1. No category

LA GEOMETRÍA DEL TETRAEDRO
ACTIVIDAD 1: Dibujo de un tetraedro regular.
Introduce en la barra de entrada los puntos A=(-2,-2,-2) y B=(2,-2,-2).
A continuación introduce la orden Tetraedro [A, B, EjeZ]. Observa el tetraedro que se forma.
Mueve los puntos A y B, ¿Qué ocurre con el tetraedro? ¿Puedes mover el punto C o el D?
La dirección, que en el caso anterior hemos fijado al Eje Z, puede venir dada por cualquier
recta o segmento, siempre que sean perpendiculares al segmento AB. También podemos
indicar un plano, cónica o polígono siempre que el segmento AB sea paralelo a ese elemento.
Borra el tetraedro anterior y escribe ahora la orden Tetraedro [A, B]. Compara el tetraedro
obtenido ahora con el anterior. ¿Qué ocurre al mover el punto C?
Selecciona en la ventana algebraica el punto C y pulsa F3. Te aparecerá en la barra de entrada
la definición de C. ¿A quién pertenece?
Selecciona la orden que aparece dentro de C=Punto[orden] y dibújala aparte. Comprueba
ahora que el punto C recorre la circunferencia que has dibujado.
Hay otra forma de conseguir un tetraedro fijo donde el punto C no sea movible. Para ello se
puede utilizar la orden Tetraedro [A, B, C] pero es necesario que los puntos A, B y C formen
los vértices de un triángulo equilátero.
Borra el punto B de la construcción anterior. Escribe, sucesivamente, las siguientes órdenes:
B = Rota[A, 120º, Eje Z]
C = Rota[A, 240º, Eje Z]
Tetraedro [A, B, C]
Investiga los grados de libertad del nuevo tetraedro.
Guarda esta última construcción con el nombre Tetraedro Regular.ggb.
Aunque no lo indiquemos, siempre que vayas a pasar a una nueva actividad debes abrir un
archivo nuevo.
ACTIVIDAD 2: Dibujo de un tetraedro no regular con el vértice fijo.
Dibuja tres puntos cualesquiera, A, B y C, y construye el triángulo formado por ellos.
Construye la pirámide que tiene por base ese polígono y de altura 5. Para ello utiliza la orden:
Pirámide[Polígono[A, B, C], altura].
Comprueba que el vértice superior está fijo y situado en la perpendicular sobre el centro de la
base. Para esto segundo, dibuja el baricentro (punto de corte de las tres bisectrices) de la base,
dibuja posteriormente la recta que pasa por el vértice y es perpendicular a la base y comprueba
que pasa por el baricentro.
Taller: La geometría del tetraedro.
José Muñoz Santonja
Página 1
ACTIVIDAD 3: Dibujo de un tetraedro no regular.
Dibuja tres puntos cualesquiera A, B y C, y un
cuarto punto, D, situado dentro del triángulo que
formarían los tres puntos anteriores. De entrada,
GeoGebra dibujará los cuatro puntos sobre el
mismo plano, por lo tanto tendremos que elevar
el punto central. Para ello pulsa dos veces sobre
el punto D y cuando aparezcan las flechas hacia
arriba y hacia abajo muévelo para separarlo del
plano. Puedes observar lo que hay que hacer en
la imagen 1.
Imagen 1: Mover punto verticalmente
A continuación introduce en la barra de entrada la orden Pirámide[A, B, C, D]. Comprueba
que en el tetraedro que obtienes puedes mover todos los vértices. Guarda esta construcción
con el título Tetraedro.ggb ya que vamos a partir de ella en muchas de las actividades.
En la última versión de Geogebra se puede dibujar directamente seleccionando el icono de la
barra de herramientas. Si pulsamos sobre el icono correspondiente, como se ve en la imagen 2,
basta ir pulsando en los puntos y cerrar el polígono de la base pulsando sobre el primer punto.
A continuación se pulsa en un nuevo punto para seleccionar el vértice superior. Hay que tener
en cuenta que inicialmente el punto está sobre el mismo plano que la base, por ello, sin dejar
de pulsar sobre el punto, hay que hacer clic para que el cursor cambie a flecha arriba y abajo,
como en la imagen 1, y entonces se levanta el vértice superior.
Imagen 2: Pirámide
ACTIVIDAD 4: Esfera circunscrita.
Sabemos que en todo triángulo, las mediatrices de los lados se cortan en un mismo punto
llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita, que pasa por los tres
vértices. En el tetraedro existe un punto que es el centro de la esfera circunscrita que pasa por
los cuatro vértices.
