1. No category

TRIGONOMETRÍA
1. Verdadero o falso. ¿Por qué?
a)
b)
c)
d)
e)
El seno de un ángulo es siempre menor que 1.
El seno de un ángulo siempre es mayor que 0.
La tangente de un ángulo puede ser igual a 1.
La secante de un ángulo puede ser igual a 1.
El coseno de un ángulo puede tomar cualquier valor real.
2. a) Define las razones trigonométricas de un ángulo agudo que forma parte de un
triángulo rectángulo.
b) Enuncia el teorema de Pitágoras, el teorema de los senos y el teorema del
coseno.
3. Reduce al primer giro y expresa en grados el ángulo de
64π
rad .
7
4. Expresa en radianes y reduce al primer giro el ángulo de 3724o .
5. Sabiendo que sen 50° = 0,77, cos 50° = 0,64 y tg 50° = 1,19, calcula:
a) cos 130D
b) tg 310D
c ) cos 230D
d ) sen 310D
6. Calcula las razones trigonométricas de 140° y de 220°, sabiendo que:
sen 40 D = 0, 64; cos 40 D = 0, 77; tg 40 D = 0,84
7. Si tgα =
1
y 00 < α < 900 calcula (sin hallar α ).
3
a) tg ( 180D + α )
8. Si tgα =
3
4
b) tg ( 360D + α )
y 1800 < α < 2700 calcula (sin hallar α ).
a) tg ( 90D + α )
b) tg ( 720D + α )
9. Simplifica la expresión
cotg a + tg a
− sec 2a =
cotg a − tg a
10. Demostrar si son ciertas las siguientes identidades trigonométricas:
a) sen( x + y ) ⋅ sen( x − y ) = sen 2 x − sen 2 y
b) sec x − cos x = tagx ⋅ senx
c) (1 + tgα )(1 + cot gα ) =
d)
(senα + cos α )2
senα cos α
2senα
sen2 α
= cos α −
tg2α
cos α
(
e) tg π
4
)
+x =
cos x + sen x
cos x − sen x
(
2
2
f) sen3a = sen a 3cos a − sen a
g)
sec x
= sen x
cot g x + tg x
h)
cos ec 2α − 1
= cot g α ·cos ec α
cos α
i)
(tg α + cot g α )
j)
cos(α − β ) 1 + tgα ·tg β
=
cos(α + β ) 1 − tgα ·tg β
k)
cos( x − y ) − cos( x + y )
= tg y
sen( x − y ) + sen( x + y )
2
)
= sec 2 α + cos ec 2α
α
l) 2·tagα · sen 2 ( ) + sen(α ) = tag (α )
2
⎛
⎝
m) 2 ⎜ cos 2
n)
x 1
⎞
− cos x ⎟ = 1
2 2
⎠
tg α
cos ec α
+
= cos ec 2α ·sec α
sen α
tg α
11. Si a, b y c son los ángulos de un triángulo, demuestra:
tg(a + b) + tg c = 0
12. Si a, b y c son los ángulos de un triángulo cualquiera, demuestra que es cierta la
igualdad:
cos ( a − b ) − cos c
= cos b
2cos a
13. Si a, b y c son los ángulos de un triángulo cualquiera, demuestra que es cierta la
igualdad:
cos ( a − b ) − cos c = 2·cos a ·cos b
14. Comprueba que es rectángulo todo triángulo ABC que verifique lo siguiente:
sen B + senC = cos B + cos C
15. Sabiendo que tg ( x + y ) = 4 y que tgx = 2 , calcula tg 2y
y tg( x − y ) .
16. Sabiendo que α es un ángulo del cuarto cuadrante, y que su cotangente es igual
a − 3 , calcula las restantes razones trigonométricas de dicho ángulo.
17. Sabiendo que α es un ángulo del cuarto cuadrante, y que su tangente es igual a
−2 , calcula las restantes razones trigonométricas de dicho ángulo.
18. Sabiendo que sen x =
3
π
x
< x < π calcula tg sin hallar previamente el
y que
5
2
2
valor de x .
19. Sabiendo que α es un ángulo del tercer cuadrante, y que su tangente es igual a
4, calcula las restantes razones trigonométricas de dicho ángulo.
20. Calcula las razones trigonométricas del ángulo 2α sabiendo que cos α =
3π
≤ α ≤ 2π .
2
21. Calcula las razones trigonométricas del ángulo
que
π ≤α ≤
3π
2
α
2
sabiendo que
4
y que
5
sen α = −
1
5
y
.
22. Calcula las razones trigonométricas del ángulo 2α sabiendo que tg α = −4 y que
π
2
≤α ≤π .
23. Calcula las razones trigonométricas del ángulo 2α sabiendo que sen α = −
que π ≤ α ≤ 3π 2 .
⎛
⎝
24. Si sen α = 0.3 , calcula las razones trigonométricas del ángulo ⎜ 2α −
25. Si sen α = −0.2 y π ≤ α ≤
⎛π
⎞
⎜ + 2α ⎟ .
⎝2
⎠
1
y
3
π⎞
⎟.
2⎠
3π
, calcula las razones trigonométricas del ángulo
2
⎛π
⎞
− 2α ⎟ .
⎝2
⎠
26. Si cos α = 0.2 , calcula las razones trigonométricas del ángulo ⎜
27. Si senα =
π⎞
⎛
⎜ 2α − ⎟ .
2⎠
⎝
3
π
≤ α ≤ π , calcula las razones trigonométricas del ángulo
y
10
2
28. Si senα = −
⎛π
⎞
⎜ 2 + 2α ⎟ .
