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Unidad 1: Ejercicios de Modelos de Simulación
1. La comisión de loterı́a de Nueva York está considerando una modificación del juego del ejemplo 1
en la que cada tarjeta de juego tiene 3 renglones con 6 casillas cada una. En cada fila, una de esas
6 casillas cubre un dibujo de una piña, 3 casillas cubren cerezas y dos casillas cubren limones. El
jugador raspa una casilla en cada fila, pero solo hasta que ocurre una de las siguientes condiciones:
(a) aparece un limón, en cuyo caso el jugador pierde, (b) aparecen dos cerezas, en cuyo caso el
jugador gana $1 o (c) aparecen dos piñas en cuyo caso el jugador gana $5. Aplique la teorı́a de
probabilidades para determinar la ganancia esperada de la tarjeta de loterı́a y construya una hoja
de cálculo para obtener la ganancia promedio en el raspado simulado de 1000 tarjetas.
2. La gerencia de Hexxon Oil Company ha identificado 10 sitios para perforar pozos petroleros en el
área norte de Alaska. Los geólogos estiman un 20 % de probabilidad de que durante su vida activa
uno de estos pozos produzca entre 0 y 1 millón de barriles de petróleo, 50 % de que produzca
entre 1 y 2 millones de barriles y 30 % de que genere entre 2 y 3 millones de barriles. La gerencia
asume que la producción real dentro de cada intervalo es igualmente probable. Suponga que la
perforación y operación de un pozo cuesta $1.4 millones durante su vida activa y que el precio
promedio de venta de cada barril es $20. Use la teorı́a de probabilidades para calcular la ganancia
esperada de cada pozo y la ganancia total de los 10 pozos. (ayuda: el número esperado de barriles
de un pozo se calcula sumando los resultados de multiplicar el número promedio de barriles en
cada uno de los tres intervalos por las probabilidades respectivas). Además construya una hoja de
cálculo para calcular la ganancia promedio de los 10 pozos mediante 100 simulaciones.
3. Jerry Tate es responsable del mantenimiento de una flotilla de vehı́culos que utiliza la compañı́a
eléctrica para la construcción y reparación de lı́neas de transmisión eléctrica. Jerry está especialmente preocupado por las proyecciones del costo que significa remplazar una grúa grande en estos
vehı́culos. Le gustarı́a simular el número de fallas de la grúa en cada año, durante los 20 años
siguientes. Jerry ha buscado los datos de los últimos 10 años y ha compilado la siguiente tabla:
No. fallas
0
1
2
3
4
No. Años
4
3
1
1
1
Lleve a cabo una simulación de un perı́odo de 20 años y diga en base a ella que tan común es que
el número total de fallas exceda de tres durante tres años consecutivos.
4. Considere el siguiente modelo de lealtad a la marca. En este modelo las probabilidades se utilizan
para describir el comportamiento de un cliente que compra cerveza. En el modelo están incorporadas tres cervezas A, B y C. El comportamiento del cliente está resumido en la tabla. De la primera
fila se ve que un cliente que compra la cerveza A en la semana 1 comprará la misma cerveza en la
semana 2 con una probabilidad de 0.90, la cerveza B con probabilidad de 0.06 y la cerveza C con
probabilidad de 0.04. Se hace una interpretación similar para las demás filas. Considere ahora un
cliente que compra la cerveza A en la semana 1, simule el comportamiento de compra del cliente
para las siguientes 50 semanas.
Probabilidad de compra en la semana i+1
Cerveza de la semana i
A
B
C
A
0.90 0.06
0.04
B
0.12 0.78
0.10
C
0.09 0.07
0.84
5. La demanda semanal de leche de las últimas 50 semanas en la tienda All-Ways-Open aparece en
la siguiente tabla. Asuma que la tienda ordena 42 cajas todas las semanas y simule 100 semanas
de demanda para aproximar el faltante y excedente promedio.