Abre el archivo Tetraedro.ggb y construye los circuncentros de las cuatro caras. La forma más
rápida es seleccionar la orden Circunferencia que pasa por tres puntos, y dibujar la que pasa
por tres vértices de una misma cara. A continuación selecciona la herramienta Punto medio
o Centro y pulsa sobre la circunferencia, obtendrás el circuncentro de dicha cara. Oculta la
circunferencia. Haz lo mismo con las cuatro caras.
A continuación selecciona la herramienta Perpendicular que dibuja una recta perpendicular
a un plano pasando por un punto. Dibuja la perpendicular a cada cara pasando por su
circuncentro. Comprueba que las cuatro rectas dibujadas se cortan en un mismo punto aunque
modifiques los vértices del tetraedro.
Taller: La geometría del tetraedro.
José Muñoz Santonja
Página 2
Señala ese punto de corte y oculta las cuatro rectas. Dibuja a continuación la esfera con centro
en el punto de corte hallado y pasando por uno de los vértices.
Los
iconos
que
debes
utilizar son los
siguientes:
Circunferencia
Centro
Perpendicular
Punto Corte
Esfera
Comprueba que la esfera que has dibujado pasa por los cuatro vértices y que lo sigue haciendo
aunque muevas alguno de ellos.
Guarda la construcción con el nombre Esfera Circunscrita.ggb.
ACTIVIDAD 5: Esfera circunscrita 2.
Hay otra forma de conseguir el circuncentro de un tetraedro y es utilizando los planos
bisectores. En GeoGebra se define el plano bisector como el plano perpendicular a un
segmento en su punto medio. Sería el equivalente en tres dimensiones a la mediatriz de un
segmento.
Basta utilizar la orden PlanoBisector[A,B] para que nos dibuje el plano que pasa por el punto
medio del segmento que une A con B y es perpendicular a dicho segmento.
Abre el archivo Tetraedro y dibuja los planos bisectores de, al menos, cuatro aristas del
tetraedro.
Halla la recta intersección de dos pares
de esos planos, para ello utiliza la orden
Interseca[<objeto>,<objeto>] lo que nos
dibujará las rectas intersección sin más que dar
el nombre de los dos planos que queremos.
Con la misma orden Interseca halla la
intersección de las rectas halladas. Ese punto
será el circuncentro. Oculta los planos y las
rectas que has dibujado y comprueba que
ese punto hallado es el centro de la esfera
circunscrita.
Guarda el archivo con el nombre Esfera
Circunscrita 2.ggb.
Imagen 3: Esfera circunscrita
ACTIVIDAD 6: Baricentro de un tetraedro
En un tetraedro se llaman medianas a los segmentos que unen un vértice con el baricentro de
la cara opuesta. El punto en el que se cortan las medianas es el baricentro del tetraedro.
Taller: La geometría del tetraedro.
José Muñoz Santonja
Página 3
Lo primero es calcular los baricentros de las cuatro caras del tetraedro. Para ello basta dibujar,
en una cara, la recta que une un vértice con el punto medio de la arista opuesta. El punto de
corte de dos de estas rectas es el baricentro del triángulo.
A continuación, dibuja las rectas que unen un vértice con el baricentro de la cara opuesta.
Comprueba que las cuatro rectas se cortan en un punto, que será el baricentro, sea cual sea el
tetraedro.
Oculta las rectas y dibuja un segmento que una un vértice con el baricentro de la cara opuesta.
Halla la relación de proporción que existe entre la distancia desde el vértice al baricentro del
tetraedro y desde éste al baricentro de la cara opuesta. Para ello basta utilizar el comando
Distancia[<punto>,<objeto>] o el icono de herramienta correspondiente.
Halla la proporción entre la distancia del vértice
al baricentro del tetraedro y la distancia desde el
punto central a la cara opuesta.
Guarda la construcción con el nombre de
Baricentro.ggb.
Imagen 4: Baricentro de un tetraedro
ACTIVIDAD 7: Otra forma de hallar el baricentro.
En un tetraedro se llama bimediana al segmento
que une los puntos medios de dos aristas
opuestas.
Utiliza la construcción anterior y comprueba que
las bimedianas también se cortan en un punto
común que coincide con el baricentro.
Puedes guardar
Baricentro 2.ggb.
esta
construcción
como
Imagen 5: Baricentro por bimedianas
ACTIVIDAD 8: Esfera inscrita.
La esfera inscrita a un tetraedro tendrá su centro, el incentro, en el punto que esté a la misma
distancia de sus caras. Para ello basta encontrar los planos que dividen por la mitad el diedro
formado por los planos que contienen a las caras que coinciden en una misma arista.