⎝
⎠
29. Si
senα =
π⎞
⎛
⎜ 2α − ⎟ .
2⎠
⎝
30. Si
cos α =
π⎞
⎛
⎜ 2α − ⎟ .
2⎠
⎝
1
3π
y π ≤α ≤
, calcula las razones trigonométricas del ángulo
5
2
1
3
y
3
5
y
π
2
≤α ≤π
3π
≤ α ≤ 2π , calcula las razones trigonométricas del ángulo
2
31. Si tgα = 2 y π ≤ α ≤
⎛π
⎞
⎜ 2 + 2α ⎟ .
⎝
⎠
, calcula las razones trigonométricas del ángulo
3π
, calcula las razones trigonométricas del ángulo
2
32. Resuelve las siguientes ecuaciones y sistemas:
a) sen2x = cos x
b) cos 2 ( x ) + sen( x ) = −
e) sen2 x − 2sen4 x = 0
3⎫
4 ⎪⎪
d)
⎬
1⎪
2
2
cos x − sen y =
4 ⎪⎭
f) 4cos 2 x + 3cos x = 1
g) tg 2 x · tg x = 1
h) sen x −
1
c) sen x ·cos x =
2
3
2
sen2 x + cos2 y =
1
= 2.
sen x
Da las soluciones en el intervalo [0 , 2 π ] radianes.
33. Tres pueblos, A, B y C, están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia
AB es de 6 km, la BC es 9 km y el ángulo que forman AB y BC es de 120 grados.
¿Cuánto distan A y C?
34. Una escalera de bomberos de 10 metros de longitud, se ha fijado en un punto de
la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas de la calle, forma un ángulo de 45
grados con el suelo y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 30 grados.
Halla la anchura de la calle. ¿A qué altura se alcanza sobre cada una de las fachadas
con dicha escalera?
35. Un solar tiene forma triangular. Se han podido determinar dos lados que miden
100 y 70 metros, respectivamente, y el ángulo comprendido se ha medido con un
teodolito y resultó ser igual a 300 . Para poder replantear una posible construcción se
necesita conocer el resto de los elementos del triángulo. Calcúlalos.
36. Ana, Luis y Pedro van a escalar una montaña de la que desconocen la altura. A la
salida del pueblo han medido el ángulo de elevación que mide 30 grados. Han
avanzado 100 m hacia la base de la montaña y han vuelto a medir el ángulo de
elevación siendo ahora de 45 grados. Calcula la altura de la montaña.
37. Los lados de un paralelogramo miden 120 y 80 cm y forman un ángulo de 60
grados. Hallar sus diagonales.
38. En lo alto de un acantilado hay un edificio de 20 metros de altura. Desde el mar,
los ángulos de elevación de la base y del tejado del edificio son 45 y 60 grados
respectivamente. Hallar la altura del acantilado.
39. Dos individuos A y B observan un globo que está situado en un plano vertical que
pasa por ellos. La distancia entre los individuos es de 4 km. Los ángulos de elevación
del globo desde los observadores son 46 y 52 grados, respectivamente. Halla la altura
del globo y su distancia a cada observador.
46 52
4 km
40. Juan y Rosa se encuentran a ambos lados de la orilla de un río. Rosa se aleja
hasta una caseta distante 100 metros del punto A, desde la que dirige visuales a los
puntos A y B que forman un ángulo de
bajo un ángulo de
2π
3
π
6
radianes y desde A veía los puntos C y B
radianes. ¿Qué distancia hay entre A y B?
41. Desde un punto A se divisan otros dos puntos B y C, bajo un ángulo de 60 grados.
Se sabe que B y C distan 450 metros y que A y B distan 500 metros. Averigua la
distancia entre A y C.
42. Observamos la primera terraza de la Giralda de Sevilla bajo un ángulo de
elevación de 29 grados. Después nos alejamos 10 metros y repetimos la observación.
Ahora el ángulo de elevación es de 26,6 grados. Calcula la altura de la primera terraza
de la Giralda.
43. Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en
la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y
consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El
ángulo correspondiente al vértice en el que está Sara es de 30° y el ángulo del vértice
en el que está Manolo es de 135°. ¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y
Manolo?
44. Un barco B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio, A y
C que distan entre si 50 Km. Desde las estaciones se miden los ángulos BAC = 45º y
BCA = 60º ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?
45. Calcula α , β , Dg y Dp.
46. Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm., respectivamente, y forman un
ángulo de 60°. ¿Cuánto mide la altura del paralelogramo? ¿Y su área? Calcula
también la diagonal menor del paralelogramo.
47. Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la
figura:
Halla el valor de c y la longitud del cable.
48. Dos de los lados, a y b, de una finca de forma triangular miden 20 m y 15 m,
respectivamente. El ángulo comprendido entre estos dos lados es de 70°.
Si deseáramos vallar la finca, ¿cuántos metros de valla necesitaríamos?
49. Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el
punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60 . Nos acercamos 5 metros a la torre
en línea recta y el ángulo es de 80 . Halla la altura de la torre.
50. Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus
ángulos:
51. Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un
ángulo de 120°. Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el
segundo barco, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, ¿a qué distancia se
encuentra un barco del otro?
52. Calcula el área del triángulo ( b = 10 cm. A = 45º, C = 75º)
53. Averigua los elementos desconocidos lados y ángulos del siguiente triángulo:
54. Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con
B, B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo
correspondiente a B es de 50°, y el ángulo en A es de 75°. ¿Cuál es la distancia
entre B y C ? ¿Y entre A y C ?
55. Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:
56. Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo:
57. Resuelve este triángulo, es decir, halla sus lados y sus ángulos: