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Cuadriláteros
Sus caracterı́sticas principales son:
- Los ángulos interiores suman 360◦ .
- Los ángulos exteriores suman 360◦ .
- Se clasifican según el par de lados opuestos que son paralelos, en:
• Paralelógramos (2 pares).
• Trapecios (1 par).
• Trapezoides (ningún par).
Paralelógramos
Tienen 2 pares de lados opuestos paralelos. Son paralelógramos:
Cuadrado
· 4 ángulos interiores rectos.
· 4 lados iguales.
· Lados opuestos paralelos.
· Las diagonales son iguales y son perpendiculares.
· Las diagonales se dimidian (dividen en partes
iguales).
· Las diagonales bisectan los ángulos.
· Se puede inscribir una circunferencia.
· Se puede
√ circunscribir una circunferencia.
· d=a 2
· p = 4a
· A = a2
Rectángulo
·
·
·
·
·
·
·
4 ángulos interiores rectos.
Lados opuestos de igual medida.
Lados opuestos paralelos.
Las diagonales son iguales y se dimidian.
Se puede circunscribir una circunferencia.
p = 2a + 2b
A=a·b
Rombo
· 4 lados iguales.
· Lados opuestos paralelos.
· Ángulos opuestos iguales.
· Ángulos contiguos suplementarios.
· Las diagonales son perpendiculares.
· Las diagonales se dimidian y bisectan los ángulos.
· Se puede inscribir una circunferencia.
· p = 4a
e·f
· A = a · h // A =
2
Romboide
·
·
·
·
·
·
·
Lados opuestos de igual medida.
Lados opuestos paralelos.
Ángulos opuestos iguales.
Ángulos contiguos suplementarios.
Las diagonales se dimidian.
p = 2a + 2b
A=a·h
Trapecios
· Tienen 1 par de lados opuestos paralelos llamados basales.
· Se pueden dividir en trapecio escaleno, trapecio isósceles y trapecio rectángulo.
Trapecio escaleno
·
·
·
·
·
·
Lados no paralelos no son congruentes.
AB k CD
α + δ = 180◦
β + γ = 180◦
p=a+b+c+d
A = MN · h
con M N =
a+b
2
Trapecio isósceles
·
·
·
·
·
·
·
·
Lados no paralelos son iguales (AD = BC).
AB k CD
Las diagonales son iguales.
Ángulos contiguos suplementarios.
α=β
γ=δ
p = a + b + 2c
A = MN · h
con M N =
a+b
2
Trapecio rectángulo
· Uno de sus aldos no paralelos es perpendicular
a las bases.
· AB ⊥ AD
· DA ⊥ DC
· AB k CD
· c = h = altura
· Ángulos en A y D son rectos.
· β + γ = 180◦
· p=a+b+c+d
· A = MN · h
con M N =
a+b
2
Mediana de un trapecio
· Segmento que une los puntos medios de los lados
no paralelos.
· Es paralela a las bases.
MN =
AB + DC
2
Trapezoides
· No tienen lados opuestos paralelos.
Otras propiedades de los cuadrilateros
· En todo cuadrilatero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.
α + γ + β + δ = 180◦
· En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las sumas de cada par de lados opuestos
son iguales entre sı́.
a+c=b+d
Ejercicios
1. En la figura, AD = 3, DC = 4 y CB = 1. El área del cuadrilatero ABCD es:
√
a) 6 + 2 6
√
b) 6 + 6
√
c) 12 + 2 6
√
d ) 12 + 6
e) Ninguno de los valores anteriores
2. En la figura, ABCD es un rectángulo y F CGI es un cuadrado. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área de F CGI es 12
II) El área de EBF I es 6
III) El área de AEIH es 3
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d ) Sólo I y III
e) Sólo II y III
3. Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2); C(−2, 0) y D(0, −2). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d ) Sólo II y III
√
I) El perı́metro de la figura es 8 2
II) Cada diagonal mide 4
√
III) El área de la figura es 4 2
e) I, II y III
4. ¿Cuál de las afirmaciones es correcta para todos los paralelogramos?
a) Si sus ángulos son rectos es un cuadrado.
b) Los ángulos consecutivos son complementarios.
c) Las diagonales son bisectrices.
d ) Los ángulos opuestos son congruentes.
e) Los ángulos opuestos son suplementarios.
