = 𝐶(𝑧 − 𝐻, 𝜆)𝐸+ (𝐻, 𝜆) + 𝑆(𝑧 − 𝐻, 𝜆)𝐸 ′ + (𝐻, 𝜆),
𝑧 < 𝐻 (31)
𝑦− (𝑧, 𝜆) = 𝐶(𝑧 − 𝐻, 𝜆)𝐸− (0, 𝜆) + 𝑆(𝑧, 𝜆)𝐸 ′ − (𝐻, 𝜆),
𝑧 > 0 (32)
Por lo cual el sistema (24) acepta la forma
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑦− (𝑧, 𝜆) = 𝑎𝑟 (𝜆)𝑦
+ (𝑧, 𝜆) + 𝑏𝑟 (𝜆)𝑦+ (𝑧, 𝜆)
′ (𝑧,
′
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑦 − 𝜆) = 𝑎𝑟 (𝜆)𝑦 + (𝑧, 𝜆) + 𝑏𝑟 (𝜆)𝑦 ′ + (𝑧, 𝜆). (23)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑦− (𝐻, 𝜆) = 𝑎𝑟 (𝜆)𝐸+ (𝐻, 𝜆) + 𝑏𝑟 (𝜆)𝐸+ (𝐻, 𝜆)
′ (𝐻,
′ (𝐻, 𝜆) + 𝑏 (𝜆)𝐸 ′ (𝐻, 𝜆). (33)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑦−
𝜆) = 𝑎𝑟 (𝜆)𝐸
+
𝑟
+
Denótese por 𝑦−+ (𝑧, 𝜆), 𝑦−+ ′(𝑧, 𝜆) los principales términos
asintóticos de 𝑦− (𝑧, 𝜆), 𝑦 ′ − (𝑧, 𝜆) para 𝑧 → ∞ .Sustituyendo en
(23) se obtiene
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑦−+ (𝑧, 𝜆) = 𝑎𝑟 (𝜆)𝐸
+ (𝑧, 𝜆) + 𝑏𝑟 (𝜆)𝐸+ (𝑧, 𝜆)
+
′
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑦− ′(𝑧, 𝜆) = 𝑎𝑟 (𝜆)𝐸 + (𝑧, 𝜆) + 𝑏𝑟 (𝜆)𝐸 ′ + (𝑧, 𝜆). (24)
Lo cual implica que
𝑦−+ (𝐻, 𝜆)𝐸 ′ + (𝐻, 𝜆) − 𝑦−+ ′(𝐻, 𝜆)𝐸+ (𝐻, 𝜆)
(34)
(2𝑖)𝑁 𝜈1 (𝜆) ∙ … ∙ 𝜈𝑁 (𝜆)
𝑦−+ ′(𝐻, 𝜆)𝐸− (𝐻, 𝜆) − 𝑦−+ (𝐻, 𝜆)𝐸 ′ − (𝐻, 𝜆)
𝑏𝑟 (𝜆) =
(35)
(2𝑖)𝑁 𝜈1 (𝜆) ∙ … ∙ 𝜈𝑁 (𝜆)
𝑎𝑟 (𝜆) =
El determinante del sistema de ecuaciones (23) es igual a
(2𝑖)𝑁 𝜈1 (𝜆) ∙ … ∙ 𝜈𝑁 (𝜆) .La solución es
y
𝑦−+ (𝑧, 𝜆)𝐸 ′ + (𝑧, 𝜆) − 𝑦−+ ′(𝑧, 𝜆)𝐸+ (𝑧, 𝜆)
(25)
(2𝑖)𝑁 𝜈1 (𝜆) ∙ … ∙ 𝜈𝑁 (𝜆)
𝑦−+ ′(𝑧, 𝜆)𝐸− (𝑧, 𝜆) − 𝑦−+ (𝑧, 𝜆)𝐸 ′ − (𝑧, 𝜆)
𝑏𝑟 (𝜆) =
(26)
(2𝑖)𝑁 𝜈1 (𝜆) ∙ … ∙ 𝜈𝑁 (𝜆)
𝑎𝑟 (𝜆) =
′
′
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
donde 𝐸− (𝑧, 𝜆) = 𝐸
+ (𝑧, 𝜆) y 𝐸 − (𝑧, 𝜆) = 𝐸 + (𝑧, 𝜆)
manera similar se pude calcular 𝑎𝑙 (𝜆), 𝑏𝑙 (𝜆) .
