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Clase de Cálculo / 29 - 2015
Salomón Alarcón Araneda
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a, Valparaı́so, Chile
Aplicaciones de máximos y mı́nimos en intervalos reales
Los extremos del intervalo en que se resuelven algunos problemas no son
necesariamente cerrados. Se pueden seguir los siguientes pasos:
1◦ ) Si es posible, trazar un dibujo relacionado con el problema, identificando
los datos e incógnitas, usando propiedades geométricas y/o relaciones
conocidas para escribir algunas incógnitas en términos de otra.
2◦ ) Determinar la función a maximizar o minimizar en términos de una única
incógnita, estableciendo un dominio factible.
3◦ ) Encuentrar los puntos crı́ticos de la función.
4◦ ) Analizar los valores extremos de la función usando el criterio de la primera
o de la segunda derivada.
5◦ ) Responder la pregunta planteada en el problema.
Ejemplo
Los márgenes superior e inferior de una página son ambas de 1, 5 cm, y los
márgenes laterales son de 1 cm cada uno. Si el área del material impreso por
página es fijo e igual a 30 cm2 , ¿cuáles son las dimensiones de la página de área
total mı́nima?
Solución.
(1◦ ) Trazamos un dibujo que represente el enunciado y definimos el(los)
valor(es) incógnito(s) del problema.
Figura : Una hoja con margen superior e inferior de 1, 5cm y márgenes
laterales de 1cm cada uno.
continuación del ejemplo
(2◦ ) Determinamos una función en términos de una única incógnita. Notar
que, de acuerdo a nuestra figura, el área total de la hoja es:
A = (y + 3)(x + 2).
Por otro lado, el área total impresa está dada por
xy = 30 ⇒ y =
30
.
x
Luego, en términos de x, obtenemos la función
60
30
+ 3 (x + 2) = 36 +
+ 3x,
A(x) =
x
x
x ∈]0,
(3◦ ) Calculamos los puntos crı́ticos de A. Tenemos que:
√
√
x 2 − 20
60
= 0 ⇔ x = 20 = 2 5
A0 (x) = − 2 +3 = 3
2
x
x
∨
√
20[.
√
x = −2 5.
continuación del ejemplo
(4◦ ) Descartamos
el valor negativo de x y sólo nos queda el valor positivo
√
x = 2 5. Obtenemos ahora el valor de y :
√
30
15
15 √
y = √ +3= √ +3=
5 + 3 = 3 5 + 3.
5
2 5
5
Además, notar que
√
√
A0 (x) < 0 si x < 2 5 ∧ A0 (x) > 0 si x > 2 5.
√
De esta forma, en x = 2 5 f alcanza un valor mı́nimo relativo, que en
verdad es absoluto de acuerdo al comportamiento de f antes y después de
este punto.
(5◦ ) Por
tanto,
deben ser: ancho igual a
lo √
las dimensiones de
la página
√ 2 + 2 5 cm y largo igual a 3 + 3 5 cm.
Ejemplo
Halla las dimensiones del cilindro de mayor área lateral que se puede inscribir
en una esfera de radio 10 cm.
Solución.
(1◦ ) Trazamos un dibujo que represente el enunciado y definimos el(los)
valor(es) incógnito(s) del problema.
Figura : Un cilindro inscrito en una esfera de radio 20 cm.
continuación del ejemplo
(2◦ ) Determinamos una función en términos de una única incógnita. De
acuerdo al dibujo y la información del problema tenemos por pitágoras:
p
p
h2 + (2r )2 = 202 ⇒ h = 400 − 4r 2 = 2 100 − r 2 .
Luego,
A = 2πrh ⇒ A(r ) = 4πr
p
100 − r 2 .
(3◦ ) Calculamos los puntos crı́ticos de A. Tenemos que:
A0 (r ) = 0 ⇔
√
4π(100 − 2r 2 )
√
= 0 ⇔ r = 5 2.
100 − r 2
(4◦ ) Analizamos
los valores extremos de la función A. Como 0 < r < 10 y
√
r = 5 2 ∈ ]0, 10[ es el único valor crı́tico, este debe ser el valor de r que
maximiza el área del cilindro, lo que se comprueba fácilmente con el
criterio de la primera derivada, pues
√
√
A0 (r ) > 0 si r < 5 2 ∧ A0 (r ) < 0 si r > 5 2.
√
√
(5◦ ) ∴ Las dimensiones del cilindro pedido son r = 5 2 cm y h = 10 2 cm.