5. El cuadrado ABCD de lado a se ha dividido en 9 cuadrados congruentes entre sı́, como se
muestra en la figura. El área del cuadrado P QRS es:
a)
4a2
9
b)
5a2
3
c)
3a2
4
d)
5a2
9
e)
8a2
9
6. En el plano de la figura, se muestra el polı́gono ABCD, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
√
I) El perı́metro del polı́gono es 8 2
II) Cada diagonal del polı́gono mide 4
√
III) El área del polı́gono es 4 2
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
7. En la figura, ABCD es un rectángulo que se ha dividido en seis cuadrados congruentes. Si
los arcos corresponden a cuartos de cı́rculo, entonces ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes
es(son) verdadera(s)?
1
BC
2
II) La suma de los perı́metros de las áreas sombreadas es igual al perı́metro de una circun1
ferencia de radio AB
3
III) La suma de los perı́metros de las regiones sombreadas es mayor que el perı́metro de
ABCD
I) La suma de las áreas sombreadas es igual al área de un cı́rculo de radio
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d ) Sólo I y II
e) Sólo I y III
8. Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura, donde P C = 3P B, QD = 2QC y M es el
punto de intersección de DP y AQ, entonces el área del △DM Q es:
a)
k2
9
b)
k2
3
c)
4k 2
9
d)
2k 2
9
e)
k2
6
9. En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la medida del lado BE
en el rectángulo DBEF mide:
√
5
a)
2
1
b) √
5
c)
2√
5
3
2
d) √
5
e) 1
10. En la figura, ABCD es un rectángulo en el cual BC = 8cm. Los triángulos son todos equiláteros y congruentes entre sı́. El perı́metro de la región sombreada es:
a) 42 cm
b) 46 cm
c) 48 cm
d ) 50 cm
e) 56 cm
11. El largo de una piscina rectangular es el doble de su ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus bordes. Si el área cercada es de 40m2 , ¿cuál es el largo
de la piscina de la figura?
a) 3m
b) 6m
c) 12m
√
d ) 80m
√
e) −3+2 165 m
12. En el triángulo ABC de la figura, ADEF es un rombo,AF = F C y α mide 60o , entonces
¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I) F E = F C
II) F E =
AB
2
III) AB = BC
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
13. La figura está formada por 6 cuadrados congruentes de 30cm de lado cada uno. El área de
la región achurada mide:
a) 50cm2
b) 75cm2
c) 100cm2
d ) 112, 5cm2
e) 125cm2
14. ¿Cuánto mide el perı́metro del polı́gono de la figura con p > q?
a) 4p + 3q
b) 4p + 4q
c) 3p + 3q
d ) 3p + 2q
e) No se puede determinar
15. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N son puntos medios de los lados AD
y AB, respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo M AN ?
a)
a2
2
b)
a2
4
a2
8
a
d)
4
a
e)
8
c)
16. ABCD es un rectángulo tal que AB = 5 y BC = 4. Si se ha dividido en cuadrados congruentes como se muestra en la figura, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I) El área de la región sombreada es 13
II) El perı́metro de la región sombreada es igual al perı́metro de ABCD
III) La suma de los perı́metros de las áreas no sombreadas es mayor que el perı́metro del
rectángulo ABCD
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d ) Sólo I y III
e) I, II y III
17. En el cuadrado ABCD de la figura T , M , L y P son puntos medios de los lados respectivos.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) ∆T LP ∼ ∆T M B
II) ∆P M L ∼
= ∆LT M
III) ∆DT A = ∆CBL
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d ) Sólo I y II
e) Sólo I y III
18. ¿Cuál es la conclusión más precisa respecto al perı́metro y al área de un cuadrado cuando su
lado se duplica?
