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Mecánica Estadı́stica I - Curso 2015
Práctica 5: Ejemplos prácticos
Ejercicios
1 Considérese un conjunto de N osciladores armónicos bidimensionales clásicos de frecuencia w y masa
w, no interactuantes y localizados en el espacio. Calcular, usando el ensamble microcanónico, el calor
especı́fico (a volumen y a presión constantes) y el potencial quı́mico.
2 En los sistemas magnéticos, el término de
∑ acople entre el sistema campos y el medio material puede
escribirse V̂mag = −M̂ · B, donde M̂ = i µ̂i es el operador que corresponde a la magnetización del
sistema, y B es la inducción magnética. Muestre que,
⟨M̂⟩ = kB T
∂ log Q(T, V, N )
∂B
3 [Sistema de dos niveles]. Cada una de las N entidades o partı́culas que conforman un sistema tiene
solamente dos niveles de energı́a (ea y eb = ea + ∆ϵ).
(a) ¿Cuál es la mı́nima y la máxima energı́a total (E) del sistema? ¿Cuántos microestados hay
asociados a esas energı́as? ¿Para qué valor de la energı́a espera que haya un número máximo de
microestados?
(b) Temperaturas Negativas. Grafique a mano alzada un esquema del número de microestados W (E).
Señalar los valores de E para los cuales la temperatura absoluta del sistema es negativa. Si se
pusiera en contacto térmico a este sistema con T negativa, con otro idéntico pero con T positiva,
¿en qué dirección fluirı́a el calor?. [Para pensar:] ¿por qué no son usuales las temperaturas
negativas en los materiales reales?
(c) Calcular la probabilidad de encontrar a una partı́cula en su estado fundamental (P (ea )) o en el
estado excitado (P (eb )) en función de la temperatura. Comentar sobre el grado de correlación de
las partı́culas.
(d) ¿Qué temperaturas deben alcanzarse para que P (eb ) sea apreciablemente distinta de cero? Graficar
en forma esquemática –teniendo en cuenta la dependencia de las probabilidades P (ea ) y P (eb )
con la temperatura – las curvas ⟨H(T )⟩ y ⟨S(T )⟩.
(e) Calor especı́fico. ¿Cómo es la dependencia funcional del calor especı́fico con T a bajas temperaturas? ¿Cómo es a altas temperaturas? La Figura nos muestra el calor especı́fico de cierto
material magnético. Estime el valor del gap ∆ϵ en este caso particular.
4 [Paramagneto de Brioullin]. En la teorı́a han estudiado un sistema paramagnético de spin 1/2 en
los ensambles microcanónico y canónico. Ahora generalizaremos ese estudio al caso de un ”spin” J
arbitrario, dentro del ensamble canónico.
Muchas veces, a temperaturas suficientemente elevadas, el magnetismo de un material aislador en el
que existe un tipo iones con momento magnético distinto de cero puede ser entendido cuantitativamente
1
por un modelo simple. Consideraremos al sólido como un conjunto de N momentos magnéticos iguales,
cada uno con proyección z igual a µzi = −g µB Jiz , para i = 1, ..., N . La máxima proyección en el eje
z es entonces µ = g µB J. g es llamado factor de Landé; dentro de esta práctica pensaremos que
es simplemente una constante, cercana a 2. Aunque en esta etapa no es relevante, no hará daño
imaginar que los momentos se encuentran arreglados en una red con cierta geometrı́a (por ejemplo,
una red cúbica, o triangular). El único tipo de energı́a que posee el sistema es energı́a potencial
magnética. Resulta entonces que Ĥ = −B.M̂. Consideraremos que la inducción magnética B apunta
en la dirección del eje de coordenadas z.
(a) Preliminares.¿Por qué llamamos a esto simplemente un modelo? ¿Por qué es importante la
condición de aislador? Dada la definición de ρ̂ en equilibrio en el conjunto canónico, ¿qué base
del espacio de Hilbert de N partı́culas será razonable elegir para tomar las trazas?
(b) Calcule la función de partición del sistema Q(T, V, N ), suponiendo que un termostato lo mantiene a
temperatura T . Para ello muestre que por ser un sistema de entidades independientes Q(T, V, N ) =
Q(T, V, 1)N = Q(T, V )N . Luego calcule Q(T, V ) (note que esto implica simplemente evaluar una
serie geométrica).
(c) Calcule la energı́a interna media del sistema. Muestre que la magnetización en la dirección del
eje z puede escribirse como ⟨M ⟩ = N µB g BJ (B), en donde
(
)
(
)
β g µB B
β g µB B
BJ (B) = (2J + 1) coth (2J + 1)
− coth
.