No. Cajas No. Semanas
40
4
41
10
42
12
43
9
44
8
45
7
Total
50
6. Considere la forma más simple del juego de dados. En este juego, se tira un par de dados. Si en el
primer lanzamiento se obtiene un 7 o un 11 se gana de inmediato. Si el resultado del lanzamiento es
2, 3 o 12, se pierde de inmediato. Cualquier otro total da una segunda oportunidad. En esta parte
del juego se sigue lanzando los dados hasta que se obtiene un 7 o el total obtenido en el primer
lanzamiento. Se pierde si sale un 7. Si se obtiene el mismo total que en el primer lanzamiento, se
gana. Asumiendo que los dados no están cargados, elabore un programa para simular 100 veces
el juego y determinar el porcentaje del tiempo que se gana.
7. La panaderı́a de Pierre hornea y vende pan francés. Cada mañana la panaderı́a satisface la demanda del dı́a con pan recién horneado. Pierre puede hornear el pan sólo en lotes de una docena
de hogazas cada uno. El costo por hogaza es de 25 centavos. Para simplificar, se supone que la
demanda diaria total de pan también ocurre en múltiplos de 12. En los registros se observa que
esta demanda varı́a entre 36 y 96 hogazas por dı́a. Una hogaza se vende en 40 centavos, y cualquier
hogaza de pan sobrante al final del dı́a se vende a una cocina de caridad a un precio de salvamento
de 10 centavos. Si la demanda excede la oferta, se supone que hay un costo ganancia-pérdida de
15 centavos por hogaza. En los registros de la panaderı́a se observa que la demanda diaria puede
clasificarse en tres tipos: alta, promedio y baja. Estas demandas ocurren con probabilidad 0.30,
0.45 y 0.25 respectivamente. La distribución de la demanda por categorı́as se da en la tabla. A
Pierre le gustarı́a simular 100 dı́as de operación de la panaderı́a para determinar el número óptimo
de hogazas por hornear diario que maximiza la ganancia.
Demanda Alta
36
0.05
48
0.10
60
0.25
72
0.30
84
0.20
96
0.10
Probabilidad
Promedio Baja
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.25
0.15
0.10
0.05
0.05
0.05
8. Para los siguientes generadores congruenciales determinar mediante una hoja de cálculo excel,
los primeros 3000 números generados y el perı́odo del generador. En los casos donde éste tome
su valor máximo, justificar el resultado usando las propiedades del perı́odo de los generadores
congruenciales.
a) xn+1 = 11xn + 16 mód 100 y x0 = 15
b) xn+1 = 50xn + 17 mód 64 y x0 = 13
c) xn+1 = 5xn + 24 mód 32 y x0 = 7
d) xn+1 = 5xn + 21 mód 16 y x0 = 3
e) xn+1 = 9xn + 13 mód 32 y x0 = 8
f) xn+1 = 203xn mód 100000 y x0 = 17
g) xn+1 = 221xn mód 1000 y x0 = 3
h) xn+1 = 5xn mód 64 y x0 = 7
i) xn+1 = 11xn mód 128 y x0 = 9
9. Generar por el método de la transformada inversa, números aleatorios que sigan la distribución
de probabildad dada
a)
b)
c) f (x) = (2λ)2 xe−2λx , x ≥ 0
(x − 3)2
d) f (x) =
,0≤x≤6
18
10. Generar por el método de aceptación rechazo números aleatorios que sigan la distribución de
probabilidad dada
a)
b)
c)
d)
11. Usando transformación inversa y aceptación-rechazo determine un generador de proceso correspondiente a la variable aleatoria continua con la función de densidad de probabilidad
 1
0≤x≤1
 2,
3
x
− , 1≤x≤3
a) f (x) =
 4 4
0,
en caso contrario

 x − 1, 1 ≤ x ≤ 2
3 − x, 2 ≤ x ≤ 3
b) f (x) =

0,
en caso contrario
12. Un administrador de taller quiere elaborar un modelo de simulación para ayudar a programar
las tareas en el taller. Él ha evaluado los tiempos para completar las diferentes tareas. Para una
tarea particular, los tiempos de terminación siguen la distribución triangular siguiente. Elabore
un generador
 x de1 proceso para esta distribución por medio del método de transformación inversa.