a) El perı́metro se duplica y el área se cuadruplica
b) El perı́metro se cuadruplica y el área se duplica
c) El perı́metro se duplica y el área aumenta en mayor proporción que el perı́metro
d ) El perı́metro se cuadruplica y el área aumenta en menor proporción que el perı́metro
e) El perı́metro aumenta en mayor proporción que el área
19. En la figura AQ = 1 y QC = 2, entonces ¿cuál es el área del rectángulo ABCD?
a) 2
b) 6
√
c) 2 3
√
d) 3 3
√
e) 3 2
20. En la figura ABCD es un cuadrado. El área del triángulo AM N es:
a)
9
8
b) 1
c) 2
√
2 3
d)
3
√
e) 3 − 1
√
21. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 3cm y CQ = 3 3cm. Si P , B y Q son puntos
colineales, entonces el área de la región NO sombreada mide:
√
a) 6 3cm2
√
b) 9 3cm2
√
c) 12 3cm2
d ) 9cm2
e) 18cm2
22. En la figura, el cuadrado se ha dividido en 5 rectángulos congruentes entre sı́, y cada rectángulo tiene un perı́metro de 30cm. ¿Cuál es el perı́metro del cuadrado?
a) 40cm
b) 48cm
c) 60cm
d ) 150cm
e) Ninguno de los valores anteriores
23. Con un cordel de largo d se forma un cuadrado. ¿Cuánto mide el área del cuadrado?
a) d2
b)
d2
2
d2
c)
4
d)
d2
8
e)
d2
16
24. EFGH es un rectángulo. Si ∆AHD ∼
= ∆CF B y ∆DGC ∼
= ∆BEA entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) ∠DCB ∼
= ∠DAB
II) DC ∼
= AB
III) ∠DCG ∼
= ∠ADG
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
25. ¿Cuál es el perı́metro de la figura plana formada por 4 rombos congruentes cuyas diagonales
miden 8cm y 6cm?
a) 60cm
b) 70cm
c) 80cm
d ) 84cm
e) 120cm
26. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha inscrito el trapecio isósceles
EF GH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área de EF GH es 48
II) ∆AEH ∼
= ∆CF G
III) HJ = EF
a) Sólo II
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
27. En el rectángulo ABCD de la figura, EF ||AB, DG = 5cm, EG = 4cm y BG = 10cm. ¿Cuál
es el perı́metro del trapecio ABGE?
a) 28cm
b) 34cm
c) 32cm
d ) 35cm
e) 42cm
28. Para cercar un terreno rectangular se necesitan 100 metros de malla. ¿Cuál es el área del
terreno si el largo mide 30 metros??
a) 600m2
b) 1050m2
c) 1200m2
d ) 2100m2
e) 2400m2
29. Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s) ?
I) Sus perı́metros son iguales.
II) Sus radios son de igual longitud.
III) Sus centros son coincidentes.
a) Sólo III
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
30. Si a un rectángulo se le duplica el ancho y se le reduce a la mitad el largo, se cumple que:
a) El área se cuadruplica
b) El área se mantiene igual
c) El área se duplica
d ) El área es la mitad
e) Ninguna de las anteriores
31. ¿En cuál de estos cuadriláteros, al trazar una diagonal, NO se forman dos triángulos congruentes?
a) Cuadrado
b) Rombo
c) Romboide
d ) Rectángulo
e) Trapecio isóceles
32. La figura está formada por tres rectángulos congruentes. ¿Cuánto mide el área de otra figura
formada por 21 veces la figura original?
a) 2055
b) 294
c) 6174
d ) 2058
e) Ninguna de las anteriores
33. Si en la figura los triángulos ABC y EAD son congruentes, entonces el perı́metro del polı́gono
ABCED es:
a) 32cm
b) 40cm
c) 42cm
d ) 48cm
e) 56cm
34. En la figura ABCD es un rectángulo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)
I) ∆AGD ∼
= ∆BF C
II) El área del ∆EBF es el doble del área del ∆AGD
III) El área del trapecio ABF G corresponde a
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
2
3
del área del rectángulo ABCD