Ejemplo
Se desea envasar duraznos en un tarro con forma de cilindro circular recto cuyo
volumen sea de 16π pulgadas cúbicas. Determina la altura y el radio basal para
que la cantidad de lata utilizada para hacer el tarro sea mı́nima. .
Solución.
(1◦ ) Trazamos un dibujo que represente el enunciado y definimos el(los)
valor(es) incógnito(s) del problema.
Figura : Un cilindro circular recto de radio r y altura h.
(2◦ ) Determinamos una función en términos de una única incógnita. Sea h la
altura del cilindro y sea r su radio, tal como se señala en la figura; y sea
V el volumen del cilindro. Entonces tenemos:
16
V = 16π ⇒ πr 2 h = 16π ⇒ h = 2 .
continuación del ejemplo
Además, tenemos:
16 A = 2πr 2 + 2πrh ⇒ A(r ) = 2π r 2 +
.
r
(3◦ ) Calculamos los puntos crı́ticos de A. Tenemos que:
16 A0 (r ) = 2π 2r − 2 .
r
Luego,
A0 (r ) = 0 ⇔ 2π
2r 3 − 16 = 0 ⇔ r 3 = 8 ⇔ r = 2.
r2
(4◦ ) Analizamos los valores extremos de la función A. Como
32 A00 (r ) = 2π 2 + 3 ⇒ A00 (2) > 0
r
y
A0 (r ) < 0 si r < 2 ∧ A0 (r ) > 0 si r > 2.
concluı́mos que en r = 2 se alcanza un mı́nimo relativo, que por las
condiciones que tenemos, pasa a ser un mı́nimo absoluto.
(5◦ ) ∴ Las dimensiones pedidas son r = 2 pul y h = 4 pul.
Ejercicios Propuestos
1
2
3
Halla las dimensiones de un tambor cilı́ndrico con una capacidad de
2000 cm3 que tenga la menor superficie posible.
Un bote salvavidas está a 20 km al sur de un barco de carga. El salvavidas
viaja a 20 km
y el cargero a 40 km
en perpendicular al poniente. Si debido
h
h
a la densa niebla el radio máximo de visión es de 10 km, ¿Podrán
visualizarse personas de ambos barcos?
Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede
inscribir en la elipse de ecuación
x2
y2
+
= 1.
a2
b2
4
Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa de longitud 13 cm, y un cateto
mide 5 cm. Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máxima que
tiene un lado en la hipotenusa y los vértices del lado opuesto en los
catetos. ¿Cuál es el resultado si la hipotenusa es H cm y la altura del
triángulo es de h cm?
Ejercicios Propuestos
5
6
7
Halla las dimensiones de un tambor cilı́ndrico con una capacidad de
2000 cm3 que tenga la menor superficie posible.
Un bote salvavidas está a 20 km al sur de un barco de carga. El salvavidas
viaja a 20 km
y el cargero a 40 km
en perpendicular al poniente. Si debido
h
h
a la densa niebla el radio máximo de visión es de 10 km, ¿Podrán
visualizarse personas de ambos barcos?
Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede
inscribir en la elipse de ecuación
x2
y2
+
= 1.
a2
b2
8
Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa de longitud 13 cm, y un cateto
mide 5 cm. Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máxima que
tiene un lado en la hipotenusa y los vértices del lado opuesto en los
catetos. ¿Cuál es el resultado si la hipotenusa es H cm y la altura del
triángulo es de h cm?
Ejercicios Propuestos
9
Una pieza de alambre de longitud L se corta en dos partes. Con una de
ellas se forma un cuadrado y con la otra una circunferencia.
1
2
¿Cómo se debe cortar el alambre para que la suma de las áreas sea
mı́nima?
¿Cómo se debe cortar el alambre para que la suma de las áreas sea
máxima?
10
Una ventana tiene forma de un triángulo rectángulo con su parte superior
en forma de triángulo equilátero. el perı́metro de la ventana es 5 m.
Calcula sus dimensiones para que deje pasar el máximo de luz.
11
El interior de una caja de fondo cuadrado y sin tapa debe revestirse de
plomo. Si el volumen de la caja debe ser de 32 lt, ¿Cuáles deben ser sus
dimensiones para que la cantidad de plomo sea mı́nima?
12
Se desea almacenar aceite en tambores cilı́ndricos de 375 cm3 ,
¿Qué dimensiones del tambor corresponden a la menor cantidad de
material utilizado en su fabricación?
Fin de la vigesimonovena clase