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Inferencia Estadı́stica Tarea 4
Soriano Flores Antonio
I. Intervalos de Confianza
1. Sea X1 , . . . , Xn m.a. del modelo U nif orme(0, θ) con θ > 0.
1
fX (x) := 1(0,θ) (x)
θ
El objetivo del ejercicio es encontrar un intervalo de confianza para θ
(a) Defina la variable aleatoria T como:
T =
X(n)
max {X1 , . . . , Xn }
=
θ
θ
y muestre que la función de densidad de T está dada por:
fT (t) = ntn−1 1(0,1) (t)
Hint: Asuma que la densidad del máximo estadı́stico de orden en esta familia está
dada por:
nxn−1
fX(n) (x) =
1(0,θ) (x)
θn
Por lo tanto:
Z
X(n)
∂
∂
∂
∂
∂ tθ
fT (t) = FT (t) = P (T ≤ t) = P
fX(n) (x)dx
≤ t = P X(n) ≤ tθ =
∂t
∂t
∂t
θ
∂t
∂t 0
(b) Usando el ejercicio anterior sabemos que T es una cantidad pivotal, utilice esta cantidad pivotal para encontrar una intervalo al 95% de confianza para θ.
Punto extra: Encuentre el intervalo óptimo (el de menor longitud) para esta cantidad pivotal.
2. Sea X1 , . . . , Xn m.a. del modelo Exp(λ) con λ > 0.
fX (x) := λe−λx 1(0,∞) (x)
(a) Defina la variable aleatoria T como:
T =λ
n
X
Xi
i=1
Usando la función generadora de momentos prueba que T ∼ Gamma(n, 1)
(b) Usando el ejercicio anterior sabemos que T es una cantidad pivotal, utilice esta
cantidad pivotal para encontrar la expresin del intervalo al (1 − α)% de confianza
para λ
1
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3. Considera X1 , . . . , Xnx m.a. de una población con función de densidad dada por:
1 1
fX (x; θ) = x θ −1 ;
θ
x ∈ (0, 1);
θ>0
Encuentre una cantidad pivotal para θ y con ella encuentre una expresión para un intervalo
al (1 − α) ∗ 100% de confianza para θ.
Suponga que observa la siguiente muestra del modelo:
(0.963, 0.790, 0.763, 0.737, 0.972, 0.991, 0.704, 0.949, 0.982, 0.968)
Con dicha muestra encuentre un intervalo al 96% de confianza para θ.
4. Considera X1 , . . . , Xnx m.a. de N µx , σn2 x y Y1 , . . . , Yny m.a. de N µy , σn2 y , suponga
µx y µy desconocidas. Muestre que:
2
Sx2 1−α/2
Sx α/2
F
, F
Sy2 ny −1,nx −1 Sy2 ny −1,nx −1
Es un intervalo al (1 − α)% de confianza para el cociente
1−α/2
x
1 X
=
(xi − x)2 ;
nx − 1 i=1
Donde:
ny
n
Sx2
σx2
.
σy2
Sy2
1 X
=
(yi − y)2 ;
ny − 1 i=1
α/2
Fny −1,nx −1 y Fny −1,nx −1 son los cuantiles de una distirbución F con (ny − 1, nx − 1) grados
de libertad
5. Sea X1 , . . . , Xn m.a. del modelo Exp(λ) con λ > 0.
fX (x) := λe−λx 1(0,∞) (x)
• Encuentra la expresión del intervalo
aproximado
al (1 − α)% de confianza para λ
∗
1
usando el hecho de que λ̂M V ∼N λ, nI(λ) , es decir, utilice la cantidad pivotal dada
por:
λ̂M V − λ ∗
q
∼N (0, 1)
1
nI(λ)
• Encuentra la expresión del intervalo aproximado al (1 − α)% de confianza
para
λ
∗∗
1
usando una segunda aproximación suponiendo ahora que λ̂M V ∼N λ, nI(λ̂ ) , es
MV
decir, utilice la cantidad pivotal dada por:
λ̂
− λ ∗∗
qM V
∼N (0, 1)
1
nI(λ̂M V )
2
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6. Se quiere verificar que la estatura promedio de las mujeres es más pequeña que la estatura
promedio de los hombres. Suponga que la distribución de la estatura de tanto mujeres
como hombres es modelada por una distribución Normal con misma varianza conocida
para ambas poblaciones. Es decir
X ∼ N (µx , σ 2 )
Y ∼ N (µy , σ 2 )
Donde X modela la estatura de las mujeres y Y la estatura de los hombres.
