1. Ciencia

1.3 EL ALGORITMO DE BISECCIÓN (Método de Bolzano).
Se trata de hallar los valores de x que cumplen f(x) = 0
Sea f definida en [a , b], t.q. f(a) y f(b) tengan signos opuestos, entonces por el corolario
V.1 (llamado teorema de Bolzano), sabemos que existe un p  [a , b] t.q. f(p)=0.
El método consiste en ir tomando sucesivas aproximaciones p1 , p2 , ....., pn hacia el
valor p. Tomando siempre el punto intermedio del intervalo.
Inicialmente tomamos:
a1 = a, b1 = b
a1  a

y a continuación 
 b1  b
p1 
p1 
a1  b1
tomamos el punto medio de (a1, b1):
2
a1  b1
b a
 a1  1 1
2
2
Este p = p1, sería la primera aproximación a la raíz.
Si f(p1 )0 entonces f(p1 ) tendrá el mismo signo que f(a 1 ) o el mismo signo que f(b1 ).
Si Sign[f(p1 )] = Sign[f(a1 )]
entonces p [p 1 , b1 ],
Entonces tomamos:
a2 = p1, b 2 = b1
a2  p1


 b2  b1
p2 
a2  b2
2
6
Si Sign[f(p 1 )] = Sign[f(b1 )]
entonces p  [a 1 , p1 ],
Entonces tomamos:
a2 = a1, b2 = p1
Etc. hasta encontrar un f(p) = 0, o bien el intervalo [a n , b n ] es inferior a una tolerancia
TOL prefijada.
ALGORITMO:
Para hallar una solución de f(x) = 0 , dada la función f en el intervalo [a, b] donde f(a)
y f(b) tienen signos opuestos.
Entradas: extremos a y b; tolerancia TOL; cantidad máxima de iteraciones N
Salida: solución aproximada p, o mensaje de fracaso.
Paso 1: Tomar i = 1;
Paso 2: Mientras que i  N seguir los pasos 3-6;
Paso 3: Tomar p = a + ½ (b-a) ; % Calcular p i .
Paso 4: Si f(p) = 0 ó ½ (b-a) < TOL entonces Salida  p , PARAR.
Paso 5: Tomar i = i + 1;
Paso 6: Si f(a) . f(p) > 0 entonces tomar a = p,
de lo contrario,
tomar b = p;
Paso 7: Salida (‘El método fracasó después de N intentos’); PARAR.
7