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Clase de Cálculo / 08 - 2015
Salomón Alarcón Araneda
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a, Valparaı́so, Chile
Función Compuesta
Sea F = {f : D → R : f es una función para algún D ⊆ R}.
Definición
Sean f , g ∈ F tales que Rec(g ) ⊆ Dom(f ). Se define
f ◦ g : Dom(g )
x
→
→
R
(f ◦ g )(x) = f g (x)
denominada función compuesta de g y f o bien función composición de g y
f.
Observación
Dom(g ) ⊆ R
x
g
−→
−→
Rec(g ) ⊆ Dom(f )
g (x)
f
−→
−→
Rec(f ) ⊆ R
f g (x) .
En ciertas ocasiones se debe restringir el dominio de g para que el nuevo
recorrido de g esté contenido en el dominio de f , y ası́ la función
compuesta esté bien definida.
Ejemplo
Considere las funciones:
f (x) = x 2 ,
g (x) = x + 3.
Determine f ◦ g .
Solución. Notar que
Rec(g ) = R ⊆ R = Dom(f ).
Luego, podemos definir
f ◦ g : R = Dom(g )
x
→
→
R
(f ◦ g )(x) = f g (x)
2
= g (x)
= (x + 3)2 .
Ejemplo
Considere las funciones:
f (x) = x 2 ,
h(x) =
√
x − 1; x ≥ 1.
Determine f ◦ h.
Solución. Notar que
Rec(h) = R+
0 ⊆ R = Dom(f ).
Luego, podemos definir
f ◦ h : [1, +∞[= Dom(h)
x
→
→
R
(f ◦ h)(x) = f h(x)
2
= h(x)
√
2
= x −1
= x − 1.
Ejemplo
Considere las funciones:
f (x) = x 2 ,
k(x) = 3.
Determine f ◦ k.
Solución. Notar que
Rec(k) = {3} ⊆ R = Dom(f ).
Luego, podemos definir
f ◦ k : R = Dom(k)
x
→
→
R
(f ◦ k)(x) = f k(x)
2
= k(x)
= 32
= 9.
Ejemplo
Considere las funciones:
f (x) = x 2 ,
g (x) = x + 3.
Determine g ◦ f .
Solución. Notar que
Rec(f ) = R+
0 ⊆ R = Dom(g ).
Luego, podemos definir
g ◦ f : R = Dom(f )
x
→
→
R
(g ◦ f )(x) = g f (x)
= f (x) + 3
= x 2 + 3.
Ejemplo
Considere las funciones:
f (x) = x 2 ,
h(x) =
√
x − 1; x ≥ 1.
Determine h ◦ f .
Solución. Notar que
Rec(f ) = R+
0 * [1, +∞[= Dom(h).
Ası́ que h ◦ f no se puede definir, salvo que hagamos restricciones en el dominio
de f . La mejor restricción para el dominio será el conjunto de valores de x para
los cuales f (x) ≥ 1. Notar que:
f (x) = x 2 ≥ 1
⇔
x ∈ R\ ]− 1, 1[
Luego, si consideramos la restricción de f dada por f : R\ ]− 1, 1[→ R, es fácil
ver que Rec(f ) = [1, +∞[= Dom(h). Entonces sobre esta restricción de f
definimos la compuesta:
h ◦ f : R\]− 1, 1[
x
→
→
R
√
p
(h ◦ f )(x) = h f (x) = f (x) − 1 = x 2 − 1.
Observación
Notar que en general
f ◦ g (x) 6= g ◦ f (x).
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Definición
El codominio de una función corresponde a un conjunto que contiene al recorrido de
la función, y que está dado en la definición de la función. Si f es la función, el
codominio de f se denota por Cod(f ). Tratándose de una función real, y a menos que
se señale otra cosa, el codominio es R.
Definición
Sea f : D ⊆ R → R una función. Diremos que f es inyectiva (o uno a uno) si
(∀x1 , x2 ∈ D) (x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )) .
(1)
Observación
1
Una formulación equivalente a la propiedad (1) es:
(∀x1 , x2 ∈ D) (f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ) .
2
En diagramas sagitales, se observa que una función inyectiva desde cada
elemento del dominio “sale” una única flecha que se dirige a un único elemento
del codominio, el cual no es imagen de ningún otro elemento del dominio.
Diagrama sagital que representa un ejemplo de función inyectiva
La gráfica de la izquierda representa a una función inyectiva, mientras que la de
la derecha no. De acuerdo a la definición de una función inyectiva, la gráfica de
una función inyectiva debe intersecar a lo más en un punto a una recta paralela
al eje x.
Ejemplo
Pruebe que la función
f :R
x
→
→
R
f (x) = x 3 + 2x + 1
es inyectiva.
Solución. Sean x1 , x2 ∈ R.
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x13 + 2x1 + 1 = x23 + 2x2 + 1
⇒ (x13 − x23 ) + 2(x1 − x2 ) = 0
⇒ (x1 − x2 )[x12 + x1 x2 + x22 + 2] = 0
⇒ x1 = x2 ∨ x12 + x1 x2 + (x22 + 2) = 0
p
−x2 ± x22 − 4(x22 + 2)
⇒ x1 = x2 ∨ x1 =
6∈ R
2
⇒ x1 = x2 . Ejemplo
Pruebe que la función
→
→
f :R
x
no es inyectiva.