Taller: La geometría del tetraedro.
José Muñoz Santonja
Página 4
El problema es que actualmente GeoGebra no tiene ningún comando que calcule directamente
ese plano, que en geometría llamamos plano bisector, pues ya hemos visto que GeoGebra da
ese nombre a lo que nosotros conocemos normalmente por plano mediador. Por ello, el plano
que necesitamos en la construcción hay que dibujarlo artesanalmente.
Vamos a indicar los pasos para conseguir el plano que necesitamos. La vamos a hacer para la
arista AB.
•
c1=Circunferencia[PuntoMedio[A,B],1,Recta[A,B]
Esto dibuja una circunferencia, que llamaremos c1, que pasa por el punto medio de la
arista AB, con radio 1 y que tiene como eje de rotación la recta que pasa por los puntos
A y B.
•
Interseca[c1,Plano[A,B,C]]
Hallamos la intersección de la circunferencia anterior con el plano que contiene a la
cara ABC. Eso nos dará dos puntos E y F. El primero, que es el que nos interesa, será
el punto de corte de la circunferencia con la cara ABC del tetraedro.
•
Interseca[c1,Plano[A,B,D]]
Hacemos lo mismo con la cara ABD, obteniendo dos puntos G y H. El primero es el
punto de corte con la cara ABD.
•
Plano[PuntoMedio[E,G],Recta[A,B]]
La orden anterior dibuja el plano que pasa por el punto medio de E y G e incluye a la
recta que pasa por A y B.
De esa forma se nos dibuja el plano formado por todos los puntos que están a la misma
distancia de la cara ABC que de la cara ABD.
Ahora hay que hacer lo mismo con, al menos, dos aristas más. Recuerda llamar c2 y c3 a las
circunferencias que defines.
Una vez que tengamos los tres planos se hallan las rectas de corte y el punto de corte de esas
rectas igual que se hizo en la actividad 5.
El punto obtenido renómbralo como Inc. Oculta todo lo demás que has utilizado en la
construcción. Ese punto es el centro de esfera inscrita. Para poder dibujarla necesitamos el
punto de contacto con alguna de las caras.
Utilizando la orden Perpendicular que vimos en la actividad 4, dibuja la recta perpendicular
que pasa por el incentro y es perpendicular a una de las caras. También puedes utilizar
directamente la orden:
rp1=Perpendicular[Inc,caraABC]
Así obtenemos la perpendicular a la cara ABC del tetraedro pasando por el incentro. Basta
hallar el punto de corte de la perpendicular y la cara. Se puede hacer como en la actividad 4 o
bien con la orden
Interseca[rp1,caraABC]
Por último, dibujamos la esfera que tiene centro en Inc y pasa por el punto que nos ha
aparecido en la intersección anterior. Vamos a llamar bola a la esfera dibujada.
Taller: La geometría del tetraedro.
José Muñoz Santonja
Página 5
Para comprobar que la esfera es tangente interior a las cuatro caras podemos dibujar los
puntos de tangencia con la orden siguiente, que hay que repetir para las caras ACD y BCD:
IntersecaRecorridos[Plano[ABD],bola]
Por último, basta mover los vértices y comprobar que efectivamente la esfera es tangente
interior siempre.
Puedes guardar la construcción como Esfera Inscrita.ggb.
Imagen 6: Esfera inscrita
ACTIVIDAD 9: Punto de Monge.
Es fácil comprobar que en un tetraedro no existe el ortocentro, ya que las alturas no coinciden
en un punto. Para ello, basta dibujar la recta que pasa por un vértice y es perpendicular a la
cara opuesta y tras dibujar un par de ellas se puede observar que en general no se cortan.
Sin embargo, en el tetraedro existe un punto notable que sería el equivalente al ortocentro
de un triángulo. Es conocido como Punto de Monge en honor al matemático francés Gaspar
Monge.
El Punto de Monge es donde se cortan los planos que son perpendiculares a una arista del
tetraedro y pasan por el punto medio de la arista opuesta.
Para encontrarlo dibujamos los planos pedidos. Si consideramos la arista AB cuya arista
opuesta es la CD, basta utilizar la orden:
PlanoPerpendicular[PuntoMedio[A,B],Recta[C,D]]
Igual que en actividades anteriores, hay que calcular al menos tres planos correspondientes a
aristas que no formen el mismo triángulo, dos rectas intersección de esos planos y el punto de
corte de esas dos rectas que renombraremos como PM.
Oculta todos los elementos que hemos utilizado en la construcción y deja sólo visible el Punto
de Monge.
Guarde la construcción como Punto Monge.ggb.
Taller: La geometría del tetraedro.
