EL MÉTODO DE LA SECANTE Es otro método para hallar una raíz p de f(x) = 0 en [a , b] , con Sign[f(a)] Sign[f(b)] Converge (cuando lo hace) más rápidamente que en el método de bisección. En lugar de dividir el intervalo [a , b] por la mitad (como en el m. de bisección), se toma como primera aproximación a la raíz: p1 = a + h1 , siendo h1 f (a ) (b a ) f (a ) f (b) Geométricamente equivale a sustituir la curva y = f(x) por la secante que une los puntos A B. Téngase en cuenta que la recta que pasa por dos puntos (x1, y1), (x2,y2) es x x1 y y1 x2 x1 y2 y1 En nuestro caso son los puntos A(a, f(a) ) y B(b, f(b)): xa y f (a ) b a f (b) f (a ) De aquí se tiene: xa y f (a ) (b a ) f (b) f (a ) El punto de corte con el eje X, esto es p1, se obtiene haciendo x = p1 , y = 0. p1 a f ( a) (b a) f (b) f (a) {1} Ahora, considerando que la función f(x) sea cóncava en [a, b] , se tienen dos posibles casos: 1) Si f(a) > 0 (En este caso dejaremos fijo a). Tomamos p0= b y vamos operando en el intervalo [a, pn] según: f ( pn ) ( pn a ) f ( pn ) f (a) Para n=1,2,… pn 1 pn (Expresión que sale de susutituir pn =a en {1}) 2) Si f(b) > 0 (En este caso dejaremos fijo b). Tomamos p0= a y vamos operando en el intervalo [pn, b] según: f (b) (b pn ) f (b) f ( pn ) Para n=1,2, … pn 1 pn (Expresión que sale de susutituir pn =a en {1}) ALGORITMO DE LA SECANTE: Para hallar una solución de la ecuación f(x) = 0, en el intervalo [a, b] donde f(a) y f(b) tienen signo opuesto. Entrada: extremos a, b; tolerancia TOL; número máximo de iteraciones N. Salida: solución aproximada o mensaje de fracaso. Paso1: Tomar i=2, entonces si f(a)>0 definir: p0=b, q0=f(a), q1=f(b) si f(a)<0 definir: p0=a, q0=f(b), q1=f(a) Paso 2: Mientras que i ≤ N seguir pasos 3 -6; Paso 3: (se trata de calcular aproximaciones a p) Si f(a)>0 tomar p p0 q1 ( p0 a) q1 q0 Si f(b)<0 tomar q1 (b p0 ) q0 q1 Paso 4: si |p – p0|<TOL entonces SALIDA → display p , PARAR. p p0 Paso 5: tomar i = i+1 Paso 6: tomar p0 = p; q1 = f(p) Paso 7: Displayar (‘El método fracasó después de N iteraciones’).
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