𝑏𝑙 (𝜆) =
𝑦+− ′(0, 𝜆)𝐸+ (0, 𝜆) − 𝑦+− (0, 𝜆)𝐸 ′ + (0, 𝜆)
(37)
(−2𝑖)𝑁 𝜈1 (𝜆) ∙ … ∙ 𝜈𝑁 (𝜆)
IV. POTENCIALES SIMETRICOS
Considérese un potencial impureza que solo depende de la
variable 𝑧.
𝑊 (𝑧), 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐻
(38)
𝑊(𝑥, 𝑧) = { 0
0, 𝑧 ∉ [0, 𝐻]
El proceso de propagación ocurre en canales independientes
(no hay propagación intermodo). Las matrices de transmisión
y reflexión son diagonales
𝑎𝑟 (𝜆) = 𝑑𝑖𝑎𝑔 (𝑎1𝑟 (λ), … , 𝑎𝑟𝑁 (λ)) (39)
𝑏𝑟 (𝜆) = 𝑑𝑖𝑎𝑔 (𝑏𝑟1 (λ), … , 𝑏𝑟𝑁 (λ)) (40)
𝑗
Sea 𝑦+ (𝑧, 𝜆), 𝑦−𝑗 (𝑧, 𝜆) las soluciones de Just para la ecuación
𝑦+− ′(𝑧, 𝜆)𝐸+ (𝑧, 𝜆) − 𝑦+− (𝑧, 𝜆)𝐸 ′ + (𝑧, 𝜆)
(28)
(−2𝑖)𝑁 𝜈1 (𝜆) ∙ … ∙ 𝜈𝑁 (𝜆)
III. POTENCIALES CON SOPORTE COMPACTO
Sea
𝑊(𝑥, 𝑧) = {
𝑦+− (0, 𝜆)𝐸 ′ − (0, 𝜆) − 𝑦+− ′(0, 𝜆)𝐸− (0, 𝜆)
(36)
(−2𝑖)𝑁 𝜈1 (𝜆) ∙ … ∙ 𝜈𝑁 (𝜆)
. De
𝑦+− (𝑧, 𝜆)𝐸 ′ − (𝑧, 𝜆) − 𝑦+− ′(𝑧, 𝜆)𝐸− (𝑧, 𝜆)
𝑎𝑙 (𝜆) =
(27)
(−2𝑖)𝑁 𝜈1 (𝜆) ∙ … ∙ 𝜈𝑁 (𝜆)
𝑏𝑙 (𝜆) =
𝑎𝑙 (𝜆) =
𝑊0 (𝑥, 𝑧), 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐻
(29)
0, 𝑧 ∉ [0, 𝐻]
−
donde 𝑊0 ∈ 𝐿∞ (𝐷 × [0, 𝐻]). Entonces la matriz 𝐿(𝑧)es igual
a la integral (6) tal que 𝐿𝑗𝑘 (𝑧) = 0 si 𝑧 ∉ [0, 𝐻].
𝑑 2 𝑦𝑗 (𝑧, 𝜆)
+ (𝜇𝑗 − 𝜆)𝑦𝑗 (𝑧, 𝜆) + 𝑊(𝑧)𝑦𝑗 (𝑧, 𝜆) = 0 (41)
𝑑𝑧
𝜇𝑗 < 𝜆, 𝑗 = 1, … 𝑁
con asíntotas
𝑗
𝑦+ (𝑧, 𝜆)~𝑒 𝑖𝜈𝑗 (𝜆)𝑧 , 𝑧 > 𝐻 (42)
Sean 𝐶(𝑧, 𝜆), 𝑆(𝑧, 𝜆) las soluciones matriciales de (14) que
satisfacen las condiciones iniciales
𝑦−𝑗 (𝑧, 𝜆)~𝑒 −𝑖𝜈𝑗 (𝜆)𝑧 , 𝑧 < 0 (43)
𝐶(0, 𝜆) = 𝐼𝑁 ,
𝐶 ′ (0, 𝜆) = 0
′ (0,
𝑆(0, 𝜆) = 0, 𝑆
𝜆) = 𝐼𝑁 (30)
𝑗
Las expresiones exactas de dichas soluciones en términos de
ecuaciones integrales se presentan en [21]. Por su parte el
Wronskiano de 𝐶(𝑧, 𝜆), 𝑆(𝑧, 𝜆) es igual a 1. Las soluciones
𝑦+ (𝑧, 𝜆), 𝑦− (𝑧, 𝜆) se pueden expresar en términos de 𝐶(𝑧, 𝜆),
𝑆(𝑧, 𝜆).