José Muñoz Santonja
Página 6
Aunque no le hemos hecho hasta el momento, ahora que tenemos ya definidos los cuatro puntos
notables del tetraedro podemos plantearnos, igual que con el triángulo, si esos puntos están siempre
dentro del tetraedro y, en caso contrario, cuáles y en que situaciones están fuera.
ACTIVIDAD 10: Recta o segmento de Euler.
En todo tetraedro, el centro de la esfera circunscrita, el baricentro y el Punto de Monge
están alineados. Pero, además, el Punto de Monge es simétrico del circuncentro respecto
del baricentro. A la línea que une los tres puntos se le llama Recta o Segmento de Euler del
tetraedro.
Abre alguna de las construcciones en la que has dibujado uno de los tres puntos y dibuja los
otros dos.
Dibuja el segmento que une el circuncentro con el Punto de Monge. Comprueba que el
baricentro es el punto medio de ese segmento.
Esto último puedes hacerlo de dos formas. Dibujando el punto medio del segmento y viendo
que coincide con el baricentro o, hallando la distancia del baricentro a los otros dos elementos
y viendo que se obtiene el mismo valor.
Guarda el archivo con el título de Segmento Euler.ggb.
Imagen 7: Recta o segmento de Euler
ACTIVIDAD 11: La esfera de los 12 puntos.
En el triángulo existen muchos elementos curiosos. Uno de ellos es la circunferencia de nueve
puntos, que es la circunferencia que pasa por los puntos medios de cada lado, los pies de las
alturas y los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del
triángulo.
En el tetraedro hay un objeto equivalente: la esfera de los 12 puntos, relacionados con el Punto
de Monge.
Taller: La geometría del tetraedro.
José Muñoz Santonja
Página 7
La esfera de los 12 puntos pasa por los baricentros de las cuatro caras, por los puntos que
están a 1/3 de distancia del Punto de Monge a los vértices, y los pies de las perpendiculares de
estos últimos cuatro puntos sobre la cara opuesta al vértice correspondiente.
Reabre el archivo donde calculaste el Punto de Monge y vamos a construir la esfera a partir de
él.
Debes dibujar los cuatro baricentros.
Es conveniente que los tres bloques, de 4 puntos cada uno, que vas a calcular, los dibujes de
diferente color y que cada vez que encuentres los puntos ocultes todo lo que has utilizado para
dibujarlos. En caso contrario te encontrarás con la locura.
Si has llamado PM al Punto de Monge, para hallar los que se encuentran a 1/3 de distancia de
los vértices lo más simple es utilizar la orden siguiente:
PTA=PM+vector[PM,A]/3
La orden anterior nos dibuja el punto PT1 que está a 1/3 de distancia del PM y a 2/3 del
vértice A.
Debes hacer lo mismo para calcular los puntos PTB, PTC, PTD que están en los segmentos
que unen el PM con los vértices B, C y D.
A continuación, hay que utilizar la orden Perpendicular para hallar los pies de las
perpendiculares de esos cuatro puntos a las caras opuestas al vértice que los define. Y hallar la
intersección de esas rectas con las caras para hallar los 4 puntos correspondientes.
Por último, para hallar el centro de la esfera de los 12 puntos se pueden dibujar los planos
bisectores de los segmentos formados por los baricentros. Donde se cortan los planos es
el centro de la esfera de los 12 puntos. Basta dibujar la esfera a partir de ese centro y con
cualquiera de los puntos hallados y se comprueba que pasa por todos.
Guarda el archivo con el título Esfera 12 puntos.ggb.
Imagen 8: Esfera de los doce puntos
ACTIVIDAD 12: Propiedades de la esfera de 12 puntos.
Si no has quedado agotado de la construcción anterior puedes comprobar algunas cosas curiosas con
la esfera dibujada
Taller: La geometría del tetraedro.
José Muñoz Santonja
Página 8
1) El radio de la circunferencia
de los doce puntos es la
tercera parte del radio de la
circunferencia circunscrita.
2) El centro de la circunferencia
de los 12 puntos es el
tranformado del circuncentro
mediante una homotecia de
centro el baricentro y escala 1/3.
Imagen 9: Propiedades de la esfera de 12 puntos
A partir de aquí vamos a proponer una serie de actividades que plantean propiedades y curiosidades
de los tetraedros. Vamos a trabajar desde este momento con tetraedros regulares.
ACTIVIDAD 13: Esfera tangente a las aristas.
Igual que en el triángulo equilátero con sus puntos notables, en el tetraedro regular los cuatro
puntos notables de los que hemos hablado coinciden. Además, en ese tetraedro sí existe el
ortocentro como punto de corte de las alturas, que lógicamente coincide con los anteriores.