Solución.
∃ 2, −2 ∈ R tal que 2 6= −2
∧
R
f (x) = x 2 − 4
f (2) = 22 − 4 = 0 = (−2)2 − 4 = f (−2).
Teorema
Sean f , g dos funciones tales que se puede definir la compuesta f ◦ g .
i) Si f , g son inyectivas, entonces f ◦ g es inyectiva.
ii) Si f ◦ g es inyectiva, entonces g es inyectiva.
Definición
Sea f : D ⊆ R → B ⊆ R una función. Diremos que f es sobreyectiva (o
epiyectiva) si
Cod(f ) = Rec(f ).
Observación
1
Una formulación equivalente a la propiedad (2) es:
(∀y ∈ Cod(f ))(∃x ∈ Dom(f ) = D tal que f (x) = y ).
2
En diagramas sagitales, las funciones sobreyectivas se identifican de la
siguiente forma: a cada elemento del codominio “llega” al menos una
flecha proveniente desde algún elemento en el dominio.
(2)
Diagrama sagital que representa a una función sobreyectiva: Cod(f ) = Rec(f ).
Ejemplo
Pruebe que la función
f :R
x
es sobreyectiva.
Solución.
y ∈ R+
0 = Cod(f )
⇒
⇒
⇒
→
→
R+
0
f (x) = x 2
√
x =± y ∈R
∃ x ∈ R tal que x 2 = y ∈ R+
0
∃ x ∈ R = Dom(f ) tal que f (x) = y .
Ejemplo
Pruebe que la función
f :R
x
→
→
R
f (x) = |x|
no es sobreyectiva.
Solución. ∃ − 1 ∈ R = Cod(f ) tal que ∀x ∈ Dom(f ) = R, |x| 6= −1, pues
|x| ≥ 0, ∀x ∈ R,
que equivale a decir: (∀x ∈ Dom(f ) = R)(f (x) 6= −1).
Teorema
Sean f , g dos funciones tales que se puede definir la compuesta f ◦ g .
i) Si f , g son sobreyectivas, entonces f ◦ g es sobreyectiva.
ii) Si f ◦ g es sobreyectiva, entonces f es sobreyectiva.
Definición
Sea f : D ⊂ R → B ⊂ R una función. Diremos que f es biyectiva (o
biunı́voca) si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
Preguntas
1
¿Cuál debe ser el recorrido de una función real biyectiva?
2
¿Cómo se ve el diagrama sagital de una función biyectiva?
Ejemplo
Pruebe que la función
f :R
x
es biyectiva.
Solución. Hacer en clases.
→
→
R
f (x) = ax + b, a 6= 0,
Ejemplo
Considera la función:
f :R
x
→
→
R
f (x) = x 2 .
¿Es biyectiva? Si no lo es, restringe el dominio y/o el codominio para que la
función restringida sea biyectiva.
Solución. Hacer en clases.
Imagen Inversa y Función Inversa
Definición
Sea f : D ⊆ R → R una función y sea b ∈ Rec(f ). Llamamos imagen inversa
de b al conjunto de valores
f −1 {b} = {a ∈ Dom(f ) = D : f (a) = b}.
Si A ⊆ Rec(f ), entonces llamamos imagen inversa de A al conjunto
f −1 (A) = {a ∈ Dom(f ) = D : f (a) ∈ A}.
Ejemplo
√
Sea f (x) = x − 1. Define el conjunto de todas las imágenes inversas de f
mediante una fórmula para
una imagen arbitraria.
Solución. f −1 Rec(f )
= Dom(f )
√
= {x ∈ R : ∃!y ∈ R : y = x − 1}
y
√
f −1 {y }
= {x ∈ R : y = x − 1 ∈ R+
0}
= {x ∈ R : x = y 2 + 1 ∧ y ≥ 0}. Ejemplo
Sea f (x) = x 2 . Encuentra el conjunto de las imágenes inversas de 0, −1, 5, 2.
Solución.
f −1 {0} = {1}
pues 02 + 1 =
√1
√
−1
f
{−1}
=
∅
pues
−
1
=
6
x − 1 ya que ∀ x ≥ 1, x − 1 ≥ 0
−1
2
f
{5} = {26} pues 5 + 1 = 26
f −1 {2} = {5}
pues 22 + 1 = 5. Definición
Sea f : D ⊆ R → R una función inyectiva. Llamamos función inversa de f a
la función
f −1 : Rec(f ) ⊆ R → R
x → f −1 (x) = y ,
donde
f −1 (y ) = x ⇔ f (x) = y .
Observación
1
.
f
Notar que si f es biyectiva, entonces la función inversa f −1 también es
biyectiva.
No se debe confundir f −1 , la función inversa, con
Ejemplo
Considere la función
f :R
x
→
→
R
√
f (x) = 3 x.
Determine, si es posible, la función inversa de f .
Solución. Se puede chequear directamente que f es una función biyectiva.
Luego, ∃ f −1 y calculamos f −1 de la siguiente forma:
√
y = f (x) ⇔ y = 3 x
3
⇔ y =x
√
⇔ f −1 (y ) = x = 3 y
Entonces:
f −1 : R
y
→
→
R
√
f −1 (y ) = 3 y .
Fin de la octava clase