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𝑗
Los coeficientes matriciales 𝑎𝑟 (𝜆) y 𝑏𝑟 (𝜆) satisfacen el
siguiente sistema de ecuaciones diagonales
𝑗
𝑗
𝑦−𝑗 (𝐻, 𝜆) = 𝑎𝑟 (𝜆)𝑒 −𝑖𝜈𝑗 (𝜆)𝐻 + 𝑏𝑟 (𝜆)𝑒 𝑖𝜈𝑗 (𝜆)𝐻 (44)
𝑗
𝑗
−𝑖𝜈𝑗 (𝜆)𝐻
𝑗
′
(𝑦− ) (𝐻, 𝜆) = −𝑖𝜈𝑗 (𝜆)𝑎𝑟 (𝜆)𝑒
+ 𝑖𝜈𝑗 (𝜆)𝑏𝑟 (𝜆)𝑒 𝑖𝜈𝑗 (𝜆)𝐻
Por lo tanto
3
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𝑗
𝑎𝑟 (𝜆)
𝑗
𝑏𝑟 (𝜆)
=
𝑒 𝑖𝜈𝑗 (𝜆)𝐻 (𝑖𝜈𝑗 (𝜆)𝑦−𝑗 (𝐻, 𝜆) − (𝑦−𝑗 )′ (𝐻, 𝜆))
2𝑖𝜈𝑗 (𝜆)
Aplicando las condiciones iniciales y de continuidad en el
punto 𝑧 = 𝐻 para la solución (43)
𝑗
𝑗
𝑦−𝑗 (𝐻, 𝜆) = 𝑏1 (𝜆)𝑢1 (𝐻, 𝜆) + 𝑏2 (𝜆)𝑢2 (𝐻, 𝜆) (48)
𝑗
(𝑦−𝑗 )′(𝐻, 𝜆) = 𝑏1 (𝜆)𝑢′1 (𝐻, 𝜆) + 𝑏2𝑗 (𝜆)𝑢′2 (𝐻, 𝜆)
(45)
𝑒 −𝑖𝜈𝑗 (𝜆)𝐻 ((𝑦−𝑗 )′ (𝐻, 𝜆) + 𝑖𝜈𝑗 (𝜆)𝑦−𝑗 (𝐻, 𝜆))
(46)
2𝑖𝜈𝑗 (𝜆)
𝑗
𝑗
Entonces para el cálculo de 𝑎𝑟 (𝜆) y 𝑏𝑟 (𝜆) es necesario
resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria
−
=
VI. EVALUACIONES Y RESULTADOS
Para el cálculo numérico se truncaron las expresiones (44) y
(45) hasta 𝑁 = 120. Usando las potencias calculadas se
evaluó la aproximación de la ecuación característica, se
construyó un spline pasando por los valores obtenidos y se
encontraron sus ceros utilizando el comando de Matlab
fnzeros.
Se necesita establecer un valor para 𝜇𝑗 . Para el caso de una
guía de onda rectangular en [23] se establece que es igual
𝑑 2 𝑦−𝑗 (𝑧, 𝜆)
+ 𝜈 2 𝑦−𝑗 (𝑧, 𝜆) + 𝑊0 (𝑧)𝑦−𝑗 (𝑧, 𝜆) = 0 (41)
𝑑𝑧
𝑧 ∈ [0, 𝐻], 𝜇𝑗 < 𝜆, 𝑗 = 1, … 𝑁
𝑑𝑦−𝑗 (0, 𝜆)
𝑦−𝑗 (0, 𝜆) = 1,
= 𝑖𝜈𝑗 (𝜆)
𝑑𝑥
𝑗 2 𝜋2 ℏ2
𝑗 2 𝜋2 ℏ2
𝜇𝑗 =
+
donde 𝑏, 𝑐 son las dimensiones de los
2𝑚𝑏 2
2𝑚𝑐 2
lados de la sección transversal de la guía de onda. Por su parte
para la guía de onda cilíndrica en [18] se establece que 𝜇𝑗 =
V. MÉTODO SPPS
2
(𝜏𝑗𝑚 ) ℏ2
donde 𝑟 es el radio de la sección transversal y 𝜏𝑗𝑚 los
ceros de la ecuación de Bessel.