2≤x≤4
 8 − 4,
10
x
− , 4 ≤ x ≤ 10
f (x) =
 24 24
0,
en caso contrario
13. Un operador de máquina procesa dos tipos de tarea, A y B, durante el dı́a. Las tareas tipo A
tienen tiempos de terminación que se pueden representar mediante una distribución Erlang con
parámetro de proporcionalidad 5 y parámetro de forma 2. Los tiempos de terminación de las
tareas tipo B se representan mediante la distribución siguiente.
 x−1 Elabore generadores de proceso
 12 , 2 ≤ x ≤ 4
9−x
, 4≤x≤9
para los tiempos de las tareas tipo A y tipo B. f (x) =
 20
0,
en caso contrario
14. Aplique el método de la transformación inversa para generar tres observaciones de una distribución
uniforme entre -10 y 40 con los números aleatorios uniformes en (0,1), 0.0965, 0.5692, 0.6658.
15. Genere una observación aleatoria correspondiente a la siguiente función de probabilidad
a) geométrica con parámetro p = 13 , la cual toma valores enteros positivos y tiene función de
x−1
, para x ≥ 1.
probabilidad dada por p(x) = 13 32
b) poisson con parámetro λ = 5, la cual toma valores enteros no negativos y tiene función de
x
probabilidad p(x) = e−5 5x! , para x ≥ 0.
16. Aplique el método de la transformada inversa para generar 10 números aleatorios con función de
2
distribución acumulada F (x) = x 2+x , para 0 ≤ x ≤ 1
17. Construya una tabla excel para generar 100 valores aleatorios con las caracterı́sticas
a) Triangular con a = 2, b = 5, c = 10 mediante aceptación rechazo
b) Exponencial con λ = 4 mediante transformación inversa
c) Uniforme con a = 3, b = 8 mediante aceptación rechazo
d) Normal con µ = 5, σ 2 = 2. 41423
e) Erlang con n = 5, λ = 3.
f) Binomial con n = 5, θ = 0. 75362
18. Efectuar todas las pruebas de aleatoriedad y uniformidad estudiadas para los siguientes números
pseudoaleatorios
0.10480 0.15011 0.01536 0.02011 0.81647 0.91646 0.69179 0.14194 0.62590 0.36207
a) 0.20969 0.99570 0.91291 0.90700 0.22368 0.46573 0.25595 0.85393 0.30995 0.89198
0.37982 0.53402 0.93965 0.34095 0.52666 0.19174 0.39615 0.99505 0.24130 0.48360
0.22527 0.97265 0.76393 0.64809 0.15179 0.24830 0.49340 0.32081 0.30680 0.19655
b) 0.63348 0.58629 0.42167 0.93093 0.06243 0.61680 0.07856 0.16376 0.39440 0.53537
0.71341 0.57004 0.00849 0.74917 0.97758 0.16379 0.37570 0.39975 0.81837 0.16656
0.06121 0.91782 0.60468 0.81305 0.49684 0.60672 0.14110 0.06927 0.01263 0.54613
c) 0.77921 0.06907 0.11008 0.42751 0.27756 0.53498 0.18602 0.70659 0.90665 0.15053
0.21916 0.81825 0.44394 0.42880 0.99562 0.72905 0.56420 0.69994 0.98872 0.31016
0.71194 0.18738 0.44013 0.48840 0.63213 0.21069 0.10634 0.12952 0.96301 0.91977
d) 0.07119 0.97336 0.05463 0.07972 0.18876 0.20922 0.94595 0.56869 0.69014 0.60045
0.18425 0.84903 0.42508 0.32307 0.89579 0.14342 0.63661 0.10228 0.17453 0.18103