Comprueba que ese punto es el centro de una esfera que es tangente a las seis aristas en su
punto medio.
Imagen 10: Esfera tangente a las aristas de un tetraedro regular.
ACTIVIDAD 14: Esfera tangente a las aristas inferiores.
Consideremos un tetraedro regular ABCD. Sea CT el centro de la circunferencia circunscrita
ec. Trazamos por CT un plano perpendicular a la altura del vértice D. Ese plano corta a las
aristas AD, BD y CD en los puntos A’, B’ y C’, respectivamente.
Taller: La geometría del tetraedro.
José Muñoz Santonja
Página 9
Halla la esfera ef que pasa por los puntos A’,
B’, C’ y D y realiza las siguientes cuestiones.
1) Comprueba que la esfera ef es tangente a
las aristas AB, BC y CA del tetraedro.
2)Comprueba que la proporción entre
los radios de las dos esferas ec y ef
se mantiene constante al modificar el
tetraedro. ¿Cuánto vale esa proporción.
Imagen 11: Esfera tangente a las aristas inferiores
Hay que tener presente que al estar en un tetraedro regular, para hallar el centro de la esfera
circunscrita basta trazar la recta que pasa por un vértice y es perpendicular a la cara opuesta.
La intersección de dos de estas rectas nos da el centro de la esfera.
Las siguientes actividades están tomadas del calendario matemático de 2014-15 que edita la
Societat d’Educació Matemàtica Al-Khwarizmi. Todas ellas provienen del mes de octubre y están
propuestas por Ricard Peiró i Estruch del IES Abastos de Valencia.
ACTIVIDAD 15:
Perímetro del
rectángulo de corte.
Tras dibujar el tetraedro regular, construimos el segmento que une los puntos medios de dos
aristas opuestas, por ejemplo, AC y BD. Llamemos f a ese segmento.
Definimos el punto O=Punto[f] y el plano que será paralelo a las dos aristas, para lo que basta
la orden:
pper=PlanoPerpendicular[O,f]
A continuación, hallamos los puntos de corte del plano pper con las aristas AB, AD, BC, CD,
llamémoslos P, Q, R y S o en el orden en el que están en el dibujo.
Se construye el rectángulo que pasa por los cuatro últimos puntos, sea polig1 y hallamos su
perímetro. Basta la orden Perímetro[polig1].
Si ahora movemos el punto O entre las aristas AC y BD se puede comprobar que ese
perímetro no varía.
¿Qué relación guarda con respecto a la arista del tetraedro?
Taller: La geometría del tetraedro.
José Muñoz Santonja
Página 10
ACTIVIDAD 16: Relación entre un tetraedro y su dual.
Un poliedro es dual de otro si sus vértices son los puntos medios de las caras del otro poliedro.
El dual del cubo es el octaedro y viceversa. El dual del dodecaedro es el icosaedro y viceversa.
El dual del tetraedro es, a su vez, otro tetraedro.
Dibujado un tetraedro regular, para hallar su dual basta hallar los centros E, F y G de tres
caras, y dibujar el Tetraedro[E,F,G]. Si no nos sale como nos interesa sólo hay que variar el
orden de los puntos. Deben colocarse igual que en la “regla del sacacorchos” que utilizan los
alumnos para saber cuál es la dirección del vector producto vectorial de dos vectores dados.
Por último, utilizando la orden Volumen[<sólido>] podemos hallar los volúmenes de los dos
tetraedros y dividirlos para hallar la proporción.
Taller: La geometría del tetraedro.
José Muñoz Santonja
Página 11
ACTIVIDAD 17: Relación entre la arista y la bimediana
Comprueba que, en un tetraedro regular, la relación entre la medida de una arista y el de la
bimediana vale siempre
.
ACTIVIDAD 18: Relaciones en el tetraedro regular.
Esta actividad es similar a la anterior. Ahora se puede comprobar fácilmente que la proporción
entre la arista de un tetraedro regular y el segmento que une el punto medio de una arista con
el punto medio de la cara opuesta es siempre 2.
Referencias
1. Bellot Rosado, Francisco (2008): “Geometría del tetraedro”. Revista escolar de la Olimpiada
Iberoamericana de Matemáticas, nº 32.
http://www.oei.es/oim/revistaoim/numero32/Tetraedro.pdf
2. Sociedad Valenciana Al-Khwarizmi (2014): Calendario matemático
http://semcv.org/calendarimat/730-calendari-2014-2015
Taller: La geometría del tetraedro.
José Muñoz Santonja
Página 12