Los coeficientes de transmisión y reflexión están definidos
como
El método de Series de Potencias de Parámetro Espectral
(SPPS por sus siglas en Inglés) fue introducido recientemente
(ver) y desde entonces su versatilidad le ha permitido ser
utilizado en el análisis y la solución de múltiples problemas
(ver). Se da a continuación una breve descripción. Se busca
una solución diferente de cero 𝑢0 (𝑧) ∈ 𝐶 1 ([0, 𝐻]) de la
ecuación homogénea
2𝑚𝑟 2
𝑇𝑗,𝑗 =
−𝑢0′′ + 𝑊0 (𝑧)𝑢0 (𝑧) = 0, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐻. (42)
𝑅𝑗,𝑗 =
Entonces la solución de (41) es igual a
𝑗
𝑗
2
𝑗
2
𝑗
2
𝑗
2
|𝑏𝑙 (𝜆)|
|𝑎𝑟 (𝜆)|
|𝑏𝑟 (𝜆)|
|𝑎𝑟 (𝜆)|
(49)
(50)
𝑗
𝑗
𝑗
donde 𝑎𝑟 (𝜆), 𝑏𝑟 (𝜆) son coeficientes de 𝑦−𝑗 (𝑧, 𝜆) y 𝑏𝑙 (𝜆)
𝑗
de 𝑦+ (𝑧, 𝜆).
La Figura 1 muestra los resultados correspondientes para
𝑇1,1 , 𝑇2,2 , 𝑇3,3 con 𝑊0 = 𝑉 en [0, 𝐻]. Los valores usados fueron
𝑉 = 10 𝑒𝑉, 𝐻 = 1 𝑛𝑚, y 𝑚 = 6.1030 × 10−32 𝑘𝑔. Dicho
valor de masa es el que corresponde la 𝐺𝑎𝐴𝑠, un material
ampliamente usado en la optoelectrónica.
𝑗
𝑦−𝑗 (𝑧, 𝜆) = 𝑏1 (𝜆)𝑢1 (𝑧, 𝜆) + 𝑏2 (𝜆)𝑢2 (𝑧, 𝜆) (43)
satisfaciendo las condiciones iniciales de [14]. Las soluciones
se buscan de la forma
𝑗 ̃ (2𝑛) (𝑧)
𝑢1 (𝑧, 𝜈) = 𝑢0 (𝑥) ∑∞
(44)
𝑛=0 𝜈 𝑋
𝑗 (2𝑛+1) (𝑧)(45)
𝑢2 (𝑧, 𝜈) = 𝑢0 (𝑥) ∑∞
𝑛=0 𝜈 𝑋
donde las funciones 𝑋̃ (𝑗) se definen recursivamente como
𝑋̃ (0) ≡ 1,
𝑧
𝑛−1
𝑋̃ (𝑛) (𝑧, 𝜈) = (−1)𝑛−1 ∫ 𝑋̃ (𝑛−1) (𝑠, 𝜈 )(𝑢02 )(−1) 𝑑𝑠,
0
𝑧 ∈ [0, 𝐻] (46)
y 𝑋 (𝑛) como
𝑋 (0) ≡ 1,
𝑧
𝑛
𝑋̃ (𝑛) (𝑧, 𝜈) = (−1)𝑛 ∫ 𝑋 (𝑛−1) (𝑠, 𝜈 )(𝑢02 )(−1) 𝑑𝑠,
0
𝑧 ∈ [0, 𝐻] (47)
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Figura 1.- Los tres primeros modos de propagación para el potencial 𝑊0 =
10 𝑒𝑉 , [0,1]𝑛𝑚.
