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Cálculo I.
Guı́a 3 : Funciones lineales y cuadráticas
JCS/CdP
1. Sea y = f (x) la función lineal tal que: f (1) = 3, y su gráfica corta al eje X en el punto de
abscisa x = −2. Hallar f (x) explı́citamente, y luego determinar f (5).

si x < 2
 3
−x + 3 si 2 6 x 6 4
2. Sea f (x) =

x
si 4 < x < 5
a) Determinar el dominio de f
b) Graficar y = f (x)
c) Hallar el recorrido de f
d ) Determinar todos los x ∈ R tal que f (x) < 0
3. Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas:
f (x) = 5x − 2x2 ,
f (x) = (x − 2)2 + 1,
f (x) = 2x2 − 4x + 2
Ta
l
determinar:
f (x) = (x − 2)(4 − x)
4 2
8
f (x) = −
x +
x
3125
625
ca
f (x) = 3x2 − 5x + 2,
a) Puntos de corte o puntos intersección con cada eje coordenado.
c) Grafica de y = f (x)
d ) Recorrido de f .
de
b) Vértice de la parábola
U
4. Sea f (x) = 0,01x2 − 0,4x + 3.
a) Determinar el mı́nimo valor de f (x), y para qué valor de x alcanza dicho valor.
b) Determinar el recorrido de f .
c) Determinar h y k tal que f (x) = 0,01(x − h)2 + k. Verificar el vértice de la parábola
y = f (x) es (h, k).
d ) Hallar todos los valores de x tal que f (x) 6 8.
5. Hallar el valor de b tal que para x = −3 la expresión −0,5x2 + bx + 3 alcanza el máximo
valor.
6. Sea y = f (x) la función cuadrática tal que f (−1) = 4, f (1) = 0 y f (2) = 7.
a) Hallar una fórmula explı́cita de f (x).
b) Determinar el valor de x que minimiza f y cual es el valor mı́nimo de f (x).
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
 −2x2 + 8
(x + 1)(x − 2)
7. Graficar la función: f (x) =

3
a) Todos los x ∈ Dom(f ) tal que f (x) = 0;
si x < 1
si 1 6 x < 4 , y determinar:
si x > 4
b) El recorrido de f .
8. Establecer si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.
a) Toda función lineal tiene inversa.
b) La compuesta de dos funciones lineales es una función lineal.
c) La compuesta de una función lineal con una cuadrática es una función cuadrática.
d ) Toda función cuadrática tiene un máximo.
e) La suma de dos funciones cuadráticas es una función cuadrática.
ca
f ) El triángulo que forma la gráfica de la función lineal y = f (x) = ax + b, con b 6= 0, es
b2
.
igual a
2|a|
U
de
Ta
l
9. A continuación se entregan los gráficos de una función lineal y = f (x) y una función
cuadrática y = g(x):
A partir de estos gráficos, hacer un esbozo de los gráficos de las funciones y = f (x) + g(x),
y = f (x) · g(x), y = f (g(x)) e y = g(f (x)).
10. Considerar la siguiente tabla de valores de una función:
x
y
1
a
2 3 4 5
b c d e
¿Qué condiciones deben cumplir a, b, c, d y e para que la función corresponda a
a) una función lineal?
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b) una función cuadrática?
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11.
La siguiente tabla de valores corresponde a la población (en miles) de Talca en los
años indicados:
año
población
2000
915, 2
2001 2002 2003
922, 8 930, 3 937, 7
a) Graficar los datos entregados.
b) ¿Qué función parece modelar esta situación?
c) Determinar una fórmula explı́cita para esta función.
d ) Usando el modelo encontrado, estimar la población de Talca en el año 2007.
ca
La siguiente tabla de valores corresponde a la población de Chile en los años indicados:
año
población
1907
1940
1960
1970
3,220,531 5,023,539 7,374,115 8,884,768
a) Graficar los datos entregados.
Ta
l
12.
b) Determinar una función cuadrática que modele esta situación.
de
c) Usando el modelo encontrado, estimar la población de Chile en el año 2000.
13. Para invitar a un concierto a sus amigos, Juan tiene dos alternativas:
U
a) Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de $30000 y pagar las
entradas a $12000 cada una.
b) Pagar cada entrada a $16000.
Sea n el número de invitados de Juan:
a) Obtener en función de n el precio a pagar en los dos casos.
b) Graficar, en un mismo sistema de coordenadas, ambas funciones.
c) Determinar algebraica y gráficamente la cantidad de amigos para que las dos alternativas resulten equivalentes.
d ) Finalmente, Juan se presenta al concierto con 7 amigos. ¿Qué alternativa le habrı́a
resultado más conveniente?. Resolver algebraica y gráficamente.
14. Álvaro vive en Santiago y su amigo Nelson en Curicó. La distancia que separa ambas
ciudades es de 193km. Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une estas dos
ciudades. El auto de Álvaro consume 6 litros por Km y el de Nelson 9 litros por Km. Sea
x la variable que representa la distancia entre Curicó y el punto M .
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a) Determinar las funciones (en términos de x) que determinan la bencina consumida
por ambos autos.
b) Graficar ambas funciones en un mismo sistema de coordenadas.
c) Obtener gráficamente el valor de x para el que los dos vehı́culos consumen la misma
cantidad de bencina. ¿Cuánto es esa cantidad?
d ) Resolver algebraicamente el item precedente.
e) Aproximadamente, ¿en las cercanı́as de que pueblo o ciudad se juntan estos amigos?.
15. Una bicicleta, una moto y un auto van de Curicó a Chillán. La distancia entre estas ciudades
es de 210.16Km. Se dispone de la siguiente información.
ca
bicicleta
Moto
Auto
Hora de salida
7h
8h30’
9h15’
Velocidad promedio 20Km/h 60Km/h 90Km/h
Ta
l
Sean b(t), m(t) y a(t) las distancias (en Km) recorridas por la bicicleta, la moto y el auto
en la hora t.
a) Obtener d = b(t), d = m(t) y d = a(t) en función de t.
b) Dibujar en un mismo sistema de coordenadas las funciones b(t), m(t) y a(t).
c) ¿A qué hora la moto alcanzará a la bicicleta? (Comprobar algebraicamente).
de
d ) ¿Alcanza el auto a la bicicleta antes de pasar por Talca?.
e) En qué intervalo de tiempo el auto estará entre la bicicleta y la moto.
U
f ) Plantear una pregunta sobre la situación plantada y responderla.
16. Un granjero desea cercar un terreno rectangular. Uno de los lados del terreno limita con
un rı́o y no requiere cerca. Determinar las dimensiones del terreno de máxima área que se
puede cercar con 1000mts de cerca.
17. La altura s (en metros, medida desde el suelo) de un objeto lanzado verticalmente hacia
arriba, desde la cima de un edificio de 100 metros de altura, viene dada por
s = s(t) = −16t2 + 96t + 100
donde t es el tiempo expresado en segundos.
a) Graficar la curva que representa la altura que alcanza el objeto.
b) ¿En qué instante el objeto está a 100m de la cima del edificio?
c) ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el objeto?, ¿en qué instante la alcanza?
d ) ¿En qué intervalo de tiempo el objeto se mueve hacia arriba? ¿y hacia abajo?
e) Determinar la distancia total recorrida por el objeto.
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