Se llevo a cabo un muestreo aleatorio en las dos poblaciones de forma independiente,
el tamaño de muestra en ambos muestreos fue de 100 y se obtuvieron los siguientes
resultados:
P100
P100
yi
i=1 xi
= 169cm
ȳ = i=1 = 175cm
x̄ =
100
100
Si la varianza de ambas poblaciones es σ 2 =25. Construya un intervalo al 95% de confianza
para la diferencia de medias µx − µy . Concluya si en efecto tenemos evidencia como para
decir que la estatura promedio de las mujeres es más pequeña que la estatura promedio
de los hombres.
7. Se desea llevar a cabo un muestreo para estimar el peso promedio en kilogramos de los
hombres mayores de 18 años en México, suponiendo que el peso de esta población sigue
una distribución N (µ, σ 2 ) con σ 2 conocida e igual a 36 (σ 2 = 36). Calcule el tamaño de
muestra necesario para estimar la media µ con un error de d = 0.5kg y una confianza de
95%. (α = 0.05).
8. Suponga que una aseguradora modela el número de siniestros semanales usando un modelo
Poisson de parámetro desconocido λ. La aseguradora pretende encontrar un intervalo al
95% de confianza para la probabilidad de observar 1 siniestro en una semana:
P (X = 1) = λe−λ
Supongamos que la aseguradora observa la siguiente muestra:
(3, 6, 6, 2, 4, 6, 1, 5, 6, 6, 6, 7, 5, 5, 9, 2, 8, 6, 5, 10, 7, 4, 2, 5, 4, 5, 1, 4, 2, 2)
Construya el intervalo al 98% de confianza (aproximado) para la cantidad de interés
P (X = 1) = λe−λ .
9. Sea X1 , . . . , Xn m.a. del modelo Bernulli (θ). Se desea construir un intervalo de confianza
para θ.
• Encuentra la expresión del intervalo
aproximado
al (1 − α)% de confianza para θ
∗
1
usando el hecho de que θ̂M V ∼N θ, nI(θ) , es decir, utilice la cantidad pivotal dada
por:
θ̂M V − θ ∗
q
∼N (0, 1)
1
nI(θ)
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• Encuentra la expresión del intervalo aproximado al (1 − α)% deconfianza para
∗∗
θ usando una segunda aproximación suponiendo ahora que θ̂M V ∼N θ, nI(θ̂1 ) , es
MV
decir, utilice la cantidad pivotal dada por:
θ̂
− θ ∗∗
qM V
∼N (0, 1)
1
nI(θ̂M V )
• Suponga que se observa la siguiente muestra (n=20) del modelo
(0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)
Utilizando las expresiones encontradas en los incisos anteriores, calcule los intervalos
al 98% de confianza para θ.
• Con la muestra anterior, utilice la ténica del remuestreo (Bootstrap Paramétrico)
para encontrar el intervalo al 98% de confianza para θ.
• Compare los tres intervalos y comente sus resultados.
10. El tiempo (en horas) que ocurre entre los siniestros que observa una aseguradora es modelado por medio de una densidad Exponencial de parámetro desconocido λ. La aseguradora
esta interesada en construir un intervalo al 97% de confianza para la probabilidad de que
el tiempo entre 2 siniestros sea mayor a 24 horas. Suponga que la aseguradora observa
21 siniestros de forma consecutiva y mide el tiempo entre ellos obteniendo la siguiente:
6.92, 26.93, 8.40, 4.36, 13.22, 2.97, 2.94, 1.06, 56.43, 9.33
12.25, 10.83, 1.40, 5.20, 28.17, 2.21, 18.20, 3.56, 1.24, 0.41
Con esta información, calcule el intervalo de confianza utilizando la técnica del remuestreo
paramétrico.
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