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La Figura 2 corresponde al potencial 𝑊0 =
𝑈0
cosh(𝛼𝑧)2
IX. REFERENCIAS
en
[1] Y. Ando and T. Itoh, Calculation of transmission tunneling
current across arbitrary potential barriers. J. Appl. Phys. 61
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[2] F. Bagwell, Evanescent modes and scattering in quasi-onedimensional wires. Phys. Rev B, 41 (1990), pp 10354-10371.
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quantum transmission across arbitrary potential barriers. J.
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[5] R. Castillo-Pérez, V. V. Kravchenko. H. OviedoGaldeano, V. S. Rabinovich Dispersion equation and
eigenvalues for quantum wells using spectral parameter power
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Kravchenko, H. Oviedo-Galdeano Efficient calculation of the
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[−0.5,0.5] 𝑛𝑚. De nueva cuenta se grafica 𝑇1,1 , 𝑇2,2 , 𝑇3,3 . Los
valores usados fueron 𝑈0 = 30 𝑒𝑉 y 𝛼 = 1 × 109 𝑛𝑚−1 . Los
resultados de dichos coeficientes de transmisión se muestran
en la Figura 3.
Figura 2.- Grafica del potencial 𝑊0 =
9
−1
𝑈0
cosh(𝛼𝑧)2
con 𝑈0 = 30 𝑒𝑉 y 𝛼 = 1 ×
10 𝑛𝑚 .
Figura 3.- Los tres primeros modos de propagación para el potencial de la
Figura 2.
VII. CONCLUSIONES
Se obtuvieron expresiones generales para las matrices de
transición de una guía de onda cuántica con una impureza
modelada por un potencial 𝑊(𝑥, 𝑧). Se tomaron los casos
cuando el potencial tiene soporte compacto y cuando el
potencial es simétrico y solo depende de 𝑧. Se llevaron a cabo
un par de ejercicios computacionales de cálculo de
coeficientes de transmisión y reflexión para un potencial tipo
barrera rectangular y una potencial secante hiperbólica
obteniendo resultados que hasta el momento son únicos en
literatura.
VIII. AGRADECIMIENTOS
Francisco Eduardo Urbano Altamirano agradece el apoyo
del CONACYT y de la SEPI, UPIITA. Vladimir Rabinovitch
agradece el apoyo a la investigación desarrollada de los
programas SIBE y EDI del IPN, y el proyecto SIP, así como
del CONACYT.
México D.F., 19 al 23 de octubre 2015
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15vo CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA
ELECTROMECÁNICA Y DE SISTEMAS (CNIES 2015)
ARTÍCULO No. TEL13
ARTÍCULO ACEPTADO POR REFEREO
[20] G.B. Lesovik, I.A. Sadovskyy, Scattering matrix
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Nauk, 181 1041--1096 (2011) (In Russian)
[21]Carlson, R., Eigenvalue Estimates and Trace Formulas
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Equations 167, 211 244 (2000)
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Vol. 94, No. 5, p. 992, May 2002, available online at
www.springer.com
[23] D.K. Cheng Fundamentals of electromagnetic
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[24] L.D. Landau, E.Lifshitz Quantum Mechanics: Nonrelativistic theory Pergamon Press, 1977, pp 76-78.
X. BIOGRAFÍA
Vladimir Rabinovitch Likhtman. Maestro en Ciencias Fisico Matematicas
(1966) y Doctor en Ciencias Físico Matemáticas (1971) por la Universidad
Estatal de Rostov, Rusia. Segundo grado de Doctor Completo en Física y
Matemáticas por el Instituto de Bajas Temperaturas de Academia de Ciencias
de Ucrania (1994). Profesor Titular “C” de tiempo completo en la Maestría en
Telecomunicaciones de la ESIME-IPN. Es miembro del SNI nivel III. Ha
publicado más de 100 artículos en revistas internacionales. Algunas de sus
líneas de investigación son: teoría de operadores y su aplicación a problemas
de propagación de ondas, problemas espectrales de Mecánica Cuántica .
Francisco Eduardo Urbano Altamirano. Nació en 1987 en Coacalco,
México. Es Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica por ESIME
Zacatenco-IPN (2011) y Maestro en Tecnología Avanzada UPIITA-IPN
(2013).Actualmente es estudiante del Doctorado en Tecnología Avanzada.
México D.F., 19 al 23 de octubre 2015
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