1. Educación

ELECTRODINAMICA CLASICA
Tarea # 8
Entrega: 8 de octubre de 2014
1.- Se tiene una esfera macrosc´opica de materia compuesta por N electrones caracterizada por una funci´on diel´ectrica (ω) = n2 (ω). Incide una onda electromagn´etica cuyo
campo el´ectrico tiene una longitud de onda que es grande comparada con el radio a de
la esfera por lo que es v´alido usar una aproximaci´on cuasiest´atica. En este problema se
igualan dos expresiones para la polarizaci´on P(t) a fin de encontrar (ω).
(a) Resolver el problema de valores a la frontera cuasielectrost´atico para encontrar
P(t) cuando la esfera se expone a un campo el´ectrico externo E0 cos(ωt).
(b) Considerar que la esfera tiene una polarizaci´on P cos(ωt). Cortar una esfera diminuta (de vac´ıo) alrededor de alguno de los electrones y mostrar que P(t) no produce fuerza
sobre el electr´on. Encontrar el momento dipolar del electr´on inducido por el campo
el´ectrico de la parte (a) y una fuerza de tipo resorte (con frecuencia natural ω0 que
mantiene al electr´on en el centro de su esfera de vac´ıo. Sumar los momentos de todos los
electrones e igualar la polarizaci´on resultante a la obtenida en la parte (a) para obtener
la f´ormula de Lorenz-Lorentz,
3
ωp2
n2 (ω) − 1
=
n2 (ω) + 2
ω02 − ω 2
donde ωp2 = 4πn0 e2 /m y 4πa3 n0 /3 = N .
(c) Para un plasma neutro suponer que los N electrones est´an distribuidos en una esfera
de carga positiva uniforme. Las fuerzas sobre cada uno de los electrones vienen de (i) el
campo el´ectrico debido a la esfera cargada positivamente; (ii) la interacci´on (cuasiest´atica)
Coulonbiana con los otros N −1 electrones; y (iii) el campo el´ectrico externo. Mostrar que
la fuerza (ii) se anula en la ecuaci´on de movimiento de Newton para el momento dipolar
3
on de movimiento para
total P = −(e/V ) N
i=1 ri donde V = 4πa /3. Resolver la ecuaci´
P(t) e igualar este resultado al de la parte (a) para obtener la f´ormula de Drude de alta
frecuencia,
ω2
n2 (ω) = 1 − p2
ω
2.- La funci´on diel´ectrica satisface una regla de suma que puede obtenerse de la relaci´on
de Kramers-Kronig en el l´ımite de altas frecuencias, dada por
∞
π
ωIm (ω)dω = ωp2
2
0
Mostrar expl´ıcitamente que la funci´on diel´ectrica del modelo de Lorentz-Drude satisface
esta regla de suma-f para el caso en que la constante de amortiguamiento γ es peque˜
na.
3.- Para las siguientes funciones de respuesta χ(t), obtener la susceptibilidad compleja
χ(ω) y graficar los polos en el plano complejo. Despu´es invertir la transformada de
Fourier para verificar que el resultado es correcto. (a) Medio no dispersivo; responde
instant´aneamente al impulso aplicado
χ(τ ) = χ0 δ(τ ),
mostrar que χ(ω) = χ0
(b) Medio con amortiguamiento; responde al impulso aplicado y despu´es se relaja lentamente a su estado original:
χ0
χ(τ ) = χ0 exp(−ατ )Θ(τ ),
mostrar que χ(ω) =
α − iω
(c) Medio conductor; responde a un impulso aplicado, pero al no haber fuerza restauradora
no se relaja, sino que se queda igual:
mostrar que χ(ω) = χ0 πδ(ω) +
χ(τ ) = χ0 Θ(τ ),
i
ω
(d) Medio resonante; responde al impulso aplicado y despu´es oscila:
χ(τ ) = χ0 Θ(τ )sen (ω0 τ ),
mostrar que
π
π
ω0
χ(ω) = χ0 i δ(ω − ω0 ) − i δ(ω + ω0 ) − 2
2
2
ω − ω02
Hint: En (c) y (d) las integrales se deben definir por un proceso de l´ımite adecuado. Para
evaluar el resultado sin perder la singularidad en ω = 0 recordar que
ε
= πδ(ω).
lim 2
ε→0 ω + ε2
4.- Como se ve en el caso del problema 3(c), es t´ıpico de los conductores que la χ(ω)
tenga un polo simple y una funci´on delta en ω = 0, as´ı que para ω suficientemente peque˜
na
(pero ω = 0), podemos escribir,
χ(ω) ≈
iσ0
+ ···
ω
donde σ0 es la conductividad dc. Esto produce una sigularidad en el eje real, adem´as
de las otras en el plano complejo inferior discutidas en clase. Deducir las relaciones de
Kramers-Kronig para este caso; mostrar que,
Reχ(ω) = πσ0 δ(ω) +
2
P
π
∞
0
ω Imχ(ω )
dω
ω 2 − ω2
∞ Reχ(ω )
σ0 2ω
−
P
dω
ω
π
ω 2 − ω2
0
Hint: para evaluar el residuo en el origen notar que
Imχ(ω) =
lim
ω→0
1
1 ω+ω
= lim
ω→0
ω−ω
ω−ω ω+ω
= lim
ω→0
ω2
ω
iω
+i
2
2
−ω
(iω) + ω 2
y el segundo t´ermino da una funci´on delta.
5.- Considerar un modelo donde Reσ(ω) = σ0 para |ω| < γ y cero en otro caso.
Usar las relaciones de Kramers-Kronig para la conductividad para encontrar Imσ(ω) y
comparar los resultados con los que se obtienen del modelo de Drude. (Las integrales
pueden hacerse usando la definici´on del valor principal de una integral).