1. No category

Roberto Palmer - Fı́sica Cuántica
1
Dispersión de un paquete de ondas
Una partı́cula libre puede ser representada por un paquete de ondas gaussiano:
x2
1
ψ(x, 0) = p √ e− 2a2
a π
(1)
cuya transformada de Fourier es:
Z∞
1
ψ̃(k, 0) = p √
a π
−∞
√
x2
a2 k2
1
dx e−ikx e− 2a2 = p √ a 2πe− 2
a π
(2)
siendo la inversa de Fourier y dependiente del tiempo:
√
1
1
ψ(x, t) = √ p √ a 2π
2π a π
Z∞
dk eikx e−iωt e−
a2 k 2
2
(3)
−∞
la frecuencia angular ω = 2πν es una función del número de onda angular k = 2π/λ, la energı́a está relacionada con la frecuencia angular de la forma E = ~ω y el momento con la energı́a E = p2 /2m por lo tanto la
frecuencia angular está relacionada con el momento ω = p2 /2m~, la relación de De Broglie nos da que λ = h/p
y al dividir ambas partes se obtiene p = ~k, entonces concluimos que ω = ~k 2 /2m. Simplificamos la última
expresión y sustituimos ω por su función de k:
r
ψ(x, t) =
a
√
π
Z∞
2
a
ikx −i ~k
2m t −
dk e
e
e
2 k2
2
r
=
a
√
π
−∞
Z∞
dk eikx e
k2
2
~
(a2 +i m
t)
(4)
−∞
siendo su solución:
r
ψ(x, t) =
√
x2
a
2π
~
2
√ q
e 2(a +i m t)
π a2 + i ~ t
m
(5)
Si la distribución de probabilidad es P(x, t) = |ψ(x, t)|2 obtenemos en este caso:
2
2
x
x
2π
a
~
~
2
2
P(x, t) = √ q
e 2(a +i m t) e 2(a −i m t) =
π (a2 + i ~ t)(a2 − i ~ t)
m
(6)
m
2
x
1
2π
~ 2 2
2
=√ q
e (a +( ma ) t )
2
π a2 + ~ t2
m2 a2
(7)
La amplitud de esta distribución de probabilidad va disminuyendo con el paso del tiempo y la forma en que
se dispersa viene dado por la función exponencial que se desvanece en el infinito con el cuadrado del tiempo.
Por ejemplo un paquete de ondas de un electrón se localiza, t=0, en una dimensión atómica a = 10−10 m, la
anchura del paquete de ondas se duplica cuando cumple la condición:
a2 =
~2 t2
m2 a2
resultando un tiempo de 10−6
√s, lo que muestra que la dispersión es muy rápida en el espacio libre, y la
amplitud se reduce en un factor 2 (un paquete de ondas no es dispersivo cuando ω es una función lineal de k
~k
~k
la velocidad de la fase es ωk = 2m
y la velocidad del grupo es ∂ω
∂k = m ).