2
2
(d) Mostrar que la magnetización es una función lineal de B para campos “chicos” y temperaturas
“grandes” (definir cuantitativamente estos adjetivos). Ello es equivalente a encontrar la ley de
Curie:
∂⟨M ⟩ N p2 µ2B
,
χ=
=
∂B B=0
3kB T
donde p2 = g 2 J(J + 1).
Notar que ahora sabemos como escribir la constante C de esta ley (que en el contexto de la
termodinámica es fenomenológica) en términos de las constantes que definen el problema.
(e) Mostrar que la magnetización satura para campos “grandes” y temperaturas “chicas” (nuevamente, dar sentido a estas palabras). En base a este punto y el anterior, realizar un esquema de
⟨M ⟩ como función de B para distintas temperaturas.
2
(f) Paramagnetismo de Langevin. Si suponemos momentos
∑ magnéticos clásicos, la energı́a del sistema
puede ahora expresarse como H = −B.M = −Bµ i cos θi . Siguiendo a Langevin, la función de
partición debe calcularse ahora integrando sobre orientaciones continuas (es decir, sobre el ángulo
polar (θi ) y acimutal (ϕi ) de cada µ
⃗ i ) en lugar de sumar sobre las componentes discretas Jiz :
∫
Q(T, N ) =
∫
2π
0
∫
π
dϕ1
dθ1 sin θ1 ...
0
∫
2π
dϕN
0
π
dθN sin θN e−β H(θ1 ,...,θN )
0
Calcular esa función de partición. Mostrar que la magnetización promedio puede escribirse como
⟨M ⟩ = N µL(x), en donde L(x) es llamada la función de Langevin. Mostrar que la ley de Curie
sigue valiendo, y que BJ (x) → L(x) cuando J crece (y g decrece, de modo que gJ y µ permanezcan
constantes).
5 [Teorema de Bohr-Van Leeuwen (o ausencia de magnetismo en mecánica clásica)]. Supongamos que las
partı́culas (electrones y núcleos) que constituyen un material contenido en un volumen V fijo obedecen
las leyes de la mecánica clásica. Muestre que la aplicación de un campo magnético arbitrario no tiene
ninguna consecuencia observable sobre el sistema en equilibrio termodinámico. Ayuda(s): Pensar cómo
entra el potencial correspondiente al campo magnético (a diferencia del eléctrico) en el Hamiltoniano
de un sistema clásico; y, ¿entre qué lı́mites se realizan las integrales de la función de partición canónica
clásica? La consecuencia directa de este teorema es que la existencia de momentos magnéticos y con
ello el paramagnetismo, e incluso el diamagnetismo, son fenémenos puramente cuánticos.
6 Un anáalogo clásico de la segunda cuantificación. El ensamble canónico, desacoplando las energı́as
individuales de entidades no interactuantes, permitı́a resolver ciertos problemas con mucha mayor
facilidad que el ensamble microcanónico (Pregunta: si un sistema es no interactuante, la energı́a
total es suma de las energı́as de cada entidad; ¿en qué sentido decimos que las energı́as individuales
están acopladas en el ensamble microcanónico?). La potencia del ensamble Gran Canónico reside en
extender aún más este potencial, al levantar la restricción que mantenı́a fijo el número de partı́culas.
Para mostrar esta capacidad resolveremos nuevamente el problema 4 de la práctica 3, ahora desde otro
punto de vista. En la versión anterior, las protagonistas del sistema eran las moléculas del sistema.
Ahora pondremos el acento en en el estado de ocupación de los N0 sitios que pueden alojarlas. Es
importante notar que este número es fijo, y que los sitios son distinguibles; siempre tendrá sentido
(más allá de la naturaleza de las partı́culas que se vayan a depositar sobre ellos) ponerles un nombre
especı́fico. Describiremos al estado de ocupación de cada sitio mediante N0 variables n1 , n2 , ..., nN0 ;
las mismas pueden tomar valores ni = 0, 1 de acuerdo a si el sitio esta desocupado u ocupado.
(a) Escriba la energı́a del sistema en función de los ni , y luego la función de partición gran canónica
del sistema como suma sobre todas las configuraciones n1 , n2 , ..., nN0 posibles. b) Muestre que
- en un cálculo análogo al hecho al resolver el sistema de dos niveles en el ensamble canónico Q(T, N ) puede escribirse como Q(T, 1)N0 , donde Q(T, 1) es la función de partición de un sitio de
la red. Encuentre Q(T, N ) y compare con el resultado del problema 4 de la práctica 3.
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