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U NIVERSIDAD DE LOS A NDES
D EPARTAMENTO DE M ATEM ÁTICAS
MATE1203 Cáculo Diferencial
Taller- Razones de cambio - Gráficas y Optimización. — (26/03/2015)
Prof: J. López
1. En una cisterna cónica fluye agua a razón de 8 pies cúbicos por minuto. Si la altura de la cisterna es de 12 pies y el radio de su base circular es de 6 pies, ¿con qué rapidez sube el nivel del
agua cuando ésta tiene 4 pies de profundidad?
6
r
12
h
Figura 1
Respuesta:
2
π
2. Un aeroplano vuela hacia el norte a 640 millas por hora y pasa sobre cierto pueblo al mediodı́a;
un segundo aeroplano que va hacia el este a 600 millas por hora está directamente encima del
mismo pueblo 15 minutos más tarde. Si los aeroplanos vuelan a la misma altitud,¿con qué rapidez se separan a la 1:15 pm.?
y
s
160
x
Figura 2
Respuesta: 872 millas por hora.
3. Una mujer, de pie en un acantilado, observa un bote de motor con un telescopio, cuando el
bote se aproxima a la playa que está directamente abajo de ella. Si el telescopio está 250 pies
arriba del nivel del agua y si el bote se acerca a 20 pies por segundo, ¿con qué rapidez cambia
el ángulo del telescopio con respecto al bote cuando éste se encuentra a 250 pies de la playa?
Telescopio
•
θ
250
•
x
Bote
Figura 3
Respuesta: −0,04 radianes por segundo.
4. La luz de un faro que está retirado 1 kilómetro de una playa rectilinea gira a 2 revoluciones por
minuto. ¿Con qué rapidez se mueve el rayo a lo largo de la playa cuando pasa por un punto
que está a 1/2 kilómetro con respecto a un punto enfrente del faro?
Faro•
3
θ
2
1
1
0
Playa
-1
-2
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Figura 4
Respuesta: 5π kilometros por minuto.
5. Para las funciónes siguientes encuentre:
a) Dominio
b) Asintotas
c) Máximo locales, mı́nimos locales, puntos de inflexión
d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
e) Intervalos de concavidad
f ) Gráfica.
f ( x ) = x2 e− x
g( x ) = x1/3 ( x + 3)2/3
h( x ) =
x
ln x
6. Obtener las dimensiones del triángulo isósceles de área máxima que puede ser inscrito en una
circunferencia de radio 12 cm.
2
h
12
x
Figura 1
7. Se pretende fabricar una lata de conserva cilı́ndrica con tapa de un litro de capacidad. ¿Cuáles
deben ser sus dimensiones para que se utilice la menor cantidad de metal posible?
3
2
r
1
0
h
-1
-2
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Figura 2
8. Un sector circular tiene un perı́metro de 10 cm. Calcular el radio y la amplitud del sector de
mayor área.
r
θ
Figura 3
9. Un rectángulo esta acotado por los ejes coordenados y por la gráfica de
6−x
¿Qué longitud debe tener el rectángulo para que su área sea máxima?
y=
2
ւ
y=
6− x
2
x
y
Figura 4
10. ¿Qué puntos de la gráfica y = 4 − x2 estan más cerca del punto (0, 2)?
3
•
( x, y)
•
y = 4 − x2
ւ
(0,2)
Figura 5
11. Dos postes de 12 y 28 mts de altura, distan 30 m. entre si. Hay que conectarlos mediante un cable
que este atado en algún punto del suelo entre los dos postes.¿En qué punto ha de amarrarse al
suelo con el fin de utilizar la menor longitud posible de cable?
28
12
30
Figura 6
12. Una página rectangular ha de contener 24 cm. cuadrados de texto, con margenes superior e
inferior de 1.5 cm y laterales de 1 cm.¿Qué dimensiones de la página requieren la mı́nima cantidad de papel?
y
x
Figura 7
13. Encontrar de todas las rectas que pasan por el punto (1,2) aquella que forma con las partes
positivas de los ejes de coordenadas un triángulo de área mı́nima.
4
• (1, 2)
b
a
Figura 8
14. Inscribir en una esfera de radio 1 m. un cilindro circular recto que tenga:
a) Volumen máximo.
b) Area lateral máxima.
En ambos casos determinar sus dimensiones, radio de la base y altura.
r
h
Figura 9
15. El alcance R de un proyectil lanzado con velocidad inicial v0 y con un ángulo θ respecto de
v2 sen 2θ
la horizontal es 0
, donde g es la aceleración de la gravedad. Calcular el ángulo θ que
g
produce el màximo alcance horizontal.
ւ
y=
v20 sen 2θ
g
θ
R
Figura 10
16. Hallar b, c y d en la función f ( x ) = x3 + bx2 + cx + d para que tenga un punto de inflexión en
x = 3, pase por el punto p(1, 0) y alcance un máximo local en x = 1. Grafique dicha función.
5
17. Dos pasillos de 9 y 6 pies de ancho están unidos en ángulo recto. Encuentre la longitud de la
barra más larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo a otro por la esquina.
18. Una compañia de teléfonos calcula que obtiene una ganancia de 15 pesos por aparato colocado,
si la central tiene 1000 abonados o menos, pero que la ganancia disminuye si el número de
abonados es superior a 1000 (aumentará el personal para atender) un centavo por cada abonado
que sobrepase ese número. ¿Cuántos abonados darán la máxima ganancia?
19. Un terreno tiene la forma de un rectángulo con dos semicı́rculos en los extremos. Si el perı́metro
del terreno es de 50 mts, encontar las dimensiones del terreno para que tenga el área máxima.
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